2 TEORIA DE CAUCHY-GOURSAT

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1 TEORIA DE CAUCHY-GOURSAT Quando é uma unção primitivável num dado conjunto aberto U; isto é, sempre que exista uma unção, F; dierenciável em U; tal que F 0 = ; então para qualquer linha em U; : [a; b]! U; torna-se possível calcular acilmente o integral de ao longo de : De acto, em tal caso b b = ((t)) 0 (t)dt = (F ((t)) 0 dt = F ((b)) F ((a)): a a Numa tal situação veri ca-se pois uma dependência exclusiva dos extremos da respectiva linha por parte do valor do integral, acto que é equivalente a ter = 0; para qualquer linha echada contida em U:. TEOREMA DE CAUCHY Esta propriedade do integral de uma unção ser nulo, relativamente uma qualquer linha echada, permanece válida noutras situações. Uma delas reporta-se ao caso em que a linha é ronteira de um conjunto simples do plano. Nesse sentido, diremos que V C é um conjunto y-simples se V = x + iy : a x b; ' (x) y ' (x)g ; onde a; b R e ' e ' são unções seccionalmente de classe C no intervalo [a; b] : Analogamente, V dir-se-á x-simples se V = x + iy : c y d; (y) x (y)g ; com a; b R e e unções seccionalmente de classe C no intervalo [c; d] : Um conjunto que seja simultaneamente y-simples e x-simples, dir-se-á um conjunto simples. Exemplo Qualquer círculo é um conjunto simples. De acto com z 0 = x 0 +iy 0 e r > 0; B r (z 0 ) = z : jz pode ser descrito dos seguintes dois modos: n B r (z 0 ) = x + iy : r x r; z 0 j rg p r x y p r x o ; e B r (z 0 ) = n x + iy : r y r; p r y x p r y o : Teorema (Teorema de Cauchy) Seja uma unção holomora no conjunto aberto U C e V U um conjunto simples. Então = 0; onde é a linha constituinte da ronteira de V:

2 Dem.: LINHA) e Com (x + iy) = u (x; y) iv (x; y) temos (ver secção.4 INTEGRAIS DE = u (x; y) dx v (x; y) dy + i v (x; y) dx + u (x; y) dy: Mas pelo teorema de Green, cada um destes integrais de linha em R é tal que: u v u (x; y) dx v (x; y) dy = (x; y) (x; y) dxdy x y v (x; y) dx + u (x; y) = V V v u (x; y) + (x; y) dxdy: x y Por outro lado, sendo holomora em U; são válidas as equações de Cauchy-Riemann u v u (x; y) = (x; y) ; x y (x; y) = v y (x; y) ; 8x + iy U; x e por conseguinte, são nulos os dois integrais duplos acima mencionados. Logo = 0:. TEOREMA DE GOURSAT Uma outra versão do teorema de Cauchy, aparentemente mais geral, é devida a Édouard Goursat ( ). Para a analisarmos estipularemos que, relativamente a três pontos dados z ; z e z 3 ; do plano complexo, por triângulo de vértices z ; z ; z 3 g entenderemos o conjunto, (z ; z ; z 3 ) = z + ( )w : z; w [z ; z ] + [z ; z 3 ] + [z 3 ; z ] ; [0; ]g : A ronteira, r, de um triângulo = (z ; z ; z 3 ) é a curva associada à linha poligonal echada, [z ; z ; z 3 ; z ] ; bem como à oposta, [z ; z 3 ; z ; z ] : Por designaremos indistintamente uma destas linhas poligonais echadas. Teorema 3 (Teorema de Goursat) Seja uma unção contínua no aberto U e z 0 um dado ponto de U: Se é dierenciável em U exceptuando eventualmente o ponto z 0 ; então = 0; para cada triângulo, ; contido em U: Ver J. Marsden e A. Tromba, Vector Calculus, 5 a ed., Freeman 003.

3 Dem.: Seja determinado por a; b; cg, designemos por p o seu perímetro e suponhamos que = [a; b; c; a] : Temos = + + : [a;b] ) Suponhamos primeiro que z 0 = : Tomemos os pontos médios dos lados de : Isto é, seja a o ponto médio de [a; b] ; b o ponto médio de [b; c] e c o ponto médio de [c; a] : Então = [a;a ] [a ;b] [b;b ] [b ;c] [c;c ] [c ;a] = [a;a ] [a ;c ] [c ;a] [b;b ] + + [b ;a ] + [a ;b] + [c;c ] [c ;b ] [b ;c] [c ;a ] [a ;b ] [b ;c ] = : [a;a ;c ;a] [b;b ;a ;b] [b;c] [c;a] [c;c ;b ;c] [c ;a ;b ;c ] Deste modo, o módulo de pelo menos um destes quatro integrais não pode ser inerior a 4 : Mas cada um desses integrais é relativo a uma linha poligonal echada que tem comprimento igual a p= e que constitui a ronteira de um de quatro triângulos em que oi dividido o triângulo : Designemos então por o triângulo que tem como ronteira a correspondente linha poligonal echada para a qual tal acto é veri cado. Então se or qualquer uma das linhas poligonais que descreve a ronteira de será 4 : Procedendo para do mesmo modo que para ; podemos ormular um triângulo ; de perímetro igual a p= ; tal que para qualquer uma das linhas poligonais echadas, ; que descrevem a respectiva ronteira se tem 4 4 : Continuando este processo geramos uma sucessão de triângulos, n ; tais que ::: n ::: ; 3

4 o perímetro de n é igual a p= n e para cujas linhas poligonais echadas, n ; constituintes da respectiva ronteira se tem 4n : n Por outro lado, dado que \ n= n 6= ;; existe um ponto w 0 que pertencerá a todos os triângulos n (n N): Sendo dierenciável em w 0 temos que para " > 0 arbitrário, existe > 0 tal que sempre que jz j(z) (w 0 ) 0 (w 0 )(z w 0 )j " jz w 0 j w 0 j < : Ora, por primitivação, temos = n [(z) n (w 0 ) 0 (w 0 )(z w 0 )] dz; donde resulta para n su cientemente grande que " p c( n) = " p n : n n Logo, para tais valores de n podemos a rmar que 4n " p = n "p ; e da arbitrariedade de " podemos concluir que = 0: ) Analisemos agora a situação em que z 0 é um vértice de ; por exemplo z 0 = a: Nesse sentido consideremos dois pontos w [a; b] e w [c; a] : Temos que = [a;w ] [w ;b] [b;c] [c;w ] [w ;a] = [a;w ] [w ;w ] [w ;a] [w ;b] [b;w ] [w ;w ] [b;c] [c;w ] [w ;b] = + + : [a;w ;w ;a] [w ;b;w ;w ] [b;c;w ;b] Ora [w ; b; w ; w ] e [b; c; w ; b] são linhas poligonais echadas que constituem a ronteira dos triângulos de vértices w ; b; w g e b; c; w g, respectivamente, e nestas circunstâncias, pela primeira parte desta demonstração, temos = : [a;w ;w ;a] 4

5 Porém, sendo limitada em ; por via da sua continuidade, temos que, por escolha dos pontos w e w ; [a;w ;w ;a] pode ser tão pequeno quanto se queira, o que implica que = 0: 3) Finalmente suponhamos que z 0 sem ser vértice de : Por exemplo, que z 0 [a; b] ; e z 0 6= a; z 0 6= b: Então = [a;z 0 ] [z 0 ;b] [b;c] [c;a] = [a;z 0 ] [z 0 ;c] [c;a] [z 0 ;b] [b;c] [c;z 0 ] = + : [a;z 0 ;c;a] [z 0 ;b;c;z 0 ] Ora, [a; z 0 ; c; a] e [z 0 ; b; c; z 0 ] são linhas poligonais echadas que constituem a ronteira dos triângulos de vértices a; z 0 ; cg e z 0 ; b; cg ; respectivamente Pela segunda parte desta demonstração, cada um dos integrais do último membro destas igualdades é nulo, o que permite de novo concluir que = 0; terminando assim a demonstração do teorema. Embora dependente da orma que possa tomar o domínio da unção ; este teorema de Goursat permite obter uma espécie de teorema undamental do cálculo para unções complexas de variável complexa, expresso no teorema seguinte. Para o eeito necessitamos apenas de ormular a seguinte noção de conjunto convexo: um conjunto U C tal que para quaisquer dois pontos w e z; existe sempre um caminho em U de extremos w e z; é dito um conjunto conexo por arcos; se tal caminho puder ser sempre o segmento [w; z] então U diz-se um conjunto convexo. Teorema 4 Com U aberto e convexo, seja uma unção contínua em U: Se = 0 para R cada triângulo, ; contido em U; então é primitivável em U e, em particular, = 0 para cada linha echada, ; em U: Dem.: Fixemos um ponto z 0 U e consideremos a unção F (z) = : [z 0 ;z] 5

6 Obtemos uma unção de nida em U tal que, para complexos `; com j`j su cientemente pequeno de modo a que z + ` U; se tem F (z) + F (z + `) = = 0; [z;z+`] onde é a linha poligonal echada [z 0 ; z; z + `; z 0 ] ; ronteira do triângulo de vértices z 0 ; z; z + `g : Então F (z + `) F (z) (z) = ` ((w) (z)) dw: ` [z;z+`] Tomando " > 0; temos por continuidade que existe > 0 tal que j(w) jw zj < : Então, se j`j < ; concluímos que F (z + `) F (z) (z) ` c([z; z + `]) = "; "` (z)j < "; se o que mostra não só a dierenciabilidade de F em z U; mas também que F 0 (z) = (z): Logo é primitivável em U: Estes teoremas permitem-nos obter como corolário uma outra versão de Goursat do teorema de Cauchy (versão local). Corolário 5 Com U aberto e convexo e z 0 U; seja uma unção contínua em U e dierenciável em Unz 0 g : Então = 0; qualquer que seja a linha echada em U: Dem.: A conclusão segue imediatamente a partir do teorema anterior e do teorema de Goursat..3 FÓRMULAS INTEGRAIS DE CAUCHY Este corolário leva-nos à obtenção da órmula integral de Cauchy expressa no teorema seguinte. Teorema 6 (Primeira órmula integral de Cauchy) Com U aberto e convexo, dada uma linha echada, ; em U; e uma unção, ; dierenciável em U exceptuando eventualmente do ponto z 0 ; tem-se que para qualquer z Unim: I(; z)(z) = i (w) w z dw; 6

7 Dem.: Seja z um ponto arbitrário de Unim: A unção auxiliar, g; dada por ((w) (z)) =(w z); se w 6= z; g(w) = 0 (z); se w = z; é contínua em U e dierenciável em Un zg : Então pelo Corolário 5 resulta que g = 0; ou seja, i (w) w z (z) dw i dw = 0; w z ou ainda (w) dw (z)i(; z) = 0; i w z donde se deduz a órmula pretendida. Esta primeira órmula integral de Cauchy permite-nos tirar uma ilação importantíssima que é a de que uma unção dierenciável admite derivadas de todas as ordens. Teorema 7 Uma unção, ; dierenciável no aberto U; admite derivadas de todas as ordens. Além disso, se U or convexo, então para qualquer linha echada, ; em U, k = ; ; :::; e z Unim; são válidas as seguintes órmulas (integrais de Cauchy) I(; z) (k) (z) = k! i onde (k) designa a derivada de ordem k de : (w) dw; (w z) k+ Dem.: Comecemos por observar que quando k = 0; se está perante a primeira órmula integral de Cauchy. A partir daqui as conclusões do teorema resultam por indução com base no lema auxiliar que a seguir se estabelece. Lema 8 Seja uma linha do plano complexo e h uma unção contínua em im: Então com k N a unção dada por H k (z) = (w z) dw; k é dierenciável em Cnim e tem como derivada H 0 k(z) = kh k+ (z): Dem.: Procedamos por indução, começando por mostrar a validade do lema no caso em que k = : Então com z 0 Cnim temos H (z) H (z 0 ) = = (w z) (w z)(w z 0 ) dw; 7 dw (w z 0 )

8 e por conseguinte H (z) H (z 0 ) (w z 0 ) dw = (w z)(w z 0 ) = ( ) (w z)(w z 0 ) dw: dw (w z 0 ) Assim, considerando uma bola echada, B(z 0 ; r); de centro em z 0 e raio r > 0; contida no aberto Cnim; e a distância, d > 0; entre os conjuntos B(z 0 ; r) e im; temos para z B(z 0 ; r); H (z) H (z 0 ) d = min ju vj : u B(z 0 ; r); v im ; (w z 0 ) dw jz o que prova que H é dierenciável em z 0 e que H(z 0 0 ) = (w z 0 ) dw: z c() 0j max jj wim d ; 3 Suponhamos agora o teorema válido para k; qualquer, e provêmo-lo para k + : Considerando então a unção H k+ (z) = dw; (w z) k+ atendendo a que temos, (w z) = k+ (w z) k (w z 0 ) + (w z) k+ (w z 0 ) ; H k+ (z) H k+ (z 0 ) = Tomando as unções auxiliares (w z) k (w z 0 ) + (w z) k+ (w z 0 ) dw: g(w) = G(z) = (w z 0 ) ; g(w) (w z) dw; k de nidas, respectivamente em im e em Cnim; temos que dw (w z) k (w z 0 ) (w z 0 ) k+ g(w) = dw (w z) k (w z 0 ) k = G(z) G(z 0) : 8 dw (w z 0 ) k+

9 Sendo g contínua em im; temos pela hipótese de indução que quando z! z 0 ; G(z) G(z 0 )! G 0 g(w) (z 0 ) = k dw; (w z 0 ) k+ o que implica que (w z) k (w z 0 ) dw! k dw: (w z 0 ) k+ (w z 0 ) k+ Por outro lado, considerando uma qualquer sucessão z n! z 0 ; e a sucessão de unções de nidas em im; h n (w) = (w z n ) k+ (w z 0 ) ; temos que, quando n! ; é, para cada w im; h n (w)! (w z 0 ) k+ ; sendo a unção limite contínua em im; além disso, supondo, sem perda de generalidade, que todos os termos da sucessão, z n ; se encontram numa bola echada, B(z 0 ; r); de centro em z 0 e raio r > 0; contida no aberto Cnim; temos que para cada w im e cada n; jh n (w)j M = max d jj ; k+ wim onde d > 0 é a distância,entre os conjuntos B(z 0 ; r) e im: Deste modo, podemos concluir que (w z) k+ (w z 0 ) dw! dw (w z 0 ) k+ Logo H k+ (z) H k+ (z 0 )! (k + ) dw; (w z 0 ) k+ o que completa a demonstração do lema. Uma espécie de inverso do teorema de Goursat é estabelecido pelo teorema seguinte, devido ao matemático italiano Giacinto Morera ( ). Teorema 9 (Teorema de Morera) Seja uma unção contínua no aberto U. Se = 0; para cada triângulo U, então é dierenciável em U. Dem.: Bastará conjugar o Teorema 4 com o Teorema 7 numa qualquer bola aberta contida em U: 9

10 .4 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Calcular z dz; para qualquer linha echada que não passe pela origem.. Designemos por E a elipse dada pela equação Justi que que (x ) + E sin (y 5) = : dz = 0: z 3. Mostre que se é uma unção dierenciável no aberto e convexo U e z 0 U então 0 (z) (z) dz = ( ) dz para qualquer linha echada, ; em U, que não passe por z 0 : 4. Através das órmulas integrais de Cauchy calcule os seguintes integrais: a) R b) R c) R 5z + 7 z + z + 3 dz; onde é dada por (t) = + eit ; com t [0; ] : z + dz; onde é dada por (t) = i + 3 eit ; com t [0; ] : z z (z i) dz; com = i; + i; i ; ; i; ; i ; + i; i : 5. Seja uma circunerência simples de centro na origem e raio r > 0. a) Justi que que para n dz 6= 0, n = : zn b) Justi que que com n = 0; ; ; :::; cos z dz = 0, n é par. z n 6. Mostre que ( ) (z z ) dz = 0 para qualquer linha de Jordan, ; que tenha z 0 e z no seu interior. 0

11 .4. RESOLUÇÕES. Como a unção é primitivável ( é uma sua primitiva) tem-se imediatamente que z z dz = 0: z. O conjunto V = ( x + iy : (x ) + (y 5) tem E como ronteira. Além disso, V é um conjunto simples já que q V = x + iy : x 3; 5 (x ) y 5 + q (x ) ) e 8 < V = : x + iy : 5 p p y 5 + ; s (y 5) x + s 9 (y 5) = ; : Por outro lado, a unção sin z é holomora em U = Cn 0g : De V U temos pelo teorema de Cauchy que sin dz = 0: z 3. Pela primeira órmula integral de Cauchy temos 0 (z) dz = ii (; z 0 ) 0 (z 0 ) : Mas pela segunda órmula integral de Cauchy é (z) ( ) dz = ii (; z 0) 0 (z 0 ) : Logo E 0 (z) dz = (z) ( ) dz: 4.a) Como z + z + 3 = 0, z = 3 ou z = ; temos que 5z + 7 z + z + 3 dz = 5z + 7 (z + 3) (z ) dz: Por outro lado, é uma circunerência de centro em z = e raio ; em relação à qual z = 3 se encontra no seu exterior. Assim, pela primeira órmula integral de Cauchy vem 5z + 7 (z + 3) (z ) dz = 5z+7 z+3 5z + 7 dz = ii (; ) ; z z + 3 z=

12 tendo em conta que a unção (z) = 5z + 7 z + 3 é dierenciável no conjunto aberto e convexo U = z : Re z > contida. Então de I (; ) = resulta que 5z + 7 dz = i (z + 3) (z ) 4 = 6i: 3g onde a linha se acha 4.b) Comecemos por notar que é uma circunerência de centro em i e raio 3= descrita no sentido positivo. Como z = i se encontra no interior de e z = i no seu exterior, analogamente ao exercício anterior, temos Atendendo a que z + dz = (z i) (z + i) dz = z+i z i dz: (z) = z + i é uma unção dierenciável no conjunto aberto e convexo U = z : Im z > está contida, temos pela primeira órmula integral de Cauchy que tendo ainda em conta que I (; i) = : z+i z i dz = ii (; i) (i) = i i = 4.c) Desdobremos a linha na soma das duas linhas poligonais echadas seguintes: = + ; g onde com e i = ; ; i; ; i = i; + i; i ; + i; i : Assim, z z (z i) dz = z z (z i) dz + z z (z i) dz: Ora, pela primeira órmula integral de Cauchy z z (z i) dz = z 3 +3 (z i) z dz z = ii ( ; 0) (z i) = i ( ) = 6i; 3 ( i) z=0

13 tendo em conta que a unção z (z i) é dierenciável no aberto e convexo U = z : Im z < g contendo e que I ( ; 0) = : Por outro lado, pela segunda órmula integral de Cauchy vem onde z 3 z z (z i) dz = z (z i) dz = ii ( ; 0) 0 (i) ; (z) = z3 + 3 z é uma unção dierenciável no aberto e convexo U = z : Im z > 0g contendo : Como de I ( ; 0) = obtemos então 5.a) Com n 0; z n 0 (z) = z3 3 z ; z z (z i) dz = i i3 3 i = i (3 + i) = ( 4 + 6i) : = z n é uma unção inteira. Logo dz = 0: zn Se n ; temos pelas órmulas integrais de Cauchy que z dz = i n (n )! I (; 0) (n ) (0) ; onde por designamos a unção constante e igual a ( (z) = ; 8z C) a qual é uma unção inteira. Como (n ) (0) = 0 para n > ; temos então que dz = 0; zn para n = ; 3; 4; ::: Para n = ; tendo em conta que I ( ; 0) = ; obtemos z n dz = ii (; 0) = i 6= 0: 5.b) Seja (z) = cos z: 3

14 Quando n = 0 temos que cos z dz = 0; pois cos z é inteira. Para n ; temos pelas órmulas integrais de Cauchy que cos z i dz = zn (n )! I (; 0) (n ) (0) = i (n )! (n ) (0) : Por exemplo, quando n = obtemos cos z dz = i (0) = i: z Ora as derivadas de ordem ímpar de são e as de ordem par (k+) (z) = sin z; (k) (z) = cos z: Então de (k+) (0) = 0; (k) (0) = podemos concluir que cos z dz = 0; zn se n é par, e se n é ímpar. 6. Tem-se em que Assim, cos z i dz = zn (n )! ; ( ) (z z ) = A + B ; z z A = z 0 z e B = ( ) (z z ) dz = z z 0 : A dz + e pela primeira órmula integral de Cauchy vem que A dz = ii (; z 0 ) A; B dz = ii (; z ) B: z z Logo, como I (; z 0 ) = I (; z ) e A + B = 0; vem dz = 0: ( ) (z z ) B dz; z z 4