Séries de potências: Definição

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1 A série da forma C n (x a) n Séries de potências: Definição = C o + C 1 (x a) 1 +C 2 (x a) 2 + C 3 (x a) 3 + é uma série de potências centrada em a (ou ainda ao redor de a). Em que x é uma variável e c n s são constantes chamadas coeficientes da série. 1

2 A série da forma C n (x a) n Séries de potências: Definição = C o + C 1 (x a) 1 +C 2 (x a) 2 + C 3 (x a) 3 + é uma série de potências centrada em a (ou ainda ao redor de a). Em que x é uma variável e c n s são constantes chamadas coeficientes da série. E a série da forma: C n x n = C o + C 1 x 1 + C 2 x 2 + C 3 x c n x n + é uma série de potências centrada em a = 0. 2

3 Séries de Potências Série Geométrica: Tomemos c n = 1 n x n = 1 + x + x 2 + x 3 + Converge quando x < 1. Neste caso, 1 1 x = 1 + x + x2 + x 3 + a = 1 e r = x < 1 Diverge r = x 1. 3

4 Séries de Potências Série Geométrica: Tomemos c n = 1 n x n = 1 + x + x 2 + x 3 + Converge quando x < 1. Neste caso, 1 1 x = 1 + x + x2 + x 3 + a = 1 e r = x < 1 Diverge r = x 1. Exemplo: Para quais valores de x a série abaixo converge? n=1 x 3 n n 4

5 Séries de potências: Uma Aplicação Motivação: Fornece uma maneira de representar, de maneira polinomial, funções que aparecem na matemática, física e química, cujo domínio é o conjunto de todos os x para os quais a série converge. Exemplo: Encontre o domínio da função de Bessel de ordem 0 definida por Jo x = ( 1) n x 2n 2 2n (n!) 2 5

6 Séries de potências: Uma Aplicação Motivação: Fornece uma maneira de representar, de maneira polinomial, funções que aparecem na matemática, física e química, cujo domínio é o conjunto de todos os x para os quais a série converge. Exemplo: Encontre o domínio da função de Bessel de ordem 0 definida por Jo x = ( 1) n x 2n 2 2n (n!) 2 6

7 Séries de potências: Uma Aplicação Motivação: Fornece uma maneira de representar, de maneira polinomial, funções que aparecem na matemática, física e química, cujo domínio é o conjunto de todos os x para os quais a série converge. Exemplo: Encontre o domínio da função de Bessel de ordem 0 definida por Jo x = ( 1) n x 2n 2 2n (n!) 2 7

8 Função de Bessel mais completa Section 11.8 Figure 2 8

9 Convergência/Divergência de Séries de Potências R: Raio de Convergência e I: Intervalo de Convergência Seja a série C n (x a) n pode ocorrer que: i) A série converge apenas quando x = a. I = a e R = 0 ii) A série converge para x. I = (, ) e R = 9

10 Convergência/Divergência de Séries de Potências R: Raio de Convergência e I: Intervalo de Convergência Seja a série C n (x a) n pode ocorrer que: iii) Existe um número positivo R tal que a série converge para x a < R e diverge se x a > R. Existem quatro possibilidades para o intervalo de convergência: (a-r, a+r) (a-r, a+r] [a-r, a+r) [a-r, a+r] 10

11 Exemplos: n xn 1) ( 1) n 3 n = x x x3 + Para x=a=0 a série converge 0. Para x 0 a série converge no intervalo I=(-3,3). (x 5) 2n (x 5)2 (x 5)4 (x 5)6 2) = n! 1! 2! 3! Para x=5 a série converge para 1. Para x 5 a série converge no intervalo I=(-, ). 3) n! (x + 2) n = 1 + 1! (x + 2) 1 +2! (x + 2) 2 +3! (x + 2) 3 + Para x = 2 a série converge para 1. Para x 2 a série diverge. I={-2} 11

12 Representações de Funções como séries de potências Seja I o intervalo de convergência da série de potência C n (x a) n. Esta série define uma função cujo domínio é o intervalo de convergência. f x = C n (x a) n, D f = I 12

13 Exemplo: Mostre que a série x n define a função f x = 1 1 x se x < 1. Exercícios: Expresse 1 1+x 2 como uma série de potência e encontre I. Encontre uma representação em série de potências para 1 x+2 e o intervalo de convergência. Expresse 2 3 x como uma série de potência e encontre I. 13