Grupos e álgebras de Lie

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1 Grupos e álgebras de Lie Carlos José Matheus jmatheus@ime.usp.br Sociedade Brasileira de Matemática Rio de Janeiro - RJ, Brasil 2014

2 Coordenação Editorial: Flávia Morgana de O. Jacinto Editora: SBM Impresso na Gráfica: Capa: Patrocínio: Superintendência da Zona Franca de Manaus (SUFRAMA) Copyright by Carlos José Matheus Direitos reservados, 2014 pela SBM. Catalogação Matheus, Carlos José Grupos e álgebras de Lie - Rio de Janeiro, RJ: SBM, 2014, 45p., 20,5 cm - (Minicurso Colóquio CO 2014 ) ISBN 1.Grupos de Lie.2.Geometria.3.Matemática. Carlos José Matheus. III Colóquio de Matemática da Região Norte. (2014. Manaus) Título. Série CDD - 51

3 Dedico estas notas à minha esposa Ana.

4 Agradecimentos Ao Professor Dr. Elon Lages Lima, em cujos livros encontrei a inspiração para este trabalho. Ao Professor Dr. Ivan de Azevedo Tribuzy, pelo estímulo e pelos bons conselhos. À inesquecível Profa. Dra. Elza Furtado Gomide.

5 Prefácio A teoria matemática iniciada por S. Lie tem seus primeiros profundos resultados no final do século XIX. No século XX, principalmente a partir dos trabalhos de E. Cartan, C. Chevalley e H. Coxeter, a Teoria de Lie caminha cada vez mais ao lado da Geometria. Conseqüência dessa feliz união foi o surgimento de belíssimas teorias, em tempos recentes, como a dos espaços simétricos, variedades bandeira, a geometria das ações isométricas, grupos cristalográficos, grupos de Lie métricos e muitas outras, com aplicações em diversas áreas de pesquisa. Historicamente ela decorre da idéia de uma versão geométrica da Teoria de Galois, que trataria equações diferenciais a partir de uma correspondência entre subespaços (topológicos) de uma variedade diferenciável (que poderiam ser variedades integrais) e subálgebras de uma álgebra associada à variedade ambiente, de modo análogo ao da correspondência de Galois, entre subcorpos de um corpo de raízes de equações algébricas e subgrupos de um grupo de automorfismos associado. Estas notas apresentam tópicos fundamentais da teoria de Lie, enfatizando a relação entre os grupos de Lie e suas álgebras de Lie. O capítulo 1 trata das álgebras de Lie, em uma tentativa de evidenciar a beleza e elegância dessa teoria algébrica. O capítulo 2 trata das variedades diferenciáveis, que vão formar o background para a apresentação dos grupos de Lie. O capítulo 3 trata dos grupos de Lie e de suas relações com as álgebras de Lie, passando por conceitos fundamentais como o da aplicação exponencial e o da representação adjunta. Assumimos que o leitor tenha familiaridade com aspectos fundamentais da Teoria de Grupos, da Álgebra Linear e da Topologia, além de um conhecimento equivalente a quatro semestres de Cálculo Diferencial e Integral. Seria recomendável (mas não estritatmente necessário) um curso elementar em Geometria Diferencial das Superfícies (como em [Carmo](2005)) e noções de Topologia Algébrica, essencialmente a Teoria dos Espaços de Recobrimento (como em [Lima](1998)).

6 Conteúdo 1 Álgebras de Lie Álgebras de Lie Ideais e homomorfismos Álgebras de Lie solúveis e nilpotentes Álgebras de Lie semisimples A forma de Killing 10 2 Variedades diferenciáveis Preliminares A forma local das imersões Superfícies em R O plano tangente Subvariedades do espaço R n Variedades diferenciáveis O espaço tangente Subvariedades Fluxos e campos vetoriais 32 3 Grupos de Lie Grupos de Lie Grupos de Lie conexos Subgrupos de Lie A exponencial A representação adjunta 46

7 1 Capítulo 1 Álgebras de Lie Álgebras de Lie Definição 1 Uma álgebra de Lie é um espaço vetorial g com um operador bilinear g g g dado por (X, Y ) [X, Y ] que satisfaz [Y, X] = [X, Y ] e [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0 quaisquer que sejam X,Y,Z em g. A primeira das duas condições acima é chamada anti-simetria. A outra é conhecida como a identidade de Jacobi. As álgebras de Lie que vamos considerar serão todas de dimensão finita, reais ou complexas. O operador da definição acima é chamado o bracket (ou o colchete de Lie). O vetor [X, Y ] é o bracket dos vetores X e Y. Observemos que a primeira condição acima é equivalente a [X, X] = 0, X g. Exemplo 1 Se g é uma álgebra linear associativa (um espaço vetorial com um produto associativo), definase o bracket [X, Y ] dos vetores X e Y em g por [X, Y ] = XY Y X onde XY indica o produto original da álgebra g. É fácil verificar a identidade de Jacobi (exercício) e a anti-simetria é imediata. Portanto, com essa definição de bracket, g é uma álgebra de Lie. Exemplo 2 Se g é a álgebra de todas as matrizes n n com entradas reais ou complexas, com o produto usual de matrizes, define-se o bracket de duas matrizes em g conforme o exemplo anterior. A álgebra de Lie resultante é indicada com gl(n, R) ou gl(n, C). Exemplo 3 Se V é um espaço vetorial e g é a álgebra de todos os endomorfismos de V (que são as transformações lineares de V em V ) com a operação de composição, define-se o bracket da mesma forma [l, m] = l m m l e obtem-se uma álgebra de Lie de endomorfismos de V. Indicamos com E ij a matriz cuja entrada na linha i e coluna j é 1 e todas as outras entradas são nulas. Então {E ij / 1 i, j n} é uma base para gl(n, R) (com os escalares reais) ou para gl(n, C) (quando se consideram escalares complexos). Segue-se que a dimensão real de gl(n, R) é n 2, que é a dimensão complexa de gl(n, C). A dimensão real de gl(n, C) é 2n 2. Exemplo 4 Uma matriz real n n X é anti-simétrica se satisfaz X t + X = 0

8 2 onde X t indica a transposta da matriz X e 0 é a matriz nula n n. Indica-se com so(n) o conjunto das matrizes reais anti-simétricas n n. É fácil ver que so(n) é um subespaço vetorial de gl(n, R). Além disso, se X, Y so(n), tem-se [X, Y ] t = (XY Y X) t = Y t X t X t Y t = ( Y )( X) ( X)( Y ) = Y X XY = [X, Y ] e segue-se que so(n) é uma álgebra de Lie, contida na álgebra gl(n, R), com o mesmo bracket. Se n = 3, as matrizes E 23 E 32 = 0 0 1, E 13 E 31 = e E 12 E 21 = formam uma base para a álgebra de Lie so(3). Definição 2 Se g é uma álgebra de Lie, uma subálgebra de Lie de g é um subespaço vetorial s de g que é, por sua vez, uma álgebra de Lie, com o bracket de g. Equivalentemente: s é um subespaço de g e [X, Y ] s, X, Y s. O exemplo acima exibe a álgebra de Lie so(n) como subálgebra de gl(n, R). Exercício: a dimensão de so(n) é n(n 1) 2. Sugestão: obtenha-se uma base para so(n) que seja como a base de so(3) no exemplo 4 (observe-se que 3(3 1) 2 = 3). Exemplo 5 Generalizando o exemplo anterior, se J é uma matriz n n qualquer, o subespaço das matrizes X gl(n, R) que satisfazem X t J = JX [ ] 0 I é uma álgebra de Lie, subálgebra de gl(n, R) (verificar). No caso em que J = (com I = matriz I 0 identidade n n) essa álgebra de Lie é conhecida como a álgebra real simplética e indicada com sp(2n, R). Exemplo 6 A álgebra de Lie das matrizes complexas n n de traço nulo sl(n, C) = {X gl(n, C) / tr X = 0} é um exemplo fundamental na Teoria de Lie. Para n = 2, os vetores [ ] [ ] [ h =, e = e f = formam uma base (sobre o corpo dos complexos) para o espaço vetorial sl(2, C) e a estrutura de álgebra de Lie é dada pelas relações [h, e] = 2e, [h, f] = 2f, [e, f] = h. Exercício: provar as relações acima para sl(2, C). ] Ideais e homomorfismos Definição 3 Se g é álgebra de Lie, um ideal de g é um subespaço h que satisfaz [X, Y ] h Y g, X h.

9 3 Observe-se que todo ideal é subálgebra. Exemplo 7 O centro de uma álgebra de Lie g é o subespaço de g definido por Z g = {X g / [X, Y ] = 0 Y g} (Z g é o conjunto dos vetores de g que comutam com todos os elementos de g). É fácil mostrar que Z g é um ideal, e portanto uma subálgebra. Se k e h são subconjuntos de uma álgebra de Lie g, indica-se com [k, h] o subespaço gerado pelo conjunto {[X, Y ]/X k, Y h}. Com essa notação tem-se [h, h] h, se h for subálgebra e [g, h] h, se h for um ideal. Se g é álgebra de Lie, define-se, para X g, a transformação ad X por ad X (Y ) = [X, Y ], Y g. Para cada X g, ad X é um endomorfismo de g e a aplicação ad : g End(g) dada por ad(x) = ad X satisfaz ad([x, Y ]) = ad(x)ad(y ) ad(y )ad(x) = [ad(x), ad(y )], X, Y g. Exercício: provar a igualdade acima (sugestão: identidade de Jacobi). Definição 4 Se g e h são álgebras de Lie, um homomorfismo de g em h é uma transformação linear ϕ : g h que satisfaz ϕ([x, Y ]) = [ϕ(x), ϕ(y )], X, Y g Se ϕ tem inversa (se ϕ é biunívoca e sobre) então ϕ é chamada um isomorfismo. Duas álgebras de Lie são isomorfas se existe um isomorfismo entre elas. Indica-se com Hom(g, h) o conjunto de todos os homomorfismos de g em h. Observe-se que duas álgebras de Lie isomorfas são isomorfas como espaços vetoriais e, em particular, têm a mesma dimensão. Definição 5 Um endomorfismo ϕ : g g de uma álgebra de Lie g é uma derivação se satisfaz ϕ([x, Y ]) = [ϕ(x), Y ] + [X, ϕ(y )], X, Y g Exercício: vimos acima que a aplicação ad : g End(g) é um homomorfismo. Além disso, para cada X g, o endomorfismo ad X é uma derivação. Exercício: o núcleo de um homorfismo ϕ : g h é definido por ker(ϕ) = {X g / ϕ(x) = 0}. ker(ϕ) é um ideal de g. Se ϕ = ad : g End(g), então ker(ϕ) = Z g, o centro da álgebra g. Definição 6 Uma álgebra de Lie g é abeliana se [X, Y ] = 0 X, Y g. g é chamada simples se g não é abeliana e os únicos ideais de g são 0 e a própria g (g não tem ideal não trivial). Exemplo 8 Toda álgebra de Lie unidimensional é abeliana. Realmente, se g é gerada por X, então, quaisquer que sejam Y, Z g, existem escalares α, β tais que Y = αx e Z = βx. E logo [Y, Z] = [αx, βx] = αβ[x, X] = 0. Portanto g é abeliana. Segue-se deste exemplo que se g é álgebra de Lie simples, então dim g 2.

10 4 Exemplo 9 A álgebra de Lie formada pelo espaço R 3 com o produto vetorial é um exemplo de álgebra de Lie simples. Realmente, o produto vetorial é a forma bilinear dada por [X, Y ] = X Y a partir das condições [, ] : R 3 R 3 R 3 i) X Y é ortogonal ao plano gerado por X e Y ii) X Y é igual à área do paralelogramo gerado por X e Y iii) {X, Y, X Y } é base positiva de R 3 (compatível com a orientação canônica de R 3 ). Observe-se que o produto vetorial está bem definido e que se segue das condições acima, por unicidade, que Y X = X Y (exercício). Se {e 1, e 2, e 3 } é a base canônica de R 3 (com a métrica dada pelo produto escalar), as condições acima acarretam e segue-se da bilinearidade que X Y = 3 x k e k k=1 e 1 e 2 = e 3, e 2 e 3 = e 1 e e 3 e 1 = e 2 3 y s e s = (x 2 y 3 x 3 y 2 )e 1 + (x 3 y 1 x 1 y 3 )e 2 + (x 1 y 2 x 2 y 1 )e 3 = s=1 = x 2 y 2 x 3 y 3 e 1 x 1 y 1 x 3 y 3 e 2 + x 1 y 1 x 2 y 2 e 3. A anticomutatividade está verificada e a identidade de Jacobi é um exercício fácil. Observe-se que (e 1 e 2 ) e 3 + (e 2 e 3 ) e 1 + (e 3 e 1 ) e 2 = = e 3 e 3 + e 1 e 1 + e 2 e 2 = = 0. Além disso a álgebra de Lie g definida pelo espaço R 3 com o produto vetorial é uma álgebra de Lie simples. Realmente, se a g é um ideal e a 0, tome-se um vetor X a, X 0, e construa-se a partir de X uma base ortonormal positiva {X, Y, Z}. Então Z = X Y = [X, Y ] está em a (pois a é ideal) e Y = [Z, X] = [X, Z] também está em a. Segue-se que a = g. Portanto os únicos ideais de g são 0 e g. Exercício: A álgebra de Lie g no exemplo acima é isomorfa á álgebra de Lie so(3). Sugestão: o isomorfismo é dado por e 1 E 23 E 32, e 2 E 13 E 31, e 3 E 12 E 21. Lema 1 Se a e b são ideais de uma álgebra de Lie g, então a + b, a b e [a, b] são também ideais. Em palavras: a soma, a interseção e o bracket de ideais são ideais. Prova Sejam a e b ideais da álgebra de Lie g. Se Z a + b, então Z = A + B, com A a, B b. E logo, para qualquer X g, tem-se [A, X] a e [B, X] b, visto que a e b são ideais. Portanto [Z, X] = [A + B, X] = [A, X] + [B, X] a + b. Se X a b, então, para qualquer Y g, tem-se [X, Y ] a (pois X a) e [X, Y ] b (pois X b). E logo [X, Y ] a b. Finalmente, se X = λ 1 [A 1, B 1 ] λ n [A n, B n ] [a, b] e Y g é qualquer, temos [X, Y ] = [λ 1 [A 1, B 1 ] λ n [A n, B n ], Y ] = λ 1 [[A 1, B 1 ], Y ] λ n [[A n, B n ], Y ].

11 5 Mas λ s [[A s, B s ], Y ] = λ s [[B s, Y ], A s ] λ s [[Y, A s ], B s ] = λ s [A s, [B s, Y ]]+λ s [[A s, Y ], B s ] [a, b], s = 1,..., n. E logo [X, Y ] [a, b]. c.q.d. Álgebras de Lie solúveis e nilpotentes Indicamos com g 1 o ideal [g, g] da álgebra de Lie g (sabemos, pelo lema acima, que g 1 é um ideal). g 1 é conhecido como o ideal dos comutadores. Definição 7 A série dos comutadores para a álgebra de Lie g (também conhecida como a série derivada) é a cadeia de ideais g 0 g 1 g 2... g k... onde g 0 = g, g 1 = [g, g], g 2 = [g 1, g 1 ] e, para cada inteiro positivo k, g k+1 = [g k, g k ]. Uma álgebra de Lie g é solúvel se existe k tal que g k = 0. Observe-se que toda álgebra de Lie abeliana é solúvel. Definição 8 A série central descendente para a álgebra de Lie g é a cadeia de ideais g 0 g 1 g 2... g k... onde g 0 = g, g 1 = g 1 = [g, g], g 2 = [g 1, g] e, para cada inteiro positivo k, g k+1 = [g k, g]. Uma álgebra de Lie g é nilpotente se existe k tal que g k = 0. Observemos que toda álgebra de Lie nilpotente é solúvel (verificar). Exemplo 10 A álgebra de Lie das matrizes 3 3 triangulares superiores, com entradas reais (subálgebra de gl(3, R)) é um exemplo canônico de álgebra de Lie solúvel. Observe-se que g 3 = 0. Exercício: A álgebra de Lie do exemplo acima não é nilpotente. Exemplo 11 A álgebra de Lie das matrizes reais 3 3 triangulares estritamente superiores (subálgebra da álgebra do exemplo anterior) é um exemplo importante de álgebra de Lie nilpotente, conhecida como a álgebra de Heisenberg real tridimensional. Seus elementoe são matrizes da forma 0 a c 0 0 b É costume dizer que é uma álgebra nilpotente em dois passos (observe-se que g 2 = 0). Exemplo 12 Se g é uma álgebra de Lie de dimensão 2, então ou bem g é abeliana ou g tem uma base {X, Y } que satisfaz [X, Y ] = Y. Fica, portanto, determinada a menos de isomorfismo a estrutura de qualquer álgebra de Lie bidimensional. Realmente, se {E, F } é uma base qualquer de g, sejam os escalares γ e δ tais que [E, F ] = γe + δf. Se [E, F ] = 0, então todos os brackets são nulos e g é abeliana (g 1 = 0). Caso contrário, sejam Y = [E, F ] = γe + δf e X = αe + βf um vetor não múltiplo de Y (então αδ βγ 0 e {X, Y } é uma base de g). Temos [X, Y ] = [αe + βf, γe + δf ] = (αδ βγ)[e, F ] = (αδ βγ)y Se escolhermos α e β tais que αδ βγ = 1, obteremos. [X, Y ] = Y.

12 6 Exercício: Se dim g 2, então g é solúvel. Definição 9 Se g é álgebra de Lie e a g é ideal, o espaço vetorial quociente g/a adquire estrutura de álgebra de Lie com o bracket definido por g/a é chamada a álgebra de Lie quociente de g por a. [X + a, Y + a ] = [X, Y ] + a. Se X + a = X + a, então X X a e, como a é ideal, [ X X, Y ] a, Y g. Equivalentemente: [ X, Y ] + a = [X, Y ] + a, Y g. E logo [ X + a, Y + a] = [ X, Y ] + a = [X, Y ] + a = [X + a, Y + a ]. Portanto a estrutura de álgebra de Lie está bem definida em g/a. Exercício: A projeção π : g g/a definida por π(x) = X + a é um homomorfismo de álgebras de Lie e ker(π) = a. Segue-se que todo ideal é o núcleo de algum homomorfismo. Exercício: Se g é uma álgebra de Lie solúvel e h g é subálgebra, então h também é solúvel. Exercício: Se ϕ : g h é homomorfismo de álgebras de Lie, a imagem ϕ(g) de g por ϕ é uma subálgebra de Lie de h. Lema 2 Se g é álgebra de Lie solúvel e ϕ : g h é um homomorfismo de álgebras de Lie, então a álgebra de Lie ϕ(g), imagem da álgebra de Lie g por ϕ, é solúvel. Prova Seja k N tal que g k = 0. Então ϕ(g) k = ϕ(g k ) = ϕ(0) = 0 (observa-se que ϕ(g 1 ) = ϕ([g, g]) = [ϕ(g), ϕ(g)] = ϕ(g) 1 e prova-se o caso geral por indução sobre k). c.q.d. Corolário Se g/a é álgebra quociente de uma álgebra de Lie solúvel g por um ideal a g, então g/a é solúvel. Prova Seja π : g g/a a projeção de g sobre g/a, dada por π(x) = X + a, para X g. Então π é um homomorfismo e logo a imagem g/a = π(g) é solúvel, pelo lema acima. c.q.d. Segue-se que subálgebras e álgebras quocientes de álgebras de Lie solúveis são solúveis. Com um raciocínio similar prova-se que subálgebras e álgebras quocientes de álgebras de Lie nilpotentes são também nilpotentes e, em particular, solúveis. O lema a seguir é uma recíproca para esse fato, que tem grande utilidade. Proposição 10 Se a g é um ideal solúvel e a álgebra quociente g/a é solúvel, então a álgebra de Lie g é solúvel. Prova Sejam k N tal que (g/a) k = 0 e r N tal que a r = 0. Então o homomorfismo projeção π : g g/a, X X + a, satisfaz π(g k ) = π(g) k = (g/a) k = 0

13 7 e logo g k ker(π) = a. Portanto g k+r = (g k ) r a r = 0 e segue-se que g é solúvel. c.q.d. Exemplo 13 As álgebras de Lie tridimensionais são todas solúveis ou simples. Realmente, se g é álgebra de Lie com dim g = 3 e g não é simples, então g tem um ideal não trivial a, cuja dimensão tem que ser 1 ou 2. Em qualquer caso, sabemos que a é um ideal solúvel. Além disso, a dimensão da álgebra quociente g/a também tem que ser 2 ou 1. Logo g/a é, também, solúvel. Segue-se então da proposição acima que g é solúvel. Álgebras de Lie semisimples Se g tem dimensão finita, a soma de todos os ideais solúveis em g é uma soma finita e, portanto, um ideal. A proposição abaixo afirma que esse ideal é solúvel. Proposição 11 Se g é álgebra de Lie de dimensão finita, existe em g um único ideal solúvel que contem todos os ideais solúveis de g. Prova Sejam a e b ideais solúveis em g e seja h = a + b. Então h é um ideal em g e a é um ideal solúvel em h. Além disso, a interseção a b é um ideal em b e, como b é solúvel, sabemos que o quociente b/a b é solúvel. Segue-se então do teorema do isomorfismo (veja-se [Garcia & Lequain](1985)) que h/a = (a + b)/a = b/a b é solúvel. E da proposição 1 acima segue-se que a + b = h é solúvel. Por indução, concluimos que a soma de um número finito de ideais solúveis é um ideal solúvel. Seja então o ideal r definido por r = a a solúvel Como a dimensão de g é finita, existe N N tal que r = N s=1 a s, onde a 1,..., a N são todos os ideais solúveis em g. E logo, se a é um ideal solúvel qualquer e X a, tem-se a = a s para algum s {1,..., N} e X X r. Logo r é um ideal solúvel em g e contem todos os ideais solúveis de g. A unicidade segue da própria construção de r (se dois ideais em g são ambos solúveis e contem cada um todos os ideais solúveis de g, então um está contido no outro). c.q.d. Definição 12 O ideal r da proposição acima é conhecido como o radical de g (ou o radical solúvel de g, se o contexto exigir) e é indicado com rad g. Definição 13 Uma álgebra de Lie g é semisimples se rad g = 0. Em palavras: se g não tem ideal solúvel não nulo.

14 8 Exercício: Se g é semisimples, Z g = 0. Observe-se que se g é álgebra de Lie solúvel, a álgebra derivada g 1 = [g, g] satisfaz g 1 g. Pois se g 1 = g, teremos g 2 = [g 1, g 1 ] = [g, g] = g 1 = g, g 3 = g e, a fortiori, g k = g, k N. Ou seja: não existirá k N tal que g k = 0. Por outro lado, se g é simples, então g 1 = g. Pois se g 1 = 0, então g é abeliana e, portanto, não é simples (por definição). E se 0 g 1 g, então g tem um ideal não trivial g 1, e logo não é simples. Exercício: Álgebras de Lie simples não são solúveis. Álgebras de Lie solúveis não são simples. Exercício: Toda álgebra de Lie simples é semisimples. Exercício: Encontrar o centro da álgebra de Lie gl(n, R). A forma de Killing Suponha-se que g é álgebra de Lie e dim g = n. Então, para cada X g fixo, o endomorfismo ad X : g g é representado por uma matriz n n em relação a alguma base de g (todo espaço vetorial de dimensão n é isomorfo ao R n ). Se Y g, a composição de operadores fornece novamente um endomorfismo ad X ad Y : g g que também é representado em relação àquela base de g pela matriz produto da matriz de ad X pela matriz de ad Y, que também é uma matriz n n. Como o traço da matriz que representa um endomorfismo em relação a uma base de um espaço vetorial não depende da base escolhida, fica bem definido o traço do endomorfismo ad X ad Y : g g, pela escolha de uma base de g e pelo cálculo do traço da matriz produto das matrizes de ad X e de ad Y em relação à base escolhida. Isso define uma forma bilinear sobre g, conhecida como forma de Killing (ou forma de Cartan-Killing), conforme a definição a seguir. Definição 14 Se g é álgebra de Lie de dimensão finita, a forma de Killing de g é a forma bilinear simétrica B : g g K (K = R ou C) dada por B(X, Y ) = tr ad X ad Y. Um resultado fundamental que relaciona a forma de Killing com a estrutura da álgebra de Lie é o celebrado critério da semisimplicidade, devido a E. Cartan. Teorema 15 Se g é álgebra de Lie de dimensão finita, então g é semisimples se e somente se a forma de Killing B g de g é não degenerada. Exemplo 14 Sabemos que a álgebra de Lie g = sl(2, C) tem a base canônica {h, e, f}, que define a estrutura de álgebra ([h, e] = 2e, [h, f] = 2f e [e, f] = h). Tem-se, portanto, h, e, f [g, g] = g 1, logo g 1 = g e segue-se que g é simples e, portanto, semisimples. O cálculo de tr ad X ad Y, com X, Y = h, e, f, fornece a matriz [B] = que define a forma de Killing É fácil ver que B é não degenerada. B(X, Y ) = 8x 1 y 1 + 4x 2 y 3 + 4x 3 y 2.

15 9 Exercício: calcular a matriz [B]. Se g é uma álgebra de Lie solúvel de matrizes com entradas complexas, o espaço C n tem uma base em relação à qual todas as matrizes de g (vistas como matrizes de operadores lineares sobre C n ) são triangulares. O Teorema de Lie generaliza esse fato para qualquer álgebra de Lie solúvel sobre um corpo algebricamente fechado. Teorema 16 Se g é uma álgebra de Lie solúvel sobre um corpo algebricamente fechado K, V é um espaço vetorial não trivial de dimensão finita e π : g EndV uma representação de g na álgebra dos endomorfismos de V, então existe uma seqüência de subespaços V = V 0 V 1... V m = 0 tal que cada V i é invariante por π(x) para todo X g e dim V i /V i+1 = 1. Em conseqüência V tem uma base em relação à qual todas as matrizes de π(x), com X g, são triangulares. Se g for uma álgebra de Lie nilpotente, o operador ad X : g g é nilpotente, qualquer que seja X g (verificar). Em verdade a álgebra de Lie ad g (cujos elementos são ad X, com X g) é nilpotente se e somente se g é nilpotente. O teorema de Engel generaliza esse fato e fornece uma recíproca. Teorema 17 Se V 0 é um espaço vetorial de dimensão finita e g EndV é uma álgebra de Lie de endomorfismos de V, todos nilpotentes, então i) g é uma álgebra de Lie nilpotente ii) Existe um vetor w V, w 0, tal que X(w) = 0 X g. iii) V tem uma base em relação à qual X é estritamente triangular, para todo X g. Exercício: g é nilpotente se e somente se ad g é nilpotente. Sugestão: Suponha que g 3 = 0 e prove que (ad g ) 2 = 0 sse g 3 = 0. E aplique-se indução. Realmente, se [[[X, Y ], Z], W ] = 0 X, Y, Z, W, então ad [[X,Y],Z] = 0 X, Y, Z. Mas ad [[X,Y],Z] = [[ad X, ad Y ], ad Z ].

16 10 Capítulo 2 Variedades diferenciáveis Preliminares Os espaços (topológicos) que vamos estudar são localmente modelados pelo espaço R n, o que diz que eles se comportam, em torno de cada ponto, topologicamente, como o R n e a sua geometria difere suavemente da geometria (euclidiana) de R n. Um exemplo canônico (um exemplo visualizável que traz em si a idéia central) é o de uma superfície S em R 3, que pode ser pensada como obtida a partir de uma coleção enumerável de discos abertos, suavemente deformados e colados sem dobras ou pontas. A definição de variedade diferenciável exige que tais espaços topológicos tenham base enumerável, portanto pensar em uma coleção enumerável de discos é justificável. Recordamos algumas definições e resultados do cálculo em R n que lançam bases sólidas para a teoria das variedades diferenciáveis. Definição 18 Se U e W são subespaços topológicos de R n, um homeomorfismo de U sobre W é uma bijeção contínua ξ : U W cuja inversa é contínua. U e W são ditos homeomorfos se existe um homeomorfismo entre eles. Observe-se que uma bijeção pode ser de classe C sem que sua inversa seja contínua (por exemplo, ξ : [0, 2π) S 1 dada por ξ(t) = (cos t, sen t) (veja-se [Lima](2006)). Um homeomorfismo preserva a topologia. Em particular, se um dos dois subconjuntos for aberto, o outro também o será. Definição 19 Um homeomorfismo de classe C k (com k 1) é um difeomorfismo de classe C k (ou um C k -difeomorfismo) se o homeomorfismo inverso tem classe C k. Se ξ : U W é um difeomorfismo, U e W são ditos difeomorfos (C k -difeomorfos, se ξ C k ). Escreve-se ξ : U = W. Se um homeomorfismo tem classe C k, o homeomorfismo inverso pode ser apenas contínuo. Um exemplo é o da função cúbica f : R R, dada por f(x) = x 3, que é suave e tem inversa contínua (dada por f 1 (x) = 3 x, para x R) porém não derivável em x = 0. Em contraste, se um homeomorfismo ξ, de classe C k, tem inversa derivável, então o homeomorfismo inverso é de classe C k. Ou seja: ξ e ξ 1 são C k - difeomorfismos. Isso decorre da regra da cadeia, como veremos adiante. Em particular, um homeomorfismo suave com inversa derivável é um C -difeomorfismo. Definição 20 Se um ponto p R n tem uma vizinhança aberta U na qual está definido um difeomorfismo ξ : U = W (com W R n aberto), dizemos que ξ é um difeomorfismo em torno de p. Uma aplicação ξ : M N entre subespaços (topológicos) de R n é um difeomorfismo local se cada ponto p M tem uma vizinhança aberta U restrita à qual ξ é um difeomorfismo sobre um aberto ξ(u) N. Em símbolos: ξ U : U = ξ(u). Exercício: Um homeomorfismo será um difeomorfismo (global) se for um difeomorfismo local. Um dos pilares fundamentais de todo o cálculo diferencial nos espaços euclidianos (que se generaliza ao cálculo em variedades diferenciáveis) é o teorema da aplicação inversa, que apresentamos a seguir. A versão com hipóteses mais fracas utiliza o conceito de aplicação fortemente diferenciável, conforme a definição abaixo.

17 11 Definição 21 Uma aplicação f : U R n definida em um aberto U R m é fortemente diferenciável no ponto q U se existe uma transformação linear T : R m R n tal que onde ρ : U R n satisfaz f(x) f(y) = T (x y) + ρ(x, y) x y, lim ρ(x, y) = 0. x, y q x, y U Toda aplicação f : U R n fortemente diferenciável em q é derivável em q, com f (q) = T. Teorema 22 Se a aplicação ξ : U R n, definida no aberto U R n é fortemente diferenciável no ponto q U e a derivada ξ (q) : T q U = R n R n é um isomorfismo, então ξ : U ξ(u) é um homeomorfismo e o homeomorfismo inverso ξ 1 : ξ(u) U é fortemente diferenciável no ponto ξ(q). Uma demonstração cuidadosa do teorema acima está em [Lima](2006). Segue-se da regra da cadeia que a derivada do homeomorfismo ξ 1 : ξ(u) U no ponto ξ(q) é dada por Exercício: provar a igualdade acima. (ξ 1 ) (ξ(q)) = ξ (q) 1. Se ξ é de classe C 1 em torno de q, a regra da cadeia, combinada com o teorema acima, permite concluir que ξ 1 é de classe C 1 em torno de ξ(q). Realmente a transformação Ψ : Gl(R n ) Gl(R n ), definida por Ψ(T ) = T 1 que leva o automorfismo T Gl(R n ) no automorfismo inverso T 1 é uma bijeção suave (verificar) e a derivada (ξ 1 ) da aplicação inversa satisfaz, pelo que vimos acima, e logo (ξ 1 ) = Ψ ξ ξ 1. Se ξ C 1, então (ξ 1 ) C 0 e logo ξ 1 C 1. (ξ 1 ) ξ(q) = Ψ ξ (q), q, O mesmo raciocínio permite concluir que se ξ é um homeomorfismo de classe C k e ξ 1 é derivável, então ξ é um C k -difeomorfismo, para k = 1,...,. A forma local das imersões Definição 23 Uma aplicação ϕ : U R m R n é uma imersão se a derivada ϕ (q) : R m R n é biunívoca, para todo q U. Observe-se que se ϕ é imersão então n m. Exemplo 15 A inclusão i : R m R n dada por i(x) = (x, w), onde w é um vetor constante em R n m, é um exemplo canônico de imersão. A forma local das imersões afirma que, localmente, toda imersão é, topologicamente, uma imersão canônica. Teorema 24 Se ϕ : U R n, definida no aberto U R k, é fortemente diferenciável no ponto q U e a derivada ϕ (q) : R k R n é biunívoca, existe um homeomorfismo ξ : Z V W, de um aberto Z R n, Z ϕ(q), sobre um aberto V W (q, 0) em R k R n k, fortemente diferenciável no ponto ϕ(q), tal que ξ ϕ(x) = (x, 0), x V. Se ϕ C k, diminuindo V, W e Z se necessario, obtem-se um C k -difeomorfismo.

18 12 Prova Se {w 1, w 2,..., w n k } é uma base para o complementar da imagem de ϕ (q) em R n, a aplicação Φ : U R n k R n definida por tem, no ponto (q, 0), a matriz jacobiana n k Φ(x, y) = Φ(x 1,..., x k, y 1,..., y n k ) = ϕ(x) + y s w s s=1 [Φ (q, 0)] = [ 1 ϕ(q)... k ϕ(q) w 1... w n k ] e, como ϕ (q) é biunívoca, o posto de Φ (q, 0) é n. E logo Φ (q, 0) é um isomorfismo. Pelo teorema da aplicação inversa, sabemos que existe uma vizinhança Z do ponto Φ(q, 0) onde está definido um homeomorfismo ξ, fortemente diferenciável em Φ(q, 0), cujo homeomorfismo inverso é a restrição de Φ a uma vizinhança do ponto (q, 0), que pode ser escolhida da forma V W, com q V U e 0 W R n k (ξ = Φ 1 V W ). E segue-se que, para todo x V, temos ξ(ϕ(x)) = ξ(ϕ(x) + 0) = ξ(φ(x, 0)) = (x, 0) c.q.d. Definição 25 Uma imersão ϕ : U R n é chamada um mergulho se ϕ é um homeomorfismo sobre sua imagem ϕ(u) (com a topologia induzida de R n ). Segue-se da forma local das imersões que toda imersão é localmente um mergulho. Exemplo 16 A curva γ : ( 2, ) R 2 dada por γ(t) = (t 3 4t, t 2 4) é um exemplo de imersão suave e biunívoca que não é um mergulho. Realmente, tem-se γ(t) < 1 para t = 2 e lim t 2 + γ(t) = 0 < 1. Como γ é uma função contínua, existe ε > 0 tal que γ(t) < 1 t ( 2, 2 + ε) (2 ε, 2 + ε). No entanto, como γ(0) = 4 > 1, vemos que a pré-imagem da bola B 2 (de centro (0, 0) e raio 1) por γ não é conexa. Mas a interseção da imagem de γ com B 2 é conexa (pois γ é contínua e lim γ(t) = (0, 0) = γ(2)). Portanto t 2 a aplicação inversa da imersão γ (definida na imagem de γ) não é contínua. Exercício: provar que a curva γ do exemplo acima é uma imersão biunívoca. Exercício: se um mergulho ϕ : U R n tem classe C k, então ϕ é um C k -difeomorfismo sobre a sua imagem.

19 13 Superfícies em R 3 Definição 26 Uma curva regular em R n é uma imersão suave γ : I R n (não necessariamente biunívoca), definida em um intervalo I R. A menos que se indique o contrário, o intervalo I será aberto, com 0 I. Indicamos com tr γ o conjunto γ(i) = {γ(t) / t I}, chamado o traço de γ. Exemplo 17 A curva γ : R R 2 dada por γ(t) = (t 3 4t, t 2 4) é uma curva regular (observe que γ (t) 0, t R). Tem-se γ( 2) = γ(2) = 0, logo γ não é biunívoca. Observemos, no entanto, que tr γ pode ser obtido colando-se os traços dos mergulhos γ 1 : (, 1) R 2 e γ 2 : ( 1, ) R 2 dados por γ 1 (t) = γ(t) t (, 1) e γ 2 (t) = γ(t) t ( 1, ). Exemplo 18 A imersão γ : R R 3 dada por γ(t) = (e t cos t, e t sen t, 5t) define uma curva regular em R 3. A projeção de tr γ no plano xy é uma espiral. Definição 27 Uma superfície regular parametrizada em R n é uma imersão suave ψ : U R n (não necessariamente biunívoca), definida em uma região U R 2. A menos que se indique o contrário, a região U será aberta e simplesmente conexa, com (0, 0) U. Exemplo 19 A imersão suave ψ : U = R 2 R 3 dada por ψ(t, s) = (t, s, t 2 + s 2 ) é uma superfície regular parametrizada em R 3, cuja imagem é um parabolóide de revolução (com vértice na origem). A matriz jacobiana de ψ em um ponto (t, s) U é dada por t 2s e, portanto, a derivada de ψ em (t, s) é a transformação ψ (t, s) : (u, w) (u, w, 2tu + 2sw), evidentemente biunívoca, quaisquer que sejam t, s R. Exemplo 20 Mais geralmente, o gráfico de qualquer função suave f : U R, definida em uma região U R 2, é uma superfície regular parametrizada. Pois a aplicação ψ : U R 3 dada por ψ(t, s) = (t, s, f(t, s)) é suave, tem derivada em cada ponto (t, s) U dada por ψ (t, s)(u, w) = (u, w, f t (t, s)u + f s (t, s)w) (que é, portanto, biunívoca) e, vista como aplicação de U sobre ψ(u), tem uma inversa, dada pela restrição a ψ(u) da projeção canônica π : R 3 R 2. Como π é suave, temos que ψ é um C -difeomorfismo. Em particular, um homeomorfismo.

20 14 Exercício: Se ψ : (0, 2π) (0, 2π) R 4 é dada por ψ(t, s) = (cos t, sen t, cos s, sen s ) então ψ é uma superfície regular parametrizada em R 4, cuja imagem é um toro T 2 = S 1 S 1 menos um equador e um meridiano. A idéia de superfície regular é a de um subconjunto bidimensional S R 3 que, em torno de cada ponto, é uma superfície regular parametrizada, de tal forma que se possam apresentar em S as noções importantes do cálculo diferencial (como comprimento, ângulo, velocidade, área, etc.) de maneira inequívoca. Definição 28 Um subconjunto S no espaço R 3 é uma superfície regular se cada ponto de S tem uma vizinhança aberta W R 3 cuja interseção com S é imagem de uma imersão suave e biunívoca ψ : U R 3, definida em uma região U R 2. Como toda imersão é localmente um mergulho, podemos, diminuindo U se necessário, supor que S é obtida colando-se imagens de superfícies regulares parametrizadas. A forma local das imersões permite concluir que cada uma das tais superfícies parametrizadas tem inversa contínua (pois continuidade é propriedade local), sendo portanto um homeomorfismo e, em verdade, um difeomorfismo. Segue-se que uma superfície regular S é localmente difeomorfa ao R 2. A grosso modo podemos pensar em S construída com imagens de discos do plano por aplicações que preservam a topologia. Exemplo 21 A esfera S 2 R 3, dada pela equação x 2 +y 2 +z 2 = 1, é uma superfície regular. Se (q 1, q 2, q 3 ) = q R 3, sejam as regiões U r + e Ur, r = 1, 2, 3, definidas por U + r = {q S 2 / q r > 0} e U r = {q S 2 / q r < 0}. Então cada tal região é um gráfico. Por exemplo, U3 é o gráfico da função suave f : B2 R, dada por (x, y) 1 x 2 y 2, (com B 2 = {x 2 + y 2 < 1}) e S 2 = 3 r=1(u r + Ur ). Exemplo 22 A curva α : R R 3 dada por α(t) = (a sen t cos t, b sen 2 t, k cos t) tem o traço contido na superfície S, dada por x2 a + y2 2 b + z2 2 k 2 e centro na origem). Pode-se escrever α : I S. = 1 (que é um elipsóide com semi-eixos a, b, k O plano tangente Se F (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : U R 2 R 3 é uma aplicação suave e p = (u 0, v 0 ) U, a derivada de F no ponto p é a transformação linear F (p) determinada pela matriz x u (u 0, v 0 ) x v (u 0, v 0 ) y u (u 0, v 0 ) y v (u 0, v 0 ) z u (u 0, v 0 ) z v (u 0, v 0 ) Se w = (u, v) R 2, então F (p)w é o vetor em R 3 cujas coordenadas na base canônica são x u (u 0, v 0 )u + x v (u 0, v 0 )v, y u (u 0, v 0 )u + y v (u 0, v 0 )v e z u (u 0, v 0 )u + z v (u 0, v 0 )v. Exercício: Se α : I U é uma curva suave, definida em um intervalo I R (com 0 I), que satisfaz α(0) = p e α (0) = w

21 15 então (F α) (0) = F (p)w. Observe-se que (F α) (0) é independente da escolha da curva suave α (desde que α satisfaça as condições α(0) = p e α (0) = w). Embora seja um exercício fácil, é muito importante (e freqüentemente útil) saber que F (p)w = (F α) (0), onde α é qualquer curva suave com α(0) = p e α (0) = w. Mais geralmente, se F : U R m R n é uma aplicação cujas funções coordenadas são suaves, a derivada de F em um ponto q U é definida pela matriz jacobiana de F em q e, raciocinando como acima, conclui-se que, para todo w R m, F (q)w = β (0), onde β = F α, com α : I R m qualquer curva suave que satisfaça α(0) = q, α (0) = w. O vetor w pode então ser identificado com a classe das curvas suaves α : I R m que satisfazem α(0) = p e α (0) = w. Se γ : I R 3 for uma curva suave, com Ĩ 0, γ(0) = α(0) = p e γ (0) = α (0) = w, escreveremos α γ. Essa é uma relação de equivalência e o vetor w = α (0) pode ser identificado com a classe [α]. O espaço tangente a R 3 em um ponto q é definido pelo conjunto T q R 3 de todos os vetores em q. T q R 3 é um espaço vetorial, isomorfo ao próprio R 3. Se S é uma superfície regular em R 3 e α : I S é uma curva suave em S, a velocidade α (0) é um vetor em R 3 tangente à superfície S no ponto q = α(0). Considerando somente as curvas suaves que têm seu traço contido em S, podemos definir o plano T q S tangente a S em q pela coleção de todos os vetores velocidade de tais curvas. Um vetor w R 3 está em T q S se existe uma curva α : I S tal que α(0) = q, α (0) = w. Observação 1 Se u = α (0) e w = β (0) são vetores tangentes à superfície S R 3, linearmente independentes, em um ponto q S, o plano tangente T q S é o plano normal ao produto vetorial N q = u w que passa por q. Um vetor w R 3 também pode ser pensado como uma derivação no espaço das funções suaves f : R 3 R. Realmente, um vetor w com origem em q R 3 satisfaz (λf + g) (q)w = λf (q)w + g (q)w e (fg) (q)w = g(q)f (q)w + f(q)g (q)w,

22 16 quaisquer que sejam as funções f, g C (R 3 ) e o número λ R (observe-se, por exemplo, que (fg) (q)w = = (fg) w (q) = f g w (q)g(q) + f(q) w (q)). Um vetor w = α (0) T q S, tangente a uma superfície S em um ponto q S, satisfaz ((λf + g) α) (0) = λ(f α) (0) + (g α) (0) e ((fg) α) (0) = g(α(0))(f α) (0) + f(α(0))(g α) (0) onde α é uma curva em S que passa por q. Uma superfície S tem um plano tangente em cada ponto e esse plano tangente varia suavemente. Um fato notável é que essa definição de vetor tangente não depende do espaço ambiente R 3 em que a superfície está imersa. Assim como a classe de equivalência de curvas suaves contidas em S que passam pelo ponto q. Um vetor tangente w é identificado com um elemento do espaço (vetorial) das derivações lineares sobre as funções reais suaves definidas em S. Em verdade, se duas funções suaves definidas em S coincidem em uma vizinhança aberta do ponto q, qualquer das tais derivações lineares vai associar o mesmo valor a ambas e, logo, um vetor tangente a S em q deve ser definido como uma derivação linear sobre um espaço de classes de equivalência de funções suaves em torno de q. Por outro lado as definições de superfícies e planos tangentes podem ser naturalmente estendidas ao caso em que a superfície, em vez de ser bidimensional, tem dimensão k em um espaço euclidiano que, em vez de ser tridimensional, tem dimensão n k. Subvariedades do espaço R n Uma subvariedade no espaço R n é a generalização natural da idéia de superfície em R 3. Como a forma local das imersões é verdadeira em dimensão n, podemos considerar subvariedades regulares parametrizadas, que são imagens de abertos k-dimensionais por aplicações que preservam a topologia, e proceder como antes. Definição 29 Um subconjunto M no espaço R n é uma subvariedade (k-dimensional) de R n se cada ponto de M tem uma vizinhança aberta W R n cuja interseção com M é imagem de uma imersão suave e biunívoca ψ : U R n, definida em uma região U R k. Exemplo 23 O toro T 2 = S 1 S 1 R 4 é uma subvariedade de R 4. Se q T 2, existem t, s [0, 2π) tais que q = (e it, e is ). Pode-se tomar U = ( π, π) ( π, π) se t = 0 ou s = 0 e U = (0, 2π) (0, 2π), caso contrário. Se ϕ : U R n é um mergulho suave, definido em um aberto U R k, segue-se da forma local das imersões que ϕ é um C -difeomorfismo sobre ϕ(u) e o difeomorfismo inverso é dado por ϕ 1 = π ξ ϕ(u) onde ξ : Z U W R n é o difeomorfismo construído na demonstração do teorema 5 e π : U W R k é a projeção canônica. Realmente, π ξ ϕ(q) = π(q, 0) = q, q U. Uma subvariedade k-dimensional M de R n é localmente difeomorfa ao R k. espaço vetorial k-dimensional tangente em cada ponto, que varia suavemente. Além disso M tem um Se α : I M é uma curva suave, o vetor velocidade α (0) é um vetor de R n tangente a M em q = α(0). O espaço tangente à subvariedade M R n no ponto q é definido por T q M = {α (0) / α C (I, M), α(0) = q}

23 17 Um vetor w em um ponto q R n pode ser definido (como uma derivação no espaço das funções suaves f : R n R) por Tem-se então w(f) = f (q)w = f w (q). w(λf + g) = λw(f) + w(g) e w(fg) = g(q)w(f) + f(q)w(g). quaisquer que sejam f, g C (R n ), λ R. Se α : I M é suave e fizermos w = α (0), teremos w(f) = α (0)f = (f α) (0). Como α(i) M, tem-se f α = f M α. Isso sugere que o espaço tangente T q M possa ser obtido como um espaço de derivações lineares sobre as restrições à subvariedade M das funções suaves em R n. Portanto um vetor tangente a M é uma derivação linear sobre o espaço C (M) das funções suaves definidas em M. Observemos que se f : M R é a restrição a M de uma função suave definida em um aberto de R n que contém M, então a função f ϕ 1 é suave, qualquer que seja a parametrização ϕ : U R k M. Isso fornece uma definição rigorosa de função suave definida em uma subvariedade de R n. Suponhamos que a subvariedade M R n seja (globalmente) parametrizada por um mergulho ϕ : U R k R n (então M = ϕ(u) R n ). Fixemos um ponto q U. Como ϕ é um difeomorfismo sobre a imagem, sabemos que a derivada ϕ (q) é um isomorfismo de R k sobre ϕ (q)r k que, portanto, tem dimensão k n. Então ϕ (q)r k é um subespaço vetorial k-dimensional de R n, com base no ponto ϕ(q) M. Tudo leva a crer que ϕ (q)r k é o espaço tangente à subvariedade M no ponto ϕ(q). Essa afirmação é verdadeira. Lema 3 Se M = ϕ(u) R n é imagem de um mergulho ϕ : U R n definido em um aberto U R k, então, para todo q U, tem-se ϕ (q)r k = T ϕ(q) M, o espaço tangente a M em ϕ(q). Prova Se w ϕ (q)r k, existe u R k tal que w = ϕ (q)u. Tome-se uma curva suave α : I U que satisfaça α(0) = q e α (0) = u. Segue-se que w = ϕ (q)u = ϕ (α(0))α (0) = (ϕ α) (0) e a curva suave ϕ α : I M satisfaz ϕ α(0) = ϕ(q). Logo w T ϕ(q) M. Reciprocamente, se w T ϕ(q) M então w = β (0), onde β : I M é uma curva suave tal que β(0) = ϕ(q). Como ϕ é biunívoca, para cada t I existe um único ponto q t U tal que ϕ(q t ) = β(t). Seja então a curva α : I U dada por α(t) = q t. Pelo corolário da forma local das imersões, temos que α é uma curva suave. Além disso, ϕ α(t) = ϕ(q t ) = β(t), para todo t I. E logo β = ϕ α. Tem-se também α(0) = q (pois ϕ(α(0)) = β(0) = ϕ(q)) e α (0) T q R k = R k. Portanto w = β (0) = (ϕ α) (0) = ϕ (q)α (0) ϕ (q)r k. c.q.d. Vemos, em particular, que o espaço tangente a uma subvariedade k-dimensional de R n qualquer) é um espaço vetorial de dimensão k. (em um ponto

24 18 Mais geralmente, se ϕ : U R n é um mergulho de um aberto U R m em R n tal que a imagem ϕ(u) está mergulhada em uma subvariedade k-dimensional N R n (com m k n), o espaço tangente à subvariedade ϕ(u) N em um ponto ϕ(q) ϕ (q)r m = {(ϕ α) (0) / α : I U, α(0) = q} é um subespaço vetorial do espaço tangente T ϕ(q) N = {β (0) / β : I N, β(0) = ϕ(q)}. Observamos, como antes, que as definições acima não dependem dos respectivos ambientes euclidianos. Observação 2 Se as funções f, g : M R coincidem em uma vizinhança de um ponto q M, todos os vetores tangentes w T q M associam o mesmo valor a f e a g. Identificam-se então duas funções que coincidam em alguma vizinhança aberta de q. A classe de equivalência obtida leva o nome de germe de funções suaves em q. Um vetor tangente a M no ponto q é, portanto, uma derivação linear definida no espaço dos germes de funções suaves em q. Exercício: se o germe [f] no ponto q M tem um representante constante em alguma vizinhança de q, então w([f]) = 0, w T q M. Se M é subvariedade k-dimensional de R n, sabemos que todo ponto q M tem uma vizinhança difeomorfa a um aberto de R k (pois M é obtido colando-se imagens de parametrizações). Sejam ϕ : U M e ψ : V M mergulhos suaves, definidos em abertos U, V R k, tais que q ϕ(u) ψ(v ). Indiquemos com ξ um difeomorfismo (dado pela forma local das imersões) que satisfaz π ξ ϕ(u) = ϕ 1 e com η um difeomorfismo tal que π η ψ(v ) = ψ 1. Então a mudança ψ 1 ϕ = π η ψ(v ) ϕ : ϕ 1 (ϕ(u) ψ(v )) ψ 1 (ϕ(u) ψ(v )) é suave, com inversa também suave. (ψ 1 ϕ) 1 = ϕ 1 ψ = π ξ ϕ(u) ψ : ψ 1 (ϕ(u) ψ(v )) ϕ 1 (ϕ(u) ψ(v )) Logo ψ 1 ϕ : ϕ 1 (ϕ(u) ψ(v )) ψ 1 (ϕ(u) ψ(v )) é um C -difeomorfismo. Exercício: Se q U V, com U = ϕ(ũ), V = ψ(ṽ ) e ϕ, ψ parametrizações em M como acima, defina x = ϕ 1 : U = Ũ e y = ψ 1 : V = Ṽ e conclua que a mudança y x 1 : x(u V ) y(u V ) é um difeomorfismo.

25 19 Variedades diferenciáveis Definição 30 Um espaço topológico E é um espaço de Hausdorff se quaisquer dois pontos distintos em E têm vizinhanças disjuntas. Diz-se que E tem base enumerável se existe uma coleção enumerável de abertos em E tal que todo aberto em E é uma união desses abertos básicos. Um espaço de Hausdorff E é localmente euclidiano se cada ponto em E tem uma vizinhança homeomorfa a um aberto em R n, para algum n fixo. Definição 31 Uma variedade diferenciável de dimensão n é um espaço topológico localmente euclidiano M, com base enumerável, em que cada ponto q tem uma vizinhança aberta U M na qual está definida uma aplicação suave x : U R n de tal forma que se y : V R n é uma das tais aplicações e U V, a mudança y x 1 : x(u V ) y(u V ) é suave. Exercício: Segue-se da definição que as mudanças são difeomorfismos. As aplicações x : U R n são chamadas cartas locais. Se q U, x é uma carta em torno de q. A coleção de todos os pares (U, x) que satisfazem a definição acima é chamada uma estrutura diferenciável para a variedade M. Mais geralmente, um atlas suave para um espaço localmente euclidiano (com base enumarável) M é uma coleção A = {(U λ, x λ ) / λ Λ} (onde Λ é um conjunto de índices), com U λ aberto em M e x λ : U λ R n suave, para todo λ Λ, que satisfaz i) M λ Λ U λ ii) x µ x 1 λ C (x λ (U V ), x µ (U V )), λ, µ Λ. Uma estrutura diferenciável para M é um atlas suave maximal A para M, no sentido de que A contém qualquer atlas suave para M. Os abertos U λ em um atlas suave são chamados vizinhanças parametrizadas. É fácil verificar que se M for uma subvariedade de R n e {(U λ, x λ ) / λ Λ} for um atlas suave, a inversa x 1 λ : x λ (U λ ) U λ de qualquer carta local é uma imersão biunívoca suave. Exercício: Subvariedades suaves de R n são variedades diferenciáveis. Sugestão: faça x = π ξ ϕ(v ), y = π η ψ(v ) (onde ξ e η são difeomorfismos dados pela forma local das imersões). Exemplo 24 Se Ω M é aberto em uma variedade diferenciável M, então Ω é uma variedade diferenciável, com a mesma dimensão que M. Realmente cada q Ω está na interseção U Ω de uma vizinhança parametrizada U com Ω e essa interseção é aberta em Ω. Além disso se x : U R n (supondo dim M = n) é carta local suave, a restrição de x a U Ω é carta local para Ω. Finalmente, se q (Ω U) (Ω V ) = Ω (U V ), tem-se que y V Ω (x U Ω ) 1 = (y x 1 ) x(u V Ω) : x(u V Ω) y(u V Ω) é suave. Exemplo 25 Um exemplo quase trivial de variedade diferenciável é dado pelo espaço R n. A coleção A cujo único elemento é o par (R n, i), em que i : R n R n é a aplicação identidade, é um atlas suave para R n. Uma estrutura diferenciável é obtida acrescentando-se todos os pares (U, x), com U R n aberto, tais que x : U x(u) seja um difeomorfismo.

26 20 Exercício: Se M é variedade diferenciável e A é um atlas suave para M, uma estrutura diferenciável para M é obtida acrescentando-se aos pares em A todos os pares da forma (V, y), com V aberto em M, que satisfaçam y x 1 C (x(u V ), y(u V )) e x y 1 C (y(u V ), x(u V )) qualquer que seja o par (U, x) A. Exemplo 26 Se M e N são variedades diferenciáveis, com dim M = m e dim N = n, a variedade produto M N é definida pelo atlas maximal que contém todos os pares da forma (U V, x y), com (U, x) percorrendo um atlas suave para M e (V, y) percorrendo um atlas suave para N. A carta local x y : U V R m R n = R m+n é definida por x y (q, p) = (x(q), y(p)) para todo (q, p) U V. É fácil verificar que (x y) 1 = x 1 y 1 e que o atlas indicado é um atlas legítimo, com a topologia produto (verificar). Tem-se dim(m N) = m + n. Exemplo 27 O espaço (métrico) de todas as matrizes reais invertíveis n n é uma variedade diferenciável, de dimensão n 2, que leva o nome de grupo linear geral e se representa com Gl(n, R) (como veremos adiante, Gl(n, R) é um grupo de Lie). Como uma matriz quadrada é invertível se e somente se o seu determinante é não nulo e o conjunto das matrizes que têm determinante nulo é fechado na álgebra de Lie gl(n, R) = R n2, vemos que Gl(n, R) é, a menos de um difeomorfismo, um aberto na variedade R n2 e, pelo exemplo 24, é uma variedade diferenciável, com dim Gl(n, R) = n 2. Exercício: Toda variedade diferenciável é um espaço de Lindelöf. Exercício: Toda variedade diferenciável conexa é conexa por caminhos. Observação 3 É uma conseqüência da forma local das imersões que se ϕ : U M é uma parametrização em uma subvariedade M R n, definida em um aberto U R k e ζ : V R m ϕ(u) é uma aplicação suave, a composta ϕ 1 ζ : V U é suave (veja-se [Lima](2006)). Pode-se dizer, portanto, que uma função f : M R é suave se, para toda parametrização ϕ : U M, tem-se f ϕ suave. Realmente, se ψ : V M é outra parametrização, com ψ(v ) ϕ(u), então f ψ = f ϕ ϕ 1 ψ é suave se e somente se f ϕ é suave. Definição 32 Se f : U M R é uma função definida em um aberto U de uma variedade diferenciável M, dizemos que f é suave se a função f x 1 : U W R for suave, qualquer que seja o par (W, x) em um atlas suave para M (se U W =, então f é trivialmente suave). Escreve-se f C (U). C (M) é o espaço (vetorial) de todas as funções suaves definidas em M. Definição 33 Se M, N são variedades diferenciáveis, uma aplicação contínua ψ : M N é suave se para toda função suave g : U R definida em um aberto U N, a função g ψ : ψ 1 (U) R é suave. Escreve-se ψ C (M, N). Exercício: Uma aplicação contínua ψ : M N é suave se e somente se y ψ x 1 : x(w ) y(ψ(w )) é suave, para todo aberto W U ψ 1 (V ), quaisquer que sejam os pares (U, x) em um atlas suave para M e (V, y) em um atlas suave para N. Exercício: se M, N, R são variedades diferenciáveis e ψ : M N e η : N R são aplicações suaves, então a aplicação η ψ : M R é suave (composta de aplicações suaves é suave). Exercício: Se ψ : M N é suave, então, com g : N R, tem-se g ψ x 1 suave (U, x) se e somente se g y 1 suave (V, y).

27 21 Exercício: ψ C (M, N) se e somente se todo ponto em M tem uma vizinhança U M tal que ψ U é suave (suavidade é propriedade local). O espaço tangente Se M é uma variedade diferenciável e q M, diremos que duas funções f : U R e g : V R, definidas em vizinhanças abertas de q, tem o mesmo germe em q se elas coincidirem em alguma vizinhança aberta de q. Em símbolos: se existe W U V, aberto em M, tal que f( q) = g( q), q W. Escreveremos f g. Exercício: A relação é uma relação de equivalência no conjunto das funções suaves em torno de q. Definição 34 Se M é variedade diferenciável e f : U R é uma função suave em torno de q M, o germe de f em q é a classe de equivalência (definida pela relação de equivalência acima) que f representa. Em palavras: [f] é a classe de todas as funções suaves que coincidem com f em alguma vizinhança aberta de q. Definição 35 Um vetor tangente a uma variedade diferenciável M em um ponto q M é uma derivação linear definida no espaço vetorial dos germes de funções suaves em torno de q. O espaço tangente a M em q é o espaço vetorial de todos os vetores tangentes a M em q, indicado com T q M. Exercício: O espaço dos germes de funções suaves em q é uma álgebra linear e o subespaço dos germes de funções suaves que se anulam em q é um ideal. Tem-se, portanto, w(λ[f] + [g]) = λw([f]) + w([g]) e w([f][g]) = [g](q)w([f]) + [f](q)w([g]), quaisquer que sejam os germes [f] e [g] em q, onde se faz [f](q) = f(q), com f um representante qualquer de [f]. Observação 4 Se ϕ : R n = R n é um difeomorfismo e f C (R n ), tomando no espaço T ϕ(q) R n = R n a base {e 1,..., e n } = {ϕ (q)e 1,..., ϕ (q)e n } (onde e i = (e i ) q, i = 1,..., n), temos f e i (ϕ(q)) = f (ϕ(q))e i = f (ϕ(q))ϕ (q)e i = (f ϕ) (q)e i = i (f ϕ)(q). Se M k é subvariedade de R n e ϕ : U = ϕ(u) (com U R k aberto) é uma parametrização em torno de ϕ(q) M, escolhamos no espaço tangente T ϕ(q) M a base {e 1,..., e k } = {ϕ (q)e 1,..., ϕ (q)e k } e suponhamos (diminuindo U se necessário) que ϕ é a restrição a U = M Ω de um C -difeomorfismo ϕ : Ω = ϕ(ω) R n definido em um aberto Ω R n. E que f C (M) é a restrição a M de uma função suave f : R n R. Então, observando que e i é tangente a M e e i é tangente a U, obtemos f (ϕ(q)) = f (ϕ(q)) = i (f ϕ)(q) = i (f ϕ e i e U )(q) = i (f ϕ)(q). i Podemos então, chamando de x 1,..., x k as coordenadas dadas pela parametrização ϕ, definir uma base em T ϕ(q) M por { } (ϕ(q)),..., (ϕ(q)) = {ϕ (q)e 1,..., ϕ (q)e k } = {e 1,..., e k } x 1 x k