Aline de Lurdes Zuliani Lunkes

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS CURSO DE GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA-LICENCIATURA TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO ESPAÇOS MÉTRICOS - UMA INTRODUÇÃO Aline de Lurdes Zuliani Lunkes Santa Maria, RS, Brasil 2015

2 Espaços Métricos - Uma introdução Aline de Lurdes Zuliani Lunkes Trabalho de Conclusão de Curso de Matemática, da Universidade Federal de Santa Maria, como requisito parcial para obtenção do título de Licenciada em Matemática Área de Concentração: Matemática Orientador: Prof. Dr. Juliano Damião B. de Godoi Santa Maria, RS, Brasil 2015

3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova o Trabalho de Conclusão de Curso II Espaços Métricos: Uma - Introdução elaborado por Aline de Lurdes Zuliani Lunkes como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciada em Matemática COMISSÃO EXAMINADORA: Juliano Damião B. de Godoi, Dr. (Orientador) Maurício F. da Silva, Dr.(UFSM) Saradia S. Della Flora, Dr.a(UFSM) Santa Maria, RS, Brasil 2015

4 Resumo Neste trabalho de conclusão de curso em Matemática, apresentaremos uma introdução aos espaços métricos. No capítulo 1, alguns resultados importantes de espaços métricos. No segundo capítulo abordaremos aplicações contínuas, onde será importante para o capítulo 3, sobre homeomorfismo, que é o capítulo final deste trabalho.

5 Sumário Introdução 6 1 Espaços Métricos Definição e exemplos de Espaços Métricos Bolas e Esferas Espaço Métrico Discreto Espaço Métrico Limitado Aplicações Contínuas Definições e exemplos Propriedades das Aplicações Contínuas Homeomorfismos entre espaços métricos Definição e exemplos Projeção Estereográfica Referências Bibliográficas 38 5

6 Introdução O objetivo deste trabalho, é fornecer conhecimento em espaços métricos para a aluna, pois, tal conteúdo não é contemplado no currículo obrigatório do curso de Licenciatura em Matemática da UFSM. Mas, o que é um espaço métrico? E como surgiu? Conforme [2] e [3], devido às necessidades da Análise, muitos conceitos topológicos necessitavam ser dados a outros objetos diferentes dos números reais. Havia a necessidade de falar de limite ou de conjuntos abertos para vetores, funções, curvas, superfícies, etc. Mauricie Frechét, em 1906, descobriu uma estrutura simples e absolutamente geral, permitindo dar sentido às noções topológicas que se apresentam naturalmente na maior parte dos problemas de análise: é aquilo a que chamamos agora estrutura de espaços métricos. A resposta para o que é um espaço métrico será dada na primeira seção do capítulo 1. Este trabalho se divide em três capítulos: no capítulo 1, temos o conceito de espaços métricos, além de suas principais propriedades; no capítulo 2 a definição de aplicação contínua, com suas propriedades; e finalmente, no último capítulo a partir dos conceitos anteriores, definiremos homeomorfismo entre espaços métricos, ou seja, saber quando dois espaços métricos são equivalentes, dando ênfase à projeção estereográfica. Tal projeção era conhecida, inicialmente, como projeção planisférica, por Ptolomeu ( ). Esta projeção foi de grande uso na representação de cartas celestes (mapa do céu noturno). Até onde se tem conhecimento, o mapa mais antigo do mundo, criado em 1507, foi construído com o auxílio de tal projeção. Observa-se que ela transforma cada hemisfério em um disco circular. François d Aiguillon deu o nome a tal projeção de projeção estereográfica em Esta destaca-se em diferentes áreas da matemática, e possui aplicações em diversos campos, tais como: análise, equações diferenciais, cartografia para mapeamento da terra, geologia e fotografia. 6

7 Capítulo 1 Espaços Métricos Neste capítulo, apresentamos a definição de espaço métrico, bem como, uma série de exemplos e propriedades de tais espaços. Utilizamos a bibliografia [4] para a construção deste capítulo. 1.1 Definição e exemplos de Espaços Métricos Em determinadas áreas da Matemática, tais como Análise e Geometria, é necessária a compreensão do que vem ser a distância entre dois objetos de um determinado conjunto. No que segue, fornecemos o conceito de métrica, que generaliza o conceito usual de distância. Definição 1.1. Seja M um conjunto não vazio. Uma função d : M M R, é dita uma métrica em M se, para quaisquer x, y, z M, as seguintes condições são satisfeitas: M 1 ) d(x, x) = 0; M 2 ) Se x y então d(x, y) > 0; M 3 ) d(x, y) = d(y, x); M 4 ) d(x, z) d(x, y) + d(y, z). O número real d(x, y) é chamado de distância de x a y e o par (M, d) é denominado espaço métrico. Para um melhor entendimento da definição acima, no que segue, serão dados vários exemplos de espaços métricos. 7

8 8 Exemplo 1.1. Qualquer conjunto M não vazio pode se tornar um espaço métrico. Para isto, basta considerar d : M M R, definida por 1, se x y, d(x, y) = 0, se x = y. Temos que d é uma métrica em M, pois d satisfaz as condições M 1 ), M 2 ), M 3 ) e M 4 ). De fato, as condições M 1 ), M 2 ) e M 3 ) são consequências da definição de d. Agora, caso d(x, z) = 0, então x = z. Logo, d(x, y) + d(y, z) = d(x, z). Supondo d(x, z) = 1, então x z. Com isto, não podemos ter, ao mesmo tempo, d(x, y) = 0 e d(y, z) = 0, pois, neste caso, teríamos x = y e y = z, implicando em x = z, contrariando nossa suposição. Deste modo, d(x, y) = 1 ou d(y, z) = 1. Assim, 1 1+d(x, y) ou 1 1+d(y, z). Portanto, d(x, z) d(x, y) + d(y, z), para quaisquer x, y, z M, o que prova a validade de M 4 ). A métrica d, deste exemplo, é conhecida como métrica zero-um. Exemplo 1.2. Sejam (M, d) um espaço métrico e N M. Podemos munir N com uma métrica, dita métrica induzida pela de M, a qual é dada por d N N. Esta restrição satisfaz as condições M 1 ), M 2 ), M 3 ) e M 4 ), pois d é uma métrica. Neste caso, N é dito um subespaço métrico de M. Exemplo 1.3. O conjunto R dos números reais é um exemplo de espaço métrico. Para vermos isto, basta-nos mostrar que d : R R R, dada por d(x, y) = x y, para todo x, y R, é uma métrica em R. Para verificarmos isto, mostremos a validade das condições M 1 ), M 2 ), M 3 ) e M 4 ), da Definição 1.1. M 1 ) Considerando x = y, temos d(x, x) = x x = 0; M 2 ) Se x y, então x y 0, e assim d(x, y) = x y > 0; M 3 ) Sejam x, y R. Então d(x, y) = x y = ( x + y) = (y x) = y x = d(y, x);

9 9 M 4 ) Se x, y, z R, então, devido à desigualdade triangular do valor absoluto, d(x, z) = x z = x y + y z x y + y z = d(x, y) + d(y, z). Visto que d satisfaz as condições M 1 ), M 2 ), M 3 ) e M 4 ), segue que d é uma métrica em R, que é denominada métrica usual da reta. métricos. A próxima definição é importante, pois dá origem a vários de exemplos de espaços Definição 1.2. Seja E um espaço vetorial real. Dizemos que : E R, definida por (x) = x, para todo x E, é uma norma em E quando, para quaisquer x, y E e λ R, N 1 ) se x 0, então x 0; N 2 ) λ x = λ x ; N 3 ) x + y x + y. Neste caso, o par (E, ) é dito um espaço vetorial normado.

10 Se é uma norma em E, então, caso λ = 0, por N 2 ) segue que, 0 = 0 0 = 0 0 = 0, ou seja, o vetor nulo tem norma zero. E mais, x > 0 se, e somente se, x 0. Com efeito, se x E, então, visto que E é um espaço vetorial, x E. Por N 2 ), com λ = 1, x = ( 1)x = 1 x = x. Logo, por N 3 ), 0 = x+( x) x + x = x + x, ou seja, 0 2 x, implicando em x 0. Portanto, por N 1 ) e pelo fato de 0 = 0, x > 0 se, e somente se, x 0. Exemplo 1.4. Se R n = {(x 1, x 2,..., x n ); x i R}, então os pares (R n, 1 ) e (R n, 2 ), onde x 1 = n i=1 x i e x 2 = max 1 i n x i, para todo x = (x 1, x 2,..., x n ) R n, são exemplos de espaços vetoriais normados. Para verificarmos isto, devemos mostrar que 1 e 2 são normas em R n. Vejamos primeiramente que 1 é norma em R n. N 1 ) Se x = (x 1, x 2,..., x n ) R n \{0}, então existe k {1, 2,..., n} tal que x k 0. Logo, 10 x 1 = n x i x k > 0. i=1 N 2 ) Se λ R e x = (x 1, x 2,..., x n ) R n, então λ x 1 = λ(x 1, x 2,..., x n ) 1 = (λ x 1, λ x 2,..., λ x n ) 1 = λ x 1 + λ x λ x n = λ x 1 + λ x λ x n = λ ( x 1 + x x n ) = λ x 1. N 3 ) Se x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) R n, então, x + y 1 = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) 1

11 11 = x 1 + y 1 + x 2 + y 2 + x n + y n ( x 1 + x x n ) + ( y 1 + y y n ) = x 1 + y 1. Portanto, como 1 satisfaz as condições da Definição 1.2, segue que N 1 ), N 2 ) e N 3 ), 1 é uma norma em R n. Agora, mostremos que 2 é uma norma em R n. N 1 ) Se x = (x 1, x 2,..., x n ) R n \ {0}, então existe k {1, 2,..., n}, tal que x k 0. Deste modo, x 2 = max 1 i n x i x k > 0. N 2 ) Se λ R e x = (x 1, x 2,..., x n ) R n, então λ x 2 = λ(x 1,..., x n ) 2 = (λ x 1,..., λ x n ) 2 = max 1 i n λ x i = λ max 1 i n x i = λ x 2. N 3 ) Se x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) R n, então x + y 2 = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) 2 = max 1 i n x i + y i max 1 i n ( x i + y i ) = max 1 i n x i + max 1 i n y i = x 2 + y 2. Assim, visto que 2 satisfaz as condições N 1 ), N 2 ) e N 3 ), 2 é uma norma em R n. Exemplo 1.5. Seja X um conjunto não vazio. Dizemos que f : X R é limitada,

12 12 quando existe uma constante k f > 0, tal que f(x) k f, para todo x X. Se B(X; R) = {f : X R; f é limitada}, então : B(X; R) R, dada por f = sup f(x), x X para todo f B(X; R), define uma norma em B(X; R). Com efeito, no que segue mostraremos satisfaz as condições da Definição 1.2, N 1 ), N 2 ) e N 3 ). N 1 ) Se f B(X; R) \ {0}, então existe x X, tal que f(x) 0. Logo, N 2 ) Se λ R e f B(X; R), então f = sup f(x) f(x) > 0. x X λ f = sup λ f(x) x X = λ sup f(x) x X = λ f. N 3 ) Se f, g B(X; R), então f + g = sup (f + g)(x) x X sup( f(x) + g(x) ) x X = sup x X f(x) + sup g(x) x X = f + g. O próximo teorema relaciona espaços vetoriais normados e espaços métricos. O mesmo garante a existência de vários exemplos de espaços métricos. Teorema 1.1. Seja E um espaço vetorial real. Se (E, ) é um espaço vetorial normado,

13 13 então (E, d) é um espaço métrico, sendo d : E E R definida por d(x, y) = x y, para todo x, y E. Neste caso, a métrica d é dita proveniente da norma. Demonstração. Para provarmos este teorema, basta mostrar que d satisfaz as condições M 1 ), M 2 ), M 3 ) e M 4 ) da Definição 1.1, M 1 ) d(x, x) = x x = 0 = 0, para todo x E; M 2 ) se x, y E, com x y, então x y 0. Consequentemente, d(x, y) = x y > 0; M 3 ) d(x, y) = x y = (y x) = y x = d(y, x), para todo x, y E; M 4 ) como consequência da condição N 3 ), da Definição 1.2, temos d(x, z) = x z = (x y) + (y z) x y + y z = d(x, y) + d(y, z), x, y, z E. De acordo com o teorema anterior e os Exemplos 1.4 e 1.5, (R n, d 1 ), (R n, d 2 ) e (B(X; R), d), sendo d 1 (x, y) = x y 1 = n x i y i, i=1 d 2 (x, y) = x y 2 = max 1 i n x i y i e d(f, g) = f g = sup f(x) g(x), x X para x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n, f, g B(X; R), são espaços métricos.

14 14 Observação 1.1. Uma pergunta natural surge neste momento: Se (M, d) é um espaço métrico, então a métrica d é proveniente de alguma norma em M? Primeiramente, observamos que para isto ocorrer M deveria ser um espaço vetorial e isto nem sempre ocorre, basta-nos considerar, por exemplo, o conjunto M = {0, 1}, munido da métrica zero-um. Deste modo, a pergunta acima deve ser reescrita como: Se M é um espaço vetorial real e (M, d) é um espaço métrico, então d é proveniente de alguma norma em M? O próximo teorema nos dá uma resposta satisfatória, nos fornecendo condições necessárias e suficientes para que uma métrica em um espaço vetorial seja proveniente de uma norma no mesmo. Teorema 1.2. Sejam E um espaço vetorial real e d uma métrica em E. Então d é proveniente de uma norma em E se, e somente se, para quaisquer x, y, a E e λ R arbitrários, se tenha d(x + a, y + a) = d(x, y) e d(λx, λy) = λ d(x, y), Demonstração. Suponhamos que exista uma norma em E, : E R, tal que d(x, y) = x y, para todo x, y E. Se x, y, a E e λ R, então d(x + a, y + a) = (x + a) (y + a) = x y = d(x, y)

15 15 e d(λx, λy) = λx λy = λ(x y) = λ x y = λ d(x, y). Reciprocamente, suponhamos que, para x, y, a E e λ R arbitrários, tenhamos d(x + a, y + a) = d(x, y) e d(λx, λy) = λ d(x, y). Consideremos f : E R, definida por f(x) = d(x, 0), para todo x E. Mostremos que, f define uma norma em E. De fato, a seguir são verificadas as condições da Definição 1.2, N 1 ), N 2 ) e N 3 ) para f. N 1 ) Se x E\{0}, então, por d ser uma métrica, a condição M 2 ) da Definição 1.1, garante que f(x) = d(x, 0) > 0. Em particular, f(x) 0; N 2 ) Se x E e λ R, então f(λx) = d(λx, 0) = d(λx, λ0) = λ d(x, 0) = λ f(x). N 3 ) Se x, y E, então f(x + y) = d(x + y, 0) d(x + y, y) + d(y, 0) = d(x, 0) + d(y, 0) = f(x) + f(y). Portanto, f é uma norma em E, o que conclui a prova da afirmação. Finalmente, d(x, y) = d(x y, y y) = d(x y, 0) = f(x y), ou seja, a métrica d é proveniente da norma f. A seguir damos a definição de produto interno em um espaço vetorial. Veremos também que todo produto interno dá origem a uma norma e, consequentemente, pelo que foi exposto acima, também dá origem a uma métrica.

16 16 Definição 1.3. Seja E um espaço vetorial sobre R. Dizemos que, : E E R é um produto interno em E se, para quaisquer x, y, z E e α R, satisfaz: P 1 ) x + y, z = x, z + y, z ; P 2 ) αx, y = α x, y ; P 3 ) x, y = y, x ; P 4 ) Se x 0, então x, x > 0. Neste caso, o par (E,, ) é dito espaço com produto interno. Observação 1.2. Se, é um produto interno em E, então, das condições da Definição 1.3, P 2 ) e P 3 ), temos que, se x, y E e α R, x, αy = α x, y. Ainda, por P 1 ) e P 2 ), x, y + z = x, y + x, z, para quaisquer x, y, z E. Vale ressaltar, também que 0, y = 0. Com efeito, 0, y = 0 0, y = 0 0, y = 0. O próximo teorema nos fornece uma desigualdade, denominada desigualdade de Cauchy-Schwarz, a qual é de suma importância para garantir que um produto interno dá origem a uma norma. Teorema 1.3. Seja (E,, ) um espaço com produto interno e x, y E. Então x, y x, x y, y. Demonstração. Se y = 0, vemos que a desigualdade vale, pois 0 0. Se y 0, consideremos x + ty E, para t R. Neste caso, pela observação acima e por P 4 ), 0 x + ty, x + ty = x, x + 2t x, y + t 2 y, y. Como a desigualdade acima vale para todo t R, = 4 x, y 2 4 x, x y, y 0. Consequentemente, x, y x, x y, y, para todo x, y E.

17 17 Exemplo 1.6. A aplicação, : R n R n R, dada por x, y = n x i y i, i=1 para quaisquer x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) R n, define um produto interno em R n. De fato, abaixo provamos a validade das condições da Definição 1.3, P 1 ), P 2 ), P 3 ) e P 4 ). Para tal, sejam x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ), z = (z 1, z 2,..., z n ), com x, y, z R n e α R. n n n P 1 ) x + y, z = (x i + y i )z i = x i z i + y i z i = x, z + y, z ; P 2 ) αx, y = P 3 ) x, y = i=1 n αx i y i = α i=1 n x i y i = i=1 i=1 i=1 n x i y i = α x, y ; i=1 n y i x i = y, x ; i=1 P 4 ) Se x 0, então x k 0, para algum k {1, 2,..., n}. Logo, x, x = n x 2 i x 2 k > 0. i=1 Portanto, (R n,, ) é um espaço com produto interno. Teorema 1.4. Seja E um espaço vetorial real. Se, é um produto interno em E, então : E R, definida por x = x, x, para todo x E, é uma norma em E. Esta norma é dita norma proveniente do produto interno,. Demonstração. Abaixo, mostramos a validade das condições da Definição 1.2 N 1 ), N 2 ) e N 3 ) para, definida por x = x, x. N 1 ) Se x E \ {0}, então, por P 4 ), x, x > 0 e assim x = x, x > 0. N 2 ) Se λ R e x E, então, por P 2 ) e P 3 ), λx = λx, λx = λ 2 x, x = λ x.

18 18 N 3 ) Se x, y E, segue, por P 1 ), P 2 ) e P 3 ) e pelo Teorema 1.3, que x + y 2 = x + y, x + y = x, x + 2 x, y + y, y = x x, y + y 2 x x, y + y 2 x x y + y 2 = ( x + y ) 2. Logo, x + y x + y. Observação 1.3. Como consequência do Exemplo 1.6 e do Teorema 1.4, : R n R, dada por x = x, x = x x x 2 n, para todo x = (x 1, x 2,..., x n ) R n, é uma norma em R n, conhecida como norma euclideana. Assim, a mesma, pelo Teorema 1.1, dá origem a uma métrica, também conhecida como métrica euclideana. Para x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) R n temos, d(x, y) = x y = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2. Observação 1.4. Seja E um espaço vetorial real normado. Se define uma norma em E, então esta é proveniente de algum produto interno em E? Para respondermos esta pergunta, notamos que se x = x, x, onde, é um produto interno em E, então, para x, y E, x + y 2 = x x, y + y 2 e x y 2 = x 2 2 x, y + y 2.

19 19 Consequentemente, vale a chamada identidade do paralelogramo x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ). Com isto, podemos ver que 1, 2, dadas no Exemplo 1.4, não são provenientes de produto interno algum em R n. Afirmamos que a recíproca também vale, ou seja, se a identidade do paralelogramo é satisfeita para uma norma, então esta é proveniente de algum produto interno em E. Entretanto, a prova desta recíproca demanda de outros resultados, relacionados à continuidade e será omitida (sugerimos ao leitor [5]). Na próxima seção introduziremos o conceito de bolas em diferentes espaços métricos. Também veremos uma série de exemplos. Tais conceitos são muito importantes, pois a partir deles, introduziremos conceitos gerais de aplicações contínuas. 1.2 Bolas e Esferas Definição 1.4. Sejam (M, d) um espaço métrico, a M e r > 0. Então, definimos 1) a bola aberta de centro a e raio r por B(a; r) = {x M; d(x, a) < r} ; 2) a bola fechada de centro a e raio r por B[a; r] = {x M; d(x, a) r} ; 3) a esfera de centro a e raio r por S(a; r) = {x M; d(x, a) = r}. As bolas e esferas podem adquirir aspectos inesperados. No que segue, veremos alguns exemplos. Exemplo 1.7. Seja (M, d) um espaço métrico, onde d é a métrica zero-um. Então, para quaisquer a M e r > 0, M, se r > 1, B(a; r) = {x M; d(x, a) < r} = {a}, se r 1. Ainda, vê-se que B[a; r] = M, se r 1, B[a; r] = {a}, se r < 1. Agora, visto que B[a; r] = B(a; r) S(a; r), S(a; r) = B[a; r] B(a; r) =. Logo, se r 1, S(a; 1) = M \ {a}.

20 Exemplo 1.8. Sejam (R; d), onde d é a métrica usual de R, a R e r > 0. Neste caso, 20 B(a; r) = {x R; d(x, a) < r} = {x R; x a < r} = {x R; a r < x < a + r} = (a r, a + r). Também, B[a; r] = [a r, a + r] e S(a; r) = {a r, a + r}. Exemplo 1.9. Em (R 2, d), (R 2, d 1 ) e (R 2, d 2 ), temos que se a = (a 1, a 2 ) R 2 e r > 0, S d (a; r) = { (x, y) R 2 ; d((x, y), (a 1, a 2 )) = r } { = (x, y) R 2 ; } (x a 1 ) 2 + (y a 2 ) 2 = r. S d1 (a; r) = { (x, y) R 2 ; d 1 ((x, y), (a 1, a 2 )) = r } = { (x, y) R 2 ; x a 1 + y a 2 = r }. S d2 (a; r) = { (x, y) R 2 ; d 2 ((x, y), (a 1, a 2 )) = r } = { (x, y) R 2 ; max { x a 1, y a 2 } = r }.

21 21 Exemplo Se B([a, b], R) é o espaço métrico do Exemplo 1.3, f B([a, b], R) e r > 0, B[f; r] = {g B([a, b], R); d(g, f) r}, = {g B([a, b], R); g f r}. Exemplo Sejam (M, d) um espaço métrico e N M um subespaço métrico de M. Então, se para cada a N e cada r > 0, denotarmos por B N (a; r) a bola aberta de centro a e raio r, relativamente à métrica d, temos B N (a; r) = B(a; r) N. Com efeito, B N (a; r) = {x N; d(x, a) < r} = {x M; d(x, a) < r} N = B(a; r) N. Além disso, podemos mostrar que B N [a; r] = B[a; r] N e S N (a; r) = S(a; r) N. Por exemplo, ao considerarmos S 1 = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 = 1} como um subespaço métrico de R 2, munido da métrica euclideana, temos que B S 1(a; r) é um arco de círculo, cujo ponto médio é a.

22 22 Na próxima seção, utilizando os conceitos de bola aberta, fornecemos o conceito de Espaço Métrico Discreto. 1.3 Espaço Métrico Discreto Definição 1.5. Seja M um espaço métrico. Dizemos que a M é ponto isolado de M quando existe r > 0 tal que B(a; r) = {a}. Exemplo Seja Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} um subespaço métrico de R, munido com a métrica euclideana. Todo ponto n Z é isolado, pois existe r = 1 > 0, tal que B(n; 1) = {m Z; d(m, n) < 1} = {m Z; m n < 1} = {n}.

23 Já, se considerarmos, A = { 1 n ; n N}, então 0 não é ponto isolado de A, pois para todo r > 0, existe n N tal que d( 1 n, 0) = 1 n < r, isto é, B(0; r) {a}, para todo r > 0. Exemplo Seja (M, d) um espaço métrico, sendo d a métrica zero-um. os pontos de M são pontos isolados, pois dado a M, existe r = 1 2 B(a; 1 2 ) = {a}. 23 Todos > 0, tal que Exemplo Se E {0} é um espaço vetorial real, munido da norma, então todo ponto de E não é ponto isolado. De fato, como E {0}, existe b E \ {0}. Assim, dados a E e r > 0, y = a + rb 2 b E é tal que y a = r 2 < r. Consequentemente, y B(a; r) e y a. Ou seja, B(a; r) {a}. Portanto, a não é ponto isolado de E. Definição 1.6. Dizemos que o espaço métrico (M, d) é discreto quando todo ponto de M é isolado. Exemplo Pela definição acima podemos concluir que, no Exemplo 1.12, Z é discreto e A não é discreto. Do Exemplo 1.13, todo espaço métrico (M, d), onde d é a métrica zero-um, é discreto e todo espaço vetorial normado não nulo, pelo Exemplo 1.14, não é discreto. 1.4 Espaço Métrico Limitado Definição 1.7. Sejam (M, d) um espaço métrico e X M. Dizemos que X é limitado quando existe um número real r 0 tal que d(x, y) r, para quaisquer x, y X. Se X é limitado e não vazio, o conjunto {d(x, y); x, y X} é não vazio e limitado superiormente. O diâmetro de X é definido como sendo o número diam(x) = sup{d(x, y); x, y X}.

24 24 Exemplo Qualquer bola B(a; r) em um espaço métrico é limitada, pois para quaisquer x, y B(a; r), temos d(x, y) d(x, a) + d(a, y) < r + r = 2r. Ou seja, diam(b(a; r)) 2r. Observação 1.5. Existem situações em que o diâmetro de uma bola B(a; r) é menor do que 2r. Por exemplo, se considerarmos B(2; 2) em M = Z, munido da métrica induzida da de R, então e diam(b(2; 2)) = 2 < 2 2. B(2; 2) = {1, 2, 3} Exemplo Em um espaço vetorial real normado E {0}, a bola aberta B(a; r) tem diâmetro 2r. De fato, devido ao Exemplo 1.16, basta mostrarmos que qualquer número menor do que 2r não pode ser uma cota superior para o conjunto {d(x, y) = x y ; x, y B(a; r)}. Para tal, seja s R, com s < 2r. Então existe t R tal que s < 2t < 2r. Ainda, visto que E {0}, existe y 0 em E. Considerando x = ty, vemos que x = t < r. y Consequentemente, a + x, a x B(a; r). Além disso, d(a + x, a x) = (a + x) (a x) = 2 x = 2t > s. Com isto, s diam(b(a; r)). Logo, diam(b(a; r)) = 2r.

25 25 Exemplo Todo espaço vetorial real normado E {0} não é limitado. Com efeito, suponhamos E limitado. Então existe r > 0 tal que d(x, y) r, para quaisquer x, y E. Agora, visto que E {0}, existe v 0 em E. Assim, 2rv v E e d(v, 0) = v 0 = v = 2r > r, o que contraria nossa suposição. Portanto, E não é limitado. O próximo resultado nos dá uma maneira alternativa de definirmos conjuntos limitados em um espaço métrico. Teorema 1.5. Sejam (M, d) um espaço métrico e X M. Então X é limitado se, e somente se, existe alguma bola B de M contendo X. Demonstração. Se X =, então X B, para qualquer bola de M. Se X, então existe a X. Como X é limitado, existe r > 0 tal que d(x, a) r, para todo x X. Consequentemente, X B[a; r] B(a; 2r). Reciprocamente, se X B = B(a; r), para algum r > 0 e a M, então d(x, a) < r, para todo x X. Agora, para quaisquer x, y X, temos d(x, y) d(x, a)+d(y, a) < r+r = 2r, ou seja, diam(x) < 2r. Portanto, X é limitado.

26 Aplicações Contínuas Capítulo 2 Até o presente momento, sabemos o que é um espaço métrico. Em estudos mais avançados há a necessidade de buscar uma maneira de relacionar tais espaços. Tal relação é dada através de aplicações, mais especificamente aplicações contínuas, que será o tema de estudo neste capítulo. A bibliografia utilizada para a construção deste capítulo é [4]. 2.1 Definições e exemplos Nesta seção, fornecemos a definição de aplicação contínua entre dois espaços métricos, bem como uma série de exemplos de tais aplicações. Vale ressaltar que tal definição é uma generalização do conceito de continuidade visto em Análise Real. Definição 2.1. Sejam (M, d M ) e (N, d N ) espaços métricos. Dizemos que a aplicação f : M N é contínua em a M quando, para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que d M (x, a) < δ implica d N (f(x), f(a)) < ε. Diz-se também que f : M N é contínua quando ela é contínua em todos os pontos a M. 26

27 Observação 2.1. A aplicação f : M N é contínua em a se, somente se, dada qualquer bola B = B(f(a); ε), existe uma bola B = B(a; δ) tal que f(b) B. 27 A definição acima generaliza o conceito de continuidade visto no curso de Análise Real, pois se considerarmos d a métrica usual de R, então f : M R R é contínua em a se, e somente se, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que x M, d(x, a) < δ implica d(f(x), f(a)) < ε o que equivale a dizer que ε > 0, δ > 0; x M e x a < δ f(x) f(a) < ε. Exemplo 2.1. Sejam (M, d M ) e (N, d N ) espaços métricos, sendo d M a métrica zeroum. Então f : M N é sempre contínua, pois dado ε > 0, existe δ = 1 2 B(a; δ) = B(a; 1 ) = {a} e assim, f(b(a; δ)) = {f(a)} B(f(a); ε). 2 tal que Exemplo 2.2. Sejam (M, d M ), (N, d N ) espaços métricos e a um ponto isolado de M. Então qualquer aplicação f : M N é contínua em a. Com efeito, como a é ponto isolado de M, existe δ > 0 tal que B(a; δ) = {a}. Deste modo, dado ε > 0, f(b(a; δ)) = f({a}) = {f(a)} B(f(a); ε). Portanto f é contínua em a. Como consequência do exemplo anterior temos que se M é um espaço métrico discreto, então toda aplicação f : M N é contínua, sendo N espaço métrico. Observação 2.2. Se (M, d M ), (N, d N ) são espaços métricos, então, ao negarmos a Definição 2.1, concluimos que f : M N é descontínua em a M, quando ε > 0; δ > 0, x = x δ M; d M (x, a) < δ e d N (f(x), f(a)) ε.

28 28 Por exemplo, a aplicação ξ : R R, definida por 1, se x y, ξ(x) = 0, se x = y, é descontínua em todo ponto a R, sendo R munido da métrica usual. Com efeito, considerando ε = 1 2 > 0, temos que dado δ > 0, existe, pela densidade de Q em R, x δ tal que d(x δ, a) = x δ a < δ, sendo x δ racional se a for irracional e x δ irracional se a for racional. Com isto, ξ(x δ ) ξ(a) = 1 1. Portanto, ξ é descontínua em R, já que a R é arbitrário. 2 Observação 2.3. Se f : M N é tal que f B é contínua em a, para alguma bola centrada em a, então f é contínua em a. Com efeito, sejam ε > 0 e B = B(a; r). Como f B é contínua em a, existe δ > 0 tal que se x B e d M (x, a) < δ, então d N (f(x), f(a)) < ε. Consequentemente, ao tomarmos δ 1 = min{δ, r}, teremos que x M e d M (x, a) < δ 1 d N (f(x), f(a)) < ε, ou seja, f é contínua em a. Deste modo, o conceito de continuidade em um ponto é local, isto é, depende apenas do comportamento de f nas proximidades de tal ponto. Definição 2.2. Sejam (M, d M ) e (N, d N ) dois espaços métricos. Dizemos que uma aplicação f : M N é Lipschitziana quando existe uma constante c > 0, chamada constante de Lipschitz, tal que d N (f(x), f(y)) c d M (x, y), para quaisquer x, y M. Toda aplicação lipschitziana é contínua, pois dados ε > 0 e a M, existe δ = ε c tal que d M (x, a) < δ d N (f(x), f(a)) c d M (x, a) < c δ = ε. Ainda, sobre as aplicações lipschitzianas, no que segue, vemos um modo de construir aplicações lipschitzianas e, consequentemente, contínuas quando N = R. Inicialmente, notamos que se f, g : M R são lipschitzianas, com constantes de Lipschitz c f e

29 c g, respectivamente, então f + g é lipschitziana, com constante de Lipschitz c f + c g, pois 29 d R ((f + g)(x), (f + g)(y)) = (f(x) + g(x)) (f(y) + g(y)) f(x) f(y) + g(x) g(y) (c f + c g ) d M (x, y). Também, se f : M R é lipschitziana, com constante de Lipschitz c f, a aplicação k f, para k R, é lipschitziana, com constante de Lipschitz k c f, pois d R ((k f)(x), (k f)(y)) = k f(x) k f(y) = k f(x) f(y) k c f d M (x, y). Como consequência das propriedades acima, podemos mostrar, por indução, que toda combinação linear k 1 f 1 + k 2 f k n f n de aplicações f i : M R lipschitzianas, é lipschitziana, sendo k i R, com i = 1, 2,..., n. Exemplo 2.3. A função f : R R, definida por f(x) = x n, para n N, é lipschitziana em cada conjunto limitado de R, em particular, em toda bola B R, e assim, pela Observação 2.3 e por toda aplicação lipschitziana ser contínua, f é contínua. De fato, se x k e y k, então d(f(x), f(y)) = x n y n = x y x n 1 + x n 2 y + + y n 1 x y ( x n 1 + x n 2 y + + y n 1 ) k x y = k d(x, y), onde k = n k n 1. Como consequência disto, toda função polinomial p : R R, dada por p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, com a i R, é contínua. Exemplo 2.4. Seja E um espaço vetorial real normado. A aplicação m : R E E, definida por m(λ, x) = λ x, é lipschitziana em cada conjunto limitado de R E. De fato,

30 30 se considerarmos em R E a métrica d, dada por d[(λ, x), (µ, y)] = λ µ + x y, para quaisquer (λ, x), (µ, y) R E, então, caso λ, µ, x e y sejam menores do que, ou iguais a k, d[m(λ, x), m(µ, y)] = λ x µ y λ µ x + µ x y k( λ µ + x y ) = k d[(λ, x), (µ, y)]. Logo, m é contínua em cada parte limitada de R E. Em particular, m é contínua em cada bola B de R E, e assim, m é contínua. Um tipo de aplicação lipschitziana muito comum é obtida quando a constante de Lipschitz vale 1. Definição 2.3. Sejam (M, d M ) e (N, d N ) dois espaços métricos. Se f : M N é tal que d N (f(x), f(y)) d M (x, y), para quaisquer x, y M, então f é dita uma contração fraca. Exemplo 2.5. As contrações fracas, sendo lipschitzianas, são contínuas. Abaixo, seguem vários exemplos de contrações fracas. 1) A aplicação constante f : M N, definida por f(x) = c N. Basta notar que d N (f(x), f(y)) = d N (k, k) = 0 d M (x, y), para quaisquer x, y M. 2) Uma imersão isométrica é uma aplicação f : M N tal que d N (f(x), f(y)) = d M (x, y), para quaisquer x, y M. Em particular, toda imersão isométrica é uma contração fraca. Com isto, a inclusão i : X M, definida por i(x) = x, onde X é um subespaço de M, é contínua. 3) Seja E um espaço vetorial real normado. Então, a norma : E R é uma

31 31 contração fraca, pois se x, y E, temos d R ( (x), (y)) = x y x y = d E (x, y). 4) Sejam (M 1, d 1 ),..., (M n, d n ) espaços métricos. Para cada i {1, 2,..., n} definimos a aplicação projeção p i : M 1 M 2 M n M i, pondo p i (x 1,..., x n ) = x i. Ao considerarmos M 1 M 2 M n munido com a métrica d, definida por d(x, y) = d 1 (x 1, y 1 ) + d 2 (x 2, y 2 ) + + d n (x n, y n ), para todo x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) M 1 M 2 M n, vemos que d i (p i (x), p i (y)) = d i (x i, y i ) d(x, y), ou seja, p i é uma contração fraca. 5) Sejam (M, d), (M M, δ) espaços métricos, onde δ[(x, y), (a, b)] = d(x, a) + d(y, b), (x, y), (a, b) M M. Então a métrica d : M M R é contração fraca, pois d R (d(x, y), d(a, b)) = d(x, y) d(a, b) d(x, y) d(a, y) + d(a, y) d(a, b) d(x, a) + d(y, b) = δ[(x, y), (a, b)], (x, y), (a, b) M M. 6) Seja E um espaço vetorial real normado. Então, a aplicação s : E E E, dada por s(x, y) = x + y é uma contração fraca, quando consideramos em E E a norma (x, y) = x + y. De fato, s(x, y) s(a, b) x a + y b = (x, y) (a, b). 2.2 Propriedades das Aplicações Contínuas contínuas. Nesta seção, listamos e provamos algumas propriedades relacionadas às aplicações

32 32 Teorema 2.1. Sejam (M, d M ), (N, d N ) e (P, d P ) espaços métricos. Se f : M N é contínua em a M e g : N P é contínua em f(a) N, então g f : M P é contínua em a. Demonstração. Dado ε > 0, pela continuidade de g em f(a), existe δ 1 > 0 tal que se f(x) N e d(f(x), f(a)) < δ 1, então d(g(f(x)), g(f(a)) < ε. Agora, visto que δ 1 > 0, da continuidade de f em a, obtemos um δ > 0 tal que se x M e d(x, a) < δ, então d(f(x), f(a)) < δ 1. Logo, d((g f)(x), (g f)(a)) < ε. O que prova a continuidade de g f em a. O próximo corolário afirma que toda restrição de uma aplicação contínua é também contínua. Corolário 2.1. Sejam (M, d M ) e (N, d N ) espaços métricos. Se f : M N é contínua em a X M, então f X : X N também é contínua em a. Demonstração. Ora, por hipótese, que f : M N é contínua em a X M. Ainda, pelo Exemplo 2.4, a inclusão i : X M, dada por i(x) = x, também é contínua. Agora, como f X = f i, segue, pelo teorema anterior, que a restrição f X é contínua a. Para o próximo resultado vamos precisar do seguinte conceito: Sejam M, N 1 e N 2 espaços métricos. A aplicação f : M N 1 N 2 equivale a um par (f 1, f 2 ), sendo f 1 : M N 1 e f 2 : M N 2 denominadas aplicações coordenadas de f. Neste caso, tem-se f(x) = (f 1, f 2 )(x) = (f 1 (x), f 2 (x)), para todo x M. Teorema 2.2. Sejam (M, d M ), (N 1, d 1 ) e (N 2, d 2 ) espaços métricos. A aplicação f = (f 1, f 2 ) : M N 1 N 2 é contínua em a M se, e somente se, f 1 : M N 1 e f 2 : M N 2 são contínuas em a.

33 33 Demonstração. Seja f contínua em a, então, sendo p i : N 1 N 2 N i, para i = 1, 2, uma projeção, e f 1 = p 1 f e f 2 = p 2 f, segue, do Teorema 2.1, que f 1 e f 2 são contínuas em a. Para mostrarmos a recíproca, consideramos em N 1 N 2 a métrica d, definida por d[(x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )] = max{d 1 (x 1, y 1 ), d 2 (x 2, y 2 )}, para quaisquer (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) N 1 N 2. Como as aplicações coordenadas são contínuas em a M, dado um ε > 0, existem δ 1 > 0 e δ 2 > 0 tais que d M (x, a) < δ 1 então d 1 (f 1 (x), f 1 (a)) < ε e d M (x, a) < δ 2 temos que d 2 (f 2 (x), f 2 (a)) < ε. Tomando δ = min{δ 1, δ 2 }, temos que d M (x, a) < δ implica em d(f(x), f(a)) = max[{d 1 (f 1 (x), f 1 (a)), d 2 (f 2 (x), f 2 (a))}] < ε. Logo, f é contínua em a. Corolário 2.2. Sejam M 1, M 2, N 1 e N 2 espaços métricos. Se f 1 : M 1 N 1 e f 2 : M 2 N 2 são contínuas, então a aplicação ϕ = f 1 f 2 : M 1 M 2 N 1 N 2, definida por ϕ(x 1, x 2 ) = (f 1 f 2 )(x 1, x 2 ) = (f 1 (x 1 ), f 2 (x 2 )), também é contínua. Demonstração. Para verificar o corolário, basta notar que se considerarmos as projeções p i : M 1 M 2 M 1, para i = 1, 2, então as aplicações coordenadas de ϕ são f 1 p 1 : M 1 M 2 N 1 e f 2 p 1 : M 1 M 2 N 2. Deste modo, segue, dos Teoremas 2.1 e 2.2, que ϕ é contínua. Corolário 2.3. Sejam M um espaço espaço métrico, E um espaço vetorial real normado, f, g : M E, α, β : M R aplicações contínuas, com β(x) 0, para todo x M. Então as aplicações f + g : M E, α f : M E e α β : M R também são contínuas. Demonstração. Devemos lembrar que r : R \ {0} R, definida por r(x) = 1, é contínua. x Com isto, notando que f + g = s (f, g), α f = m (α, f) e α = m (id r) (α, β), β sendo id : R R dada por id(x) = x, segue, pelos resultados estabelecidos nesta seção, a validade do corolário em questão.

34 Capítulo Homeomorfismos entre espaços métricos 3 Em Álgebra Linear, vemos que a inversa de uma transformação linear bijetiva ainda é linear. Na teoria de Grupos e Anéis também vemos que o inverso de um homomorfismo bijetor ainda é um homomorfismo. Em espaços métricos tal similaridade não ocorre, ou seja, existem aplicações contínuas bijetivas, com inversa descontínua. Quando ocorrer da inversa ser contínua, teremos o que chamamos de homeomorfismo. Tal conceito é de grande utilidade para classificar espaços métricos e com uma visão mais ampla, espaços topológicos. Na primeira seção deste capítulo, damos a definição de homeomorfismo, alguns exemplos e propriedades relacionadas. Já na segunda e última seção abordamos um tipo especial de homeomorfismo, a projeção estereográfica. A bibliografia utilizada para a construção deste capítulo é [4]. 3.1 Definição e exemplos Definição 3.1. Sejam M e N espaços métricos. Um homeomorfismo de M sobre N é uma bijeção contínua f : M N cuja inversa f 1 : N M também é contínua. Neste caso, diz-se que M e N são homeomorfos e denotamos por M N. Observação 3.1. Sejam (M, d M ) e (N, d N ) espaços métricos. Então, são válidas: 1) M N, para isto basta utilizar a aplicação identidade em M, que é um homeomorfismo; 2) M N N M então existe f : M N que é um homeomorfismo. Portanto, existe h = f 1 : M N que é contínua, bijetora e sua inversa também é contínua. Logo, h é homeomorfismo, ou seja, N M; 34

35 3) Se M N e N P, mostremos que M P. Assim, M N então existe g : N P homeomorfismo. Assim, temos que h = g f : M P é um homeomorfismo, pois é composição de homeomorfismos. Logo, M P. Portanto, é uma relação de equivalência em M, a classe de todos os espaços métricos. Exemplo 3.1. Se M = R está munido da métrica zero-um, então a aplicação identidade i : M R não é um homeomorfismo. De fato, pelo Exemplo 2.1, temos que a função i é contínua. Além disso, i é bijeção, com i 1 (y) = y, para todo y R. Agora, j = i 1 não é contínua. Para vermos isto, seja a R qualquer e consideremos ε = 1. Deste modo, 2 B(j(a); ε) = B ( j(a); 1 ) = {j(a)} = {a} Consequentemente, não existe δ > 0, tal que j(a δ, a + δ) = (a δ, a + δ) B(j(a); ε), ou seja, j é descontínua em a. Exemplo 3.2. Sejam [ 1, 0] (1, ), [0, + ) subespaços métricos de R. Então, a função f : [ 1, 0] (1, ) [0, + ), definida por f(x) = x 2, é contínua, pois é a restrição de uma função polinomial, que é contínua, ao subconjunto [ 1, 0] (1, ). Ainda, f é bijetiva, com inversa g = f 1 : [0, + ) [ 1, 0] (1, ), dada por g(y) = y, se y > 1 e g(y) = y, se 0 y 1. Mas g é descontínua em 1. Portanto, f não é um homeomorfismo. É comum utilizarmos a expressão equivalência topológica ao invés de homeomorfismo, pois do ponto de vista topológico dois espaços métricos homeomorfos são indistinguíveis. Uma propriedade P de que goza um espaço métrico M é dita topológica quando qualquer espaço N homeomorfo a M, também goza de P. As propriedades topológicas

36 diferem das propriedades métricas de M, que são aquelas preservadas através de isometrias, isto é, se M goza de P e M e N são isométricos (existe uma aplicação f : M N bijetiva que preserva distância), então N goza de P. Notemos que toda isometria é um homeomorfismo e assim toda propriedade topológica é métrica, mas ser uma propriedade métrica não implica em ser uma propriedade topológica, como veremos no próximo exemplo. Exemplo 3.3. Ser discreto é uma propriedade topológica. De fato, sejam M e N espaços métricos homeomorfos e suponhamos M discreto. Provemos que N também é discreto. Como N M, existe f : N M, que é um homeomorfismo. Agora, dado a N, f(a) M. Visto que M é discreto, f(a) é ponto isolado de M. Por consequinte, existe ε > 0, tal que B(f(a); ε) = {f(a)}. Ainda, sendo f : N M contínua, existe δ > 0 tal que f(b(a; δ)) B(f(a); ε) = {f(a)}. Deste modo, se existir x a em B(a; δ), então f(x) = f(a). Mas f é injetiva. Logo, x = a, o que contraria nossa suposição. Portanto, B(a; δ) = {a}, isto é, a é um ponto isolado de N. Finalmente, por a ser um elemento arbitrário de N, segue que N também é discreto. Como consequência, N e Q não podem ser homeomorfos. Exemplo 3.4. Ser limitado é uma propriedade métrica, mas não é topológica. 36 Com efeito, se M = N e N = { 1 ; n N} são vistos como subespaços de R, então f : M N, n dada por f(n) = 1, para todo n N, é um homeomofismo, sendo M não limitado e N n limitado, ou seja, ser limitado não é uma propriedade topológica. Entretanto, se X é um espaço métrico limitado e isométrico a Y, então, devido à distância ser preservada, Y deve ser limitado, isto é, ser limitado é uma propriedade métrica. Exemplo 3.5. Seja E um espaço vetorial real normado. Para a E e para λ R \ {0}, a translação T a : E E e a homotetia H λ : E E definidas por T a (x) = x+a e H λ (x) = λ x são exemplos de homeomorfismos De fato, T a e H λ serem aplicações contínuas é decorrente do capítulo 2. Ainda, T 1 a = T a e H 1 λ = H λ 1, que também são contínuas. Portanto, as translações e homotetias em um espaço vetorial são homeomorfismos. Como consequência do exemplo anterior podemos mostrar que duas bolas abertas B(a; r) e B(b; s) em um espaço vetorial real normado E são homeomorfas. De fato, basta-

37 37 nos considerar a composta ϕ = T b H s r T a : E E. Temos que ϕ B(a;r) : B(a; r) B(b; r), é um homeomorfismo. Com isto, B(a; r) B(b; s). Exemplo 3.6. Toda bola aberta de um espaço vetorial normado (E, ) é homeomorfa a E. Para vermos isto, basta-nos considerar a bola unitária B = B(0; 1) e mostrar que existe x um homeomorfismo ψ : E B. Seja ψ(x) =. Visto que ψ(x) = x (1+ x ) 1 + x < 1, para todo x E, ψ está bem definida. Ainda, ψ é um aplicação contínua de E em B. y Agora, sendo Φ : B E, dada por φ(y) =, com y < 1, para todo y B, vemos 1 y que φ é contínua. Além do mais, vale (ψ φ)(y) = y e (φ ψ)(x) = x para quaisquer x E, y B. Logo, φ = ψ 1. Consequentemente, ψ é um homeomorfismo. Ou seja, B E. Utilizando o que foi dito acima, segue que toda bola aberta em E é homeomorfa a B. Por isto e por ser uma relação de equivalência em M, toda bola aberta em E é homeomorfa a E. 3.2 Projeção Estereográfica A projeção estereográfica nada mais é do que uma aplicação que projeta uma esfera unitária n-dimensional em um hiperplano de dimensão n 1. Seja S n = {x R n+1 ; x = 1} a esfera unitária n-dimensional e N = (0, 0,..., 1) S n, o seu pólo norte. A projeção estereográfica π : S n {N} R n, é definida da seguinte forma: dado um ponto x = (x 1,..., x n+1 ) S n {N}, onde π(x) é o ponto em que a

38 semirreta Nx R n+1 intercepta o hiperplano x n+1 = 0. Note que os pontos da semirreta Nx são da forma N + t(xn), com t 0. Assim, um ponto dessa semirreta está no hiperplano x n+1 = 0 se, e somente se, 1 + t(x n+1 1) = 0, donde t = 1 1 x n+1 π(x) = 1 1 x n+1 (x 1,..., x n ). 38 e, portanto, A expressão acima mostra que π é contínua. Tal projeção, na realidade, é um homeomorfismo. De fato, considerando a aplicação contínua φ : R n S n {N}, definida ( ) 2y por φ(y) = 1,..., 2y n, y 2 1, para todo y = (y y 2 +1 y 2 +1 y , y 2,..., y n ) R n, vemos que φ π = id S n {N} e π φ = id R n. Com isto, π é um homeomorfismo. Vale ressaltar que a projeção estereográfica possui várias propriedades interessantes, tais como: 1) Qualquer círculo em S n é levado pela projeção estereográfica a um círculo ou uma reta no plano R n ; 2) Sejam N o pólo norte do S n, x e x dois pontos distintos da esfera. Então, os triângulos Nxx e Nπ(x)π(x ) são semelhantes; 3) A Projeção Estereográfica preserva ângulos. Para maiores detalhes, citamos [1].

39 Referências Bibliográficas [1] AHLFORS, Lars V., Complex Analysis, 3rd ed.. Nova Iorque: Editora Mc Graw- Hill, [2] COURANT, Richard e ROBBINS, Herbet, O que é Matemática? Uma abordagem elementar de métodos e conceitos. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda, [3] DIEUDONNÉ, Jean, A Formação da Matemática Contemporânea. Lisboa : Editora Publicações Dom Quixote Ltda, [4] LIMA, Elon L., Espaços Métricos, 4 o edição, Projeto Euclides. Rio de Janeiro: Editora IMPA, [5] YOSHIDA, K., Functional Analysis, 6th ed.. Nova Iorque: Editora Springer,