Grupos e álgebras de Lie

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1 Grupos e álgebras de Lie Carlos José Matheus [email protected] Sociedade Brasileira de Matemática Rio de Janeiro - RJ, Brasil 2014

2 Coordenação Editorial: Flávia Morgana de O. Jacinto Editora: SBM Impresso na Gráfica: Capa: Patrocínio: Superintendência da Zona Franca de Manaus (SUFRAMA) Copyright by Carlos José Matheus Direitos reservados, 2014 pela SBM. Catalogação Matheus, Carlos José Grupos e álgebras de Lie - Rio de Janeiro, RJ: SBM, 2014, 45p., 20,5 cm - (Minicurso Colóquio CO 2014 ) ISBN 1.Grupos de Lie.2.Geometria.3.Matemática. Carlos José Matheus. III Colóquio de Matemática da Região Norte. (2014. Manaus) Título. Série CDD - 51

3 Dedico estas notas à minha esposa Ana.

4 Agradecimentos Ao Professor Dr. Elon Lages Lima, em cujos livros encontrei a inspiração para este trabalho. Ao Professor Dr. Ivan de Azevedo Tribuzy, pelo estímulo e pelos bons conselhos. À inesquecível Profa. Dra. Elza Furtado Gomide.

5 Prefácio A teoria matemática iniciada por S. Lie tem seus primeiros profundos resultados no final do século XIX. No século XX, principalmente a partir dos trabalhos de E. Cartan, C. Chevalley e H. Coxeter, a Teoria de Lie caminha cada vez mais ao lado da Geometria. Conseqüência dessa feliz união foi o surgimento de belíssimas teorias, em tempos recentes, como a dos espaços simétricos, variedades bandeira, a geometria das ações isométricas, grupos cristalográficos, grupos de Lie métricos e muitas outras, com aplicações em diversas áreas de pesquisa. Historicamente ela decorre da idéia de uma versão geométrica da Teoria de Galois, que trataria equações diferenciais a partir de uma correspondência entre subespaços (topológicos) de uma variedade diferenciável (que poderiam ser variedades integrais) e subálgebras de uma álgebra associada à variedade ambiente, de modo análogo ao da correspondência de Galois, entre subcorpos de um corpo de raízes de equações algébricas e subgrupos de um grupo de automorfismos associado. Estas notas apresentam tópicos fundamentais da teoria de Lie, enfatizando a relação entre os grupos de Lie e suas álgebras de Lie. O capítulo 1 trata das álgebras de Lie, em uma tentativa de evidenciar a beleza e elegância dessa teoria algébrica. O capítulo 2 trata das variedades diferenciáveis, que vão formar o background para a apresentação dos grupos de Lie. O capítulo 3 trata dos grupos de Lie e de suas relações com as álgebras de Lie, passando por conceitos fundamentais como o da aplicação exponencial e o da representação adjunta. Assumimos que o leitor tenha familiaridade com aspectos fundamentais da Teoria de Grupos, da Álgebra Linear e da Topologia, além de um conhecimento equivalente a quatro semestres de Cálculo Diferencial e Integral. Seria recomendável (mas não estritatmente necessário) um curso elementar em Geometria Diferencial das Superfícies (como em [Carmo](2005)) e noções de Topologia Algébrica, essencialmente a Teoria dos Espaços de Recobrimento (como em [Lima](1998)).

6 Conteúdo 1 Álgebras de Lie Álgebras de Lie Ideais e homomorfismos Álgebras de Lie solúveis e nilpotentes Álgebras de Lie semisimples A forma de Killing 10 2 Variedades diferenciáveis Preliminares A forma local das imersões Superfícies em R O plano tangente Subvariedades do espaço R n Variedades diferenciáveis O espaço tangente Subvariedades Fluxos e campos vetoriais 32 3 Grupos de Lie Grupos de Lie Grupos de Lie conexos Subgrupos de Lie A exponencial A representação adjunta 46

7 1 Capítulo 1 Álgebras de Lie Álgebras de Lie Definição 1 Uma álgebra de Lie é um espaço vetorial g com um operador bilinear g g g dado por (X, Y ) [X, Y ] que satisfaz [Y, X] = [X, Y ] e [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0 quaisquer que sejam X,Y,Z em g. A primeira das duas condições acima é chamada anti-simetria. A outra é conhecida como a identidade de Jacobi. As álgebras de Lie que vamos considerar serão todas de dimensão finita, reais ou complexas. O operador da definição acima é chamado o bracket (ou o colchete de Lie). O vetor [X, Y ] é o bracket dos vetores X e Y. Observemos que a primeira condição acima é equivalente a [X, X] = 0, X g. Exemplo 1 Se g é uma álgebra linear associativa (um espaço vetorial com um produto associativo), definase o bracket [X, Y ] dos vetores X e Y em g por [X, Y ] = XY Y X onde XY indica o produto original da álgebra g. É fácil verificar a identidade de Jacobi (exercício) e a anti-simetria é imediata. Portanto, com essa definição de bracket, g é uma álgebra de Lie. Exemplo 2 Se g é a álgebra de todas as matrizes n n com entradas reais ou complexas, com o produto usual de matrizes, define-se o bracket de duas matrizes em g conforme o exemplo anterior. A álgebra de Lie resultante é indicada com gl(n, R) ou gl(n, C). Exemplo 3 Se V é um espaço vetorial e g é a álgebra de todos os endomorfismos de V (que são as transformações lineares de V em V ) com a operação de composição, define-se o bracket da mesma forma [l, m] = l m m l e obtem-se uma álgebra de Lie de endomorfismos de V. Indicamos com E ij a matriz cuja entrada na linha i e coluna j é 1 e todas as outras entradas são nulas. Então {E ij / 1 i, j n} é uma base para gl(n, R) (com os escalares reais) ou para gl(n, C) (quando se consideram escalares complexos). Segue-se que a dimensão real de gl(n, R) é n 2, que é a dimensão complexa de gl(n, C). A dimensão real de gl(n, C) é 2n 2. Exemplo 4 Uma matriz real n n X é anti-simétrica se satisfaz X t + X = 0

8 2 onde X t indica a transposta da matriz X e 0 é a matriz nula n n. Indica-se com so(n) o conjunto das matrizes reais anti-simétricas n n. É fácil ver que so(n) é um subespaço vetorial de gl(n, R). Além disso, se X, Y so(n), tem-se [X, Y ] t = (XY Y X) t = Y t X t X t Y t = ( Y )( X) ( X)( Y ) = Y X XY = [X, Y ] e segue-se que so(n) é uma álgebra de Lie, contida na álgebra gl(n, R), com o mesmo bracket. Se n = 3, as matrizes E 23 E 32 = 0 0 1, E 13 E 31 = e E 12 E 21 = formam uma base para a álgebra de Lie so(3). Definição 2 Se g é uma álgebra de Lie, uma subálgebra de Lie de g é um subespaço vetorial s de g que é, por sua vez, uma álgebra de Lie, com o bracket de g. Equivalentemente: s é um subespaço de g e [X, Y ] s, X, Y s. O exemplo acima exibe a álgebra de Lie so(n) como subálgebra de gl(n, R). Exercício: a dimensão de so(n) é n(n 1) 2. Sugestão: obtenha-se uma base para so(n) que seja como a base de so(3) no exemplo 4 (observe-se que 3(3 1) 2 = 3). Exemplo 5 Generalizando o exemplo anterior, se J é uma matriz n n qualquer, o subespaço das matrizes X gl(n, R) que satisfazem X t J = JX [ ] 0 I é uma álgebra de Lie, subálgebra de gl(n, R) (verificar). No caso em que J = (com I = matriz I 0 identidade n n) essa álgebra de Lie é conhecida como a álgebra real simplética e indicada com sp(2n, R). Exemplo 6 A álgebra de Lie das matrizes complexas n n de traço nulo sl(n, C) = {X gl(n, C) / tr X = 0} é um exemplo fundamental na Teoria de Lie. Para n = 2, os vetores [ ] [ ] [ h =, e = e f = formam uma base (sobre o corpo dos complexos) para o espaço vetorial sl(2, C) e a estrutura de álgebra de Lie é dada pelas relações [h, e] = 2e, [h, f] = 2f, [e, f] = h. Exercício: provar as relações acima para sl(2, C). ] Ideais e homomorfismos Definição 3 Se g é álgebra de Lie, um ideal de g é um subespaço h que satisfaz [X, Y ] h Y g, X h.

9 3 Observe-se que todo ideal é subálgebra. Exemplo 7 O centro de uma álgebra de Lie g é o subespaço de g definido por Z g = {X g / [X, Y ] = 0 Y g} (Z g é o conjunto dos vetores de g que comutam com todos os elementos de g). É fácil mostrar que Z g é um ideal, e portanto uma subálgebra. Se k e h são subconjuntos de uma álgebra de Lie g, indica-se com [k, h] o subespaço gerado pelo conjunto {[X, Y ]/X k, Y h}. Com essa notação tem-se [h, h] h, se h for subálgebra e [g, h] h, se h for um ideal. Se g é álgebra de Lie, define-se, para X g, a transformação ad X por ad X (Y ) = [X, Y ], Y g. Para cada X g, ad X é um endomorfismo de g e a aplicação ad : g End(g) dada por ad(x) = ad X satisfaz ad([x, Y ]) = ad(x)ad(y ) ad(y )ad(x) = [ad(x), ad(y )], X, Y g. Exercício: provar a igualdade acima (sugestão: identidade de Jacobi). Definição 4 Se g e h são álgebras de Lie, um homomorfismo de g em h é uma transformação linear ϕ : g h que satisfaz ϕ([x, Y ]) = [ϕ(x), ϕ(y )], X, Y g Se ϕ tem inversa (se ϕ é biunívoca e sobre) então ϕ é chamada um isomorfismo. Duas álgebras de Lie são isomorfas se existe um isomorfismo entre elas. Indica-se com Hom(g, h) o conjunto de todos os homomorfismos de g em h. Observe-se que duas álgebras de Lie isomorfas são isomorfas como espaços vetoriais e, em particular, têm a mesma dimensão. Definição 5 Um endomorfismo ϕ : g g de uma álgebra de Lie g é uma derivação se satisfaz ϕ([x, Y ]) = [ϕ(x), Y ] + [X, ϕ(y )], X, Y g Exercício: vimos acima que a aplicação ad : g End(g) é um homomorfismo. Além disso, para cada X g, o endomorfismo ad X é uma derivação. Exercício: o núcleo de um homorfismo ϕ : g h é definido por ker(ϕ) = {X g / ϕ(x) = 0}. ker(ϕ) é um ideal de g. Se ϕ = ad : g End(g), então ker(ϕ) = Z g, o centro da álgebra g. Definição 6 Uma álgebra de Lie g é abeliana se [X, Y ] = 0 X, Y g. g é chamada simples se g não é abeliana e os únicos ideais de g são 0 e a própria g (g não tem ideal não trivial). Exemplo 8 Toda álgebra de Lie unidimensional é abeliana. Realmente, se g é gerada por X, então, quaisquer que sejam Y, Z g, existem escalares α, β tais que Y = αx e Z = βx. E logo [Y, Z] = [αx, βx] = αβ[x, X] = 0. Portanto g é abeliana. Segue-se deste exemplo que se g é álgebra de Lie simples, então dim g 2.

10 4 Exemplo 9 A álgebra de Lie formada pelo espaço R 3 com o produto vetorial é um exemplo de álgebra de Lie simples. Realmente, o produto vetorial é a forma bilinear dada por [X, Y ] = X Y a partir das condições [, ] : R 3 R 3 R 3 i) X Y é ortogonal ao plano gerado por X e Y ii) X Y é igual à área do paralelogramo gerado por X e Y iii) {X, Y, X Y } é base positiva de R 3 (compatível com a orientação canônica de R 3 ). Observe-se que o produto vetorial está bem definido e que se segue das condições acima, por unicidade, que Y X = X Y (exercício). Se {e 1, e 2, e 3 } é a base canônica de R 3 (com a métrica dada pelo produto escalar), as condições acima acarretam e segue-se da bilinearidade que X Y = 3 x k e k k=1 e 1 e 2 = e 3, e 2 e 3 = e 1 e e 3 e 1 = e 2 3 y s e s = (x 2 y 3 x 3 y 2 )e 1 + (x 3 y 1 x 1 y 3 )e 2 + (x 1 y 2 x 2 y 1 )e 3 = s=1 = x 2 y 2 x 3 y 3 e 1 x 1 y 1 x 3 y 3 e 2 + x 1 y 1 x 2 y 2 e 3. A anticomutatividade está verificada e a identidade de Jacobi é um exercício fácil. Observe-se que (e 1 e 2 ) e 3 + (e 2 e 3 ) e 1 + (e 3 e 1 ) e 2 = = e 3 e 3 + e 1 e 1 + e 2 e 2 = = 0. Além disso a álgebra de Lie g definida pelo espaço R 3 com o produto vetorial é uma álgebra de Lie simples. Realmente, se a g é um ideal e a 0, tome-se um vetor X a, X 0, e construa-se a partir de X uma base ortonormal positiva {X, Y, Z}. Então Z = X Y = [X, Y ] está em a (pois a é ideal) e Y = [Z, X] = [X, Z] também está em a. Segue-se que a = g. Portanto os únicos ideais de g são 0 e g. Exercício: A álgebra de Lie g no exemplo acima é isomorfa á álgebra de Lie so(3). Sugestão: o isomorfismo é dado por e 1 E 23 E 32, e 2 E 13 E 31, e 3 E 12 E 21. Lema 1 Se a e b são ideais de uma álgebra de Lie g, então a + b, a b e [a, b] são também ideais. Em palavras: a soma, a interseção e o bracket de ideais são ideais. Prova Sejam a e b ideais da álgebra de Lie g. Se Z a + b, então Z = A + B, com A a, B b. E logo, para qualquer X g, tem-se [A, X] a e [B, X] b, visto que a e b são ideais. Portanto [Z, X] = [A + B, X] = [A, X] + [B, X] a + b. Se X a b, então, para qualquer Y g, tem-se [X, Y ] a (pois X a) e [X, Y ] b (pois X b). E logo [X, Y ] a b. Finalmente, se X = λ 1 [A 1, B 1 ] λ n [A n, B n ] [a, b] e Y g é qualquer, temos [X, Y ] = [λ 1 [A 1, B 1 ] λ n [A n, B n ], Y ] = λ 1 [[A 1, B 1 ], Y ] λ n [[A n, B n ], Y ].

11 5 Mas λ s [[A s, B s ], Y ] = λ s [[B s, Y ], A s ] λ s [[Y, A s ], B s ] = λ s [A s, [B s, Y ]]+λ s [[A s, Y ], B s ] [a, b], s = 1,..., n. E logo [X, Y ] [a, b]. c.q.d. Álgebras de Lie solúveis e nilpotentes Indicamos com g 1 o ideal [g, g] da álgebra de Lie g (sabemos, pelo lema acima, que g 1 é um ideal). g 1 é conhecido como o ideal dos comutadores. Definição 7 A série dos comutadores para a álgebra de Lie g (também conhecida como a série derivada) é a cadeia de ideais g 0 g 1 g 2... g k... onde g 0 = g, g 1 = [g, g], g 2 = [g 1, g 1 ] e, para cada inteiro positivo k, g k+1 = [g k, g k ]. Uma álgebra de Lie g é solúvel se existe k tal que g k = 0. Observe-se que toda álgebra de Lie abeliana é solúvel. Definição 8 A série central descendente para a álgebra de Lie g é a cadeia de ideais g 0 g 1 g 2... g k... onde g 0 = g, g 1 = g 1 = [g, g], g 2 = [g 1, g] e, para cada inteiro positivo k, g k+1 = [g k, g]. Uma álgebra de Lie g é nilpotente se existe k tal que g k = 0. Observemos que toda álgebra de Lie nilpotente é solúvel (verificar). Exemplo 10 A álgebra de Lie das matrizes 3 3 triangulares superiores, com entradas reais (subálgebra de gl(3, R)) é um exemplo canônico de álgebra de Lie solúvel. Observe-se que g 3 = 0. Exercício: A álgebra de Lie do exemplo acima não é nilpotente. Exemplo 11 A álgebra de Lie das matrizes reais 3 3 triangulares estritamente superiores (subálgebra da álgebra do exemplo anterior) é um exemplo importante de álgebra de Lie nilpotente, conhecida como a álgebra de Heisenberg real tridimensional. Seus elementoe são matrizes da forma 0 a c 0 0 b É costume dizer que é uma álgebra nilpotente em dois passos (observe-se que g 2 = 0). Exemplo 12 Se g é uma álgebra de Lie de dimensão 2, então ou bem g é abeliana ou g tem uma base {X, Y } que satisfaz [X, Y ] = Y. Fica, portanto, determinada a menos de isomorfismo a estrutura de qualquer álgebra de Lie bidimensional. Realmente, se {E, F } é uma base qualquer de g, sejam os escalares γ e δ tais que [E, F ] = γe + δf. Se [E, F ] = 0, então todos os brackets são nulos e g é abeliana (g 1 = 0). Caso contrário, sejam Y = [E, F ] = γe + δf e X = αe + βf um vetor não múltiplo de Y (então αδ βγ 0 e {X, Y } é uma base de g). Temos [X, Y ] = [αe + βf, γe + δf ] = (αδ βγ)[e, F ] = (αδ βγ)y Se escolhermos α e β tais que αδ βγ = 1, obteremos. [X, Y ] = Y.

12 6 Exercício: Se dim g 2, então g é solúvel. Definição 9 Se g é álgebra de Lie e a g é ideal, o espaço vetorial quociente g/a adquire estrutura de álgebra de Lie com o bracket definido por g/a é chamada a álgebra de Lie quociente de g por a. [X + a, Y + a ] = [X, Y ] + a. Se X + a = X + a, então X X a e, como a é ideal, [ X X, Y ] a, Y g. Equivalentemente: [ X, Y ] + a = [X, Y ] + a, Y g. E logo [ X + a, Y + a] = [ X, Y ] + a = [X, Y ] + a = [X + a, Y + a ]. Portanto a estrutura de álgebra de Lie está bem definida em g/a. Exercício: A projeção π : g g/a definida por π(x) = X + a é um homomorfismo de álgebras de Lie e ker(π) = a. Segue-se que todo ideal é o núcleo de algum homomorfismo. Exercício: Se g é uma álgebra de Lie solúvel e h g é subálgebra, então h também é solúvel. Exercício: Se ϕ : g h é homomorfismo de álgebras de Lie, a imagem ϕ(g) de g por ϕ é uma subálgebra de Lie de h. Lema 2 Se g é álgebra de Lie solúvel e ϕ : g h é um homomorfismo de álgebras de Lie, então a álgebra de Lie ϕ(g), imagem da álgebra de Lie g por ϕ, é solúvel. Prova Seja k N tal que g k = 0. Então ϕ(g) k = ϕ(g k ) = ϕ(0) = 0 (observa-se que ϕ(g 1 ) = ϕ([g, g]) = [ϕ(g), ϕ(g)] = ϕ(g) 1 e prova-se o caso geral por indução sobre k). c.q.d. Corolário Se g/a é álgebra quociente de uma álgebra de Lie solúvel g por um ideal a g, então g/a é solúvel. Prova Seja π : g g/a a projeção de g sobre g/a, dada por π(x) = X + a, para X g. Então π é um homomorfismo e logo a imagem g/a = π(g) é solúvel, pelo lema acima. c.q.d. Segue-se que subálgebras e álgebras quocientes de álgebras de Lie solúveis são solúveis. Com um raciocínio similar prova-se que subálgebras e álgebras quocientes de álgebras de Lie nilpotentes são também nilpotentes e, em particular, solúveis. O lema a seguir é uma recíproca para esse fato, que tem grande utilidade. Proposição 10 Se a g é um ideal solúvel e a álgebra quociente g/a é solúvel, então a álgebra de Lie g é solúvel. Prova Sejam k N tal que (g/a) k = 0 e r N tal que a r = 0. Então o homomorfismo projeção π : g g/a, X X + a, satisfaz π(g k ) = π(g) k = (g/a) k = 0

13 7 e logo g k ker(π) = a. Portanto g k+r = (g k ) r a r = 0 e segue-se que g é solúvel. c.q.d. Exemplo 13 As álgebras de Lie tridimensionais são todas solúveis ou simples. Realmente, se g é álgebra de Lie com dim g = 3 e g não é simples, então g tem um ideal não trivial a, cuja dimensão tem que ser 1 ou 2. Em qualquer caso, sabemos que a é um ideal solúvel. Além disso, a dimensão da álgebra quociente g/a também tem que ser 2 ou 1. Logo g/a é, também, solúvel. Segue-se então da proposição acima que g é solúvel. Álgebras de Lie semisimples Se g tem dimensão finita, a soma de todos os ideais solúveis em g é uma soma finita e, portanto, um ideal. A proposição abaixo afirma que esse ideal é solúvel. Proposição 11 Se g é álgebra de Lie de dimensão finita, existe em g um único ideal solúvel que contem todos os ideais solúveis de g. Prova Sejam a e b ideais solúveis em g e seja h = a + b. Então h é um ideal em g e a é um ideal solúvel em h. Além disso, a interseção a b é um ideal em b e, como b é solúvel, sabemos que o quociente b/a b é solúvel. Segue-se então do teorema do isomorfismo (veja-se [Garcia & Lequain](1985)) que h/a = (a + b)/a = b/a b é solúvel. E da proposição 1 acima segue-se que a + b = h é solúvel. Por indução, concluimos que a soma de um número finito de ideais solúveis é um ideal solúvel. Seja então o ideal r definido por r = a a solúvel Como a dimensão de g é finita, existe N N tal que r = N s=1 a s, onde a 1,..., a N são todos os ideais solúveis em g. E logo, se a é um ideal solúvel qualquer e X a, tem-se a = a s para algum s {1,..., N} e X X r. Logo r é um ideal solúvel em g e contem todos os ideais solúveis de g. A unicidade segue da própria construção de r (se dois ideais em g são ambos solúveis e contem cada um todos os ideais solúveis de g, então um está contido no outro). c.q.d. Definição 12 O ideal r da proposição acima é conhecido como o radical de g (ou o radical solúvel de g, se o contexto exigir) e é indicado com rad g. Definição 13 Uma álgebra de Lie g é semisimples se rad g = 0. Em palavras: se g não tem ideal solúvel não nulo.

14 8 Exercício: Se g é semisimples, Z g = 0. Observe-se que se g é álgebra de Lie solúvel, a álgebra derivada g 1 = [g, g] satisfaz g 1 g. Pois se g 1 = g, teremos g 2 = [g 1, g 1 ] = [g, g] = g 1 = g, g 3 = g e, a fortiori, g k = g, k N. Ou seja: não existirá k N tal que g k = 0. Por outro lado, se g é simples, então g 1 = g. Pois se g 1 = 0, então g é abeliana e, portanto, não é simples (por definição). E se 0 g 1 g, então g tem um ideal não trivial g 1, e logo não é simples. Exercício: Álgebras de Lie simples não são solúveis. Álgebras de Lie solúveis não são simples. Exercício: Toda álgebra de Lie simples é semisimples. Exercício: Encontrar o centro da álgebra de Lie gl(n, R). A forma de Killing Suponha-se que g é álgebra de Lie e dim g = n. Então, para cada X g fixo, o endomorfismo ad X : g g é representado por uma matriz n n em relação a alguma base de g (todo espaço vetorial de dimensão n é isomorfo ao R n ). Se Y g, a composição de operadores fornece novamente um endomorfismo ad X ad Y : g g que também é representado em relação àquela base de g pela matriz produto da matriz de ad X pela matriz de ad Y, que também é uma matriz n n. Como o traço da matriz que representa um endomorfismo em relação a uma base de um espaço vetorial não depende da base escolhida, fica bem definido o traço do endomorfismo ad X ad Y : g g, pela escolha de uma base de g e pelo cálculo do traço da matriz produto das matrizes de ad X e de ad Y em relação à base escolhida. Isso define uma forma bilinear sobre g, conhecida como forma de Killing (ou forma de Cartan-Killing), conforme a definição a seguir. Definição 14 Se g é álgebra de Lie de dimensão finita, a forma de Killing de g é a forma bilinear simétrica B : g g K (K = R ou C) dada por B(X, Y ) = tr ad X ad Y. Um resultado fundamental que relaciona a forma de Killing com a estrutura da álgebra de Lie é o celebrado critério da semisimplicidade, devido a E. Cartan. Teorema 15 Se g é álgebra de Lie de dimensão finita, então g é semisimples se e somente se a forma de Killing B g de g é não degenerada. Exemplo 14 Sabemos que a álgebra de Lie g = sl(2, C) tem a base canônica {h, e, f}, que define a estrutura de álgebra ([h, e] = 2e, [h, f] = 2f e [e, f] = h). Tem-se, portanto, h, e, f [g, g] = g 1, logo g 1 = g e segue-se que g é simples e, portanto, semisimples. O cálculo de tr ad X ad Y, com X, Y = h, e, f, fornece a matriz [B] = que define a forma de Killing É fácil ver que B é não degenerada. B(X, Y ) = 8x 1 y 1 + 4x 2 y 3 + 4x 3 y 2.

15 9 Exercício: calcular a matriz [B]. Se g é uma álgebra de Lie solúvel de matrizes com entradas complexas, o espaço C n tem uma base em relação à qual todas as matrizes de g (vistas como matrizes de operadores lineares sobre C n ) são triangulares. O Teorema de Lie generaliza esse fato para qualquer álgebra de Lie solúvel sobre um corpo algebricamente fechado. Teorema 16 Se g é uma álgebra de Lie solúvel sobre um corpo algebricamente fechado K, V é um espaço vetorial não trivial de dimensão finita e π : g EndV uma representação de g na álgebra dos endomorfismos de V, então existe uma seqüência de subespaços V = V 0 V 1... V m = 0 tal que cada V i é invariante por π(x) para todo X g e dim V i /V i+1 = 1. Em conseqüência V tem uma base em relação à qual todas as matrizes de π(x), com X g, são triangulares. Se g for uma álgebra de Lie nilpotente, o operador ad X : g g é nilpotente, qualquer que seja X g (verificar). Em verdade a álgebra de Lie ad g (cujos elementos são ad X, com X g) é nilpotente se e somente se g é nilpotente. O teorema de Engel generaliza esse fato e fornece uma recíproca. Teorema 17 Se V 0 é um espaço vetorial de dimensão finita e g EndV é uma álgebra de Lie de endomorfismos de V, todos nilpotentes, então i) g é uma álgebra de Lie nilpotente ii) Existe um vetor w V, w 0, tal que X(w) = 0 X g. iii) V tem uma base em relação à qual X é estritamente triangular, para todo X g. Exercício: g é nilpotente se e somente se ad g é nilpotente. Sugestão: Suponha que g 3 = 0 e prove que (ad g ) 2 = 0 sse g 3 = 0. E aplique-se indução. Realmente, se [[[X, Y ], Z], W ] = 0 X, Y, Z, W, então ad [[X,Y],Z] = 0 X, Y, Z. Mas ad [[X,Y],Z] = [[ad X, ad Y ], ad Z ].

16 10 Capítulo 2 Variedades diferenciáveis Preliminares Os espaços (topológicos) que vamos estudar são localmente modelados pelo espaço R n, o que diz que eles se comportam, em torno de cada ponto, topologicamente, como o R n e a sua geometria difere suavemente da geometria (euclidiana) de R n. Um exemplo canônico (um exemplo visualizável que traz em si a idéia central) é o de uma superfície S em R 3, que pode ser pensada como obtida a partir de uma coleção enumerável de discos abertos, suavemente deformados e colados sem dobras ou pontas. A definição de variedade diferenciável exige que tais espaços topológicos tenham base enumerável, portanto pensar em uma coleção enumerável de discos é justificável. Recordamos algumas definições e resultados do cálculo em R n que lançam bases sólidas para a teoria das variedades diferenciáveis. Definição 18 Se U e W são subespaços topológicos de R n, um homeomorfismo de U sobre W é uma bijeção contínua ξ : U W cuja inversa é contínua. U e W são ditos homeomorfos se existe um homeomorfismo entre eles. Observe-se que uma bijeção pode ser de classe C sem que sua inversa seja contínua (por exemplo, ξ : [0, 2π) S 1 dada por ξ(t) = (cos t, sen t) (veja-se [Lima](2006)). Um homeomorfismo preserva a topologia. Em particular, se um dos dois subconjuntos for aberto, o outro também o será. Definição 19 Um homeomorfismo de classe C k (com k 1) é um difeomorfismo de classe C k (ou um C k -difeomorfismo) se o homeomorfismo inverso tem classe C k. Se ξ : U W é um difeomorfismo, U e W são ditos difeomorfos (C k -difeomorfos, se ξ C k ). Escreve-se ξ : U = W. Se um homeomorfismo tem classe C k, o homeomorfismo inverso pode ser apenas contínuo. Um exemplo é o da função cúbica f : R R, dada por f(x) = x 3, que é suave e tem inversa contínua (dada por f 1 (x) = 3 x, para x R) porém não derivável em x = 0. Em contraste, se um homeomorfismo ξ, de classe C k, tem inversa derivável, então o homeomorfismo inverso é de classe C k. Ou seja: ξ e ξ 1 são C k - difeomorfismos. Isso decorre da regra da cadeia, como veremos adiante. Em particular, um homeomorfismo suave com inversa derivável é um C -difeomorfismo. Definição 20 Se um ponto p R n tem uma vizinhança aberta U na qual está definido um difeomorfismo ξ : U = W (com W R n aberto), dizemos que ξ é um difeomorfismo em torno de p. Uma aplicação ξ : M N entre subespaços (topológicos) de R n é um difeomorfismo local se cada ponto p M tem uma vizinhança aberta U restrita à qual ξ é um difeomorfismo sobre um aberto ξ(u) N. Em símbolos: ξ U : U = ξ(u). Exercício: Um homeomorfismo será um difeomorfismo (global) se for um difeomorfismo local. Um dos pilares fundamentais de todo o cálculo diferencial nos espaços euclidianos (que se generaliza ao cálculo em variedades diferenciáveis) é o teorema da aplicação inversa, que apresentamos a seguir. A versão com hipóteses mais fracas utiliza o conceito de aplicação fortemente diferenciável, conforme a definição abaixo.

17 11 Definição 21 Uma aplicação f : U R n definida em um aberto U R m é fortemente diferenciável no ponto q U se existe uma transformação linear T : R m R n tal que onde ρ : U R n satisfaz f(x) f(y) = T (x y) + ρ(x, y) x y, lim ρ(x, y) = 0. x, y q x, y U Toda aplicação f : U R n fortemente diferenciável em q é derivável em q, com f (q) = T. Teorema 22 Se a aplicação ξ : U R n, definida no aberto U R n é fortemente diferenciável no ponto q U e a derivada ξ (q) : T q U = R n R n é um isomorfismo, então ξ : U ξ(u) é um homeomorfismo e o homeomorfismo inverso ξ 1 : ξ(u) U é fortemente diferenciável no ponto ξ(q). Uma demonstração cuidadosa do teorema acima está em [Lima](2006). Segue-se da regra da cadeia que a derivada do homeomorfismo ξ 1 : ξ(u) U no ponto ξ(q) é dada por Exercício: provar a igualdade acima. (ξ 1 ) (ξ(q)) = ξ (q) 1. Se ξ é de classe C 1 em torno de q, a regra da cadeia, combinada com o teorema acima, permite concluir que ξ 1 é de classe C 1 em torno de ξ(q). Realmente a transformação Ψ : Gl(R n ) Gl(R n ), definida por Ψ(T ) = T 1 que leva o automorfismo T Gl(R n ) no automorfismo inverso T 1 é uma bijeção suave (verificar) e a derivada (ξ 1 ) da aplicação inversa satisfaz, pelo que vimos acima, e logo (ξ 1 ) = Ψ ξ ξ 1. Se ξ C 1, então (ξ 1 ) C 0 e logo ξ 1 C 1. (ξ 1 ) ξ(q) = Ψ ξ (q), q, O mesmo raciocínio permite concluir que se ξ é um homeomorfismo de classe C k e ξ 1 é derivável, então ξ é um C k -difeomorfismo, para k = 1,...,. A forma local das imersões Definição 23 Uma aplicação ϕ : U R m R n é uma imersão se a derivada ϕ (q) : R m R n é biunívoca, para todo q U. Observe-se que se ϕ é imersão então n m. Exemplo 15 A inclusão i : R m R n dada por i(x) = (x, w), onde w é um vetor constante em R n m, é um exemplo canônico de imersão. A forma local das imersões afirma que, localmente, toda imersão é, topologicamente, uma imersão canônica. Teorema 24 Se ϕ : U R n, definida no aberto U R k, é fortemente diferenciável no ponto q U e a derivada ϕ (q) : R k R n é biunívoca, existe um homeomorfismo ξ : Z V W, de um aberto Z R n, Z ϕ(q), sobre um aberto V W (q, 0) em R k R n k, fortemente diferenciável no ponto ϕ(q), tal que ξ ϕ(x) = (x, 0), x V. Se ϕ C k, diminuindo V, W e Z se necessario, obtem-se um C k -difeomorfismo.

18 12 Prova Se {w 1, w 2,..., w n k } é uma base para o complementar da imagem de ϕ (q) em R n, a aplicação Φ : U R n k R n definida por tem, no ponto (q, 0), a matriz jacobiana n k Φ(x, y) = Φ(x 1,..., x k, y 1,..., y n k ) = ϕ(x) + y s w s s=1 [Φ (q, 0)] = [ 1 ϕ(q)... k ϕ(q) w 1... w n k ] e, como ϕ (q) é biunívoca, o posto de Φ (q, 0) é n. E logo Φ (q, 0) é um isomorfismo. Pelo teorema da aplicação inversa, sabemos que existe uma vizinhança Z do ponto Φ(q, 0) onde está definido um homeomorfismo ξ, fortemente diferenciável em Φ(q, 0), cujo homeomorfismo inverso é a restrição de Φ a uma vizinhança do ponto (q, 0), que pode ser escolhida da forma V W, com q V U e 0 W R n k (ξ = Φ 1 V W ). E segue-se que, para todo x V, temos ξ(ϕ(x)) = ξ(ϕ(x) + 0) = ξ(φ(x, 0)) = (x, 0) c.q.d. Definição 25 Uma imersão ϕ : U R n é chamada um mergulho se ϕ é um homeomorfismo sobre sua imagem ϕ(u) (com a topologia induzida de R n ). Segue-se da forma local das imersões que toda imersão é localmente um mergulho. Exemplo 16 A curva γ : ( 2, ) R 2 dada por γ(t) = (t 3 4t, t 2 4) é um exemplo de imersão suave e biunívoca que não é um mergulho. Realmente, tem-se γ(t) < 1 para t = 2 e lim t 2 + γ(t) = 0 < 1. Como γ é uma função contínua, existe ε > 0 tal que γ(t) < 1 t ( 2, 2 + ε) (2 ε, 2 + ε). No entanto, como γ(0) = 4 > 1, vemos que a pré-imagem da bola B 2 (de centro (0, 0) e raio 1) por γ não é conexa. Mas a interseção da imagem de γ com B 2 é conexa (pois γ é contínua e lim γ(t) = (0, 0) = γ(2)). Portanto t 2 a aplicação inversa da imersão γ (definida na imagem de γ) não é contínua. Exercício: provar que a curva γ do exemplo acima é uma imersão biunívoca. Exercício: se um mergulho ϕ : U R n tem classe C k, então ϕ é um C k -difeomorfismo sobre a sua imagem.

19 13 Superfícies em R 3 Definição 26 Uma curva regular em R n é uma imersão suave γ : I R n (não necessariamente biunívoca), definida em um intervalo I R. A menos que se indique o contrário, o intervalo I será aberto, com 0 I. Indicamos com tr γ o conjunto γ(i) = {γ(t) / t I}, chamado o traço de γ. Exemplo 17 A curva γ : R R 2 dada por γ(t) = (t 3 4t, t 2 4) é uma curva regular (observe que γ (t) 0, t R). Tem-se γ( 2) = γ(2) = 0, logo γ não é biunívoca. Observemos, no entanto, que tr γ pode ser obtido colando-se os traços dos mergulhos γ 1 : (, 1) R 2 e γ 2 : ( 1, ) R 2 dados por γ 1 (t) = γ(t) t (, 1) e γ 2 (t) = γ(t) t ( 1, ). Exemplo 18 A imersão γ : R R 3 dada por γ(t) = (e t cos t, e t sen t, 5t) define uma curva regular em R 3. A projeção de tr γ no plano xy é uma espiral. Definição 27 Uma superfície regular parametrizada em R n é uma imersão suave ψ : U R n (não necessariamente biunívoca), definida em uma região U R 2. A menos que se indique o contrário, a região U será aberta e simplesmente conexa, com (0, 0) U. Exemplo 19 A imersão suave ψ : U = R 2 R 3 dada por ψ(t, s) = (t, s, t 2 + s 2 ) é uma superfície regular parametrizada em R 3, cuja imagem é um parabolóide de revolução (com vértice na origem). A matriz jacobiana de ψ em um ponto (t, s) U é dada por t 2s e, portanto, a derivada de ψ em (t, s) é a transformação ψ (t, s) : (u, w) (u, w, 2tu + 2sw), evidentemente biunívoca, quaisquer que sejam t, s R. Exemplo 20 Mais geralmente, o gráfico de qualquer função suave f : U R, definida em uma região U R 2, é uma superfície regular parametrizada. Pois a aplicação ψ : U R 3 dada por ψ(t, s) = (t, s, f(t, s)) é suave, tem derivada em cada ponto (t, s) U dada por ψ (t, s)(u, w) = (u, w, f t (t, s)u + f s (t, s)w) (que é, portanto, biunívoca) e, vista como aplicação de U sobre ψ(u), tem uma inversa, dada pela restrição a ψ(u) da projeção canônica π : R 3 R 2. Como π é suave, temos que ψ é um C -difeomorfismo. Em particular, um homeomorfismo.

20 14 Exercício: Se ψ : (0, 2π) (0, 2π) R 4 é dada por ψ(t, s) = (cos t, sen t, cos s, sen s ) então ψ é uma superfície regular parametrizada em R 4, cuja imagem é um toro T 2 = S 1 S 1 menos um equador e um meridiano. A idéia de superfície regular é a de um subconjunto bidimensional S R 3 que, em torno de cada ponto, é uma superfície regular parametrizada, de tal forma que se possam apresentar em S as noções importantes do cálculo diferencial (como comprimento, ângulo, velocidade, área, etc.) de maneira inequívoca. Definição 28 Um subconjunto S no espaço R 3 é uma superfície regular se cada ponto de S tem uma vizinhança aberta W R 3 cuja interseção com S é imagem de uma imersão suave e biunívoca ψ : U R 3, definida em uma região U R 2. Como toda imersão é localmente um mergulho, podemos, diminuindo U se necessário, supor que S é obtida colando-se imagens de superfícies regulares parametrizadas. A forma local das imersões permite concluir que cada uma das tais superfícies parametrizadas tem inversa contínua (pois continuidade é propriedade local), sendo portanto um homeomorfismo e, em verdade, um difeomorfismo. Segue-se que uma superfície regular S é localmente difeomorfa ao R 2. A grosso modo podemos pensar em S construída com imagens de discos do plano por aplicações que preservam a topologia. Exemplo 21 A esfera S 2 R 3, dada pela equação x 2 +y 2 +z 2 = 1, é uma superfície regular. Se (q 1, q 2, q 3 ) = q R 3, sejam as regiões U r + e Ur, r = 1, 2, 3, definidas por U + r = {q S 2 / q r > 0} e U r = {q S 2 / q r < 0}. Então cada tal região é um gráfico. Por exemplo, U3 é o gráfico da função suave f : B2 R, dada por (x, y) 1 x 2 y 2, (com B 2 = {x 2 + y 2 < 1}) e S 2 = 3 r=1(u r + Ur ). Exemplo 22 A curva α : R R 3 dada por α(t) = (a sen t cos t, b sen 2 t, k cos t) tem o traço contido na superfície S, dada por x2 a + y2 2 b + z2 2 k 2 e centro na origem). Pode-se escrever α : I S. = 1 (que é um elipsóide com semi-eixos a, b, k O plano tangente Se F (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : U R 2 R 3 é uma aplicação suave e p = (u 0, v 0 ) U, a derivada de F no ponto p é a transformação linear F (p) determinada pela matriz x u (u 0, v 0 ) x v (u 0, v 0 ) y u (u 0, v 0 ) y v (u 0, v 0 ) z u (u 0, v 0 ) z v (u 0, v 0 ) Se w = (u, v) R 2, então F (p)w é o vetor em R 3 cujas coordenadas na base canônica são x u (u 0, v 0 )u + x v (u 0, v 0 )v, y u (u 0, v 0 )u + y v (u 0, v 0 )v e z u (u 0, v 0 )u + z v (u 0, v 0 )v. Exercício: Se α : I U é uma curva suave, definida em um intervalo I R (com 0 I), que satisfaz α(0) = p e α (0) = w

21 15 então (F α) (0) = F (p)w. Observe-se que (F α) (0) é independente da escolha da curva suave α (desde que α satisfaça as condições α(0) = p e α (0) = w). Embora seja um exercício fácil, é muito importante (e freqüentemente útil) saber que F (p)w = (F α) (0), onde α é qualquer curva suave com α(0) = p e α (0) = w. Mais geralmente, se F : U R m R n é uma aplicação cujas funções coordenadas são suaves, a derivada de F em um ponto q U é definida pela matriz jacobiana de F em q e, raciocinando como acima, conclui-se que, para todo w R m, F (q)w = β (0), onde β = F α, com α : I R m qualquer curva suave que satisfaça α(0) = q, α (0) = w. O vetor w pode então ser identificado com a classe das curvas suaves α : I R m que satisfazem α(0) = p e α (0) = w. Se γ : I R 3 for uma curva suave, com Ĩ 0, γ(0) = α(0) = p e γ (0) = α (0) = w, escreveremos α γ. Essa é uma relação de equivalência e o vetor w = α (0) pode ser identificado com a classe [α]. O espaço tangente a R 3 em um ponto q é definido pelo conjunto T q R 3 de todos os vetores em q. T q R 3 é um espaço vetorial, isomorfo ao próprio R 3. Se S é uma superfície regular em R 3 e α : I S é uma curva suave em S, a velocidade α (0) é um vetor em R 3 tangente à superfície S no ponto q = α(0). Considerando somente as curvas suaves que têm seu traço contido em S, podemos definir o plano T q S tangente a S em q pela coleção de todos os vetores velocidade de tais curvas. Um vetor w R 3 está em T q S se existe uma curva α : I S tal que α(0) = q, α (0) = w. Observação 1 Se u = α (0) e w = β (0) são vetores tangentes à superfície S R 3, linearmente independentes, em um ponto q S, o plano tangente T q S é o plano normal ao produto vetorial N q = u w que passa por q. Um vetor w R 3 também pode ser pensado como uma derivação no espaço das funções suaves f : R 3 R. Realmente, um vetor w com origem em q R 3 satisfaz (λf + g) (q)w = λf (q)w + g (q)w e (fg) (q)w = g(q)f (q)w + f(q)g (q)w,

22 16 quaisquer que sejam as funções f, g C (R 3 ) e o número λ R (observe-se, por exemplo, que (fg) (q)w = = (fg) w (q) = f g w (q)g(q) + f(q) w (q)). Um vetor w = α (0) T q S, tangente a uma superfície S em um ponto q S, satisfaz ((λf + g) α) (0) = λ(f α) (0) + (g α) (0) e ((fg) α) (0) = g(α(0))(f α) (0) + f(α(0))(g α) (0) onde α é uma curva em S que passa por q. Uma superfície S tem um plano tangente em cada ponto e esse plano tangente varia suavemente. Um fato notável é que essa definição de vetor tangente não depende do espaço ambiente R 3 em que a superfície está imersa. Assim como a classe de equivalência de curvas suaves contidas em S que passam pelo ponto q. Um vetor tangente w é identificado com um elemento do espaço (vetorial) das derivações lineares sobre as funções reais suaves definidas em S. Em verdade, se duas funções suaves definidas em S coincidem em uma vizinhança aberta do ponto q, qualquer das tais derivações lineares vai associar o mesmo valor a ambas e, logo, um vetor tangente a S em q deve ser definido como uma derivação linear sobre um espaço de classes de equivalência de funções suaves em torno de q. Por outro lado as definições de superfícies e planos tangentes podem ser naturalmente estendidas ao caso em que a superfície, em vez de ser bidimensional, tem dimensão k em um espaço euclidiano que, em vez de ser tridimensional, tem dimensão n k. Subvariedades do espaço R n Uma subvariedade no espaço R n é a generalização natural da idéia de superfície em R 3. Como a forma local das imersões é verdadeira em dimensão n, podemos considerar subvariedades regulares parametrizadas, que são imagens de abertos k-dimensionais por aplicações que preservam a topologia, e proceder como antes. Definição 29 Um subconjunto M no espaço R n é uma subvariedade (k-dimensional) de R n se cada ponto de M tem uma vizinhança aberta W R n cuja interseção com M é imagem de uma imersão suave e biunívoca ψ : U R n, definida em uma região U R k. Exemplo 23 O toro T 2 = S 1 S 1 R 4 é uma subvariedade de R 4. Se q T 2, existem t, s [0, 2π) tais que q = (e it, e is ). Pode-se tomar U = ( π, π) ( π, π) se t = 0 ou s = 0 e U = (0, 2π) (0, 2π), caso contrário. Se ϕ : U R n é um mergulho suave, definido em um aberto U R k, segue-se da forma local das imersões que ϕ é um C -difeomorfismo sobre ϕ(u) e o difeomorfismo inverso é dado por ϕ 1 = π ξ ϕ(u) onde ξ : Z U W R n é o difeomorfismo construído na demonstração do teorema 5 e π : U W R k é a projeção canônica. Realmente, π ξ ϕ(q) = π(q, 0) = q, q U. Uma subvariedade k-dimensional M de R n é localmente difeomorfa ao R k. espaço vetorial k-dimensional tangente em cada ponto, que varia suavemente. Além disso M tem um Se α : I M é uma curva suave, o vetor velocidade α (0) é um vetor de R n tangente a M em q = α(0). O espaço tangente à subvariedade M R n no ponto q é definido por T q M = {α (0) / α C (I, M), α(0) = q}

23 17 Um vetor w em um ponto q R n pode ser definido (como uma derivação no espaço das funções suaves f : R n R) por Tem-se então w(f) = f (q)w = f w (q). w(λf + g) = λw(f) + w(g) e w(fg) = g(q)w(f) + f(q)w(g). quaisquer que sejam f, g C (R n ), λ R. Se α : I M é suave e fizermos w = α (0), teremos w(f) = α (0)f = (f α) (0). Como α(i) M, tem-se f α = f M α. Isso sugere que o espaço tangente T q M possa ser obtido como um espaço de derivações lineares sobre as restrições à subvariedade M das funções suaves em R n. Portanto um vetor tangente a M é uma derivação linear sobre o espaço C (M) das funções suaves definidas em M. Observemos que se f : M R é a restrição a M de uma função suave definida em um aberto de R n que contém M, então a função f ϕ 1 é suave, qualquer que seja a parametrização ϕ : U R k M. Isso fornece uma definição rigorosa de função suave definida em uma subvariedade de R n. Suponhamos que a subvariedade M R n seja (globalmente) parametrizada por um mergulho ϕ : U R k R n (então M = ϕ(u) R n ). Fixemos um ponto q U. Como ϕ é um difeomorfismo sobre a imagem, sabemos que a derivada ϕ (q) é um isomorfismo de R k sobre ϕ (q)r k que, portanto, tem dimensão k n. Então ϕ (q)r k é um subespaço vetorial k-dimensional de R n, com base no ponto ϕ(q) M. Tudo leva a crer que ϕ (q)r k é o espaço tangente à subvariedade M no ponto ϕ(q). Essa afirmação é verdadeira. Lema 3 Se M = ϕ(u) R n é imagem de um mergulho ϕ : U R n definido em um aberto U R k, então, para todo q U, tem-se ϕ (q)r k = T ϕ(q) M, o espaço tangente a M em ϕ(q). Prova Se w ϕ (q)r k, existe u R k tal que w = ϕ (q)u. Tome-se uma curva suave α : I U que satisfaça α(0) = q e α (0) = u. Segue-se que w = ϕ (q)u = ϕ (α(0))α (0) = (ϕ α) (0) e a curva suave ϕ α : I M satisfaz ϕ α(0) = ϕ(q). Logo w T ϕ(q) M. Reciprocamente, se w T ϕ(q) M então w = β (0), onde β : I M é uma curva suave tal que β(0) = ϕ(q). Como ϕ é biunívoca, para cada t I existe um único ponto q t U tal que ϕ(q t ) = β(t). Seja então a curva α : I U dada por α(t) = q t. Pelo corolário da forma local das imersões, temos que α é uma curva suave. Além disso, ϕ α(t) = ϕ(q t ) = β(t), para todo t I. E logo β = ϕ α. Tem-se também α(0) = q (pois ϕ(α(0)) = β(0) = ϕ(q)) e α (0) T q R k = R k. Portanto w = β (0) = (ϕ α) (0) = ϕ (q)α (0) ϕ (q)r k. c.q.d. Vemos, em particular, que o espaço tangente a uma subvariedade k-dimensional de R n qualquer) é um espaço vetorial de dimensão k. (em um ponto

24 18 Mais geralmente, se ϕ : U R n é um mergulho de um aberto U R m em R n tal que a imagem ϕ(u) está mergulhada em uma subvariedade k-dimensional N R n (com m k n), o espaço tangente à subvariedade ϕ(u) N em um ponto ϕ(q) ϕ (q)r m = {(ϕ α) (0) / α : I U, α(0) = q} é um subespaço vetorial do espaço tangente T ϕ(q) N = {β (0) / β : I N, β(0) = ϕ(q)}. Observamos, como antes, que as definições acima não dependem dos respectivos ambientes euclidianos. Observação 2 Se as funções f, g : M R coincidem em uma vizinhança de um ponto q M, todos os vetores tangentes w T q M associam o mesmo valor a f e a g. Identificam-se então duas funções que coincidam em alguma vizinhança aberta de q. A classe de equivalência obtida leva o nome de germe de funções suaves em q. Um vetor tangente a M no ponto q é, portanto, uma derivação linear definida no espaço dos germes de funções suaves em q. Exercício: se o germe [f] no ponto q M tem um representante constante em alguma vizinhança de q, então w([f]) = 0, w T q M. Se M é subvariedade k-dimensional de R n, sabemos que todo ponto q M tem uma vizinhança difeomorfa a um aberto de R k (pois M é obtido colando-se imagens de parametrizações). Sejam ϕ : U M e ψ : V M mergulhos suaves, definidos em abertos U, V R k, tais que q ϕ(u) ψ(v ). Indiquemos com ξ um difeomorfismo (dado pela forma local das imersões) que satisfaz π ξ ϕ(u) = ϕ 1 e com η um difeomorfismo tal que π η ψ(v ) = ψ 1. Então a mudança ψ 1 ϕ = π η ψ(v ) ϕ : ϕ 1 (ϕ(u) ψ(v )) ψ 1 (ϕ(u) ψ(v )) é suave, com inversa também suave. (ψ 1 ϕ) 1 = ϕ 1 ψ = π ξ ϕ(u) ψ : ψ 1 (ϕ(u) ψ(v )) ϕ 1 (ϕ(u) ψ(v )) Logo ψ 1 ϕ : ϕ 1 (ϕ(u) ψ(v )) ψ 1 (ϕ(u) ψ(v )) é um C -difeomorfismo. Exercício: Se q U V, com U = ϕ(ũ), V = ψ(ṽ ) e ϕ, ψ parametrizações em M como acima, defina x = ϕ 1 : U = Ũ e y = ψ 1 : V = Ṽ e conclua que a mudança y x 1 : x(u V ) y(u V ) é um difeomorfismo.

25 19 Variedades diferenciáveis Definição 30 Um espaço topológico E é um espaço de Hausdorff se quaisquer dois pontos distintos em E têm vizinhanças disjuntas. Diz-se que E tem base enumerável se existe uma coleção enumerável de abertos em E tal que todo aberto em E é uma união desses abertos básicos. Um espaço de Hausdorff E é localmente euclidiano se cada ponto em E tem uma vizinhança homeomorfa a um aberto em R n, para algum n fixo. Definição 31 Uma variedade diferenciável de dimensão n é um espaço topológico localmente euclidiano M, com base enumerável, em que cada ponto q tem uma vizinhança aberta U M na qual está definida uma aplicação suave x : U R n de tal forma que se y : V R n é uma das tais aplicações e U V, a mudança y x 1 : x(u V ) y(u V ) é suave. Exercício: Segue-se da definição que as mudanças são difeomorfismos. As aplicações x : U R n são chamadas cartas locais. Se q U, x é uma carta em torno de q. A coleção de todos os pares (U, x) que satisfazem a definição acima é chamada uma estrutura diferenciável para a variedade M. Mais geralmente, um atlas suave para um espaço localmente euclidiano (com base enumarável) M é uma coleção A = {(U λ, x λ ) / λ Λ} (onde Λ é um conjunto de índices), com U λ aberto em M e x λ : U λ R n suave, para todo λ Λ, que satisfaz i) M λ Λ U λ ii) x µ x 1 λ C (x λ (U V ), x µ (U V )), λ, µ Λ. Uma estrutura diferenciável para M é um atlas suave maximal A para M, no sentido de que A contém qualquer atlas suave para M. Os abertos U λ em um atlas suave são chamados vizinhanças parametrizadas. É fácil verificar que se M for uma subvariedade de R n e {(U λ, x λ ) / λ Λ} for um atlas suave, a inversa x 1 λ : x λ (U λ ) U λ de qualquer carta local é uma imersão biunívoca suave. Exercício: Subvariedades suaves de R n são variedades diferenciáveis. Sugestão: faça x = π ξ ϕ(v ), y = π η ψ(v ) (onde ξ e η são difeomorfismos dados pela forma local das imersões). Exemplo 24 Se Ω M é aberto em uma variedade diferenciável M, então Ω é uma variedade diferenciável, com a mesma dimensão que M. Realmente cada q Ω está na interseção U Ω de uma vizinhança parametrizada U com Ω e essa interseção é aberta em Ω. Além disso se x : U R n (supondo dim M = n) é carta local suave, a restrição de x a U Ω é carta local para Ω. Finalmente, se q (Ω U) (Ω V ) = Ω (U V ), tem-se que y V Ω (x U Ω ) 1 = (y x 1 ) x(u V Ω) : x(u V Ω) y(u V Ω) é suave. Exemplo 25 Um exemplo quase trivial de variedade diferenciável é dado pelo espaço R n. A coleção A cujo único elemento é o par (R n, i), em que i : R n R n é a aplicação identidade, é um atlas suave para R n. Uma estrutura diferenciável é obtida acrescentando-se todos os pares (U, x), com U R n aberto, tais que x : U x(u) seja um difeomorfismo.

26 20 Exercício: Se M é variedade diferenciável e A é um atlas suave para M, uma estrutura diferenciável para M é obtida acrescentando-se aos pares em A todos os pares da forma (V, y), com V aberto em M, que satisfaçam y x 1 C (x(u V ), y(u V )) e x y 1 C (y(u V ), x(u V )) qualquer que seja o par (U, x) A. Exemplo 26 Se M e N são variedades diferenciáveis, com dim M = m e dim N = n, a variedade produto M N é definida pelo atlas maximal que contém todos os pares da forma (U V, x y), com (U, x) percorrendo um atlas suave para M e (V, y) percorrendo um atlas suave para N. A carta local x y : U V R m R n = R m+n é definida por x y (q, p) = (x(q), y(p)) para todo (q, p) U V. É fácil verificar que (x y) 1 = x 1 y 1 e que o atlas indicado é um atlas legítimo, com a topologia produto (verificar). Tem-se dim(m N) = m + n. Exemplo 27 O espaço (métrico) de todas as matrizes reais invertíveis n n é uma variedade diferenciável, de dimensão n 2, que leva o nome de grupo linear geral e se representa com Gl(n, R) (como veremos adiante, Gl(n, R) é um grupo de Lie). Como uma matriz quadrada é invertível se e somente se o seu determinante é não nulo e o conjunto das matrizes que têm determinante nulo é fechado na álgebra de Lie gl(n, R) = R n2, vemos que Gl(n, R) é, a menos de um difeomorfismo, um aberto na variedade R n2 e, pelo exemplo 24, é uma variedade diferenciável, com dim Gl(n, R) = n 2. Exercício: Toda variedade diferenciável é um espaço de Lindelöf. Exercício: Toda variedade diferenciável conexa é conexa por caminhos. Observação 3 É uma conseqüência da forma local das imersões que se ϕ : U M é uma parametrização em uma subvariedade M R n, definida em um aberto U R k e ζ : V R m ϕ(u) é uma aplicação suave, a composta ϕ 1 ζ : V U é suave (veja-se [Lima](2006)). Pode-se dizer, portanto, que uma função f : M R é suave se, para toda parametrização ϕ : U M, tem-se f ϕ suave. Realmente, se ψ : V M é outra parametrização, com ψ(v ) ϕ(u), então f ψ = f ϕ ϕ 1 ψ é suave se e somente se f ϕ é suave. Definição 32 Se f : U M R é uma função definida em um aberto U de uma variedade diferenciável M, dizemos que f é suave se a função f x 1 : U W R for suave, qualquer que seja o par (W, x) em um atlas suave para M (se U W =, então f é trivialmente suave). Escreve-se f C (U). C (M) é o espaço (vetorial) de todas as funções suaves definidas em M. Definição 33 Se M, N são variedades diferenciáveis, uma aplicação contínua ψ : M N é suave se para toda função suave g : U R definida em um aberto U N, a função g ψ : ψ 1 (U) R é suave. Escreve-se ψ C (M, N). Exercício: Uma aplicação contínua ψ : M N é suave se e somente se y ψ x 1 : x(w ) y(ψ(w )) é suave, para todo aberto W U ψ 1 (V ), quaisquer que sejam os pares (U, x) em um atlas suave para M e (V, y) em um atlas suave para N. Exercício: se M, N, R são variedades diferenciáveis e ψ : M N e η : N R são aplicações suaves, então a aplicação η ψ : M R é suave (composta de aplicações suaves é suave). Exercício: Se ψ : M N é suave, então, com g : N R, tem-se g ψ x 1 suave (U, x) se e somente se g y 1 suave (V, y).

27 21 Exercício: ψ C (M, N) se e somente se todo ponto em M tem uma vizinhança U M tal que ψ U é suave (suavidade é propriedade local). O espaço tangente Se M é uma variedade diferenciável e q M, diremos que duas funções f : U R e g : V R, definidas em vizinhanças abertas de q, tem o mesmo germe em q se elas coincidirem em alguma vizinhança aberta de q. Em símbolos: se existe W U V, aberto em M, tal que f( q) = g( q), q W. Escreveremos f g. Exercício: A relação é uma relação de equivalência no conjunto das funções suaves em torno de q. Definição 34 Se M é variedade diferenciável e f : U R é uma função suave em torno de q M, o germe de f em q é a classe de equivalência (definida pela relação de equivalência acima) que f representa. Em palavras: [f] é a classe de todas as funções suaves que coincidem com f em alguma vizinhança aberta de q. Definição 35 Um vetor tangente a uma variedade diferenciável M em um ponto q M é uma derivação linear definida no espaço vetorial dos germes de funções suaves em torno de q. O espaço tangente a M em q é o espaço vetorial de todos os vetores tangentes a M em q, indicado com T q M. Exercício: O espaço dos germes de funções suaves em q é uma álgebra linear e o subespaço dos germes de funções suaves que se anulam em q é um ideal. Tem-se, portanto, w(λ[f] + [g]) = λw([f]) + w([g]) e w([f][g]) = [g](q)w([f]) + [f](q)w([g]), quaisquer que sejam os germes [f] e [g] em q, onde se faz [f](q) = f(q), com f um representante qualquer de [f]. Observação 4 Se ϕ : R n = R n é um difeomorfismo e f C (R n ), tomando no espaço T ϕ(q) R n = R n a base {e 1,..., e n } = {ϕ (q)e 1,..., ϕ (q)e n } (onde e i = (e i ) q, i = 1,..., n), temos f e i (ϕ(q)) = f (ϕ(q))e i = f (ϕ(q))ϕ (q)e i = (f ϕ) (q)e i = i (f ϕ)(q). Se M k é subvariedade de R n e ϕ : U = ϕ(u) (com U R k aberto) é uma parametrização em torno de ϕ(q) M, escolhamos no espaço tangente T ϕ(q) M a base {e 1,..., e k } = {ϕ (q)e 1,..., ϕ (q)e k } e suponhamos (diminuindo U se necessário) que ϕ é a restrição a U = M Ω de um C -difeomorfismo ϕ : Ω = ϕ(ω) R n definido em um aberto Ω R n. E que f C (M) é a restrição a M de uma função suave f : R n R. Então, observando que e i é tangente a M e e i é tangente a U, obtemos f (ϕ(q)) = f (ϕ(q)) = i (f ϕ)(q) = i (f ϕ e i e U )(q) = i (f ϕ)(q). i Podemos então, chamando de x 1,..., x k as coordenadas dadas pela parametrização ϕ, definir uma base em T ϕ(q) M por { } (ϕ(q)),..., (ϕ(q)) = {ϕ (q)e 1,..., ϕ (q)e k } = {e 1,..., e k } x 1 x k

28 22 em que o i-ésimo vetor básico satisfaz (ϕ(q))(f) = f (ϕ(q)) = i (f ϕ)(q). x i e i Se tivermos q M (em vez de q U), a igualdade acima se torna x i (q)(f) = i (f ϕ)(ϕ 1 (q). Se M k é subvariedade de R n e x : U = x(u) é uma carta em torno de q M, a inversa x 1 : x(u) U é um difeomorfismo e sua derivada (x 1 ) (x(q)) = x (q) 1 : R k = T q M leva qualquer base de T x(q) R k = R k em uma base de T q M. Vamos indicar com { x 1 (q),..., } (q) x k a base de T q M imagem da base canônica {e 1x(q),..., e kx(q) } de T x(q) R k. Todo vetor tangente w T q M é uma combinação linear k w = w i (q) x i i=1 desses vetores básicos. Aplicando a uma função f, temos (q)(f) = f (q) = i (f x 1 )(x(q)). x i x i No caso de uma variedade diferenciável M, na inexistência de uma base natural para T q M, definimos os vetores tangentes básicos pela igualdade acima. Se x e y são duas cartas em torno de q, obtemos y j (q) = k i=1 x i (q) (q) y j x i Exercício: Se M é variedade diferenciável e x : U = x(u) é carta local, com q U, considere a função x s : U R dada por x s = π s x, onde π s : R k R é a projeção no s-ésimo eixo, s {1,..., k} ((x 1,..., x k ) são as coordenadas introduzidas pela carta x). Então a base de T q M construída acima satisfaz x i (q)(x s ) = δ is (delta de Kronecker), quaisquer que sejam i, s {1,..., k}.

29 23 Exercício: Se q U M e w T q M então w = k i=1 w(x i) x i (q), onde x i função coordenada associada à carta x. : U R n é a i-ésima Se ψ : M N é suave e α : I M é uma curva suave, a composta ψ α é uma curva suave em N e a imagem do vetor velocidade α (0) pela derivada de ψ no ponto q = α(0) M deve ser o vetor velocidade da curva ψ α no ponto ψ(q) (pelo menos é o que ocorre com as subvariedades de R n ). Queremos, portanto, definir uma transformação linear ψ (q) : T q M T ψ(q) N que leve vetores tangentes a M em q em vetores tangentes a N em ψ(q). Se w T q M, poderemos saber o que é o vetor tangente ψ (q)w T ψ(q) N se soubermos o que é ψ (q)w(f), para f C (N). E como ψ f C (M), sabemos o que é w(f ψ). Definição 36 Se ψ : M N é uma aplicação suave entre as variedades diferenciáveis M e N, a derivada ψ (q) : T q M T ψ(q) N de ψ no ponto q M é dada por ψ (q)w(f) = w(f ψ) quaisquer que sejam o vetor tangente w T q M e a função suave f C (N). Exercício: ψ (q) é linear. Uma conseqüência da definição acima é a regra da cadeia para as variedades. Teorema 37 Se ψ : M N é uma aplicação suave em torno de q M e η : N R é uma aplicação suave em torno de ψ(q) N, com M, N, R variedades diferenciáveis, então a aplicação composta η ψ : M R é suave em torno de q e (η ψ) (q) = η (ψ(q))ψ (q). Prova Se w T q M e f C (R), temos η (ψ(q))ψ (q)w(f) = ψ (q)w(f η) = w((f η) ψ) = w(f (η ψ)) = (η ψ) (q)w(f). c.q.d. Outro fato útil é que as aplicações com derivada nula são constantes nas componentes conexas de uma variedade. Lema 4 Se ψ : M N é suave e ψ (q) = 0 para todo q M, com M conexa, então ψ é constante em M. Prova Sejam p M um ponto qualquer e W = ψ 1 (ψ(p)) o conjunto dos pontos q M tais que ψ(q) = ψ(p). Então W (pois p W ) e W = W (pois W é a pré-imagem de um ponto). Se q W, sejam (U, x) uma carta para M em torno de q e (V, y) uma carta para N em torno de ψ(q). Qualquer que seja q U, tem-se 0 = ψ ( q) x j ( q) = i ψ ( q) x j ( q)(y i ) y i (ψ( q)) = = i ( q)(y i ψ) (ψ( q)) = x j y i i (y i ψ) ( q) (ψ( q)) x j y i para j = 1,..., dim M. Como { y i (ψ( q))} é uma base de T ψ( q) N, obtemos (y i ψ) x j ( q) = 0

30 24 para todo q U, i = 1,..., dim N. E como j era qualquer, concluimos que a aplicação y ψ x 1 : x(u) y(v ) é constante. Sendo x : U = x(u) e y : v = y(v ) difeomorfismos, temos que ψ é constante em U. Isto é, ψ( q) = ψ(q) = ψ(p) para todo q U. Em conseqüência, q W é um ponto interior. Como q W era qualquer, vemos que W é aberto em M. Portanto W = M. c.q.d. Subvariedades Definição 38 Se N n é uma variedade diferenciável, uma subvariedade de N é um par (M, ψ), em que M é uma variedade diferenciável e ψ : M N é uma imersão biunívoca. Se a imersão ψ : M N não for biunívoca, dizemos que (M, ψ) é uma subvariedade imersa. Se a imersão biunívoca ψ : M N for um mergulho, diz-se que (M, ψ) é uma subvariedade mergulhada. Exemplo 28 O par (I, α) com I = ( 1, ) e α : I R 2 dada por α(t) = (t 3 t, t 2 ) é um exemplo de subvariedade em R 2. Observe-se que não é mergulhada. Exemplo 29 O par (R 2, ϕ) com ϕ : R 2 R 3 dada por é um exemplo de subvariedade imersa em R 3. ϕ(t, z) = (t 3 t, t 2, z) Exemplo 30 O círculo S 1 é um exemplo de subvariedade mergulhada em R 2. Observe-se que, em torno de cada ponto, a inclusão é um mergulho, o que não ocorre no caso do exemplo 28 acima (tome-se o ponto (0, 1) R 2 ). Exemplo 31 Um exemplo canônico de subvariedade mergulhada é dado pelo par (M, i), com M = R k e i : R k R n (n > k) dada por i(x 1,..., x k ) = (x 1,..., x k, 0,..., 0). Se π : R n R n k é a projeção nas últimas n k coordenadas, tem-se i(m) = π 1 (0). Observe-se que M é dada pelo sistema de equações x k+1 =... = x n = 0. Definição 39 Se (U, x) é uma carta em uma variedade diferenciável M n e (fixo) em R n k, o conjunto dos pontos q U que satisfazem r = (r k+1,..., r n ) é um vetor x k+1 (q) = r k+1,..., x n (q) = r n é uma slice da carta (U, x). Um resultado importante é que a imagem da restrição de uma imersão a uma vizinhança aberta suficientemente pequena de um ponto é uma slice.

31 25 O teorema da aplicação inversa tem um enunciado elegante no contexto das variedades. Teorema 40 Se ψ : M N é suave e q M é tal que ψ (q) : T q M = T ψ(q) N é um isomorfismo, então o ponto q tem uma vizinhança aberta U M restrita à qual ψ é um difeomorfismo sobre o aberto ψ(u) N. Em símbolos: ψ U : U = ψ(u) é um difeomorfismo. Observe que se os espaços tangentes T q M e T ψ(q) N são isomorfos as variedades M e N têm a mesma dimensão. A versão geométrica do teorema das funções implícitas permite identificar muitas subvariedades. Teorema 41 Se ψ : M m N n é suave e ψ (q) é sobre para todo q W = ψ 1 (ψ(q)), então o par (W, i) (com i : W M a inclusão) é uma subvariedade mergulhada em M com dimensão m n. Tem-se T q W = ker ψ (q). Exemplo 32 Sabemos que a esfera S n é uma subvariedade mergulhada em R r, r > n. Pois S n = ψ 1 (1), com ψ(x 1,..., x n ) = x 2 i. Exemplo 33 Sabemos (desde o exemplo 27) que o grupo linear geral Gl(n, R), de todas as matrizes invertíveis n n, é uma variedade diferenciável (difeomorfa ao espaço R n2 ). Uma classe que se destaca entre as matrizes invertíveis é a das matrizes cuja inversa coincide com a transposta. Uma matriz X Gl(n, R) é chamada ortogonal se X t = X 1, ou, equivalentemente, se X t X = I, onde I é a matriz identidade n n. O espaço das matrizes ortogonais é definido por O(n) = {X Gl(n, R) / X t X = I}. Observe-se que O(n) é um grupo, com a operação de multiplicação de matrizes. Além disso, pode-se verificar que O(n) é uma variedade diferenciável. Mais precisamente: (O(n), i) é uma subvariedade mergulhada em Gl(n, R). Realmente, se definirmos a aplicação f : Gl(n, R) gl(n, R) por f(x) = X t X, vemos que O(n) = f 1 (I). Se pudermos provar que f (X) é sobre, para todo X O(n), o teorema acima justificará a afirmação. Observemos, em primeiro lugar, que a imagem da aplicação f está contida no espaço vetorial S das matrizes simétricas n n (observe-se que S não é álgebra de Lie e que X t X S X Gl(n, R)). Tome-se X O(n) fixa (porém arbitrária) e seja S S uma matriz simétrica qualquer. Fazendo ξ(x, Y ) = X t Y obtemos uma aplicação bilinear ξ : gl(n, R) gl(n, R) gl(n, R) e vemos que f é a restrição de ξ à diagonal de Gl(n, R) Gl(n, R), dada por f(x) = ξ(x, X), X Gl(n, R). A derivada de ξ em um ponto (X, Y ) é dada por ξ (X, Y )(V, W ) = ξ(x, W ) + ξ(v, Y ). Portanto E logo, tomando V = XS 2, obtemos f (X)V = ξ (X, X)(V, V ) = ξ(x, V ) + ξ(v, X) = X t V + V t X. f (X)V = X t V + V t X = X t XS 2 + ( ) t XS X = Xt XS St X t X = S S 2 = S.

32 26 Segue-se que f (X) é sobre S e (como X O(n) era qualquer) I é um valor regular. O teorema se aplica. O teorema das funções implícitas permite ainda afirmar que a dimensão da subvariedade O(n) é igual a n 2 dim S = n 2 n(n + 1) n(n 1) =. Observemos, finalmente, que se uma matriz X satisfaz X t X = I, 2 2 então as colunas de X formam uma base ortonormal do espaço R n. Em particular, a transformação linear definida por X preserva a norma dos vetores em R n e deixa invariantes as esferas de centro na origem. Exercício: justificar as últimas afirmações do exemplo acima. Exercício: dim S = n(n+1) 2. Exercício: O(n) é uma variedade compacta. Fluxos e campos vetoriais Se γ : I M é uma curva suave em uma variedade diferenciável M, um campo vetorial X ao longo de γ é uma aplicação que associa a cada t I um vetor tangente X γ(t) T γ(t) M. Exemplo 34 O campo velocidade de uma curva suave γ : I M é um campo vetorial ao longo de γ, tangente a γ (em particular, tangente a M). Um campo vetorial X, definido em um aberto U M de uma variedade diferenciável M é uma aplicação que a cada ponto q U associa um vetor tangente X q T q M. Exercício: Se a curva γ : I M é mergulhada, um campo vetorial ao longo de γ pode ser obtido compondo com γ um campo vetorial definido em um aberto que contenha o traço de γ (exibir um contra-exemplo quando a curva não for mergulhada). Definição 42 Se M é variedade diferenciável, o fibrado tangente de M é a união disjunta T M = q M T q M com a topologia induzida pela projeção π : T M M, dada por π(w) = q se w T q M. Um vetor tangente w está em T M se existe q M tal que w = w q T q M. A pré-imagem π 1 (q) de um ponto q é chamada a fibra de T M sobre q. Observe que π 1 (q) = T q M. Se em cada ponto de um espaço de dimensão n considerarmos todos os vetores em um espaço vetorial tangente naquele ponto, que também tem dimensão n, teremos 2n graus de liberdade. Realmente, o fibrado tangente a uma variedade n-dimensional é uma variedade diferenciável cuja dimensão é 2n. Uma vizinhança parametrizada em torno de um ponto w q T M pode ser obtida identificando-se w q com o par ordenado (q, w q ) e tomando-se a pré-imagem π 1 (U) de uma vizinhança parametrizada U q. Como cada fibra T q M é isomorfa ao espaço R n, uma carta local pode ser construída a partir de uma carta local (U, x) de um atlas em M. E obtem-se um atlas T A = {(T U, x) / (U, x) A} em que T U = π 1 (U) = q U T q M e x : π 1 (U) U R n é dada por Exercício: T U T V = T (U V ) sse U V. x(w q ) = (x π(w q ), x w q ) = (x(q), x (q)w q ). Exercício: Se (T U, x) e (T V, ỹ) são cartas de T A tais que U V, então a aplicação

33 27 ỹ x 1 : x(t (U V )) ỹ(t (U V )) é um C -difeomorfismo. Um campo vetorial em uma variedade diferenciável M é, portanto, uma aplicação de M no fibrado tangente T M. Definição 43 Se M é variedade diferenciável, um campo vetorial suave definido em um aberto U M é uma aplicação suave X : U T M tal que X q = X(q) T q M, q U. Se α : I M é uma curva suave, um campo ao longo de α é uma curva X : I T M tal que X(t) T α(t) M t I. O conjunto dos campos vetoriais suaves em U será denotado com X (U). Exercício: X (U) é um espaço vetorial. Se X : U T M é um campo vetorial suave e π : T M M é a projeção, a composta π X é a identidade de U. Em palavras: X é um levantamento de U em T M. Um campo suave ao longo de uma curva suave α : I M é uma curva suave em T M. Se (U, x) é uma carta em M e X : U T M é um campo vetorial, existem funções λ 1,..., λ n : U R tais que n X q = λ i (q) x i para todo q U. Observe-se que o conjunto i=1 { x 1,..., é uma base para o espaço vetorial X (U) dos campos suaves definidos em U. Teorema 44 Se (U, x) é uma carta em M e X : U T M é um campo vetorial, as afirmações abaixo são equivalentes. X é suave. X = n i=1 λ i x i, com λ i C (U), i = 1,..., n. X(f) C (U) para toda função f C (U). x n }

34 28 A terceira afirmação no teorema acima diz que um campo vetorial suave em U é uma aplicação X : C (U) C (U). O espaço vetorial X (U) dos campos suaves em um aberto U de uma variedade diferenciável M possui uma estrutura de álgebra de Lie se definirmos o bracket de dois campos vetoriais suaves X e Y pelo campo vetorial [X, Y ], que ao ponto q U associa o vetor tangente [X, Y ] q T q M, dado por [X, Y ] q (f) = X q (Y (f)) Y q (X(f)), f C (U). Se X é um campo vetorial em U, a função X(f) : U R é definida por X(f)(q) = X q (f). Fazendo o ponto q percorrer a vizinhança paramentrizada U, vemos que o campo vetorial [X, Y ] é dado por [X, Y ](f) = X(Y (f)) Y (X(f)), para f C (U). Segue-se que o bracket de campos vetoriais suaves é um campo vetorial suave. Exercício: Se M é variedade diferenciável e o bracket é definido como acima, tem-se [Y, X] = [X, Y ], X, Y X (M). [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0, X, Y, Z X (M). [fx, gy ] = fg[x, Y ] + fx(g)y gy (f)x, X, Y X (M), f, g C (M). Definição 45 Se ϕ : M N é uma aplicação suave de M sobre N, o push forward (ou push out) de um campo vetorial X X (M) pela aplicação ϕ é o campo vetorial ϕ X X (N) definido por ϕ X ϕ(q) = ϕ (q)x q para q M. Os campos vetoriais X X (M) e Y X (N) são ϕ-relacionados se Y = ϕ X. Observemos que se os campos X, Z X (M) forem ϕ-relacionados com os campos Y, W X (N), seus brackets [X, Z] e [Y, W ] também serão ϕ-relacionados. Mais precisamente: se Y = ϕ X e W = ϕ Z então [Y, W ] = ϕ [X, Z]. Realmente, se ϕ X = Y e f C (M), tem-se X(f ϕ)(q) = (f ϕ) (q)x q = f (ϕ(q))ϕ (q)x q = f (ϕ(q))y ϕ(q) = Y ϕ(q) (f) = e logo X(f ϕ) = Y (f) ϕ. = Y (f)(ϕ(q)) = Y (f) ϕ(q) q M Portanto, se Y = ϕ X e W = ϕ Z, teremos [Y, W ] ϕ(q) (f) = Y ϕ(q) (W (f)) W ϕ(q) (Y (f)) = ϕ (q)x q (W (f)) ϕ (q)z q (Y (f)) = = X q (W (f) ϕ) Z q (Y (f) ϕ) = X q (Z(f ϕ)) Z q (X(f ϕ)) = [X, Z] q (f ϕ) = = (f ϕ) (q)[x, Z] q = f (ϕ(q))ϕ (q)[x, Z] q = ϕ (q)[x, Z] q (f) f C (M) e logo [Y, W ] ϕ(q) = ϕ (q)[x, Z] q q M. E segue-se que [Y, W ] = ϕ [X, Z]. Definição 46 A órbita (ou curva integral) de um campo vetorial X X (M) por um ponto q M é a curva suave γ q : I M definida por γ q (0) = q e γ q(t) = X γ(t) t I onde I é um intervalo maximal de definição de γ q, com 0 I.

35 29 A existência e unicidade da órbita γ q decorre de teoremas clássicos de equações diferenciais (veja-se [Sotomayor](1979)). Exercício: Suponha que a órbita γ q de um campo vetorial X X (M) está definida em R, para todo q M. Fixe t R e defina a aplicação φ t : M M por φ t (q) = γ q (t). Prove que φ t é um difeomorfismo. Definição 47 Um campo vetorial X em uma variedade M é completo se as órbitas de X estão definidas em R. Isto é, existe γ q (t) para todo t R, para qualquer q M. Definição 48 O fluxo de um campo vetorial completo X X (M) é a família a um parâmetro {φ t / t R} de difeomorfismos associados a X pela correspondência φ t (q) = γ q (t). Definição 49 Um ponto q M é uma singularidade de um campo vetorial X X (M) se X q = 0. Exercício: Se q M é singularidade de X X (M) e γ : I q M é órbita de X tal que γ(0) = q, então γ(t) q. Sugestão: Se η : I M é definida por η(t) q, então η é órbita de X (verificar), com γ(0) = q = η(0) e γ (0) = X γ(0) = X q = 0 = η (0). Logo γ = η. Exemplo 35 Todo campo vetorial contínuo definido em uma esfera de dimensão par tem uma singularidade. A demonstração desse fato utiliza um teorema importante da Topologia, que afirma que em uma esfera de dimensão par a aplicação antípoda não é homotópica à identidade (veja-se [Lima](1998)). Supondo que X não tenha nenhuma singulridade é possível construir uma homotopia entre a antípoda e a identidade e concluir que a dimensão não pode ser par ([Lima](2006)). Todo campo regular é topologicamente um campo trivial. Mais geralmente: se X X (M) e o ponto q M tem uma vizinhança W tal que X p 0 p W, então existe uma carta (U, x) em torno de q, com U W, tal que o campo vetorial x X X (x(u)) é o campo constante q (e 1 ) q. Teorema 50 Se X X (M) e X q 0, existe uma carta (U, x) em torno de q tal que X U campo coordenado x 1. coincide com o Para uma demonstração, pode-se tomar uma seção transversal às órbitas de X no ponto q e aplicar o teorema da aplicação inversa (veja-se [Sotomayor](1979)). Uma generalização natural da idéia de campo vetorial em uma variedade é a de um campo de k-planos (ou k-distribuição), com k {1,..., dim M}. Assim como um campo de vetores X X (M) associa a cada ponto q M um vetor tangente X q T q M, pode-se considerar uma aplicação que a cada ponto q M associe uma reta tangente a M em q. E mais geralmente, pode-se pensar em uma aplicação que a cada q M associe um subespaço k-dimensional do espaço tangente T q M. No primeiro caso temos um campo de direções (ou campo de 1-planos) e, no segundo caso, um campo de k-planos, de acordo com a definição abaixo. Definição 51 Um campo de k-planos em uma variedade n-dimensional M (com n k) é uma escolha de um subespaço k-dimensional q do espaço tangente T q M, para cada q M. é suave se todo ponto em M tem uma vizinhança aberta W na qual estão definidos campos vetoriais suaves X 1,..., X k que geram em W (isto é, os vetores tangentes (X 1 ) q,..., (X k ) q geram q, para todo q W ). Se o espaços tangentes tiverem estrutura de álgebra de Lie, cabe perguntar se os subespaços q são invariantes pelo bracket. Isso leva á definição que se segue. Diz-se que um campo vetorial X X (M) está em se X q q para todo q M. Definição 52 Um campo de k-planos em uma variedade diferenciável M n é involutivo se o campo vetorial [X, Y ] estiver em sempre que os campos X e Y estiverem em.

36 30 Não é difícil ver que se um campo de k-planos tem uma variedade integral por cada ponto, então é involutivo. O Teorema de Frobenius fornece a recíproca. Teorema 53 Se é um campo de k-planos suave e involutivo em uma variedade M n, por cada ponto passa uma variedade integral de. Se q M, existe uma carta (U, x) em torno de q, com x = (x 1,..., x n ), tal que as slices x k+1 r k+1,..., x n r n r k+1,..., r n R, constantes são variedades integrais de. E qualquer variedade integral conexa de contida em U está em uma dessas slices.

37 31 Capítulo 3 Grupos de Lie Grupos de Lie Um grupo de Lie é, intuitivamente, uma variedade diferenciável cujos pontos podem ser somados, como no R n (uma variedade com estrutura de grupo ou um grupo com uma estrutura diferenciável). Mais precisamente: Definição 54 Um grupo de Lie é uma variedade diferenciável G munida de uma estrutura de grupo tal que a aplicação G G G é de classe C. (g, h) gh 1 Exercício: A definição permite concluir que a multiplicação (g, h) gh e a inversão g g 1 são suaves. Sugestão: prova-se primeiro que a inversão é suave. Exemplo 36 O grupo R (com a soma) é um exemplo trivial de grupo de Lie. Exemplo 37 O grupo Gl(n, R) das matrizes n n invertíveis em gl(n, R) = R n2 (com a multiplicação de matrizes) é um grupo de Lie. Realmente, vimos no exemplo 27 que Gl(n, R) é uma variedade diferenciável. É imediato verificar que Gl(n, R) é um grupo. Finalmente, a multiplicação e a inversão de matrizes definem aplicações de classe C. Exemplo 38 A variedade diferenciável O(n) do exemplo 33 é um exemplo de grupo de Lie compacto. Observe-se que O(n) é fechado por ser pré imagem de um ponto (a matriz I) por uma aplicação suave. E é limitado porque qualquer X O(n) é uma matriz cujas colunas formam uma base ortonormal de um espaço euclidiano de dimensão finita. O(n) é chamado o grupo ortogonal. Exemplo 39 Sabemos que o espaço vetorial de todos os endomorfismos de um espaço vetorial V é uma álgebra de Lie. Se considerarmos apenas os endomorfismos invertíveis, que são chamados automorfismos de V, teremos um grupo de Lie, com a operação de composição de endomorfismos. Associadas a um cada grupo de Lie estão duas famílias de difeomorfismos, que são chamados translações, de acordo com a definição abaixo. Definição 55 Se G é grupo de Lie e g G, a translação à esquerda por g é o difeomorfismo l g, definido por l g (h) = gh h G. A translação à direita por g é o difeomorfismo r g : G G definido por r g (h) = hg. Definição 56 Um campo vetorial (suave) X : G T G, definido em um grupo de Lie G, é invariante à esquerda se (l g ) X = X, para todo g G, onde l g é a translação à esquerda h gh determinada por g, e ϕ X é o push forward de X pela aplicação ϕ (definido por (ϕ X) ϕ(q) = ϕ (q)x q ).

38 32 Exercício: As translações à esquerda e à direita são difeomorfismos de G sobre G. Exercício: A componente conexa de um grupo de Lie G que contém o elemento neutro de G é um grupo de Lie (obviamente conexo). Exercício: As componentes conexas de um grupo de Lie G são duas a duas difeomorfas. Indicaremos com Lie(G) o espaço vetorial de todos os campos invariantes à esquerda em um grupo de Lie G. Prova-se que todo campo vetorial invariante à esquerda em um grupo de Lie é suave. Logo Lie(G) é um subespaço de X (G) e é, portanto, munido de um bracket (herança da álgebra de Lie X (G)), dado por [X, Y ](f) = X(Y (f)) Y (X(f)) para toda função f C (G). Exercício: Verifique as afirmações abaixo, com g = Lie(G). i) g é um espaço vetorial. ii) A aplicação α : X g X e T e G é um isomorfismo. iii) O bracket de campos invariantes à esquerda é invariante à esquerda. iv) g é uma álgebra de Lie. Exemplo 40 Prova-se ([Knapp](1986)) que a álgebra de Lie dos campos invariantes à esquerda em Gl(n, R) é isomorfa à álgebra de Lie gl(n, R) de todas as matrizes reais n n. Observação 5 Um campo invariante à esquerda fica completamente determinado se se conhece seu valor em um único ponto. O espaço tangente T e G adquire estrutura de álgebra de Lie (isomorfa a g) se exigirmos que o isomorfismo X X e seja um isomorfismo de álgebras de Lie (definindo [X e, Y e ] = [X, Y ] e, X e, Y e T e G). Essa é a álgebra de Lie do grupo de Lie G, denotada por Lie(G). Exercício: Se {X 1,..., X n } é uma base para a álgebra dos campos vetoriais invariantes à esquerda em um grupo de Lie G, prove que existem escalares λ ijk, i, j, k = 1,..., n, tais que i) [X i, X j ] = n k=1 λ ijkx k, i, j = 1,..., n. ii) λ ijk + λ jik = 0, i, j, k = 1,..., n. iii) n r=1 (λ ijrλ rks + λ jkr λ ris + λ kir λ rjs ) = 0, i, j, k, s = 1,..., n. Definição 57 Um homomorfismo entre grupos de Lie G e H é um homomorfismo suave de grupos. Um isomorfismo entre G e H é um difeomorfismo de G sobre H que é, também, um homomorfismo de grupos. Hom(G, H) é o espaço dos homomorfismos de G em H. Exercício: Se ϕ : G H é homomorfismo e indicarmos com g e h as álgebras de Lie dos grupos de Lie G e H, a derivada ϕ = ϕ (e) : g h é um homomorfismo de álgebras de Lie. Definição 58 Uma forma diferencial ω definida em um grupo de Lie G é invariante à esquerda se l gω = ω, para todo g G (onde ϕ ω indica o pull back de ω pela aplicação ϕ). Exercício: Se a 1-forma ω (definida em G) é invariante à esquerda e X X (G) é invariante à esquerda, então a função ω(x) : G R é constante. Grupos de Lie conexos Os homomorfismos definidos em um grupo de Lie conexo podem ser determinados a partir de suas derivadas.

39 33 Teorema 59 Se ϕ : G H e ψ : G H são homomorfismos, com G grupo de Lie conexo, e ϕ (e) = ψ (e), então ϕ = ψ. Observe-se que ϕ(e) = ψ(e) e que ϕ (e)x = ψ (e)x X T e G = g. Pela unicidade de soluções de equações diferenciais, vemos que as imagens por ϕ e por ψ das órbitas de campos vetoriais em G passando pelo neutro são as mesmas curvas em H. Outro fato interessante acerca dos grupos de Lie conexos é que eles são gerados por qualquer vizinhança (aberta) do neutro. Teorema 60 Se G é um grupo de Lie conexo e U G é uma vizinhança de e, então G = n=1u n onde U n indica o conjunto de todos os produtos de n elementos em U. Prova Tome-se V U uma vizinhança aberta de e tal que V 1 = V e defina-se W = n=1v n. Então W é um subgrupo de G. Realmente, se g W, então g V n para algum n, e logo existem g 1,..., g n V tais que g = g 1...g n. Se h também está em W, então h = h 1...h k V k para algum k (com h i V ) e logo gh = g 1...g n h 1...h k V n+k W. Além disso, W é aberto. Pois se g W, o conjunto gv = {gh / h V } é uma vizinhança aberta de g, contida em W (observe-se que gv = l g (V ) é a imagem de V por um difeomorfismo). Afirmamos que W é fechado. Observe-se que G é união disjunta das classes laterais determinadas por W, que são todas abertas (difeomorfas a W ) e logo W, por ser o complementar em G da união de todas as classes laterais diferentes dele próprio, é fechado em G. Obviamente, W, pois W e. Portanto, como G é conexo, tem-se W = G. c.q.d. Os grupos de Lie são localmente conexos por caminhos e semi-localmente 1-conexos. Segue-se da Teoria dos Espaços de Recobrimento que todo grupo de Lie conexo tem um espaço de recobrimento (universal) π : G G, simplesmente conexo, em que a aplicação de recobrimento π é um difeomorfismo local suave. É possível definir em G uma estrutura de grupo que torna G um grupo de Lie e π : G G um homomorfismo. Realmente, defina-se a aplicação α : G G G por α( g, h) = π( g)π( h) 1 e escolha-se ẽ π 1 (e). Os homomorfismos induzidos α : π 1 ( G G) π 1 (G) e π : π 1 ( G) π 1 (G) satisfazem α (π 1 ( G G)) = α (0) = 0 = π (π 1 ( G)) e logo existe um único levantamento α : G G G tal que π α = α e α(ẽ, ẽ) = ẽ (note-se que α é suave, pois α( G G) π( G)). Definem-se então h 1 = α(ẽ, h) e g h = α( g, h 1 ) = α( g, α(ẽ, h)) Observe-se que ẽ 1 = α(ẽ, ẽ) = ẽ e que ẽẽ = α(ẽ, ẽ 1 ) = α(ẽ, ẽ) = ẽ. Sejam então i( g) = g, β( g) = ẽ g, γ( g) = gẽ, g G. Temos i) π i( g) = π( g) g G e i(ẽ) = ẽ. ii) π β( g) = π(ẽ g) = π α(ẽ, α(ẽ, g)) = α(ẽ, α(ẽ, g)) = π(ẽ)(π α(ẽ, g)) 1 = α(ẽ, g) 1 = = (π(ẽ)π( g) 1 ) 1 = eπ( g) = π( g) g G e β(ẽ) = ẽẽ = ẽ. iii) π γ( g) = π( gẽ) = π α( g, ẽ 1 ) = α( g, ẽ) = π( g)π(ẽ) 1 = π( g) g G e γ(ẽ) = ẽ.

40 34 E segue-se da unicidade do levantamento que i = β = γ. Portanto g = ẽ g = gẽ, g G. Se fizermos ϕ( g) = g g 1, ψ( g) = g 1 g e o( g) = ẽ, teremos π ϕ( g) = π α( g, α(ẽ, α(ẽ, g))) = π( g)α(ẽ, α(ẽ, g)) 1 = π( g)(α(ẽ, g) 1 ) 1 = π( g)π( g) 1 = e e, similarmente, π ψ( g) = e = π o( g), g G. Tem-se também ϕ(ẽ) = ψ(ẽ) = o(ẽ) = ẽ e, portanto, ϕ = ψ = o. Segue-se que g g 1 = g 1 g = ẽ, g G. E se definirmos ξ : G G G G e η : G G G G por ξ( g, h, k) = ( g h) k e η( g, h, k) = g( h k) obteremos π ξ( g, h, k) = π η( g, h, k) = π( g)π( h)π( k). Tem-se também ξ(ẽ, ẽ, ẽ) = η(ẽ, ẽ, ẽ) = ẽ. Portanto ξ = η e segue-se que ( g h) k = g( h k), g, h, k G. Finalmente, observa-se que e que e conclui-se que π Hom( G, G). π( g 1 ) = α(ẽ, g) = eπ( g) 1 = π( g) 1 π( g h) = α( g, α(ẽ, h)) = π( g)π( h) Exercício: Justificar as passagens na demonstração acima. Se o grupo de Lie G for simplesmente conexo, qualquer homomorfismo entre as álgebras Lie(G) e Lie(H) é a derivada de um homomorfismo de G em H. Teorema 61 Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h. Se G é simplesmente conexo e ψ : g h é um homomorfismo, existe um único homomorfismo ϕ : G H tal que ϕ = ψ. A idéia da demonstração é obter, via Teorema de Frobenius, uma variedade integral conexa maximal M passando pelo neutro (e, e) G H (que será um subgrupo de Lie de G H) e provar que a restrição a M da projeção no primeiro fator : M G π 1 M é um isomorfismo de grupos de Lie. O homomorfismo ϕ é então ϕ = π 2 (π 1 M ) 1, onde a derivada da projeção π 2 leva em conta o homomorfismo ψ. Uma conseqüência é que dois grupos de Lie simplesmente conexos são isomorfos se e somente se suas álgebras de Lie são isomorfas. Subgrupos de Lie Definição 0.1 Um subgrupo de Lie de um grupo de Lie G é uma subvariedade (biunivocamente imersa) (H, ϕ) em G, que é um subgrupo abstrato de G e tal que a imersão ϕ : H G é um homomorfismo. Exemplo 41 O grupo de Lie O(n) é um subgrupo de Lie de Gl(n, R). A inclusão i : O(n) Gl(n, R) é um mergulho. Observe-se que O(n) não é conexo. Realmente, toda matriz X em O(n) tem determinante ±1 (pois X 2 = X t X = I = 1). Se permutarmos duas colunas em X, o determinante muda de sinal mas X continua em O(n). Como o determinante é uma função contínua e não se anula em O(n), vemos que

41 35 O(n) tem, pelo menos, duas componentes conexas. A componente que contém a matriz I é indicada com SO(n) e chamada grupo ortogonal especial. SO(n) é um subgrupo de Lie de O(n). A álgebra de Lie de O(n), indicada com so(n), é identificada com o espaço tangente T I O(n) (no elemento neutro I) que, pelo teorema das funções implícitas, coincide com o núcleo da derivada da função f : X X t X do exemplo 33. Portanto V so(n) se e somente se f (I)V = 0. Mas f (I)V = IV t + V I t = V t + V e, logo, V so(n) se e somente se V t = V. so(n) é, portanto, a álgebra de Lie das matrizes n n anti-simétricas (do exemplo 4). É um resultado clássico que a toda subálgebra h da álgebra de Lie de G está associado de maneira única um subgrupo de Lie conexo H de G cuja álgebra de Lie é h. Para uma demonstração constroi-se um campo de k-planos a partir da subálgebra h, que é involutivo (pois h é subálgebra), e o Teorema de Frobenius fornece uma única variedade integral conexa maximal por cada ponto de G. Prova-se então que a variedade integral que passa pelo neutro é um subgrupo de Lie (veja-se [Warner](1980)). Uma conseqüência de suma importância é o teorema abaixo. Teorema 62 Existe uma correspondência biunívoca entre subgrupos de Lie conexos de um grupo de Lie e subálgebras da sua álgebra de Lie. A demonstração de que uma subvariedade de uma variedade diferenciável é mergulhada pode ser muito difícil. No caso de grupos de Lie, uma condição topológica permite identificar os subgrupos de Lie de um grupo de Lie G que são mergulhados em G. Teorema 63 Se (H, ϕ) é um subgrupo de Lie de um grupo de Lie G, então ϕ é um mergulho se e somente se ϕ(h) é fechado em G (isto é, ϕ(h) = ϕ(h), com a topologia relativa). Um teorema clássico afirma que um subgrupo fechado de um grupo de Lie adquire estrutura de variedade com a qual se torna um subgrupo de Lie. Teorema 64 Se G é um grupo de Lie e H < G é um subgrupo abstrato fechado de G, então existe uma única estrutura diferenciável em H que o torna um subgrupo de Lie de G. Pode-se mostrar, por exemplo, que o núcleo de um homomorfismo ϕ : G H entre grupos de Lie é um subgrupo de Lie de G cuja álgebra de Lie coincide com o núcleo da derivada ϕ. Em símbolos: Lie(ker ϕ) = ker ϕ. Exercício: ker ϕ é um subgrupo fechado de G, ϕ Hom(G, H). Analogamente à Teoria de Galois, a Teoria de Lie exibe uma correspondência biunívoca entre subálgebras da álgebra de Lie de um grupo de Lie G e subgrupos de Lie conexos de G. Muito mais geralmente, como consequência do Teorema de Ado, tem-se

42 36 Teorema 65 Existe uma correspondência biunívoca entre classes de isomorfismos de álgebras de Lie e classes de isomorfismos de grupos de Lie simplesmente conexos. A exponencial Se g é a álgebra de Lie de um grupo de Lie G (identificada, sempre que conveniente, com o espaço tangente T e G) e X g, a aplicação ψ : R g definida por ψ(t) = tx é um homomorfismo de álgebras de Lie (verificar). Como R é simplesmente conexa e Lie(R) T 0 R R, sabemos, pelo teorema 16, que existe um único homomorfismo de grupos ϕ : R G tal que ϕ (0) = ψ. Tem-se então ϕ(0) = e e ϕ (0)t = tx, t R. Em particular ϕ (0)1 = X. Definição 66 Um homomorfismo de R (com a soma) em um grupo de Lie G é chamado um subgrupo a um parâmetro de G. Se g = Lie(G), a cada X g está associado de maneira única um subgrupo a um parâmetro de G, que indicaremos com exp X, cuja derivada em 0 R é dada por exp X(0)t = tx, t R Se X X (G) é invariante à esquerda, a órbita de X pelo neutro e G é um subgrupo a um parâmetro. Realmente, sejam t, s R e γ e : R G a órbita de X que passa por e. Fixemos t inicialmente. As curvas ξ : R G e η : R G definidas por são suaves, passam pelo ponto γ e (t) e satisfazem e para todo s. ξ(s) = γ e (t + s) e η(s) = γ e (t)γ e (s) = l γe(t)(γ e (s)) ξ (s) = γ e(t + s) = X γe(t+s) = X ξ(s) η (s) = l γ e(t) (γ e(s))γ e(s) = l γ e(t) (γ e(s))x γe(s) = (l γe(t) X) lγe(t) (γ e(s)) = X γe(t)γ e(s) = X η(s) A unicidade de soluções de sistemas de equações diferenciais ordinárias permite concluir que ξ(s) = η(s) s. Então γ e (t + s) = γ e (t)γ e (s) s e, como t era (fixo porém) arbitrário, concluímos que γ e é um subgrupo a um parâmetro. Mais que isso: γ e = exp X (por unicidade). Se g G, a órbita γ g de X por g é obtida de γ e por translação. Pois se fizermos γ(t) = l g γ e (t) = g exp X (t), teremos γ(0) = g e e segue-se que γ = γ g. γ (t) = l g(γ e (t))γ e(t) = l g(γ e (t))x γe(t) = (l g X) lg(γ e(t)) = X γ(t) Exercício: O fluxo de um campo vetorial invariante à esquerda X em um grupo de Lie G é dado por φ t = r expx (t) onde r g é a translação à direita determinada por g G. Definição 67 Se g =Lie(G), define-se a aplicação exp : g G por exp(x) = exp X (1) A aplicação exponencial é um difeomorfismo local e sua derivada na origem da álgebra é a identidade (veja-se [Warner](1980)).

43 37 Observação 6 Se ϕ : G H é homomorfismo e ϕ = ϕ (e) : g h, o diagrama a seguir é comutativo. exp g h G H exp Equivalentemente: ϕ(exp (tx)) = exp (t ϕ X), t R, X g. Muitos grupos de Lie podem ser encontrados dentro do grupo linear geral complexo Gl(n, C) (entre eles o grupo linear geral real) a partir da aplicação exponencial. Observe-se que a imagem pela exponencial de uma vizinhança de zero em um subespaço da álgebra de Lie de um grupo de Lie é um sério candidato a gerar um grupo de Lie conexo. Teorema 68 Se A é um subgrupo abstrato de um grupo de Lie G, a um subespaço da álgebra de Lie g de G e existem vizinhanças U de 0 em g e V de e em G tais que exp restrita a U é um difeomorfismo sobre V e tais que exp(u a) = V A então A é um subgrupo de Lie de G e a sua álgebra de Lie. Em particular, a é subálgebra de g. A demonstração utiliza que se exp(tx) ϕ(h) t I, com I = intervalo aberto ( ), então X ϕ h e se X ϕ h, então exp(tx) ϕ(h) t R. E a comutatividade do diagrama acima (observe-se que se X = ϕ W, com W h, então exp(tx) = exp(ϕ (e)tw ) = ϕ exp(tw ) ϕ(h)). A partir deste teorema prova-se, por exemplo, que U(n), O(n, C), Sl(n, C), Sp(n), Gl(n, R) são todos (a menos de isomorfismo) subgrupos de Gl(n, C). A representação adjunta Se G é um grupo e M é uma variedade diferenciável, uma ação à esquerda de G em M é uma aplicação φ : G M M que satisfaz φ(e, q) = q e φ(g, φ(h, q)) = φ(gh, q) quaisquer que sejam o ponto q M e os elementos g, h G. É comum indicar o ponto φ(g, q) M por φ g (q) ou γ q (g). A órbita por um ponto q é o conjunto γ q = G(q) = {φ(g, q) / g G}. O espaço das órbitas é o espaço quociente que se obtém de M identificando pontos na mesma órbita.

44 38 Exemplo 42 Se G = Z 2 e M é a esfera S 2 R 3, identificando um elemento de G com a aplicação identidade e o outro com a aplicação antípoda, obtemos a ação Z 2 S 2 S 2. As órbitas são pares de pontos antípodas e o espaço das órbitas é o plano projetivo real RP 2. Se fixarmos g G, obtemos uma transformação de M. O fluxo da ação é a família das transformações φ g, com g G. Exemplo 43 Um sistema dinâmico em uma variedade M é definido pela ação φ : R M M do grupo dos reais com a soma. O fluxo é a família a um parâmetro dos difeomorfismos φ t. Se G é um grupo de Lie, uma ação suave de G em uma variedade M define uma família de transformações suaves de M. G é chamado um grupo de transformações. Definição 69 Um ponto q M é um ponto fixo da ação φ : G M M se satisfaz φ(g, q) = q g G. Isto é, se todos os difeomorfismos φ g fixam q. Exemplo 44 O grupo das rotações do plano Euclidiano (em torno da origem) é definido pela ação SO(2, R) R 2 R 2. Suas órbitas definem um centro, cuja única singularidade é a origem. A origem é um ponto fixo da ação. Observe-se que os raios que partem da origem encontram todas as órbitas ortogonalmente. Uma representação de uma álgebra de Lie g em um espaço vetorial V é um homomorfismo ρ : g EndV de g na álgebra dos endomorfismos de V. Uma representação de um grupo de Lie G é um homomorfismo suave de G no espaço de automorfismos Gl(V ). Se Φ é representação de G a derivada Φ (e) fornece um homomorfismo da álgebra de Lie de G em EndV. Representações são um objeto central em Teoria de Lie. Um teorema clássico afirma que toda álgebra de Lie semisimples complexa pode ser construída a partir de representações da álgebra sl(2, C). O teorema de Ado afirma que toda álgebra de Lie de dimensão finita admite uma representação fiel na álgebra gl(n, R), para algum n. Se φ : G M M é ação suave à esquerda e q M, o subgrupo de isotropia de q é definido por G q = {g G / φ(g, q) = q}. Exercício: G q um subgrupo de G. Exemplo 45 Se q é ponto fixo da ação ϕ : G M M, o homomorfismo ρ : G q Aut(T q M) definido por g ϕ g(q) é uma representação, conhecida como a representação na isotropia. Observe-se que ϕ g(q) : T q M = T ϕg(q)m = T q M e que ρ(gh) = ϕ gh (q) = (ϕ g ϕ h ) (q) = ϕ g(ϕ h (q))ϕ h (q) = ϕ g(q)ϕ h (q) = ρ(g)ρ(h), g, h G q. Exemplo 46 Os automorfismos internos a g : G G definidos por a g (h) = ghg 1, com g G, definem uma ação à esquerda G G G que tem o neutro como ponto fixo. A aplicação Ad : G Aut g dada por Ad g = a g(e) é uma representação. Observe-se que Ad gh = a gh (e) = (a g a h ) (e) = a g(a h (e))a h (e) = a g(e)a h (e) = Ad gad h, portanto Ad é, de fato, uma representação de G no espaço Aut g dos automorfismos da álgebra de Lie de G. Definição 70 A representação Ad acima é a representação adjunta. Indica-se com ad a derivada da representação adjunta: ad X = Ad (e)x. O diagrama abaixo é comutativo. g Endg G Autg exp Um fato importante a respeito da representação adjunta é dado pelo teorema abaixo.

45 39 Teorema 71 Se G é grupo de Lie e g é a álgebra de Lie de G, então ad X Y = [X, Y], X, Y g É fácil ver que ad fornece um homomorfismo da álgebra de Lie g na álgebra de Lie das derivações de g (para cada X g, tem-se ad X [Y, Z] = [ad X Y, Z] + [Y, ad X Z], quaisquer que sejam Y e Z em g). O centro de um grupo de Lie G é o conjunto de todos os elementos g G tais que gh = hg h G. Se G é conexo, mostra-se que o centro de G coincide com o núcleo da representação adjunta. Como conseqüência, o centro de um grupo de Lie conexo G é um subgrupo fechado e a álgebra de Lie do centro de G é o centro da álgebra de Lie de G. Outra conseqüência é o resultado abaixo. Teorema 72 Um grupo de Lie conexo é abeliano se e somente se sua álgebra de Lie é abeliana.

46 40

47 Bibliografia Carmo, M.P. (2005). Geometria diferencial das curvas e superfícies Proj. Euclides RJ Garcia, A. & Lequain, Y. (1985). Álgebra: um curso de introdução Proj. Euclides RJ Hoffmann, K. & Kunze, R. (1971). Linear algebra Prentice Hall NJ Knapp, A. (1986). Lie groups beyond an introduction Birkäuser (ch.1) Lima, E.L. (1971). Variedades diferenciáveis IMPA RJ Lima, E.L. (1980). Espaços métricos Proj. Euclides RJ Lima, E.L. (1995). Álgebra linear Proj. Euclides RJ Lima, E.L (1998). Grupo fundamental e espaços de recobrimento Proj. Euclides RJ Lima, E.L (2006). Curso de análise (vol.2) Proj. Euclides RJ San Martin, L.A.B. (1990). Álgebras de Lie Harbra SP Sotomayor, J.M. (1979). Lições de equações diferenciais ordinárias Proj. Euclides RJ Warner, F. (1980). Foundations of differentiable manifolds and Lie groups Springer GTM (ch.1,3)

48 Índice remissivo Ação à esquerda 46 Álgebra de Lie 1 abeliana 4 de Heisenberg 6 de endomorfismos 1 de matrizes 1 de um grupo de Lie 39 nilpotente 6 quociente 7 semisimples 9 simples 4 simplética 2 solúvel 6 Aplicação antípoda 36,47 entre variedades 25 exponencial 45 fortemente diferenciável 13 identidade 24,36 suave 18 Atlas maximal 24 suave 23 Automorfismo de um espaço vetorial 38 interno 47 Base enumerável 12,23 Bracket de campos vetoriais 34 de dois vetores 1 de endomorfismos 1 de matrizes 1 Campo de k-planos 37 involutivo 37 suave 37 vetorial ao longo de uma curva 32,34 completo 36 em um aberto 32,34 invariante à esquerda 39 regular 36 (s) vetoriais ϕ-relacionados 35 Carta local 23 Centro

49 de uma álgebra de Lie 3 de um grupo de Lie 48 Colchete de Lie 1 Curva em uma variedade 17,20,28 regular 15 Derivação de álgebra de Lie 4 linear 20,26 Derivada 18,28 Difeomorfismo 12 em torno de um ponto 13 local 13 Endomorfismo 1 Espaço de Hausdorff 23 localmente euclidiano 23 tangente ao espaço R 3 19 a uma subvariedade de R n 21 a uma variedade diferenciável 26 a um grupo de Lie 39 Estrutura diferenciável 24 Família a um parâmetro 36 de transformações 47 Fibra sobre um ponto 33 Fibrado tangente 33 Fluxo de uma ação à esquerda 47 de um campo vetorial completo 36 Forma de Killing 10 diferencial invariante à esquerda 40 local das imersões 14 Função suave em uma subvariedade de R n 21 em uma variedade diferenciável 25 Germe de funções suaves em um ponto 22,26 Grupo de Lie 38 de automorfismos 38 de matrizes 38 de transformações 47 linear geral 25 ortogonal 38 ortogonal especial 43 Homeomorfismo 12 Homomorfismo de álgebras de Lie 4 de grupos de Lie 40

50 Ideal 3 Identidade de Jacobi 1 Imersão 14 Isomorfismo de álgebras de Lie 4 de grupos de Lie 40 Matriz anti-simétrica 2 de traço nulo 3 triangular 6,11 estritamente triangular 6,11 ortogonal 31 simétrica 31 Mergulho 15 Núcleo de um homomorfismo 4 Órbita de uma ação à esquerda 46 de um campo vetorial 35 Plano tangente 19 Ponto fixo de uma ação à esquerda 47 Pull back 40 Push forward 35 Radical solúvel 9 Regra da cadeia 28 Representação adjunta 48 de álgebra de Lie 47 de grupo de Lie 47 na isotropia 47 Série central descendente 6 dos comutadores 6 Singularidade 36 Sistema dinâmico 47 Slice 30 Subálgebra de Lie 2 Subgrupo a um parâmetro 44 de isotropia 47 de Lie 43 fechado 44 Subvariedade 30 de R n 20 imersa 30 mergulhada 30 Superfície regular 17 parametrizada 16 Teorema da aplicação inversa 13,31 das funções implícitas 31

51 de Ado 44,47 de Engel 11 de Frobenius 37 de Lie 11 do fluxo tubular 36 Traço de uma curva 16 de um endomorfismo 10 Transformação de uma variedade diferenciável 47 Translação à direita 39 à esquerda 39 Variedade diferenciável 23 integral 37 produto 24 Vetor tangente 19,27,26 Vizinhança parametrizada 24