Representação de Weierstrass em variedades Riemannianas e Lorentzianas Emanoel Mateus dos Santos Freire

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1 Representação de Weierstrass em variedades Riemannianas e Lorentzianas Emanoel Mateus dos Santos Freire Dissertação de Mestrado do Programa de Pós-Graduação em Matemática (PPG-MAT

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3 SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP Data de Depósito: Assinatura: Emanoel Mateus dos Santos Freire Representação de Weierstrass em variedades Riemannianas e Lorentzianas Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências Matemática. EXEMPLAR DE DEFESA Área de Concentração: Matemática Orientadora: Profa. Dra. Irene Ignazia Onnis USP São Carlos Dezembro de 017

4 Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP, com os dados inseridos pelo(a autor(a d7r dos Santos Freire, Emanoel Mateus Representação de Weierstrass em variedades Riemannianas e Lorentzianas / Emanoel Mateus dos Santos Freire; orientador Irene Ignazia Onnis. -- São Carlos, p. Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Matemática -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, Superfícies Mínimas.. Representação de Weierstrass. 3. Variedades Riemannianas. 4. Variedades Lorentzianas. I. Onnis, Irene Ignazia, orient. II. Título. Bibliotecários responsáveis pela estrutura de catalogação da publicação de acordo com a AACR: Gláucia Maria Saia Cristianini - CRB - 8/4938 Juliana de Souza Moraes - CRB - 8/6176

5 Emanoel Mateus dos Santos Freire Weierstrass representation in Riemannian and Lorentzian manifolds Master dissertation submitted to the Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação ICMC- USP, in partial fulfillment of the requirements for the degree of the Master Program in Mathematics. EXAMINATION BOARD PRESENTATION COPY Concentration Area: Mathematics Advisor: Profa. Dra. Irene Ignazia Onnis USP São Carlos December 017

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7 i Este trabalho é dedicado à mulher que mais admiro e que me inspira pela sua força, sem ela nada disto seria possível, minha querida mãe Maria.

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9 Agradecimentos Agradeço a Deus por toda ajuda e proteção que forneceu a mim e minha família, e por me guiar na vida possibilitando o encontro com tantas pessoas especiais. Além disso, agradeço por ter me presenteado com meus pais, Maria e Waldir, que são meus grandes orgulhos e a eles devo todas minhas conquistas. Agradeço a eles por todo amor, carinho, paciência, conforto e tantos outros sentimentos bons que me transmitem quando falo com eles, quando estou com eles. Sou muito grato à minha orientadora Profa. Irene Ignazia Onnis que a todo momento se mostrou presente me ajudando e me estimulando para poder sempre me superar, pela paciência e dedicação que teve comigo, foi a melhor orientadora que eu poderia ter, nesta fase da minha vida acadêmica. Um exemplo de orientador e pesquisador. À minha namorada Renata, por sua compreensão, amor, carinho, risos, por estar ao meu lado e mesmo chegando de uma maneira repentina. Se eu pudesse fazer flores e estrelas eu deixaria a terra e o ceú tão coloridos e brilhantes quanto você. Aos meus amigos que tornaram minha vida mais leve e me ensinaram que a felicidade só é real quando compartilhada, em especial queria agradecer a grande vizinhança, Omar Chavez Cussy, David Carbajal (Batman, David Saldaña, Paulo Seminario, Juan Luis Fuentes, Pierre Rodriguez, Alex de la Cruz, Juan Kamasca. Por terem sido minha segunda família, aos meus amigos de Maceió da graduação e dos verões, em especial quero citar Pedro Carvalho, Myrla Kedynna, Vitor

10 Alves, Thiago Moraes, David Cabral e Diogo Santos por estarem ao meu lado desde o começo. A todos os colegas e amigos do Mestrado e da graduação pelo apoio na vida acadêmica, pelos risos e conversas em bares. Ao Prof. Daniel Smania Brandão, pelo apoio e conselhos durante o mestrado. Aos professores e funcionários do ICMC/USP. Enfim, ao CNPq pelo apoio financeiro.

11 Resumo dos Santos Freire, E. M. Representação de Weierstrass em variedades Riemannianas e Lorentzianas p. Dissertação (Mestrado Programa de Pós-Graduação em Matemática Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos SP, 017. O Teorema de Representação de Weierstrass clássico, que faz uso da análise complexa para descrever uma superfície mínima imersa no espaço Euclidiano em termos de dados holomorfos, tem sido extremamente útil seja para construir novos exemplos de superfícies mínimas, seja para o estudo das propriedades destas superfícies. Em [4], usando a equação harmônica, os autores determinam uma fórmula de representação para superfícies mínimas, simplesmente conexas, imersas em uma variedade Riemanniana qualquer. Neste caso, a condição de holomorficidade dos dados de Weierstrass consiste em um sistema de equações diferenciais parciais com coeficientes não constantes. Logo, em geral, é complicado determinar soluções explícitas. No entanto, escolhendo adequadamente o espaço ambiente, tais equações se simplificam e a fórmula pode ser usada para produzir novos exemplos de imersões mínimas conformes.

12 vi No espaço de Lorentz-Minkowski tridimensional uma fórmula de representação tipo-weierstrass foi provada por Kobayashi, para o caso das imersões mínimas de tipo espaço (ver [18], e por Konderak no caso das imersões mínimas de tipo tempo (ver [0]. Na demonstração destas fórmulas se utilizam as ferramentas da análise complexa e paracomplexa, respectivamente. Recentemente, em [] os resultados de Kobayashi e Konderak foram generalizados para o caso de superfícies mínimas (de tipo espaço e de tipo tempo imersas em 3-variedades Lorentzianas. Nesta dissertação estudaremos as fórmulas de representação de Weierstrass para superfícies mínimas imersas em variedades Riemannianas e Lorentzianas, que foram obtidas nos artigos [18], [0], [] e [4]. Palavras-chave: Superfícies Mínimas, Representação de Weierstrass, Variedades Riemannianas, Variedades Lorentzianas.

13 Abstract dos Santos Freire, E. M. Weierstrass representation in Riemannian and Lorentzian manifolds p. Dissertação (Mestrado Programa de Pós-Graduação em Matemática Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos SP, 017. The classic Weierstrass Representation Theorem, which makes use of complex analysis to describe a minimal surface immersed in the Euclidean space in terms of holomorphic data, has been extremely useful either to construct new examples of minimal surfaces, rather than to study structural properties of these surfaces. In [4], using the standard harmonic equation, the authors determine a representation formula for simply connected immersed minimal surfaces in a Riemannian manifold. In this case, the holomorphicity condition of the Weierstrass data is a system of partial differential equations with nonconstant coefficients. Therefore, in geral, it is very difficult to determine explicit solutions. However, for particular ambient spaces, these equations become simpler and the formula can be used to produce new examples of conformal minimal immersions. In the three-dimensional Lorentz-Minkowski space a Weierstrass-type representation formula was proved by Kobayashi for spacelike minimal im-

14 viii mersions (see [18], and by Konderak for the case of timelike minimal immersions (see [0]. In the demonstration of these formulas are used the tools of complex and paracomplex analysis, respectively. Recently, in [] the results of Kobayashi and Konderak were generalized to the case of (spacelike and timelike minimal surfaces immersed in 3-Lorentzian manifolds. In this dissertation, we will study the Weierstrass representation formula for immersed minimal surfaces in Riemannian and Lorentzian manifolds, that was obtained in the articles [18], [0], [] and [4]. Keywords: Minimal surfaces, Weierstrass Representation, Riemannian manifolds, Lorentzian manifolds.

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16 Índice Introdução 1 1 Fórmula de representação de Weierstrass em variedades Riemannianas Preliminares Representação de Weierstrass em grupos de Lie O caso tridimensional Superfícies mínimas no grupo de HeisenbergH Superfícies mínimas no espaçoh R O espaço hiperbólicoh Representação de Weierstrass no espaço de Lorentz-MinkowskiL O espaço de Lorentz-Minkowski Curvas no espaço de Minkowski As equações de Frenet Superfícies eml ix

17 ÍNDICE Curvatura média de superfícies não-degeneradas Representação de Enneper-Weierstrass para superfícies mínimas de tipo espaço Superfícies mínimas de rotação eml Superfícies mínimas regradas eml Representação de Enneper-Weierstrass para superfícies mínimas de tipo tempo A álgebra dos números de Lorentz Funções diferenciáveis sobre os números de Lorentz Funções elementares sobre os números de Lorentz Teorema de representação de Weierstrass para superfícies de tipo tempo Construção de exemplos Superfícies mínimas em3-variedades Lorentzianas Introdução O caso dos grupos de Lie Lorentzianos O grupo de Heisenberg Lorentziano Imersões de tipo espaço Imersões de tipo tempo O espaço de De SitterS O grupoh R Lorentziano Bibliografia 95

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19 Introdução Esta dissertação de mestrado apresenta alguns resultados relevantes sobre a construção de uma fórmula de representação como a de Weierstrass para superfícies mínimas imersas em variedades Riemannianas e Lorentzianas. O Teorema de Representação de Weierstrass clássico, que constitui uma ligação importante entre a Geometria Diferencial e a Análise Complexa, permite a construção de superfícies mínimas no espaço Euclidiano a partir de funções complexas holomorfas. Mais especificamente, dada uma terna de funções holomorfas Φ = (φ 1, φ, φ 3, definidas em um aberto Ω C simplesmente conexo, com φ 1 + φ + φ 3 = 0, podemos determinar uma parametrização mínima isotérmica considerando X(z = Re em que é um ponto fixado em Ω. z Φ dz, Portanto, conseguimos obter exemplos de superfícies mínimas determinando uma terna de funções holomorfas. Uma maneira eficaz de fazer isto é tomar um par de funções (F, G, definidas em um aberto Ω C simplesmente conexo, em que a função F é holomorfa (e não identicamente nula, a função G é meromorfa e cada pólo de ordem m de G é, também, zero de ordem maior ou igual a m de F. Então, as funções definidas por: φ 1 = 1 F (1 G, φ = i F (1 + G, φ 3 = F G, 1

20 ÍNDICE são holomorfas em Ω e satisfazem a condição φ 1 + φ + φ 3 = 0. Logo, fixado um ponto Ω, a aplicação ( z z z X(z = Re F (1 G dz, i F (1 + G dz, F G dz é bem definida (i.e. a integral não depende do caminho em Ω que liga a z e define uma imersão mínima isotérmica em R 3. Reciprocamente, se X : Ω C R 3 é uma imersão mínima conforme e consideramos o vetor tangente complexo Φ := X z = 3 i=1 φ i x i, então as funções φ i, i = 1,, 3, são holomorfas e não possuem períodos reais. Além disso, se φ 1 i φ 0, então pode-se definir uma função holomorfa F e uma meromorfa G da seguinte maneira: F = φ 1 i φ, G = φ 1 i φ e o par (F, G determina a representação de Weierstrass de X. A importância do Teorema de Weierstrass na teoria das superfícies mínimas é dúplice: por um lado constitui uma ferramenta poderosa para a produção de exemplos, por outro lado permite usar a teoria das funções holomorfas na investigação das propriedades das superfícies mínimas. De fato, os invariantes geométricos locais de uma superfície mínima podem serem expressos em termos dos dados de Weierstrass (F, G. Por exemplo, a primeira forma fundamental da superfície mínima é dada por: φ 3 ds = Φ dz = F (1 + G dz, enquanto a sua curvatura de Gauss se escreve como 4 G K = F (1 + G. 4 Além disso, a aplicação normal de Gauss da imersão X, que é data por pode ser identificada com a função G. N = Φ Φ Φ, Em [4] foi descrito um método para derivar uma fórmula de representação de Weierstrass para superfícies mínimas, simplesmente conexas, imersas em uma variedade Riemanniana qualquer

21 ÍNDICE 3 (M n, g. Neste caso, a condição de harmonicidade de X : Ω C M n, que no espaço R n coincide com a holomorficidade do vetor tangente complexo Φ (ou seja, com as equações de Cauchy-Riemann, é dada pelo seguinte sistema de equações φ k z + n Γ k φ ij i φ j = 0, k = 1,..., n, i,j=1 em que Γ k ij são os símbolos de Christoffel de M. Como este sistema é formado por equações diferenciais às derivadas parciais com coeficientes não constantes, em geral é complicado determinar soluções explícitas. No entanto, no caso em que a variedade ambiente é um grupo de Lie munido de uma métrica invariante à esquerda, as equações se simplificam e podem ser usadas na determinações de exemplos de superfícies mínimas. Isto foi feito em [4] para o caso do grupo de Heisenberg tridimensional H 3 e do espaço dado pelo produto do plano hiperbólico H com a reta real. Além disso, em [5] a fórmula de Weierstrass foi usada para demonstrar que o Problema de Björling em grupos de Lie tridimensionais admite uma única solução. No espaço de Lorentz-Minkowski L 3, dado por R 3 munido da métrica Lorentziana g = dx 1 + dx dx 3, um teorema de representação tipo Weierstrass foi provado por O. Kobayashi para as imersões mínimas de tipo espaço (veja [18] e por J. Konderak para o caso das imersões de tipo tempo (veja [0]. No caso das superfícies mínimas de tipo tempo em L 3, são usadas as ferramentas da Análise Paracomplexa, que investiga as funções L-holomorfas, isto é, as funções que estão definidas em algum domínio do plano paracomplexo L = {u + τ v u, v R e τ = 1}, que tomam valores em L e são diferenciáveis como funções paracomplexas. Recentemente, estes resultados foram estendidos para as superfícies mínimas imersas em 3- variedades Lorentzianas por J.H. Lira, M. Melo e F. Mercuri (veja []. Cabe aqui ressaltar que em [9] foi usada a fórmula de representação de Weierstrass para o caso dos grupos de Lie Lorentzianos tridimensionais, dada em [], para provar a existência e unicidade da solução do Problema de Björling neste ambientes.

22 4 ÍNDICE A dissertação é organizada como segue. No Capítulo 1 apresentamos os resultados do artigo [4] e, em seguida, discutimos como a representação de Weierstrass pode ser usada para construir exemplos de superfícies mínimas nos grupos de Lie dados por H 3, H R e no espaço hiperbólico tridimensional H 3. O Capítulo é dedicado ao estudo dos resultados obtido por Kobayashi em [18] sobre uma fórmula de representação tipo à de Weierstrass para superfícies mínimas de tipo espaço no espaço de Lorentz-Minkowski tridimensional L 3. Para este fim, seguindo as referências [] e [3], apresentamos o espaço L 3 e, também, recordando alguns conceitos e resultados referentes à geometria diferencial das curvas e das superfícies nesta variedade. No terceiro capítulo expomos os resultados do artigo [0], no qual Konderak usa as ferramentas da Análise Paracomplexa para produzir uma representação para as superfícies mínimas de tipo tempo imersas em L 3. Para isto, foi necessário primeiramente recordar alguns conceitos de base do cálculo Lorentziano, que desempenha o mesmo papel do cálculo complexo no caso clássico. A principal referência utilizada para esta parte foi [5]. No Capítulo 4 tratamos da generalização dos resultados de Kobayashi e Konderak ao caso de superfícies mínimas imersas em uma 3-variedade Lorentziana qualquer, que foi dada em []. O resultado principal que provamos é o Teorema e a sua versão simplificada no caso de grupos de Lie Lorentziano tridimensionais, dada pelo Teorema Este último, por sua vez, pode ser reescrito usando duas funções (paracomplexas oportunamente definidas para as superfícies de tipo espaço (de tipo tempo, respectivamente imersas no grupo de Heisenberg Lorentziano tridimensional. Com isto, em [10], foi possível determinar novos exemplos de superfícies mínimas neste grupo de Lie, os quais foram descritos nas Secão 4.3.

23 CAPÍTULO 1 Fórmula de representação de Weierstrass em variedades Riemannianas A fórmula de representação de Weierstrass clássica no espaço Euclidiano R 3, e sua generalização em R n, faz uso da análise complexa para descrever uma superfície mínima em termos de dados holomorfos. Tal ferramenta mostrou-se ser extremamente útil para construir novos exemplos de superfícies mínimas e no estudo das propriedades destas superfícies (ver, por exemplo, [4] e [17]. Em [4], os autores descrevem uma fórmula de representação de Weierstrass para superfícies mínimas, simplesmente conexas, imersas em uma variedade Riemanniana arbitrária. As equações diferenciais parciais que tal fórmula utiliza são, em geral, bastante complicadas para conseguir determinar soluções explícitas. No entanto, escolhendo adequadamente o espaço ambiente, tais equações se simplificam e a fórmula pode ser usada para produzir novos exemplos de imersões mínimas conformes (ver [19] e [4]. 5

24 6 Capítulo 1 Fórmula de representação de Weierstrass em variedades Riemannianas Neste capítulo apresentaremos os resultados do artigo [4]. Em particular, derivaremos uma fórmula tipo Weierstrass para o caso de grupos de Lie tridimensionais munidos de uma métrica Riemanniana invariante à esquerda. Em seguida, discutiremos como esta fórmula pode ser usada para construir exemplos de superfícies mínimas no grupo Heisenberg tridimensional H 3, no produto do plano hiperbólico H com a reta real e no espaço hiperbólico H Preliminares Seja (M n, g uma variedade Riemanianna n-dimensional, Σ uma superfície de Riemann e f : Σ M n uma aplicação suave. O fibrado pull-back f (T M dado por: f (T M = {(e, v Σ T M : π(v = f(e, v T f(e M}, possui uma métrica e uma conexão compatível, a conexão pull-back, induzidas pela métrica Riemanniana e a conexão de Levi-Civita da variedade M. Se consideramos a complexificação do fibrado E = f (T M C, então a métrica g pode ser estendida a E em duas maneiras: como uma forma bilinear complexa (, : E E C, como uma métrica Hermitiana, : E E C. Estas duas extensões são relacionadas por: V, W = (V, W. Sejam (u, v coordenadas locais em Σ e z = u+iv o parâmetro local complexo. Consideramos os operadores complexos usuais: z = 1 ( u i v e z = 1 ( u + i. v A conexão pull-back se estende a uma conexão complexa em E, Hermitiana com respeito à métrica,, e se sabe (ver [1] que E possui uma única estrutura holomorfa tal que uma seção W : Σ E é holomorfa se, e somente se, W = 0, (1.1 z

25 1.1 Preliminares 7 onde é a conexão pull-back. Proposição Seja Φ : Σ E a seção do fibrado E dada por: Φ(p = f z (p = 1 ( f (p i f u v (p, onde f ( = f p, u p u p Então, valem as seguintes propriedades: f ( = f p. v p v p 1. a aplicação f é uma imersão se, e somente se, Φ, Φ = 0;. se f é uma imersão, então f é conforme se, e somente se, (Φ, Φ = 0. Demonstração. A primeira afirmação é consequência imediata do fato que: Quanto à segunda, note que Φ, Φ = 1 ( f 4 u i f ( f, v u i f v = 1 [ ( f g 4 u, f ( f + g u v, f ] v = 1 ( f + f. 4 u v (Φ, Φ = 1 (( f 4 u i f ( f, v u i f v = 1 ( ( f g 4 u, f ( f i g u u, f v = 1 [ f f ( f i g 4 u v u, f v ( f i g ]. v, f u Portanto, (Φ, Φ = 0 se, e somente, se, f = f ( f e g u v u, f = 0, v ou seja se, e somente, se f é conforme. ( f g v, f v Seja, agora, f : Σ M uma imersão conforme e z = u + i v um parâmetro local conforme. Então, a métrica induzida é dada por: ds = λ (du + dv = λ dz,

26 8 Capítulo 1 Fórmula de representação de Weierstrass em variedades Riemannianas onde λ = f = f. O operador de u v Beltrami-Laplace1 em Σ, com respeito à métrica induzida, é dado por: Lembramos a seguinte: = λ ( v u + v = 4 v λ z z. Definição Uma aplicação f : Σ M é harmônica se, e somente se, τ(f = tr( df = 0, (1.3 onde τ(f é dito campo de tensão de f. A equação (1.3 é conhecida como equacão harmônica e, no que segue, será útil escrevê-la em coordenadas locais. Seja, portanto, {x 1,, x n } um sistema de coordenadas locais em uma vizinhança U de M tal que U f(σ. Então, em um aberto Ω Σ podemos escrever Φ = n j=1 φ j, x j para certas funções complexas φ j definidas em Ω. Com respeito à decomposição local de Φ, o campo de tensão tem a seguinte expressão (ver [14]: τ(f = ( n f i + 4λ i=1 = 4 λ n i=1 ( φ i z + n Γ i f j f k jk z z x i j,k=1 n Γ i jkφ j φ k, x i j,k=1 1 O operador de Beltrami-Laplace referente à métrica Riemanniana g = (g ij é dado por u = i,j 1 Dg x i ( ij u D g g x j, (1. onde D g = det(g ij.

27 1.1 Preliminares 9 onde Γ i jk são os símbolos de Christoffel de M. De acordo com a equação (1.1, a seção Φ é holomorfa se, e somente se, ( n z i=1 φ i = x i = = = = n ( φi z n ( φi z ( n φ i z i=1 i=1 i=1 n i=1 n i=1 ( φ i z [ φi z + x i + φ i z x i + φ i f z x i + φ i x i + φ i n j,k=1 j=1 x i x i n φ j x j x i n φ j Γ k ji x k j,k=1 Γ i jk φ k φ j ] x i = 0. Assim, Φ é holomorfa se, e somente se, φ i n z + Γ i jk φ k φj = 0, i = 1,,..., n. (1.4 j,k=1 De (1.4 e pela expressão do campo de tensão, temos que: 4λ ( Φ = τ(f z e, então, f : Σ M é harmônica se, e somente se, Φ é uma seção holomorfa de E. Agora, como uma aplicação de uma superfície em uma variedade Riemanniana é harmônica se, e somente se, esta é uma imersão mínima (ver, por exemplo, [13], concluímos que uma imersão conforme é mínima se, e somente se, Φ é uma seção holomorfa de E. Estamos, agora, nas condições de provar o seguinte resultado: Teorema (Representação de Weierstrass em variedades Riemannianas. Sejam (M n, g uma variedade Riemanniana n-dimensional e {x 1,..., x n } coordenadas locais em M. Sejam φ i, i = 1,..., n, funções a valores complexos definidas em um aberto simplesmente conexo Ω C, que são soluções de (1.4. Então, a aplicação f com funções coordenadas dadas por: ( z f i (u, v = Re φ i dz, i = 1,..., n, onde Ω, está bem definida e define uma imersão mínima conforme se, e somente se, as seguintes condições são satisfeitas:

28 10 Capítulo 1 Fórmula de representação de Weierstrass em variedades Riemannianas 1.. n g jk φ j φ k 0; j,k=1 n g jk φ j φ k = 0. j,k=1 Demonstração. Devemos mostrar que a função f está bem definida. Para isso mostraremos que as 1-formas φ i dz não têm períodos reais, ou seja, que a integral de φ i sobre uma qualquer curva fechada γ = D, com D Ω aberto, é igual a zero. De fato, como estamos nas hipóteses do Teorema de Green, temos que: Re φ i dz = Re (φ i du Im(φ i dv γ γ ( Re (φi = + Im(φ i du dv. v u Além disso, a equação (1.4 se escreve como: φ i z + n Γ i jk φ k φ j = φ n i z + φ k φ j Γ i jk + j,k=1 D j k Portanto, de φ j φ k + φ k φ j = Re (φ j φ k, segue que φ i z + n Γ i jk Re (φ k φ j + j>k n Γ i jj φ j = 0, i = 1,..., n. j=1 n Γ i jj φ j = 0, i = 1,..., n, onde os Γ s são calculados em f(u, v. Logo, concluímos que φ i z φ i z = 1 ( φi u + i φ i v = 1 ( Re (φi Im(φ i + i u v v resulta que Re (φ i v j=1 + Im(φ i u ( Re (φi = 0. R, e sendo + Im(φ i, u Consequentemente, Re ( γ φ i dz = 0 e a 1-forma φ i dz não tem períodos reais. Por fim, observe que a prova do que f é uma imersão mínima conforme segue direto da Proposição

29 1. Representação de Weierstrass em grupos de Lie Representação de Weierstrass em grupos de Lie Nesta seção discutiremos o caso de aplicações f : Σ G, onde G é um grupo de Lie n- dimensional dotado de uma métrica Riemanniana g invariante à esquerda. Tomemos {E i }, i = 1,..., n, como sendo um referencial de campos vetoriais ortonormais invariantes à esquerda, e sejam x i, i = 1,..., n, os campos vetoriais coordenados numa carta local U de G. Então, em um aberto Ω Σ, a seção Φ = f z Γ(f (T G C pode ser expressa seja com respeito aos campos vetoriais coordenados, que com respeito aos campos invariantes à esquerda: Φ = n i=1 φ i x i = n ψ i E i, φ i, ψ i : Ω C. Além disso, existe uma matriz invertível A = (A ij, cujas entradas satisfazem a relação: i=1 A ij : f(ω U R, i, j = 1,..., n, φ i = n A ij ψ j, i = 1,..., n. (1.5 j=1 Sejam, agora, C k ij as constantes de estrutura da álgebra de Lie de G, definidas por: [E i, E j ] = n Cij k E k. Observe que a fórmula de Koszul para a conexão de Levi-Civita resulta em k=1 g( Ei E j, E k = C j ki Ci jk + C k ji := L k ij. (1.6 De fato, como Ei E j = n k=1 L k ij E k, então: ( n g( Ei E j, E k = g k=1 = L k ij g(e k, E k. L k ij E k, E k

30 1 Capítulo 1 Fórmula de representação de Weierstrass em variedades Riemannianas Por outro lado, como os campos E i são ortonormais, resulta que: g( Ei E j, E k = E j g(e i, E k + E i g(e k, E j E k g(e j, E i g([e j, E k ], E i g([e i, E k ], E j g([e j, E i ], E k ( n ( n ( n = g C p ik E p, E j g C p jk E p, E i + g C p ij E p, E k p=1 p=1 p=1 = C j ik Ci jk + Cij. k Consequentemente, obtemos a equação (1.6. Utilizando a expressão de Φ com respeito aos campos vetoriais invariantes à esquerda, temos: z ( n ψ i E i = i=1 = = n ( ψi z E i + ψ i f E i z i=1 ( n ψ i n z E i + ψ i ψ j Ej E i i=1 j=1 ( n ψ i z + 1 n ψ k ψ j L k ji E i. i=1 j,k=1 Portanto, z ( n ψ i E i = i=1 n i=1 ( ψ i z + 1 Isto significa que a seção Φ é holomorfa se, e somente se, ψ i z + 1 n ψ k ψ j L k ji E i. j,k=1 n L k ji ψ k ψ j = 0, i = 1,..., n. (1.7 j,k=1 Com isto, obtemos o seguinte resultado: Teorema Sejam ψ j, j = 1,..., n, funções a valores complexos definidas em um aberto simplesmente conexo Ω C, que satisfazem as seguintes condições: 1.. n ψ i ψ i 0; i=1 n ψi = 0. i=1

31 1. Representação de Weierstrass em grupos de Lie 13 Então, a aplicação f : Ω C G com funções coordenadas dadas por: ( z f i (u, v = Re n j=1 com Ω, é uma imersão mínima conforme. A ij ψ j dz, i = 1,..., n, Demonstração. A demonstração segue direto do Teorema O caso tridimensional No caso em que G é um grupo de Lie tridimensional, como no caso das superfícies mínimas em R 3, podemos dar uma descrição geométrica simples de quase todas as soluções da equação ψ 1 + ψ + ψ 3 = 0. (1.8 De fato, de (1.8 temos que (ψ 1 i ψ (ψ 1 + i ψ = ψ 3. Isto sugere a definição de duas novas funções complexas: 1 1 G := (ψ 1 i ψ, H := (ψ 1 + i ψ, (1.9 as quais satisfazem as equações: ψ 1 = G H, ψ = i (G + H, ψ 3 = G H. Além disso, em termos de G e H, a métrica induzida na superfície se escreve da seguinte forma: ds = λ (du + dv = f z, f z (du + dv = 4( G + H (du + dv. (1.10 No que segue, determinaremos a expressão da aplicação normal de Gauss N, em termos dos dados de Weierstrass G e H. Como Φ = f u i f v, Φ = f u + i f v,

32 14 Capítulo 1 Fórmula de representação de Weierstrass em variedades Riemannianas Temos que: Consequentemente, e, portanto, Φ Φ = De (1.10, podemos escrever Portanto, resulta que: Dessa maneira, obtemos que E 1 E E 3 ψ 1 ψ ψ 3 ψ 1 ψ ψ 3 i (Φ Φ = f u f v. = (ψ ψ 3 ψ ψ 3 E 1 + (ψ 3 ψ 1 ψ 1 ψ 3 E + (ψ 1 ψ ψ 1 ψ E 3 f u f v = 4 (Im(ψ 3 ψ E 1 + Im(ψ 1 ψ 3 E + Im(ψ ψ 1 E 3. ψ ψ 3 = i G H (G + H, ψ 3 ψ 1 = G H(G H, ψ 1 ψ = i (G + H (G H. Im(ψ ψ 3 = ( G + H (G H + H G, Im(ψ 3 ψ 1 = i ( G + H (G H H G, Im(ψ 1 ψ = ( G + H ( G H. f u f v = 4 ( G + H [(G H + H G E 1 i (H G G H E ( G H E 3 ]. Por fim, como f u f v = 4 ( G + H, temos que a aplicação normal de Gauss é dada por: N = ( G ( H ( H Re E G + H 1 + Im E + H G E G G G 3. Seja S (1 = de Lie G e { v = 3 i=1 v ie i : } 3 i=1 v i = 1 a esfera unitária na álgebra de Lie do grupo π : S (1 \ {(0, 0, 1} R

33 1.3 Superfícies mínimas no grupo de Heisenberg H 3 15 a projeção estereográfica do pólo norte π(v 1, v, v 3 = (v 1, v /(1 v 3. Então, a composta de π com N é dada por: π N = ( Re ( H ( H, Im. G G Se identificarmos R com o plano complexo C e estendemos π a uma aplicação π : S (1 C { }, com π(0, 0, 1 =, então π N = H G. Isto significa que a aplicação g = H/G pode ser identificada com a aplicação normal de Gauss da imersão f. Observação 1... A equação (1.7 tem a vantagem, com respeito à equação (1.4, de ser uma equação diferencial parcial com coeficientes constantes. Porém, ainda temos dificuldade em encontrar soluções explícitas de (1.7, enquanto temos que calcular os φ i s e, para isto, temos que calcular as funções A ij ao longo de f. Na próxima seção veremos como podemos superar estas dificuldades no caso de alguns espaços ambientes específicos. 1.3 Superfícies mínimas no grupo de Heisenberg H 3 Vamos considerar o grupo de Heisenberg 3-dimensional H 3, representado em GL 3 (R pelas matrizes da forma: 1 x 1 x x 1x 0 1 x 0 0 1, com x 1, x, x 3 R. Muniremos H 3 com a métrica Riemanniana invariante à esquerda definida por: g = dx 1 + dx + ( dx 3 + x dx 1 x 1. dx

34 16 Capítulo 1 Fórmula de representação de Weierstrass em variedades Riemannianas Uma base ortonormal de campos vetoriais invariantes à esquerda, pode ser expressa com respeito aos campos vetoriais coordenados por: E 1 = E = E 3 = Observe que os colchetes de Lie são dados por: x x 1 x 3, + x 1 x x 3,. x 3 [E 1, E ] = E 3, [E 1, E 3 ] = 0 = [E, E 3 ]. (1.11 Com isto, obtemos que as únicas constantes de estrutura não nulas são C 3 1 = C 3 1 = 1. Logo, os L k ij s que não são nulos são dados por: L 3 1 = L 1 3 = L 1 3 = 1, L 3 1 = L 13 = L 31 = 1. Seja f : Ω C H 3 uma imersão suave e considere Φ = f z = 3 i=1 φ i x i = 3 ψ i E i. Das expressões dos campos invariantes dados em (1.11, encontramos que onde A = (A ij é a matriz dada por: φ i = A = 3 A ij ψ i, j= x x 1 1 Desenvolvendo a equação (1.7 podemos concluir que a seção Φ é holomorfa se, e somente se, as i=1. seguintes equações se verificam ψ 1 z + Re (ψ ψ 3 = 0, ψ z Re (ψ 1 ψ 3 = 0, ψ 3 z i Im(ψ 1 ψ = 0. Portanto, neste contexto o Teorema 1..1 assume a seguinte forma: (1.1

35 1.3 Superfícies mínimas no grupo de Heisenberg H 3 17 Teorema (Representação de Weierstrass no grupo de Heisenberg. Sejam ψ j, j = 1,, 3, funções complexas definidas em um aberto simplesmente conexo Ω C, que satisfazem as seguintes condições: 1. 3 ψ i ψ i 0; i=1 3. ψi = 0; i=1 3. ψ j são soluções do sistema (1.1. Então, a aplicação f : Ω H 3, cujas funções coordenadas são dadas por: é uma imersão mínima conforme. ( z f i (u, v = Re j A ij ψ j dz, Observamos que o sistema (1.1 podem ser escrito em termos das funções G e H definidas em (1.9, da seguinte forma: i G G z H H ( G G z + H H z z = Im(G H( G H, = Re (G H( G H, H G z + G H z = i ( G 4 H 4. Note que, a terceira equação deste sistema é uma combinação das duas primeiras. De fato, multiplicando por i a primeira equação e somando à segunda, obtemos i G z = ( G H H. (1.13 Por outro lado, subtraindo i vezes a primeira equação da segunda, temos que i H z = ( G H G. (1.14 Agora, de um cálculo direto segue-se que a terceira equação é dada pela equação (1.13 multiplicada por H mais a equação (1.14 multiplicada por G. Logo, o Teorema se escreve como:

36 18 Capítulo 1 Fórmula de representação de Weierstrass em variedades Riemannianas Teorema Sejam G e H funções complexas holomorfas definidas num domínio aberto simplesmente conexo Ω C, tais que: 1. G e H não são identicamente nulas;. G e H são soluções de (1.13 e (1.14. Então, a aplicação f : Ω H 3 definida por: ( z f 1 = Re (G H dz, ( z f = Re i (G + H dz, z ( 0 z f 3 = Re (G H f (G H + i f 1 (G + H dz, (1.15 é uma imersão mínima conforme em H 3. Exemplo (Planos verticais. Sejam G e H duas soluções holomorfas não nulas das equações (1.13 e (1.14, ou seja G z = H z = 0. Então, resulta que G = H. Logo, as funções G e H diferem por um número complexo unitário, ou seja H = e i θ G, θ R. Substituindo nas equações (1.15, encontramos que a correspondente imersão mínima f : C H 3 tem funções coordenadas dadas por: onde G = f 1 = Re ((1 e i θ G, f = Re (i (1 + e i θ G, ( z f 3 = Re z G dz. (e i θ G f (1 ei θ G + i f 1 (1 + ei θ G dz Nas condições anteriores, é fácil ver que f 1 cos θ + f sin θ = 0 e, portanto, a imagem da imersão está contida num plano paralelo ao eixo x 3 que forma um ângulo θ com o plano x 1 = 0.,

37 1.3 Superfícies mínimas no grupo de Heisenberg H 3 19 Neste exemplo a aplicação normal de Gauss g = H/G = e i θ tem posto zero e estas são as únicas superfícies mínimas de H 3 que possuem aplicação normal de Gauss de posto zero (ver, por exemplo, [16]. Exemplo (Superfície tipo sela. Neste exemplo discutiremos o caso em que as funções complexas G e H são imaginárias puras e dependem só de uma variável, i.e. G(u, v = i l(v e H(u, v = i h(v, onde l e h são duas funções diferenciáveis a valores reais definidas num intervalo aberto de R. Observe que podemos supor H G, pois do contrário estaríamos no caso do exemplo anterior. Então, multiplicando a equação (1.13 por i G, a equação (1.14 por i H e comparando os resultados obtemos: Substituindo as expressões de G e H na equação (1.16 temos que G z G = H H. (1.16 z l(v l (v = h(v h (v, onde denota a derivada com relação a v. Logo, existe uma constante a R tal que l (v h (v = a. Considere, então, a função dada por q(v = l (v a = h (v + a. Temos que q = l(v l (v e, sendo que as funções G e H satisfazem (1.13 e (1.14, resulta que l (v = h(v (l (v h (v e Logo, q = 4a q a. (1.17 e, integrando, obtemos: φ 1 = a, f 1 = Re f = Re φ = i q a dz = 4 a u, i q dz = 4 Q(v, onde Q(v é uma primitiva de q(v. Para determinar f 3, primeiro notemos que por integração da (1.17 obtemos que q a = 4 a Q

38 0 Capítulo 1 Fórmula de representação de Weierstrass em variedades Riemannianas e, portanto, φ 3 = G H f (G H i f 1 (G + H = q a + 4 a Q(v + 4i a u q Integrando (1.18, segue que f 3 = 8a u Q(v. = 4a Q(v + 4i a q u. (1.18 Note que, neste caso, a imagem da imersão f está contida no gráfico da função x 3 = (x 1 x /, ou seja é uma superfície regrada tipo sela. Além disso, o posto da sua aplicação de Gauss é 1, pois g = H/G = h(v l(v depende somente de um parâmetro. Este exemplo de superfície mínima pode ser encontrado em [16]. Exemplo (Helicóides. Considere as funções G e H dadas por: G(u, v = l(u e i v, H(u, v = i h(u e i v, onde l e h são funções diferenciáveis definidas num conjunto aberto de R. Observe que Assim, da equação (1.16, temos que G z G = 1 l l l, H z H = 1 h h 1 4 h. Então, existe uma função p(u tal que as funções p p p + p l =, h =, l + (l = h + (h. (1.19 são soluções de (1.19. Usando (1.13 e (1.14 obtemos que p é uma solução da seguinte equação diferencial: p p = p (p p, a qual é equivalente a (p p = p + c, c R.

39 1.3 Superfícies mínimas no grupo de Heisenberg H 3 1 A imersão mínima correspondente f : C \ {0} H 3 possui funções coordenadas dadas por: f 1 (u, v = p(u cos(v, f (u, v = p(u sin(v, (1.0 f 3 (u, v = c v + b, b R. De fato, sendo φ 1 = p cos(v + i p sin(v, φ = p sin(v i p cos(v, integrando obtemos as expressões de f 1 e f dadas em (1.0. Consequentemente, φ 3 = G H f (G H i f 1 (G + H = i c. Observe que se c 0, então (1.0 representa a parametrização de um helicóide, enquanto quando c = 0, o sistema (1.0 nos dá uma parametrização do plano horizontal x 3 = b. Exemplo (Superfície tipo catenóide. Neste exemplo daremos as funções de Weierstrass G e H para a superfície tipo catenóide descrita em [16]. Considere g h = + 4 g 4, g > 4, onde g = g(u é uma função a valores reais que é uma solução da equação diferencial ordinária Então, as funções dadas por: (g = g (g g 4 H = i ei (v+ l g + g (1 + i l G = 1 e i (v+ l g g (1 + i l em que l = l(u é uma função a valores reais, são soluções de (1.13 e (1.14 se Como l = h g + 4. φ 1 = G H = 1 ( g cos(v + l + 4i g sin(v + l g l sin(v + l, 4 φ = i (G + H = 1 ( g sin(v + l i g cos(v + l + g l cos(v + l,,,

40 Capítulo 1 Fórmula de representação de Weierstrass em variedades Riemannianas resulta que Consequentemente, f 1 = g cos(v + l, f = g sin(v + l. φ 3 = G H f φ 1 + i f 1 φ = h(u g g l = = h ( 4 + g = h 4 + g. h 4 + g + 1 g h g + 4 Portanto, f 3 = h, onde h é uma primitiva de h. Note que f, depois uma mudança de parâmetros, representa a parametrização do catenóide de revolução ao redor do eixo x 3 descrito em [16]. 1.4 Superfícies mínimas no espaço H R Considere o modelo do semi-plano superior do plano hiperbólico H = { } (x 1, x R : x > 0, munido da métrica Riemanniana de curvatura Gaussiana constante 1 dada por: g H = dx 1 + dx. x O elemento (x 1, x H pode ser identificado com a função afim h : R R, dada por h(t = x t + x 1, com x > 0. Assim, o plano hiperbólico H admite uma estrutura de grupo (x 1, x (x 1, x = (x 1 x + x 1, x x, que deriva da composição de aplicações próprias afins. Com esta estrutura, H torna-se um grupo de Lie e a métrica g H definida acima é invariante à esquerda. Portanto, o espaço produto H R é também um grupo de Lie com a estrutura produto dada por: (x 1, x, x 3 (x 1, x, x 3 = (x 1 x + x 1, x x, x 3 + x 3, (1.1 e a métrica g = g H + dx 3 é invariante à esquerda.

41 1.4 Superfícies mínimas no espaço H R 3 Uma base ortonormal de campos invariantes à esquerda em (H R, g é dada por: E 1 = x, x 1 E = x, x E 3 = x 3. (1. Neste caso, a matriz definida em (1.5 assume a forma Além disso, é fácil verificar que A = x x [E 1, E ] = E 1, [E 1, E 3 ] = 0 e [E, E 3 ] = 0. Deste modo, as únicas constantes de estrutura da álgebra de Lie de H R, que não são nulas, são dadas por: C1 1 = C1 = C1 3 = C1 1 = C1 = C1 3 = 1. Logo, de L k ij = 1 (Cj ki Ci jk + Ck ji, obtemos L 11 = 1, L 1 1 = 1 e os outros L k ij são todos nulos. Consequentemente, podemos enunciar o seguinte resultado: Teorema (Representação de Weierstrass no grupo H R. Seja Ω C um domínio simplesmente conexo, Ω e ψ j : Ω C, j = 1,, 3, funções que verificam as seguintes condições: ψ i ψ i 0; i=1 3 ψi = 0; i=1 3. ψ 3 é holomorfa e ψ 1, ψ são soluções do sistema: ψ 1 z ψ 1ψ = 0, ψ z + ψ 1 = 0. (1.3

42 4 Capítulo 1 Fórmula de representação de Weierstrass em variedades Riemannianas Então, a aplicação f : Ω H R, cujas funções coordenadas são definidas por: define uma imersão mínima conforme. ( z f i (u, v = Re 3 j=1 A ij ψ j dz, Demonstração. De acordo com (1.7, a seção Φ = ψ 1 E 1 + ψ E + ψ 3 E 3 é holomorfa se, e só se, ψ 1 z ψ 1 ψ = 0, ψ z + ψ 1 = 0, ψ 3 z = 0. Então, o resultado segue direto do Teorema Observe que, pondo podemos escrever f(u, v = ( z f := Re ψ dz, ( z z Re e f ψ 1 dz, e f, Re ψ 3 dz. No que segue, iremos considerar alguns exemplos de superfícies mínimas em H R. Exemplo Se ψ é uma função holomorfa, então do sistema (1.3 temos que ψ 1 é identicamente nula e a correspondente imersão é uma parametrização mínima do plano vertical x 1 = constante. Agora, se ψ 1 e ψ não são holomorfas, então de (1.3 resulta que ψ 1 + ψ é holomorfa. A última condição é certamente satisfeita se ψ 1 + ψ = a, para alguma constante a R. Examinaremos os casos que seguem. Se a = 0, de ψ 1 + ψ + ψ 3 = 0, temos que ψ 3 = 0 e a imersão mínima correspondente representa o plano horizontal x 3 = constante. Suponha a = 1. Neste caso, decompondo ψ 1, ψ nas suas partes reais e imaginárias: ψ 1 (u, v = a 1 (u, v + i a (u, v, ψ (u, v = a 3 (u, v + i a 4 (u, v,

43 1.4 Superfícies mínimas no espaço H R 5 a condição ψ1 + ψ = 1 equivale ao seguinte sistema: a 1 a + a 3 a 4 = 1, a 1 a + a 3 a 4 = 0. (1.4 Escolhendo como solução da segunda equação de (1.4 a 1 (u, v = sin(v a 4 (u, v, a 3 (u, v = sin(v a (u, v e usando (1.3, temos que as funções a 1 e a são soluções de: A solução da equação acima é dada por: a 1 = ( a1 u a ( a1 v v a = 4 a 1 a. u (cos(u + sin(v tan(v sin( (u v + sin( (u + v, a = Portanto, integrando, encontramos que f 1 (u, v = f (u, v = f 3 (u, v = u. sin(u tan v sin (u tan v + (1 + cos(u tan v, sin(u + sin( (u v sin( (u + v. 1 tan v sin (u tan v + (1 + cos(u tan v, Por fim, seja α : I H a isometria usual do disco hiperbólico I = {(x, y R : x +y < 1} em H, definida por: ( b α(a, b = (a b, b + (1 a( a 1. (a b Definindo α : I R H R por α(x, y, z = ( α(x, y, z, então a imersão f é dada pela composição α f, onde f(u, v = (tan v cos(u, tan v sin(u, u é a imersão mínima de um helicóide em I R descrita em [7].

44 6 Capítulo 1 Fórmula de representação de Weierstrass em variedades Riemannianas 1.5 O espaço hiperbólico H 3 O espaço hiperbólico tridimensional H 3 pode ser modelado pelo semi-espaço: { } R 3 + = (x 1, x, x 3 R 3 : x 3 > 0, dotado da métrica: g = 1 x 3 ( dx 1 + dx + dx 3, (1.5 A métrica de curvatura constante (1.5 é invariante à esquerda com respeito a estrutura de grupo de Lie. Além disso, uma base de campos ortonormais invariantes à esquerda com respeito à métrica (1.5 é dada por: E 1 = x 3 x 1, E = x 3 x, E 3 = x 3 x 3. Ao computarmos os colchetes de Lie, obtemos que as únicas constantes de estruturas distintas de zero são: C 1 13 = C 3 = 1, C 1 31 = C 3 = 1. Neste caso, desenvolvendo o sistema obtido em (1.7, obtemos: ψ 1 z ψ 3 ψ 1 = 0, ψ z ψ 3 ψ = 0, ψ 3 z + (ψ 1 ψ 1 + ψ ψ = 0. É fácil ver que Em particular, como φ a (u, v = x 3 ψ a (u, v, a = 1,, 3. f 3 = Re z f 3 ψ 3 dz, obtemos que: ( z f 3 = exp Re ψ 3 dz. Então, a imersão f, expressada em termos das componentes ψ a, a = 1,, 3, é dada por: ( z z f(z = Re f 3 ψ 1 dz, Re f 3 ψ dz, f 3.

45 CAPÍTULO Representação de Weierstrass no espaço de Lorentz-Minkowski L 3 Este capítulo é dedicado ao estudo de uma representação de tipo-weierstrass para superfícies mínimas de tipo espaço e de tipo tempo no espaço de Lorentz-Minkowski L 3, que é dado por R 3 munido da métrica pseudo-riemanniana g = dx 1 + dx dx 3. No espaço L 3 uma fórmula de representação tipo-weierstrass foi provada por O. Kobayashi em [18], no caso das imersões mínimas de tipo espaço, e por J. Konderak (ver [0] no caso das imersões mínimas de tipo tempo. Na demonstração destas fórmulas se utilizam as ferramentas da análise complexa e paracomplexa, respectivamente. Recentemente, estes resultados têm sido generalizados por J.H. Lira et al. em [], para o caso de superfícies mínimas imersas em 3- variedades Lorentzianas. Antes da exposição dos resultados obtidos por Kobayashi e Konderak, será preciso fazer uma introdução ao espaço de Lorentz-Minkowski e, também, lembrar de alguns conceitos e resultados referentes à geometria diferencial de curvas e superfícies neste ambiente (ver [] e [3].

46 8 Capítulo Representação de Weierstrass no espaço de Lorentz-Minkowski L 3.1 O espaço de Lorentz-Minkowski O espaço de Lorentz-Minkowski tridimensional L 3 é o espaço R 3 equipado com a seguinte métrica Lorentziana: g = dx 1 + dx dx 3. Um vetor v L 3 é dito 1. de tipo tempo, se v, v < 0,. de tipo espaço, se v, v > 0 ou v = 0, 3. de tipo luz, se v, v = 0 e v 0. Portanto, podemos considerar o conjunto dos vetores de tipo tempo, o conjunto dos vetores de tipo luz (também conhecido como cone de luz e o dos vetores de tipo espaço que são dados, respectivamente, por: T = {(x 1, x, x 3 L 3 : x 1 + x x 3 < 0}; C = {(x 1, x, x 3 L 3 : x 1 + x x 3 = 0} {(0, 0, 0}; E = {(x 1, x, x 3 L 3 : x 1 + x x 3 > 0} {(0, 0, 0}. O comprimento de um vetor v L 3 é dado por v = v, v e v é dito unitário se v = 1. A proposição a seguir relaciona a dimensão de um subespaço não degenerado de L 3 com as dimensões de seu complemento ortogonal e do espaço ambiente. Proposição.1.1. Seja U um subespaço de L 3. Então, temos que: (i dim(u = dim(l 3 dim(u; (ii (U = U; (iii se U é não degenerado, U é também não degenerado. Demonstração. Ver [3].

47 .1 O espaço de Lorentz-Minkowski 9 Definição.1.. Seja U um subespaço vetorial de R 3. Então, U é chamado de tipo espaço (respectivamente, de tipo tempo ou de tipo luz, se a métrica induzida pela métrica de Minkowski neste subespaço é definida positiva (respectivamente, não degenerada; degenerada e U {0}. Daremos, agora, caracterizações dos subespaços de L 3 dependendo de seu caráter causal. Proposição.1.3. Seja v L 3. Então, v é de tipo tempo se, e somente, se v é de tipo espaço e, assim, L 3 = v v. Além disso, para vetores de tipo espaço, temos que v é de tipo espaço se, e só se, v é de tipo tempo. Demonstração. Vamos mostrar que os vetores que compõem a base de v são vetores de tipo espaço. Pela definição temos que U = v é um subespaço não degenerado, então da Proposição.1.1 temos que U também é não degenerado. Logo U não é de tipo luz. Suponha por contradição, que existe u U de tipo tempo, tal que u, v = 0. Considere os vetores e 1 = (1, 0, 0, e = (0, 1, 0, e 3 = (0, 0, 1 e seja B = {e 1, e, e 3 } uma base ortonormal de L 3. Escrevendo u e v nesta base: u = a 1 e 1 + a e + a 3 e 3, v = b 1 e 1 + b e + b 3 e 3, por u e v serem vetores de tipo tempo e ainda serem ortogonais, obtemos: a 1 + a < a 3, b 1 + b < b 3, a 1 b 1 + a b = a 3 b 3. Com isto, resulta que (a 1 b a b 1 < 0, o que é um absurdo. Logo, u é um vetor de tipo espaço. Então, ao considerarmos {u 1, u } como base ortonormal de U e v, obtemos três vetores ortogonais, linearmente independentes e, assim, formam uma base de L 3, portanto L 3 = v v. Reciprocamente, se v é um subespaço de tipo espaço, então v seria o complemento da base de L 3 e obrigatoriamente seria um vetor de tipo tempo, pois do contrário teríamos três vetores linearmente independentes de tipo espaço. De maneira análoga pode se mostrar que v é um vetor de tipo espaço se, e somente se, v é um subespaço de tipo tempo.

48 30 Capítulo Representação de Weierstrass no espaço de Lorentz-Minkowski L 3 Na seguinte proposição daremos uma relação entre o caráter causal de um subespaço de L 3 com o de seu espaço ortogonal. Proposição.1.4. Considere um subespaço U L 3. Então, temos que: (i U é de tipo espaço se, e só se, U é de tipo tempo; (ii U é de tipo luz se, e só se, U é de tipo luz. Demonstração. Se U é de tipo espaço, então existe u U que é de tipo espaço e, pela Proposição.1.3, u é um subespaço de tipo tempo. Como U está contido em u, temos que U é de tipo tempo. Reciprocamente, se U é de tipo tempo, então existe v U que é de tipo tempo, assim v é um subespaço de tipo espaço e, como U está contido em v, temos que U é de tipo espaço. Para provar o segundo item, suponha que U seja um subespaço de tipo tempo. Então, do primeiro item, temos que U é de tipo espaço, o que é uma contradição. Se supormos que U seja um subespaço de tipo espaço, também obteremos uma contradição. A recíproca é análoga, basta usar que (U = U. O resultado que segue caracteriza dois vetores de tipo luz que são linearmente dependentes. Proposição.1.5. Se u e v são dois vetores de tipo luz, então eles são linearmente dependentes se, e somente, se u, v = 0. Demonstração. Suponha que u e v são linearmente dependentes, então u = α v, com α R. Logo, u, v = α v, v = α v, v = 0. Reciprocamente, sejam u e v vetores de tipo luz ortogonais, isto é, u, v = 0. Considere a decomposição de L 3 dada por: L 3 = e 3 e 3, onde e 3 = (0, 0, 1. Escrevendo u = x + a e 3 e v = y + b e 3, pelas condições sobre u e v obtemos: a = ± x, b = ± y, x, y = x y. (.1

49 .1 O espaço de Lorentz-Minkowski 31 Observe que e 3 é de tipo espaço. Logo, g e3 é positiva definida e, portanto, vale a desigualdade de Cauchy-Schwarz a qual, aplicada a (.1, nos diz que x e y são linearmente dependentes, ou seja x = λ y, λ R. (. Consequentemente, u = a e 3 + x = ± x e 3 + x = ± λ y e 3 + λ y = λ b e 3 + λ y. (.3 Note que λ 0. De fato, pelas equações (.1 e (. e do fato de x e y serem de tipo espaço, temos que λ = x, y y, y = x y y, y > 0. Portanto λ = λ. Substituindo em (.3, resulta que u e v são linearmente dependentes. Se, porém, a e b têm sinais contrários, concluímos que x, y = x y. Como x = y, segue que x, y = x y. Sendo x de tipo espaço, ao aplicarmos Cauchy-Schwarz (assim como foi feito antes, tem-se que x e y são linearmente dependentes, de onde segue que u e v são linearmente dependentes. Iremos, agora, caracterizar os subespaços de tipo tempo. Proposição.1.6. Seja U L 3 um subespaço bidimensional. As seguintes afirmações são equivalentes: 1. U é um subespaço de tipo tempo,. U contém dois vetores linearmente independentes de tipo luz, 3. U contém um vetor de tipo tempo.

50 3 Capítulo Representação de Weierstrass no espaço de Lorentz-Minkowski L 3 Demonstração. Provemos que o primeiro item implica o segundo. Sendo U de tipo tempo, existe uma base ortonormal {e, e 3 } de U tal que e é de tipo espaço e e 3 um vetor de tipo tempo. Então, e +e 3 e e e 3 são vetores de tipo luz que são linearmente independentes pois e +e 3, e e 3 0. Agora vamos mostrar que o segundo item implica o terceiro. Se u e v são dois vetores linearmente independentes de tipo luz, então u + v (ou u v é de tipo tempo, já que u + v, u + v = u, v, u v, u v = u, v e, pela Proposição.1.5, temos que u, v 0. Por fim, provaremos que o terceiro item implica o primeiro. Seja v U um vetor de tipo tempo. Então, U v que é um subespaço de tipo espaço. Logo, U é um subespaço de tipo tempo. A proposição acima nos diz que, se existe um vetor de tipo tempo u e um vetor de tipo luz v em um subespaço bidimensional U L 3, necessariamente existe um outro vetor de tipo luz w de forma que u e w são linearmente independentes. Portanto, U é um subespaço de tipo tempo. O caso em que U L 3 possui apenas um vetor de tipo luz e não existe nenhum vetor de tipo tempo é abordado a seguir: Proposição.1.7. Seja U um subespaço de L 3, as seguintes afirmações são equivalentes: 1. U é um subespaço de tipo luz,. U contém um vetor de tipo luz, mas nenhum vetor de tipo tempo, 3. U C = L {(0, 0, 0} e dim(l = 1. Demonstração. Para provar que o primeiro item implica o segundo, basta observar que se U é um subespaço de tipo luz, então contém um vetor de tipo luz. Assim, pela Proposição.1.6 não existe nenhum vetor de tipo tempo em U. Agora, provaremos que o segundo item implica o primeiro. Como existe um vetor de tipo luz em U, então U C é um conjunto não vazio. Se U contém dois vetores de tipo luz linearmente independentes, pela Proposição.1.6, existe um vetor de tipo tempo, o que nos resulta numa contradição. Portanto U C = L {(0, 0, 0} e dim(l = 1.

51 .1 O espaço de Lorentz-Minkowski 33 Por fim, para mostrarmos que o terceiro item implica o primeiro, basta observar que se U C = L {(0, 0, 0} e dim(l = 1, da Proposição.1.6 temos que U não é um subespaço de tipo tempo. Também U não pode ser um subespaço de tipo espaço, pois existe um vetor de tipo luz em U. Portanto U é um subespaço de tipo luz. Proposição.1.8. Seja P um plano de L 3. Denotemos por n um vetor ortogonal com relação à métrica Euclidiana. Então, P é de tipo espaço (respectivamente, de tipo tempo ou de tipo luz se, e somente se, n é um vetor de tipo tempo (respectivamente, de tipo espaço ou de tipo luz. Demonstração. Supondo que P = {(x, y, z R 3 ao vetor (a, b, c. Podemos também escrever P da seguinte forma: : a x + b y + c z = 0}, então n é proporcional P = {(x, y, z R 3 : a x + b y + c z = a x + b y ( c z = 0} = (a, b, c. Observe, que o caráter causal de (a, b, c é o mesmo que o do vetor n. Portanto, segue o resultado. Proposição.1.9. Se P é um plano de tipo espaço e P = v, com v, v = 1, temos que: v e 1, onde o sub-índice e indica que os cálculos são feitos com relação à métrica Euclidiana de R 3. Demonstração. Escrevendo P = {(x, y, z R 3 : a x + b y + c z = 0}, com n = (a, b, c e a + b + c = 1, resulta que P = v, onde v = (a, b, c c b a e satisfaz v, v = 1. Calculando a norma Euclidiana de v, tem-se: v e = a + b + c c b a = 1 c b a 1. Agora, iremos definir o produto vetorial no espaço de Lorentz-Minkowski.

52 34 Capítulo Representação de Weierstrass no espaço de Lorentz-Minkowski L 3 Definição Sejam u e v vetores de L 3, definimos o produto vetorial de u e v como sendo o único vetor, denotado por u v, que satisfaz: u v, w = det(u, v, w (.4 ou, equivalentemente, u v = i j k u 1 u u 3 v 1 v v 3. Proposição O produto vetorial em L 3 satisfaz as seguintes propriedades: 1. u v = v u;. u v é ortogonal aos vetores u e v; 3. u v = 0 se, e somente se, u e v são proporcionais; 4. u v 0 pertence ao plano P = u, v se, e somente se, o plano P é de tipo luz. Demonstração. As primeiras três afirmações seguem direto das propriedades do determinante. O último item segue das Proposições.1.5 e Curvas no espaço de Minkowski Nesta seção iremos desenvolver a teoria do triedro de Frenet para curvas em L 3. Iniciamos com a seguinte: Definição..1. Uma curva parametrizada em L 3 é uma aplicação diferenciável α : I R L 3, onde I é um intervalo aberto da reta real. Além disso, α é chamada: (i de tipo espaço, se α (t é de tipo espaço, para todo t I; (ii de tipo tempo, se α (t é de tipo tempo, para todo t I; (iii de tipo luz, se α (t é de tipo luz, para todo t I.

53 . Curvas no espaço de Minkowski 35 Observação... Em geral, uma curva em L 3 não é de nenhum dos tipos acima. Considere, por exemplo, a curva parametrizada por α(t = (cosh t, t, sinh t, t R. Como α (t, α (t = 4t 1, então a curva é de tipo espaço no intervalo (, 1/ (1/,, é de tipo luz para t = ±1/ e de tipo tempo no intervalo ( 1/, 1/. Claramente se a curva α é de tipo espaço (respectivamente, de tipo tempo no ponto t 0 I, então existe um intervalo (t 0 δ, t 0 + δ em que α é de tipo espaço (respectivamente, de tipo tempo. No espaço de Minkowski a definição de curva regular é a mesma de R 3 pois a regularidade não depende da métrica. Definição..3. Uma curva parametrizada diferenciável α : I R L 3 é chamada regular se α (t 0, para todo t I. Temos o seguinte resultado: Proposição..4. Toda curva de tipo luz ou de tipo tempo é regular. Demonstração. Seja α uma curva em L 3 parametrizada por α(t = (x 1 (t, x (t, x 3 (t, t I. Se α é de tipo luz, temos que x 1(t + x (t x 3(t = 0. Então x 3(t 0, do contrário x 1(t = x (t = 0, o que implica que α (t = 0, o que significa que α é de tipo espaço para todo t I. Portanto, x 3(t 0 e, assim, α é regular. No caso em que α é de tipo tempo, resulta que x 1(t + x (t x 3(t < 0, logo x 3(t 0 e, então, α é uma curva regular. No espaço Euclidiano, toda curva regular pode ser reparametrizada pelo comprimento de arco, i.e. α, α = 1. Veremos que o mesmo resultado vale para curvas de tipo espaço e de tipo tempo em L 3. Proposição..5. Toda curva regular α : I R L 3, de tipo tempo ou de tipo espaço, pode ser reparametrizada pelo comprimento de arco. Demonstração. Considere a função comprimento de arco com origem em t 0 I, definida por: s(t = t t 0 α (u du, t I.

54 36 Capítulo Representação de Weierstrass no espaço de Lorentz-Minkowski L 3 Note que, s (t = α (t > 0, para todo t I, pois α é uma curva regular de tipo tempo ou de tipo espaço. Assim, s é um difeomorfismo sobre J := s(i. Seja h := s 1 e β := α h. Temos que β (s = 1, para todo s J, o que termina a prova. Para uma curva α de tipo luz, como o vetor α (t é de tipo luz, não faz sentido reparametrizar por comprimento de arco. Entretanto, derivando α (t, α (t = 0, temos que α (t, α (t = 0. Supondo que α (t 0, então α (t não é proporcional a α (t. Logo, pela Proposição.1.5 temos que α (t não é de tipo luz. Além disto, como α (t é de tipo luz, a Proposição.1.7 afirma que α (t não possui nenhum vetor de tipo tempo. Portanto, segue que α (t é de tipo espaço. Para curvas de tipo luz podemos enunciar o seguinte resultado: Proposição..6. Seja α : I L 3 uma curva de tipo luz em L 3. Então, existe uma reparametrização da curva α, dada por β(s = α(φ(s, de maneira que β (s = 1. Neste caso, diremos que a curva é pseudo-parametrizada pelo comprimento de arco. Demonstração. Vamos escrever β(s = α(φ(s, onde φ é a função a ser determinada. Por diferenciação, temos que β (s = φ (s α (φ(s + [φ (s] α (φ(s. Assim, β (s, β (s = [φ (s] 4 α (φ(s. Então, para ter β (s = 1 definimos φ como a solução da seguinte equação diferencial: φ (s = 1 α (φ(s, φ(0 = t As equações de Frenet No que segue, construiremos em todo ponto de uma curva regular de L 3 uma base ortonormal que descreve a geometria da curva e constitui o triedro de Frenet. A variação desta base ao longo

55 . Curvas no espaço de Minkowski 37 da curva nos fornece informações de como a curva se deforma no espaço ambiente. Ressaltamos que iremos considerar apenas curvas que são parametrizadas pelo comprimento de arco ou pelo pseudo-comprimento de arco. Seja, então, α : I L 3 uma curva nestas condições. Definimos t(s := α (s como sendo o vetor tangente em s I. Observe que t(s, t (s = 0, s I. Vamos supor que t (s 0 e que t (s não seja proporcional a t(s, para todo s I. Curvas de tipo tempo Se α é uma curva de tipo tempo (i.e. t(s, t(s = 1, então t (s 0 é um vetor de tipo espaço linearmente independente com t(s. Assim, definimos a curvatura de α em s I como κ(s := t (s, enquanto o vetor normal n(s é definido por: n(s := t (s κ(s = α (s α (s. Além disso, b(s = t(s n(s é dito vetor binormal no ponto s. Observe que este último é um vetor unitário de tipo espaço, já que b(s t(s e este é um subespaço de tipo espaço. Portanto, para cada s I, {t(s, n(s, b(s} é uma base ortonormal de L 3 que é chamada de triedro de Frenet de α no ponto s. Além disso, definimos a torção de α em s como sendo: τ(s = n (s, b(s. Diferenciando as funções vetoriais do triedro de Frenet, obtemos que as equações Frenet para uma curva α de tipo tempo em L 3 são dadas por: t (s = κ(s n(s, b (s = τ(s n(s, n (s = τ(s b(s + κ(s t(s, s I. Curvas de tipo espaço Suponha, agora, que a curva α seja de tipo espaço e parametrizada pelo comprimento de arco, ou seja t(s, t(s = 1, s I. Como t (s é ortogonal ao vetor t(s onde este é de tipo espaço, devemos considerar os três casos abaixo.

56 38 Capítulo Representação de Weierstrass no espaço de Lorentz-Minkowski L 3 1 O vetor t (s é de tipo tempo. Definimos a curvatura de α no ponto s I como sendo κ(s := t (s = t (s, t (s, o vetor normal por: n(s = t (s κ(s e o vetor binormal por b(s = t(s n(s. Assim, n é um vetor de tipo tempo e b é um vetor de tipo espaço. Por cálculos simples, obtemos que as equações de Frenet para este caso são dada por: t (s = κ(s n(s, n (s = τ(s b(s + κ(s t(s, b (s = τ(s n(s, s I e a torção de α em s I é τ(s = n (s, b(s. Se o vetor t (s é de tipo espaço, definimos a curvatura de α em s I como κ(s = t (s, o vetor normal por n(s := t (s κ(s e o vetor binormal por b(s := t(s n(s. Consequentemente, n é um vetor de tipo espaço e b é de tipo tempo. Logo, as equações de Frenet para este caso são dadas por: t (s = κ(s n(s, n (s = τ(s b(s κ(s t(s, b (s = τ(s n(s, s I, e a torção de α em s I é τ(s = n (s, b(s. 3 O vetor t (s 0 é de tipo luz. Neste caso, definimos o vetor normal n(s := t (s, que é linearmente independente com t(s. Como α é uma curva de tipo espaço, temos t(s é um subespaço de tipo tempo e, pela Proposição.1.6, admite dois vetores de tipo luz, linearmente independentes, que não são ortogonais. Como n(s é de tipo luz, defina o vetor binormal b(s t(s como o único vetor de tipo luz tal que n(s, b(s = 1. Além disso, defina a pseudo-torção de α como sendo τ(s := n (s, b(s. Neste caso não temos uma definição para a curvatura e as equações de Frenet são dadas por: t (s = n(s, n (s = τ(s n(s, b (s = t(s τ(s b(s, s I.

57 .3 Superfícies em L 3 39 Curvas de tipo luz Seja, agora, α : I L 3 uma curva de tipo luz parametrizada pelo pseudo-comprimento de arco, ou seja, α (s é um vetor unitário de tipo espaço, para todo s I. Definimos n(s := t (s como sendo o vetor normal a α em s I, e o vetor binormal b(s como o único vetor de tipo luz, ortogonal a n(s, de forma que t(s, b(s = 1. Analogamente ao caso em que α é de tipo espaço com t (s de tipo luz, não definimos a curvatura de α. Já a torção de α em s I é dada por τ(s = n (s, b(s. Vamos, agora, encontrar as equações de Frenet. Sendo t(s, b(s = 1, s I, resulta que: 0 = t (s, b(s + t(s, b (s = n(s, b(s + t(s, b (s = t(s, b (s, s I. Como b(s é de tipo luz, resulta que b(s, b (s = 0 e podemos escrever b (s = a n(s + c t(s. Logo, a = τ e c = 0, ou ainda, b (s = τ(s n(s, s I. (.5 De n(s, b(s = 0, b(s, b(s = 0 e da equação (.5, obtemos: 0 = n (s, b(s + n(s, b (s = n (s, b(s τ(s n(s, n(s + b(s, b(s = n (s, b(s τ(s t(s, b(s + b(s, b(s = n (s τ(s t(s + b(s, b(s, s I. Logo, n (s = τ(s t(s b(s, s I. Consequentemente, as equações de Frenet para uma curva de tipo luz em L 3 são dadas por: t (s = n(s, n (s = τ(s t(s b(s, b (s = τ(s n(s, s I..3 Superfícies em L 3 Seja M uma superfície suave e conexa e f : M L 3 uma imersão, isto é, uma aplicação diferenciável tal que a diferencial df p : T p M R 3 é injetiva. Pelo Teorema da Função Inversa,

58 40 Capítulo Representação de Weierstrass no espaço de Lorentz-Minkowski L 3 f é localmente um homeomorfismo sobre f(m. Se f é um homeomorfismo global, dizemos que f é um mergulho e que M é mergulhada (via f em L 3. Caso M seja compacta, esta condição é equivalente ao fato de f(m não possuir auto-intersecções. Identificamos o plano tangente T p M com (df p (T p M. Consideremos a métrica pull-back ds = f (, p, isto é, ds p(u, v = df p (u, df p (v f(p, u, v T p M. No ambiente euclidiano (T p M,, p é um espaço Riemanniano, isto é, a métrica é positiva definida. Entretanto, no caso do ambiente ser L 3, esta métrica pode ser de três tipos, a saber: 1. T p M é um plano de tipo espaço, isto é, ds p é positiva definida.. T p M é um plano de tipo tempo, isto é, ds p é uma métrica com índice T p M é um plano de tipo luz, isto é, ds p é uma métrica degenerada. Definição.3.1. Uma imersão é chamada de tipo espaço (respectivamente, de tipo tempo ou de tipo luz se todo plano tangente é de tipo espaço (respectivamente, de tipo tempo ou de tipo luz. No caso em que a imersão é de tipo espaço ou de tipo tempo, decompomos o espaço ambiente na forma L 3 = T p M (T p M, onde o segundo subespaço, que é unidimensional, será de tipo tempo (respectivamente, de tipo espaço se a imersão é de tipo espaço (respectivamente, de tipo tempo. Proposição.3.. Uma superfície de tipo espaço (respectivamente, de tipo tempo é localmente um gráfico de uma função definida no plano de equação z = 0 (respectivamente, x = 0 ou y = 0. Demonstração. Consideramos uma parametrização local da superfície ψ(u, v = (x(u, v, y(u, v, z(u, v. Como o vetor ψ u ψ v é ortogonal a ψ u e ψ v, então é de tipo tempo (respectivamente, de tipo espaço. Assim a sua terceira coordenada não se anula (respectivamente, a primeira ou a segunda coordenada. Esta coordenada é dada por: x u y u ( respectivamente, x v y v y u y v z u z v, ou x u x v z u z v.

59 .3 Superfícies em L 3 41 O Teorema da Função Implícita garante que ao redor de um ponto da superfície, a aplicação ψ(u, v = (x(u, v, y(u, v (respectivamente, ψ(u, v = (y(u, v, z(u, v ou ψ(u, v = (x(u, v, z(u, v é um difeomorfismo. Reparametrizando a imersão por ψ ψ 1, então a superfície é o gráfico da função z ψ 1 (respectivamente, x ψ 1 ou y ψ Curvatura média de superfícies não-degeneradas Encontraremos uma fórmula geral que englobe os casos em que a imersão seja de tipo espaço e de tipo tempo. Teorema.3.3 (ver, [], por exemplo. Seja (M, h uma superfície pseudo-riemanniana. Então, em uma vizinhança de qualquer ponto existem coordenadas (u, v que são isotérmicas, ou seja ( h u, ( = ε h u v, (, h v u, = 0, v com ε = 1 se a métrica é positiva definida e ε = 1 no caso seja indefinida. Demonstração. A métrica h é positiva definida. Seja r uma função suave definida em um subconjunto aberto U de M e introduzimos a métrica h 0 := e r h. A curvatura Gaussiana com respeito à métrica h 0 é dada por: K h 0 = ε r (K h h r. Sendo que a equação elíptica K h = h r admite soluções locais, então podemos escolher a função r de forma tal que a métrica h 0 seja flat. Como h é positiva definida, também h 0 é positiva definida. Então, por um resultado clássico (ver [6], a superfície plana é localmente isométrica a um aberto do plano Euclidiano, portanto existe coordenadas (u, v tal que h 0 = du + dv. Logo, h = e r (du + dv, i.e. (u, v são coordenadas isotérmicas para a métrica h. A métrica h é indefinida. Em qualquer ponto de p M existem dois vetores nulos independentes e, sendo a métrica suave, isto implica a existência de dois campos vetoriais nulos X e Y em uma vizinhança de p.

60 4 Capítulo Representação de Weierstrass no espaço de Lorentz-Minkowski L 3 Afirmamos que existem campos de vetores X e Ỹ colineares a X e Y, respectivamente, tais que [ X, Ỹ ] = 0. De fato, consideremos X = f X e Ỹ = g Y e calculamos [f X, g Y ] = f X g Y g Y f X = f(g X Y + X(gY + g(f Y X + Y (fx = f g[x, Y ] + X(gY Y (fx. Do anulamento de [f X, g Y ] na base {X, Y }, obtemos λf g + Y (f = 0, µf g + X(g = 0, no qual λ, µ são os coeficientes de [X, Y ] na base {X, Y }, i.e. [X, Y ] = λx + µy. O sistema de equações diferenciais parciais do primeira ordem nas funções incognitas λ e µ, admite soluções locais (ver [9]. A condição [ X, Ỹ ] = 0 significa que os fluxos de X e Ỹ comutam, ou seja existe um sistema de coordenadas locais (s, t tal que s = X e t = Ỹ. Uma vez que obtemos estas coordenadas para conseguirmos as coordenadas isotérmicas basta tomarmos Z := X + Ỹ e W := X Ỹ, de modo que [Z, W ] = [Ỹ, X] = 0 e ainda teremos que os fluxos comutam. Denotando por (u, v este sistema de coordenadas, temos que: g( u, u = g(z, Z = g( X, Ỹ, g( v, v = g(w, W = g( X, Ỹ, e g( u, v = g(z, W = 0, o que completa a demonstração. Denotaremos por N a normal unitária à superfície M, que é de tipo tempo (respectivamente, de tipo espaço no caso em que M é de tipo espaço (respectivamente, de tipo tempo. Seja f : M L 3 uma imersão de uma superfície M no espaço de Lorentz-Minkowski. Vimos que f é chamada de tipo espaço (respectivamente, de tipo tempo se a métrica induzida na superfície é uma métrica Riemanniana (respectivamente, Lorentziana. Denotaremos por N a normal unitária à superfície M, que é de tipo tempo (respectivamente, de tipo espaço no caso em que M é do tipo espaço (respectivamente, de tipo tempo. Ou seja, g(n, N = ε, com ε = 1 (respectivamente, ε = 1.

61 .3 Superfícies em L 3 43 Indicando por a conexão de Levi-Civita de L 3 e a conexão de Levi-Civita induzida em M, a fórmula de Gauss é dada por: X Y = X Y + α(x, Y, em que α(x, Y = ( X Y é chamada segunda forma fundamental e X, Y são campos vetores tangentes a M. Quanto à fórmula de Weingarten, temos que: X N = A N (X, onde A N é o operador de forma de M em L 3. Portanto, a segunda forma fundamental pode ser escrita da seguinte maneira: α(x, Y = ε g(α(x, Y, N N = ε g(y, A N (X N. (.6 Seja, agora, {e 1, e } base local ortonormal de vetores tangentes a M, com g(e 1, e 1 = 1, g(e, e = ε. Então, o vetor curvatura média da superfície M é dado por: H = α(e 1, e 1 + ε α(e, e = ε [g(e 1, A N (e 1 + ε g(e, A N (e ] N = ε tr(a N. Portanto, a função curvatura média de uma superfície M de tipo espaço (respectivamente, de tipo tempo de L 3 é dada por: H = ε g( H, N = ε tr(a. No que segue, determinaremos a expressão da curvatura média de uma superfície M de tipo espaço (respectivamente, de tipo tempo de L 3 em termos de uma parametrização local ψ : U R L 3, ψ = ψ(u, v. Sejam E, F e G são os coeficientes da primeira forma fundamental da superfície e N = ψ u ψ v ε (EG F.

62 44 Capítulo Representação de Weierstrass no espaço de Lorentz-Minkowski L 3 o campo unitário normal a ψ. A matriz do operador de forma A N na base {ψ u, ψ v } é dada por: 1 A N = E F l m F G m n 1 = G l F m G m F n, EG F E m F l E n F m onde l, m, n representam os coeficientes da segunda forma fundamental. Portanto, calculando o traço da matriz A N obtemos a seguinte fórmula para a curvatura média: H = ε l G m F + n E E G F. (.7.4 Representação de Enneper-Weierstrass para superfícies mínimas de tipo espaço Nesta seção apresentaremos os resultados obtidos por O. Kobayashi em [18], sobre a representação de Weierstrass para superfícies mínimas de tipo espaço em L 3 e a sua utilização na construção de exemplos. Em particular, determinaremos as superfícies mínimas de tipo espaço que são de rotação ou que são regradas. Considere uma superfície M de tipo espaço imersa no espaço de Lorentz-Minkowski L 3 e N a sua normal unitária que, como vimos, é de tipo tempo. Então, a imagem de N pode ser considerada como contida na superfície de tipo espaço dada por: H = {(x 1, x, x 3 L 3 : x 1 + x x 3 = 1}, que representa o hiperbolóide de duas folhas e possui curvatura constante negativa igual a 1 com respeito a métrica induzida. por: Considere a aplicação estereográfica hiperbólica π com respeito ao pólo sul (0, 0, 1, dada π : H C \ { z = 1} ( x1 π(x 1, x, x 3 = x 3 + 1, x (.8, x e π(0, 0, 1 =. Ou seja, π(x 1, x, x 3 é a intersecção do plano x 3 = 0 com a reta ligando (x 1, x, x 3 ao ponto (0, 0, 1. Observe que a inversa da aplicação π é ( Re z π 1 Im z (z =, 1 z 1 z, 1 + z. 1 z

63 .4 Representação de Enneper-Weierstrass para superfícies mínimas de tipo espaço 45 Em seguida obteremos a fórmula de Weierstrass. Teorema.4.1 (Fórmula de Enneper-Weierstrass do primeiro tipo. Toda superfície mínima M de tipo espaço em L 3 pode ser representada por f(z = Re z ( F (1 + G, i F (1 G, F G dz, z Ω, (.9 onde Ω é um domínio em C e é um ponto fixado deste domínio. Além disso, F é uma função holomorfa e G uma função meromorfa em Ω, tais que F G é uma função holomorfa em Ω e G(z 1, para todo z Ω. Além disso, 1. a aplicação de Gauss N da superfície é dada por N = π 1 G, onde π é a aplicação estereográfica hiperbólica definida em (.8;. a métrica induzida é dada por ds = ( F 1 G dz ; 3. a curvatura de Gauss da superfície M é dada por K = 1 (ln(e. Demonstração. Suponha que a imersão mínima de tipo espaço f : M L 3 seja dada por f(z = ( f 1 (z, f (z, f 3 (z, onde z = u + iv representa um parâmetro (local conforme. Sendo a superfície M mínima, a mesma não pode ser compacta. De fato, caso contrário, f seria uma função harmônica sobre uma superfície Riemanniana, logo constante. Portanto, pelo Teorema de Uniformização de Koebe (ver [1], temos que seu espaço de recobrimento Ω ou é o plano complexo C, ou o disco complexo unitário aberto. Seja π : Ω M o recobrimento universal de M e f : Ω L 3 o levantamento de f, i.e. f = f π. Observamos que como f é harmônica e π conforme, resulta que f é também harmônica. Se consideramos o vetor tangente complexo Φ(z := f z = f(z como f uma imersão mínima conforme, resulta que 3 i=1 φ i x i, φ 1 + φ φ 3 = 0. (.10

64 46 Capítulo Representação de Weierstrass no espaço de Lorentz-Minkowski L 3 Além disso, de f = 0 segue que as funções (φ i z, i = 1,, 3, são holomorfas. Fixado um ponto Ω, podemos escrever f(z = Re Φ dz. (.11 Sendo Ω um domínio simplesmente conexo e as funções integrandas holomorfas, as integrais acima não dependem do caminho em Ω que liga a z. Considerando, agora, as funções definidas por: temos que z F := φ 1 i φ, G := φ 3 F = φ 1 + i φ φ 3, φ 1 = F (1 + G, φ = i F (1 G, φ 3 = F G e, portanto, vale a fórmula (.9. Além disso, sendo f uma imersão, resulta que: Ou seja, Portanto, G(z 1, para todo z Ω. φ 1 + φ φ 3 0 em Ω. E = F (1 G 0. Note que φ 1 i φ = 0 corresponde ao plano xy em L 3, o qual pode ser obtido tomando G = 0 e F = 1 em (.9. Para determinar o vetor normal à superfície M, observe que um calculo direto nos dá que u f v f = i (f z f z. Como então, Portanto, f z f z = i F (1 G ( Re G, Im G, (1 + G, ( Re G Im G 1 + G N =,, 1 G 1 G 1 G. π N = G. Sendo f conforme, segue que: ds = E dz = ( F 1 G dz.

65 .4 Representação de Enneper-Weierstrass para superfícies mínimas de tipo espaço 47 Por fim, pela fórmula de Brioschi (ver [8] temos que a curvatura Gaussiana de M é dada por: [( ( ] K = 1 (E 1 u (E 1 v + E = 1 E = E E 1 {( Eu E u u + (ln E z z = 1 (ln E, ( Ev E onde estamos supondo que E = u, u = v, v > 0. Observação.4.. Contrariamente ao caso das superfícies mínimas em R 3, observamos que uma superfície mínima em L 3 que é de tipo espaço tem curvatura Gaussiana não negativa. E 1 v } v De imediato temos o seguinte corolário. Corolário.4.3 (Fórmula de Enneper-Weierstrass do segundo tipo. Qualquer superfície mínima de tipo espaço em L 3 pode ser representada como f(z = Re z Além disso, a aplicação normal de Gauss N satisfaz ( F ( G + 1, i F G, F ( G 1 dz. (.1 π N = G 1 G + 1. Demonstração. Para provar a fórmula (.1 basta substituir F e G por: respectivamente, na equação (.9. F (1 + G e (1 G 1 + G, No que segue iremos construir alguns exemplos de superfícies mínimas de tipo espaço em L 3 através das fórmulas de representação dadas em (.9 e (.1. Exemplo.4.4 (Superfície de Enneper do primeiro tipo. Tomando F = 1, G = z e D = C \ { z = 1}

66 48 Capítulo Representação de Weierstrass no espaço de Lorentz-Minkowski L 3 na equação (.9, obtemos a seguinte parametrização: ( f(z = Re (1 + z dz, i (1 z dz, = (u u v + u3 3, v + u v v3 3, v u. z dz Figura.1: Superfície de Enneper do primeiro tipo em L 3. A primeira vista, podemos achar que esta superfície é muito semelhante à superfície mínima clássica de Enneper. complicada. Entretanto, como se observa na Figura.1, esta superfície é bem mais Para determinar a sua curvatura Gaussiana, usaremos que: E = f z, f z = F (1 G = (1 u v. Logo, pelo item (3 do Teorema.4.1, resulta que: K = 4 ( 1 + u + v 4. Exemplo.4.5 (Superfície de Enneper do segundo tipo. Neste exemplo vamos escolher F = a e G = z em (.1, onde a é um número real não nulo. Seque que a imersão mínima correspondente é dada por: ( f(z = Re a(1 + z dz, i a z dz, a(z 1 dz = a (u u v + u3 3, u v, u u v + u3, u 0. 3

67 .4 Representação de Enneper-Weierstrass para superfícies mínimas de tipo espaço 49 Trata-se de uma superfície de rotação com eixo de tipo luz (1, 0, 1 (ver [7], que pode ser obtida da seguinte maneira: 1 v v v a u + a 3 u3 f(z = v 1 v 0, u 0. v v 1 + v a u + a 3 u3 Sendo E = 4 a u, então a curvatura Gaussiana desta superfície é dada por K = 1/u. A superfície é representada na Figura.. Figura.: Superfície de Enneper do segundo tipo em L 3. Exemplo.4.6 (Conjugada da superfície de Enneper do segundo tipo. De forma análoga à definição de superfície conjugada de uma superfície mínima no espaço Euclidiano, definimos a superfície conjugada da superfície de Enneper do segundo tipo em L 3 considerando F = a i e G = z no Corolário.4.3. Consequentemente, a imersão mínima se torna: ( f(z = Re a i (1 + z dz, a z dz, a i (z 1 dz ( = a v u v + v3 3, v u, v u v + v3 3 ( = a v + v3 3, v, v + v3 a u (v, 1, v, u 0. 3 Observe que esta é uma superfície regrada (ver Figura.3 e a sua curvatura Gaussiana é igual à da superfície do Exemplo.4.5.

68 50 Capítulo Representação de Weierstrass no espaço de Lorentz-Minkowski L 3 Figura.3: Superfície conjugada da superfície de Enneper do segundo tipo em L 3. Exemplo.4.7 (Catenóide de tipo espaço do primeiro tipo. Neste exemplo vamos considerar a superfície de rotação (ver a Figura.4 definida por: ( z x + y a sinh = 0, z 0, a onde a é um número real não nulo. Em vista da fórmula de Enneper-Weierstrass obtemos esta superfície escolhendo na equação (.9 F = a z, G = z, o que resulta na seguinte imersão: ( a a i f(z = Re z (1 + z dz, z (1 z dz, = a ( Re 1 z + z, i ( 1 z + z, ln z. a z dz Usando as coordenadas polares z = r e i θ, resulta que f(z = a ( cos θ + r cos θ, sin θ + r sin θ, ln r, r 1. r r Neste caso, de E = a (1 u v 4 (u + v, do terceiro item do Teorema.4.1, concluímos que: K = 16 (u + v a (u + v 1 4. Exemplo.4.8 (Helicóide. A superfície conjugada do catenóide do primeiro tipo, isto é, a superfície definida tomando F = i a z, G = z

69 .4 Representação de Enneper-Weierstrass para superfícies mínimas de tipo espaço 51 Figura.4: Catenóide do tipo espaço do primeiro tipo em L 3. em (.9, é dada por: ( a i f(z = Re = Re ( i a z z (1 + z dz, a z (1 z dz, + i a z, a z + a z, i a ln z. a i z dz Passando para coordenadas polares z = r e i θ, resulta que ( a sin θ f(z = r r a sin θ, a cos θ r + r a cos θ, a θ = (0, 0, a θ + a cosh(log r ( sin θ, cos θ, 0. Observe que a imagem desta imersão (ver Figura.5 é um subconjunto aberto do helicóide usual ( z ( z x cos + y sin = 0. a a Então, esta superfície também é uma superfície mínima com respeito à métrica dx + dy + dz. Reciprocamente, pode-se provar que esta propriedade caracteriza o helicóide (ver [8]. Quanto à curvatura de Gauss do helicóide, é fácil verificar que é a mesma da superfície do Exemplo.4.7. Exemplo.4.9 (Catenóide do tipo espaço do segundo tipo. Para obter o catenóide do segundo tipo, representado na Figura.6, tomaremos F = a z, G = z,

70 5 Capítulo Representação de Weierstrass no espaço de Lorentz-Minkowski L 3 Figura.5: Helicóide de tipo espaço em L 3. na fórmula de representação de Weierstrass dada no Corolário.4.3. Com isto, resulta a seguinte imersão: Portanto, pode-se escrever ( a f(z = Re z (1 + z dz, ( az = Re a z ( a r cos θ = i a z dz,, i a ln z, az + a z a cos θ, a θ, a r cos θ r a z (z 1 dz + a cos θ r = a cos θ (sinh log r, 0, cosh(log r + (0, a θ, 0. cosh(log r 0 sinh(log r 0 f(z = a θ, cos θ 0. sinh(log r 0 cosh(log r a cos θ Neste caso, como E = a u /(u + v, segue que a curvatura de Gauss é dada por K = 1/u. Figura.6: Catenóide de tipo espaço do segundo tipo em L 3.

71 .4 Representação de Enneper-Weierstrass para superfícies mínimas de tipo espaço 53 Exemplo.4.10 (Helicóide de tipo espaço do segundo tipo. Considere a superfície regrada cuja equação cartesiana é dada por: ( y ( y z + x tanh = 0, x a < a cosh. a Esta superfície é obtida tomando F = i a z e G = z no Corolário.4.3, o que implica na parametrização: f(z = ( av av (u + v, a ln(u + v, av + av (u + v Observe que a curvatura Gaussiana desta superfície, que é representada na Figura.7, coincide com a do Exemplo Figura.7: Helicóide de tipo espaço do segundo tipo em L 3. Exemplo.4.11 (Superfície de Scherk do primeiro tipo. Consideramos a superfície mínima (ver a Figura.8 definida pela equação: z = log(cosh y log(cosh x, cosh (x + cosh (y > 1. Podemos encontrar uma parametrização ao substituir F = (1 z 4 1 e G = z na equação (.9. De fato, neste caso, obtemos a imersão: ( f(z = Re 1 z (1 + 4 z dz, Observe que, sendo E = i 1 z (1 4 z dz, 4 (1 u v ( 4u 3 v + 4u v 3 + (1 u u v v 4, 4 z 1 z dz. 4 a curvatura gaussiana da superfície de Scherk do primeiro tipo se expressa como: K = (u + (v 1 [(u 1 + v ] [(1 + u + v ] (u + (1 + v (u + v 1 4.

72 54 Capítulo Representação de Weierstrass no espaço de Lorentz-Minkowski L 3 Figura.8: Superfície de Scherk do primeiro tipo..4.1 Superfícies mínimas de rotação em L 3 O propósito desta seção é classificar as superfícies mínimas de rotação de tipo espaço em L 3. Lembramos que uma superfície L 3 é chamada superfície de rotação ao redor do eixo l se é invariante pela ação de um grupo de isometrias de L 3 que fixa os pontos do eixo l. Em particular, em contraste com o caso Euclidiano, onde toda superfície mínima de rotação é localmente congruente a um aberto de um plano ou de um catenóide, veremos que em L 3 existem várias superfícies mínimas de rotação. Teorema.4.1. Toda superfície mínima rotação de tipo espaço em L 3 é congruente a um aberto de uma das seguintes superfícies: (i plano xy; (ii catenóide de tipo espaço do primeiro tipo; (iii catenóide de tipo espaço do segundo tipo; (iv superfície de Enneper de tipo espaço do segundo tipo. Demonstração. O plano xy é obviamente uma superfície de rotação com eixo de tipo tempo, e todo plano de tipo espaço é congruente ao plano xy. Então, no que segue, iremos supor que a superfície mínima de rotação de tipo espaço não seja um plano. Se o eixo l é de tipo tempo (respectivamente, de tipo espaço, podemos supor que ele seja o eixo z (respectivamente, o eixo y, pois todo vetor unitário de tipo tempo (respectivamente, de tipo

73 .4 Representação de Enneper-Weierstrass para superfícies mínimas de tipo espaço 55 espaço pode ser transformado em (0, 0, 1 (respectivamente, (0, 1, 0 por uma transformação de Lorentz. Então, a superfície se parametriza como segue: ψ(s, t = (f(t cos s, f(t sin s, t, se o eixo é do tipo tempo; (.13 ψ(s, t = (g(t sinh s, t, g(t cosh s, se o eixo é do tipo espaço. (.14 Se consideramos o caso da parametrização (.13, então det(ψ s, ψ t, ψ ss = f(t, det(ψ s, ψ t, ψ st = 0 e det(ψ s, ψ t, ψ tt = f(tf (t. Além disso, E = f(t, F = 0, G = f (t 1. Portanto, pela equação (.7, como a curvatura média da superfície é dada por: da condição de minimalidade, temos que H = f(t (f (t 1 + f(t (f(tf (t, (f(t (f (t 1 3 f (t 1 = f(t f (t. No caso da parametrização descrita em (.14, resulta que det(ψ s, ψ t, ψ ss = g(t, det(ψ s, ψ t, ψ st = 0, det(ψ s, ψ t, ψ tt = g(t g (t e os coeficientes da primeira forma fundamental são dados por: E = g(t, F = 0, G = 1 g (t. Portanto, ao calcularmos a curvatura média da superfície através da equação (.7, obtemos H = g(t ( g (t g(t (g(tg (t. (g(t ( g (t Logo, para que seja uma superfície mínima, devemos ter Deste modo, temos: g (t 1 = g(t g (t. f (t 1 = f(t f (t, f 1 > 0, para (.13, g (t 1 = g(t g (t, g 1 < 0, para (.14.

74 56 Capítulo Representação de Weierstrass no espaço de Lorentz-Minkowski L 3 Portanto, segue que f(t = a 1 sinh(a t + b e g(t = a 1 cos(a t + b, onde a e b são constantes de integração. Então, a superfície é localmente congruente ao catenóide de tipo espaço do primeiro ou do segundo tipo, de acordo com o fato do eixo l ser de tipo tempo ou de tipo espaço. No caso em que o eixo de rotação é de tipo luz podemos supor que este seja dado por {t (1, 0, 1 t R}. Note que o subgrupo de isometrias de L 3 que fixa (1, 0, 1 é dado por: 1 s s s s 1 s : s R. s s 1 + s Consequentemente, a superfície pode ser parametrizada como: 1 s s s h(t + t ψ(s, t = s 1 s 0, (.15 s s 1 + s h(t t já que é a rotação em torno do eixo (1, 0, 1. Como, T θ (x, y, z = (x + θ s θ, y s θ, z θ θ s, det(ψ s, ψ t, ψ ss = 8t, det(ψ s, ψ t, ψ st = 0, det(ψ s, ψ t, ψ tt = 4t h (t e E = 4t, G = 4h (t, F = 0, para que a imersão seja mínima é necessário que: t h (t h (t = 0, t 0, h (t > 0. Então, temos a solução h(t = a t 3 + b, a > 0, o que resulta na superfície de Enneper do segundo tipo..4. Superfícies mínimas regradas em L 3 O propósito desta seção é classificar as superfícies mínimas de tipo espaço em L 3 que são regradas. Ao contrário do caso de H 3, onde toda superfície mínima regrada é localmente congruente a um plano ou a um helicóide, em L 3 existem várias superfícies mínimas regradas. Iremos provar o seguinte resultado:

75 .4 Representação de Enneper-Weierstrass para superfícies mínimas de tipo espaço 57 Teorema Toda superfície mínima de tipo espaço que é regrada em L 3 é congruente a um aberto de uma das seguintes superfícies: (i plano xy; (ii helicóide de tipo espaço; (iii helicóide de tipo espaço do segundo tipo; (iv superfície conjugada da superfície de Enneper do segundo tipo. Demonstração. Qualquer superfície de tipo espaço que é regrada em L 3 pode ser parametrizada como ψ(s, t = c(t + s n(t, (.16 onde n(t, n(t = ċ(t, ċ(t = 1, ċ(t, n(t = 0. Aqui, c(t é uma curva de tipo espaço em L 3, denominada curva base, que estamos supondo parametrizada pelo comprimento de arco. Além disso, n(t é um campo vetorial normal unitário ao longo de c(t dito campo diretor e representa a direção das retas s c(t + s n(t (ditas geratrizes. Note que n(t é um campo vetorial assintótico na superfície, ou seja a curvatura normal ao longo n(t é nula. No que segue, vamos provar que a minimalidade da superfície implica que o campo vetorial c (t + s n (t, que é claramente ortogonal a n(t, é uma direção assintótica. De fato, como: ψ s = n(t, ψ ss = 0, ψ st = ṅ(t, ψ t = ċ(t + s ṅ(t, ψ tt = c(t + s n(t, resulta que ψ s, ψ t = 0, ψ s, ψ s = 1 e ψ ss, N = 0, onde N denota o campo normal à superfície. Logo, pela fórmula (.7, temos que a curvatura média é nula se, e somente se, c(t + s n(t, N = ψ tt, N = 0. Consequentemente, ċ(t + s ṅ(t é uma direção assintótica da superfície. Em particular, pondo s = 0, deduzimos que n(t é o vetor normal principal de c(t. Então, para obter a superfície (.16, necessitamos somente determinar a curva c(t.

76 58 Capítulo Representação de Weierstrass no espaço de Lorentz-Minkowski L 3 Denotando por b(t o vetor binormal de c(t, temos que valem as fórmulas de Frenet: c(t = κ(t n(t, ḃ(t = τ(t n(t, ṅ(t = κ(t ċ(t + τ(t b(t, (.17 onde κ e τ denotam a curvatura e a torção de c(t, respectivamente. Então, obtemos que ψ t = ċ(t + s ṅ(t = (1 s κ(t ċ(t + s τ(t b(t, ψ tt = c(t + s n(t = (κ(t s κ(t + s τ(t n(t + s ( κ(t ċ(t + τ(t b(t. Como n(t = ψ s e ψ tt são tangentes à superfície, pois provamos que ψ t é uma direção assintótica, da segunda equação resulta que o vetor s ( κ(t ċ(t + τ(t b(t também é tangente à superfície. Além disso, ċ(t + s ṅ(t também é tangente à superfície e é ortogonal a n(t. Logo, o vetor s ( κ(t ċ(t + τ(t b(t é necessariamente paralelo a ψ t, em todo ponto (s, t. Disto, temos que a curvatura e a torção devem ser constantes e, portanto, a curva c(t (que é de tipo espaço é congruente a (ver Teorema.4.3 da referência [3], por exemplo: ( ( t ( t h t 1. c(t = r cos, r sin,, r > h > 0; r h r h r h ( ( t h t (. c(t = r cosh, h r h r, r sinh t, h > r > 0. h r No primeiro caso, ao calcularmos a curvatura encontramos que κ = r/(r h. Sendo, ( ( t ( t n(t = cos, sin, 0, r h r h ( h ( b(t = r h sin t h (, r h r h cos t r,, r h r h de n = κ c + τ b obtemos: Consequentemente, ( c(t = κ κ τ cos( κ τ t, h = τ κ τ, r = κ κ τ. κ κ τ sin( κ τ t, τ t κ τ, (.18

77 .4 Representação de Enneper-Weierstrass para superfícies mínimas de tipo espaço 59 com κ > τ > 0. No segundo caso, por cálculos análogos aos do primeiro, resulta que: ( c(t = com τ > κ > 0. κ τ κ cosh( τ κ t, τ t τ κ, κ τ κ sinh( τ κ t, (.19 Observe que nas equações (.18 e (.19, a superfície definida por (.16 é congruente a um aberto do helicóide de tipo espaço ou do helicóide de tipo espaço do segundo tipo, respectivamente. Se τ = κ = 0, pelo sistema de equações (.17 temos que n = 0 e, então, c (iv = 0. Ou seja, c(t é um polinômio de grau 3 e, portanto, obtemos a superfície conjugada da superfície de Enneper de tipo espaço do segundo tipo. Teorema Exceto para o plano, somente o helicóide é uma superfície mínima de tipo espaço em L 3 que, também, é mínima com respeito à métrica Riemanniana dx + dy + dz. Demonstração. Localmente, uma superfície de tipo espaço é um gráfico do tipo z = f(x, y. Neste caso, a matriz da métrica induzida é dada por: 1 f x f x f y, f x f y 1 fy cuja inversa é 1 f y 1 fy fx f x f y f x f y 1 fy fx 1 fx. 1 fy fx 1 fy fx Considerando a parametrização ψ(x, y = (x, y, f(x, y, temos que det(ψ x, ψ y, ψ xx = f xx, det(ψ x, ψ y, ψ xy = f xy, det(ψ x, ψ y, ψ yy = f yy. Logo, a condição de minimalidade da superfície z = f(x, y resulta em (1 f y f xx + f xy f x f y + (1 f x f yy = 0. (.0

78 60 Capítulo Representação de Weierstrass no espaço de Lorentz-Minkowski L 3 Por outro lado, lembramos que a equação dos gráficos mínimos em R 3 é dada por (1 + fy f xx f xy f x f y + (1 + fx f yy = 0. (.1 Supondo que f satisfaz ambas as equações (.0 e (.1, encontramos que fy f xx + f xy f x f y fx f yy = 0. (. Vamos, agora, considerar X := ( f y, f x, que é um campo vetorial tangente a {f = constante} no plano xy. Sendo que os símbolos de Christoffel da superfície são: Γ 1 1 = Γ 1 = f xf xy 1 fy fx f xf yy 1 fy fx, Γ 1 = f yf xy, Γ 1 1 fy fx 11 = f xf xx, 1 fy fx, Γ 11 = f yf xx, Γ 1 fy fx = f yf yy, 1 fy fx então, resulta que det( X X, X = f y f xx + f x f y f xy fx f yy. (.3 fx + fy 1 Portanto, usando a equação (., concluímos que as curvas integrais de X em R são retas. De fato, se c(t e uma curva integral de X, de ( dc det dt, d c = 0, dt segue que c é uma reta. Portanto, como f é constante em cada uma destas curvas integrais, resulta que a superfície z = f(x, y é regrada. Sendo que uma superfície mínima regrada em R 3 ou é o plano ou o helicóide (ver [4], por exemplo temos a tese do teorema.

79 CAPÍTULO Representação de Enneper-Weierstrass para superfícies mínimas de tipo tempo 3 Neste capítulo apresentaremos de forma detalhada os resultados que foram obtidos por J. Konderak em [0], sobre uma representação de Weierstrass para superfícies de tipo tempo que são imersas no espaço L 3. No caso das superfícies de tipo tempo em L 3 é necessário que parâmetros locais pertençam a uma estrutura de Lorentz nessas superfícies, a qual é modelada através da álgebra dos números de Lorentz (ou números paracomplexos, denotada por L. Portanto, na seção que segue iremos introduzir a álgebra L e, também, trataremos do conceito de diferenciabilidade para as funções paracomplexas (i.e. funções cujo domínio é um subconjunto de L e com valores em L. Maiores detalhes sobre as propriedades das funções L-diferenciáveis podem ser encontrados em [1] e [5]. 61

80 6 Capítulo 3 Representação de Enneper-Weierstrass para superfícies mínimas de tipo tempo 3.1 A álgebra dos números de Lorentz A álgebra dos números de Lorentz (ou números paracomplexos é dada por: L = {u + τ v u, v R}, onde a unidade imaginária τ possui a propriedade de que τ = 1. No conjunto L temos as duas operações internas de soma e produto definidas da maneira natural: (u 1 + τ v 1 + (u + τ v = (u 1 + u + τ (v 1 + v ; (u 1 + τ v 1 (u + τ v = (u 1 u + v 1 v + τ (u 1 v + u v 1. Com estas operações, o conjunto L se torna uma álgebra sobre R que é associativa, comutativa e com unidade. A álgebra L possui propriedade similares ao corpo dos complexos C, mas tem a desvantagem de admitir divisores de zero, que são os números do tipo K = {u ± τ u : u 0}. Denotaremos por A := K {0}. Se z / A, então admite inverso que é dado por: z 1 := Além disso, quanto à conjugação em L, temos: e a L-norma é definida por: z z z. u + τ v = u τ v u + τ v L = u v. Para simplificar a notação, de agora em diante, omitiremos o índice L da L-norma. A álgebra L é isomorfa à álgebra R R via a aplicação Φ : L R R definida por: Φ(u + τ v = (u + v, u v, cuja inversa é dada por: Φ 1 (a, b = 1 [ ] (a + b + τ (a b. Observamos que na literatura são usadas várias nomenclaturas para os números de Lorentz como, por exemplo, números duplos, números hiperbólicos, números hiper-complexos, números perplexos.

81 3. Funções diferenciáveis sobre os números de Lorentz Funções diferenciáveis sobre os números de Lorentz Nesta seção trataremos de alguns conceitos de análise paracomplexa, ou seja investigaremos as funções L-holomorfas, isto é, as funções que estão definidas em algum aberto de L, que tomam valores paracomplexos e são diferenciáveis como funções paracomplexas. Definição Seja Ω L um conjunto aberto 1 e Ω. A aplicação f : Ω L é dita ser L-diferenciável em se o seguinte limite existe: f ( := f(z f( z z0 lim, (3.1 z z z L\K {0} 0 Neste caso, o limite f ( é chamado de L-derivada de f em. A função f é dita L-holomorfa em Ω se for L-diferenciável em cada ponto de Ω. Em geral, a condição de L-diferenciabilidade é menos restritiva da diferenciabilidade complexa. De fato, por exemplo, a L-diferenciabilidade em um ponto não implica a continuidade em. Exemplo 3... Seja f : L L dada por: 0, se z L \ K, f(z = 1, se z K. Assim, f (0 = lim z 0 f(z f(0 z = 0, z / K {0}. Isto é, f é L-derivável em 0. Note, no entanto, que f não é contínua em 0 e, portanto, não é diferenciável nesse ponto no sentido usual. Observação No entanto, em relação ao exemplo anterior, note que se f é L-diferenciável em um aberto Ω, então f é diferenciável no sentido ordinário em Ω. Além disso, observamos que existem aplicações L-diferenciáveis de qualquer classe de diferenciabilidade usual (ver [5]. É imediato provar que vale o seguinte resultado: 1 O conjunto L possui uma estrutura de espaço vetorial real bidimensional e, portanto, tem uma topologia natural.

82 64 Capítulo 3 Representação de Enneper-Weierstrass para superfícies mínimas de tipo tempo Teorema Sejam f, g : Ω L L funções L-diferenciáveis em Ω, a, b L e g( L \ A. Então, as funções (a f + b g, fg, f/g também são L-diferenciáveis em e vale que: (a f + b g ( = a f ( + b g ( ; (f g ( = f ( g( + f( g ( ; ( f = f ( g( f( g (. g g ( A composição de funções L-diferenciáveis não é, necessariamente, uma função L-diferenciável. De fato, vejamos o exemplo a seguir. Exemplo Sejam f(z = (1 + τ z e 0, se z L \ A, g(z = z, se z A. Então, temos que f é L-diferenciável em todos os pontos de L e g é L-diferenciável em L \ K. Contudo, (g f(z = (1 τ z e não possui derivada paracomplexa em nenhum ponto. Analogamente ao caso complexo, podemos definir os operadores paracomplexos: z = 1 ( u + τ, v z = 1 ( u τ, v onde z = u + τ v. Com isto, podemos dar uma condição necessária para que uma função seja L-holomorfa em um conjunto aberto de L. Teorema Seja Ω L um aberto e f : Ω L dada por f(u, v = a(u, v + τ b(u, v, com a e b funções de classe C 1 em Ω. Se f é L-holomorfa em Ω, então valem as equações de para-cauchy-riemann: em todo ponto (u, v Ω. a u a v b (u, v = (u, v, v (u, v = b u (u, v, (3. Demonstração. Suponha que f seja L-holomorfa em Ω. Fixado Ω, temos que existe o limite dado em (3.1, ou seja: lim h 0 h L\K {0} f( + h f(. h

83 3. Funções diferenciáveis sobre os números de Lorentz 65 Portanto, para h R, resulta que: Assim, f( + h f( lim h 0 h Por outro lado, f( + τh f( lim h 0 τh Isto termina a prova. f( + h f( lim h 0 h = f f( + τh f( ( = lim. h 0 τh a(u 0 + h, v 0 + τb(u 0 + h, v 0 a(u 0, v 0 τb(u 0, v 0 = lim h 0 [ h a(u0 + h, v 0 a(u 0, v 0 = lim + τ b(u ] 0 + h, v 0 b(u 0, v 0 h 0 h h = a u (u 0, v 0 + τ b u (u 0, v 0. a(u 0, v 0 + h + τb(u 0, v 0 + h a(u 0, v 0 τb(u 0, v 0 = lim h 0 [ h = lim τ a(u 0, v 0 + h a(u 0, v 0 + τ b(u 0, v 0 + h b(u 0, v 0 h 0 h h = τ a v (u 0, v 0 + b v (u 0, v 0. ] Observação A condição (3. é equivalente a f z = 0. (3.3 Além disso, se f é uma função L-diferenciável, das equações de para-cauchy-riemann temos que: f z = (Re f z = τ (Imf z. Observamos que, contrariamente ao caso complexo, a condição (3. juntamente com a diferenciabilidade usual não garantem L-diferenciabilidade. Considere o seguinte exemplo. Exemplo Seja f : L L a função dada por f(z = z. Assim, f(u + τ v = u + v + τ (uv. As componentes de f são infinitamente diferenciáveis e satisfazem as equações de para- Cauchy-Riemann em todos os pontos de L. No entanto, f não é L-diferenciável em nenhum ponto de L. Vamos verificar esse fato em z = 0. Sejam h(t = t 1 + (t/ɛ e k(t = t, ɛ > 0. Então,

84 66 Capítulo 3 Representação de Enneper-Weierstrass para superfícies mínimas de tipo tempo lim t 0 (h(t + τ k(t = 0. Além disso, para todo t > 0, temos que h(t + τ k(t L \ K. Assim, f(h(t + τ k(t f(0 lim t 0 h(t + τ k(t (h(t + τ k(t = lim t 0 h(t + τ k(t h(t τ k(t 3 = lim t 0 h (t k (t t 3 ( = lim t 0 = ɛ (1 τ t/ɛ τ 3 t 3 /ɛ Como o limite depende de ɛ, segue-se que f não é L-diferenciável em z = 0. Proposição Seja Ω L um conjunto aberto simplesmente conexo e h : Ω R uma função L-diferenciável. Então, onde Ω. h(z h( = Re z h z (z dz, (3.4 Demonstração. Como h é uma função a valores reais, temos que Portanto, z h(z h( = h z d z = z = Re z h z dz. h z (z dz + z h z (z dz. z h z d z 3.3 Funções elementares sobre os números de Lorentz Nesta seção definiremos algumas funções elementares cujo domínio está contido em L e que possuem valores paracomplexos. Ressaltamos que as funções da variável de Lorentz z = u + τ v serão escritas no estilo sans serif para distingui-las das respectivas funções complexas clássicas. Em [11], os autores definem a função exponencial sobre os números de Lorentz como: exp(z = e u (cosh v + τ sinh v, z L.

85 3.3 Funções elementares sobre os números de Lorentz 67 Ao colocarmos u = 0, obtemos exp(τ v = cosh v + τ sinh v, exp( τ v = cosh v τ sinh v, e, portanto, cosh(v = exp(τ v + exp( τ v, sinh(v = exp(τ v exp( τ v. τ Estas expressões podem ser usadas para definir o cosseno hiperbólico e o seno hiperbólico como funções L-holomorfas em todo o conjunto L, da seguinte maneira: cosh(z := exp(τ z + exp( τ z, sinh(z := exp(τ z exp( τ z, τ para todo z L. De imediato obtemos as seguintes fórmulas: cosh(z = cosh(u cosh(v + τ sinh(u sinh(v, sinh(z = sinh(u cosh(v + τ cosh(u sinh(v. Observamos que, exp(τ z = cosh(z + τ sinh(z, e sinh (z = cosh(z, cosh (z = sinh (z, para todo z L. Além disso, cosh(τ z = cosh(z, sinh(τ z = τ sinh(z, z L. (3.5 Estendendo as equações (3.5 para as funções trigonométricas e aplicando as fórmulas usuais de adição de ângulos, definimos: sin(z : = sin(u cos(v + τ cos(u sin(v, cos(z : = cos(u cos(v τ sin(u sin(v, z L. Estas funções são L-diferenciáveis em L e satisfazem as mesmas fórmulas de diferenciação válidas no caso complexo e real.

86 68 Capítulo 3 Representação de Enneper-Weierstrass para superfícies mínimas de tipo tempo 3.4 Teorema de representação de Weierstrass para superfícies de tipo tempo Seja (Σ, ds uma superfície Lorentziana e f : Σ L 3 uma imersão suave. Então, f é chamada de imersão isométrica se a métrica ds = f g. Localmente, a superfície Σ pode ser munida com coordenadas isotérmica paracomplexas (u, v, com respeito as quais a métrica Lorentziana é dada por: Temos o seguinte resultado: ds = λ (du dv. Proposição Dada a aplicação suave f : (Σ, ds L 3, considere o vetor tangente paracomplexo Então, resulta que: Φ(z := f z = 1 ( u + τ 1. f é conforme se, e somente se, φ 1 + φ φ 3 = 0; = v 3 i=1 φ i x i.. se f é conforme, então a aplicação f é uma imersão se, e somente se, Φ, Φ 0. Demonstração. Quanto ao primeiro item, basta observar que: φ 1 + φ φ 3 = 1 [( f1 4 u + τ f ( 1 f + v u + τ f v = 1 [ f1 f 1 4 u u + f f u u f 3 f 3 u u + f 1 v = 1 4 f 1 v + f u + 1 [ τ f1 u [ f u, f u + f v, f v A prova do item segue da seguinte equação: Φ, Φ = f z, f z ( f3 u + τ f 3 v f 1 v + f v ] f v f 3 v ] f 3 v f v f ] 3 f 3 u v ] + 1 τ f u, f. (3.6 v = 1 4 f u + τ f v, f u τ f v = 1 [ f 4 u, f u f v, f ] v. (3.7

87 3.4 Teorema de representação de Weierstrass para superfícies de tipo tempo 69 Observe que, da fórmula (1., o Laplaciano com respeito à métrica ds tem a seguinte expressão: = 1 ( λ u u v v = 4 (3.8 λ z z e, usando a fórmula de Brioschi (ver [8], obtemos que a curvatura de Gauss da superfície Σ é dada por: K = λ z z ln(λ. Além disso, sendo o campo normal unitário N de tipo espaço, da equação (.7, temos que H = H N = Disto segue o seguinte resultado: ( l n λ N = f uu f vv λ = f. (3.9 Proposição Sejam f : (Σ, ds L 3 uma imersão isométrica conforme. Então, as seguintes condições são equivalentes: 1. a aplicação f é harmônica (i.e. f = 0,. a aplicação f é mínima (i.e. a curvatura média H = 0, 3. a função Φ é L-diferenciável. Demonstração. A equivalência entre os itens segue direto das equações (3.8 e (3.9. Lema Suponha que f : (Σ, ds L 3 seja uma imersão mínima conforme e U um aberto coordenado em Σ. Então, a fórmula: α U = f z dz define uma 1-forma global L-diferenciável em Σ. Demonstração. Sendo f uma imersão mínima, pela Proposição 3.4. temos que f/ z é L- diferenciável. Seja (V, ψ uma outra carta local em Σ, com U V e ( f/ z dz a forma local

88 70 Capítulo 3 Representação de Enneper-Weierstrass para superfícies mínimas de tipo tempo L-diferenciável definida por esta carta. Então, como ϕ ψ 1 e ψ ϕ 1 são L-diferenciáveis, pois estamos considerando um atlas L-holomorfo em Σ (ver [9], usando a regra da cadeia obtemos: f = f z z (ϕ ψ 1, dz = (ψ ϕ 1 dz. z z Portanto, f z dz = f z (ϕ ψ 1 (ψ ϕ 1 dz = f z z z dz. Iremos agora provar o resultado principal deste capítulo: Teorema (Teorema de Representação de Weierstrass para superfícies de tipo tempo em L 3. Sejam (Σ, ds uma superfície Lorentziana conexa e α = (α 1, α, α 3 uma 1-forma L-diferenciável em Σ, que tem a seguinte expressão α j = φ j dz, j = 1,, 3, em uma carta local. Então, resulta que: 1. φ 1 + φ φ 3 = 0,. φ 1 φ 1 + φ φ φ 3 φ 3 > 0. Além disso, se assumirmos que: 3. as integrais z Re α j, j = 1,, 3, não dependem da escolha da curva suave por partes conectando um ponto fixo de Σ a um ponto qualquer z de Σ, então, a aplicação f : (Σ, ds L 3 definida por: é uma imersão mínima conforme. ( z f(z := Re α 1, z α, z α 3, (3.10 Demonstração. Note que a condição 3 do Teorema garante que a aplicação f está bem definida e que f/ z = (φ 1, φ, φ 3. Como as φ i s satisfazem as condições (1, ( do Teorema para todo i = 1,, 3, então, do Teorema segue que f é uma imersão conforme. Além disso,

89 3.4 Teorema de representação de Weierstrass para superfícies de tipo tempo 71 sendo que as 1-formas φ i, i = 1,, 3, são L-diferenciáveis, do Teorema 3.4. temos que f é mínima pois f/ z é L-diferenciável. As formas diferenciáveis α 1, α, α 3 que satisfazem as pimeiras duas condições do Teorema podem ser caracterizadas de forma semelhante ao do caso complexo. Suponha que para cada x Σ a 1-forma L-diferenciável (α + α 3 x pode ser escrita (localmente como o produto de dz e um elemento de L\A. Tal propriedade não depende de uma carta local. Tomando: β = α + α 3, g = α 1 α + α 3, (3.11 observe que β é uma 1-forma L-diferenciável e g é uma função L-diferenciável em Ω. Agora podemos escrever α 1, α e α 3 em função de β e g. De fato, temos que: α 1 = g β, α = 1 (1 g β, α 3 = 1 (1 + g β. Então, o item. do Teorema é equivalente a 1 (g g β β > 0. Consequentemente, para que α 1, α e α 3 satisfaçam as hipóteses do Teorema devemos ter: β β < 0, Im g 0. Então, como conclusão temos o seguinte teorema: Teorema Seja (Σ, ds uma superfície conexa, β uma 1-forma L-diferenciável em Σ e g uma aplicação L-diferenciável, tais que β β < 0 e Im g 0. Suponha também que as 1-formas: g β, 1 (1 g β, 1 (1 + g β, não possuam períodos reais. Se fixamos um ponto Σ, então a aplicação f : (Σ, ds L 3 definida por: ( z f(z := Re g β, é uma imersão mínima e conforme. z 1 (1 g β, z 1 (1 + g β (3.1

90 7 Capítulo 3 Representação de Enneper-Weierstrass para superfícies mínimas de tipo tempo Demonstração. Segue de imediato do Teorema As formas diferenciais α 1, α, α 3 que satisfazem o primeiro item do Teorema podem ser descritas de forma diferente daquela dada em (3.11. Suponha que para cada x Σ a 1-forma (α α 3 x, que é L-diferenciável, pode ser escrita (localmente como o produto de dz e um elemento de L\A. Considere Então, resulta que β = α α 3, g = α 1 α α 3. α 1 = g β, α = 1 (1 g β, α 3 = 1 (1 + g β. Estas formas satisfazem o item. do Teorema se novamente β β < 0, Im(g 0. Então, é possível escrever uma fórmula semelhante a (3.1, para a escolha atual de g e β se, além disso, a condição sobre os períodos é satisfeita. Uma outra maneira para descrever as 1-formas α 1, α e α 3 é a seguinte: suponha que para todo x Σ a 1-forma (α ± τα 3 x possa ser escrita, numa carta local, como o produto de dz e um elemento de L\A. Então, denotando β = α ± τ α 3, g = α 1 α ± α 3, (3.13 segue: α 1 = g β, α = 1 (1 g β, α 3 = ± τ (1 + g β. Alem disso, podemos verificar que o item. do Teorema equivale a 1 β β (1 + gg > 0. Ou seja, β β > 0, (1 + gg 0. Isto nos dá a seguinte versão do teorema de representação:

91 3.4 Teorema de representação de Weierstrass para superfícies de tipo tempo 73 Teorema Sejam (Σ, ds uma superfície de Lorentz conexa, β uma 1-forma L-diferenciável em Σ e g uma aplicação L-diferenciável, tais que β β > 0 e (1 + gg 0. Suponha, também, que as 1-formas g β, 1 (1 g β, τ (1 + g β, não possuam períodos reais. Então, fixado um ponto Σ, a aplicação f : Σ L 3 definida por: ( z f(z := Re g β, e uma imersão mínima e conforme. z 1 (1 g β, ± z τ (1 + g β, (3.14 Demonstração. Segue de imediato pelo Teorema Observação Se α ± α 3 = 0 ou α ± τ α 3 = 0, então α 1 = 0 e a imersão definida pela fórmula (3.10 tem seus valores em um plano paralelo ao plano f 1 = 0. Observação No caso em que ( z f(z := Re z 1 z gβ, (1 τ g β, (1 + g β, a função g pode ser obtida geometricamente como a projeção estereográfica da aplicação normal de Gauss da imersão f definida por g e β. De fato, considere S 1 = {(x, y, z L 3 : x 1 + x x 3 = 1}. Definimos a aplicação estereográfica π, a partir do polo norte, da seguinte forma: π : S 1 \ {x 1 = 1} L ( x x 3 π(x 1, x, x 3 : =,. 1 x 1 1 x 1 Para determinar o vetor normal N à superfície, observe que: Com isto, f u f v = τ (f z f z. ( τ f z f z = β β(1 g g, β β τ (1 + g ḡ Re g, β β τ (1 + g g Im g. Logo, f u f v = (1 + g g β β ( 1 + g g 1 + g g, Re g 1 + g g, Im g. 1 + g g

92 74 Capítulo 3 Representação de Enneper-Weierstrass para superfícies mínimas de tipo tempo Consequentemente, e, portanto, N = ( 1 + g ḡ 1 + g ḡ, Re g 1 + g ḡ, Im g 1 + g ḡ π N = g. Observação Se considerarmos ( z f(z = Re g β, então, resulta que: Assim, N = z 1 (1 g β, z ( 1 g ḡ Re g, 1 + g ḡ 1 + g ḡ, Im g. 1 + g ḡ π N = g. τ (1 + g β, Construção de exemplos No que segue, iremos construir alguns exemplos de superfícies mínimas de tipo tempo em L 3, através da fórmula de representação dada no Teorema Exemplo (Helicóide de tipo tempo. No conjunto Σ = {z L : Re z 0}, tome g(z = τ exp( z, β(z = exp(z/ dz. Desta maneira, como exp(z exp(z = e u > 0, resulta que β β > 0. Por outro lado, Assim, α 1 = τ dz, 1 + g(z g(z = 1 τ e u 0. α = sinh z dz, α 3 = τ cosh z Consequentemente, a imersão mínima correspondente é dada por: ( f(z = Re τ dz, sinh z dz, τ cosh z dz = (v, cosh u cosh v, cosh u sinh v dz.

93 3.4 Teorema de representação de Weierstrass para superfícies de tipo tempo 75 e representa um helicóide de tipo tempo (ver a Figura 3.1. Observamos que sendo E = f z, f z = (β β(1 + g ḡ = sinh u, a curvatura de Gauss desta superfície é dada por K = 1 (ln(e = 1 (sinh u 4. Figura 3.1: Helicóide de tipo tempo em L 3. Exemplo (Catenóide de tipo tempo. Para obtermos o catenóide de tipo tempo que é representado na Figura 3., vamos considerar: g(z = exp(z, β(z = exp( z/ dz, z L. Então, temos que exp( z e, portanto, β β > 0. Também, resulta que exp( z = e u > 0 Observe que as 1-formas dadas por: α 1 = 1 dz, 1 + g(z g(z = 1 + e u 0. α = sinh z dz, α 3 = τ cosh z são L-diferenciáveis em L e, portanto, não têm períodos reais. Por integração, segue que: ( f(z = Re dz, sinh z dz, τ cosh z dz = (u, cosh u cosh v, cosh u sinh v. dz,

94 76 Capítulo 3 Representação de Enneper-Weierstrass para superfícies mínimas de tipo tempo Figura 3.: Catenóide de tipo tempo em L 3. Neste caso, como E = cosh u, a curvatura Gaussiana da superfície é dada por: K = 1 (ln(e = 1 cosh 4 u. Exemplo (Superfície de Enneper de tipo tempo. No conjunto Σ = {z L : 1+z z 0}, vamos considerar g(z = z e β = 1/ dz. Temos que: Além disso, como as 1-formas β β > 0, 1 + g(z g(z 0. α 1 = z dz, α = 1 4 (1 z dz, α 3 = τ 4 (1 + z dz, são L diferenciáveis em todo L, não possuem períodos reais. Logo, usando o Teorema 3.4.4, obtemos a seguinte imersão mínima ( u + v f(z =, u u3 6 u v, v + v3 6 + u v, que representa a superfície de Enneper de tipo tempo, representada na Figura 3.3. Figura 3.3: Superfície de Enneper de tipo tempo em L 3. Para este exemplo E = (1 + u v /4 e, deste modo, a curvatura de Gauss é dada por K = 1 (ln(e = 16 (1 + u v 4.