LISTA DE EXERCÍCIOS (Atualizada em 18 de abril de 2012)

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1 DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral I. CURSO: PROFESSOR: DATA: / / NOME: LISTA DE EXERCÍCIOS (Atualizada em 8 de abril de 0) TURMA: Limite: Noção Intuitiva, Definição e Propriedades. Complete a tabela (use a calculadora e uma aproimação com até 4 casas decimais) e utilize os resultados para estimar o valor do ite da função quando tende a a ou eplicar por que ele não eiste. (a) 0,9 0,99 0,999 0,9999 +,,0,00,000 +, a =,, 0, Prove cada proposição usando a definição de ite., 9, 99, , a = (a) = = (c) 4 +5 = = 5 = (f) = 0.. Calcule os ites a seguir, justificando cada passagem através das suas propriedades. (a) ( +)( 5) (c) Ô u4 +u +6 u (f) (t t +)9 (t ) Limites e Indeterminações + 4. Seja f() = : (a) Use uma tabela de valores de f() para estimar o ite com quatro casas decimais. Use as propriedades de ites para encontrar o valor eato do ite. 5. Prove que o não eiste. 6. Seja f() = 4, se > 4 8, se 4 e determine, se possível, o 4 f().

2 ØØÔ»»ÐÙÐÓÓÒÕ٠غÛÒÓºÓÑºÖ 7. Verifique se eiste os ites indicados, se não eistir indique a razão disto. t +4 (a) t 4 t +4 f() = 9, se ; 9, se < < ; +6 +9, se. f() e f(). 8. Calcule, se possível, os ites. 4 (a) (c) ; Calcule, se possível, os ites. (f) (g) (h) + (i) (j) (k) 4 t +4t +4t (l) t (t +)(t +) (m) (n) (o) ; (a) ; (c) + ; + + ; +. t t (f) t 0 t 5 t 5 (g) t 0 t (h) 7 49 t 9 9 t 0. Determine, através do gráfico da função f() cada ite, caso eista. 5+ (i) h (j) h 0 h + (k) ; + (l) ; (a) f() +f() (c) f() f() f() + (f) f().. Determine, através do gráfico da função f() cada ite, caso eista. (a) f() +f() (c) f() f() f() + (f) 4 f().. Determine, através do gráfico da função f() cada ite, caso eista. LISTA DE EXERCÍCIOS CALC CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ¾

3 ØØÔ»»ÐÙÐÓÓÒÕ٠غÛÒÓºÓÑºÖ (a) f() +f() (c) f() f() f() + (f) f().. Mostre que o cos(0π) = Use o teorema do confronto para mostrar que Ô + sen 5. A função sinal, denotada por sgn, está definida por sgn() = π = 0., se < 0 0, se = 0, se > 0 (a) Esboce o gráfico dessa função. Encontre ou eplique por que não eiste cada um dos ites que se seguem. 6. Seja i. +sgn() ii. sgn() h() =, se < 0, se 0 < 8, se > iii. sgn() (a) Calcule, se eistirem, os ites. i. +h() ii. h() Esboce o gráfico da função h. 7. Considere a função f() =. (a) Determine +f() e f(). Eiste f()? (c) Esboce o gráfico de f. iii. h() iv. h() v. +h() vi. h() Limites Infinitos 8. Na teoria da relatividade, a fórmula da Contração de Lorentz Ö L = L 0 v c, epressa o comprimento L como uma função da velocidade v em relação a um observador, em que L 0 é o comprimento do objeto no repouso e c é a velocidade da luz. Encontre L e interprete o resultado. Por v c que é necessário o ite à esquerda? LISTA DE EXERCÍCIOS CALC CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

4 ØØÔ»»ÐÙÐÓÓÒÕ٠غÛÒÓºÓÑºÖ 9. Prove usando a definição, que ( +) 4 =. 0. Determine os ites. 6 (a) ( ) 8 (c) + + ( +) (f) 4 ( 4) cos() (g) sen() (h) ( ). Determine uma equação da(s) assíntota(s) vertical(is) do gráfico da função em cada caso. (a) f() = + f() = ( +) (c) f() = Limites no Infinito. Calcule os ites: (a) + ( +4 ) t t + t + Sugestão: Para (g) 5 +7 (c) n k= k = n(n+) e para (h) (f) + + n k= k = n(n +)(n+). 6. Determine uma equação da assíntota(s) horizontal(is) ao gráfico da função f(). (a) f() = + f() = n (g) + n n (h) + n 4. O departamento de capacitação de novos funcionários da empresa C&V Confecções estima que um novo funcionário com pouca eperiência na confecção da sua linha produzirá Q(t) = 0 0 e t 9 novas unidades em t dias após receber treinamento. Pergunta-se: (a) Qual a produção do funcionário no início do treinamento? O que acontece com o nível de produção a longo prazo? 5. Uma determinada notícia numa cidade foi propagada de tal maneira que o numero de pessoas que 600 tomaram conhecimento e dado por N(t) =, em que t representa o número de dias após +4e 0,5t ocorrer a notícia. Pergunta-se (a) Quantas pessoas souberam a noticia de imediato? Determine N(t) e eplique o seu resultado. t 6. A arrecadação mundial total pela eibição de um filme de grande sucesso de bilheteira é aproimado pela função A() = 0, em que A() é medido em milhões de dólares e é o número de meses do +4 filme em cartaz. Pergunta-se: (a) Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro e o segundo mês? Qual será a arrecadação do filme a longo do prazo? LISTA DE EXERCÍCIOS CALC CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

5 ØØÔ»»ÐÙÐÓÓÒÕ٠غÛÒÓºÓÑºÖ Limites e Continuidade Ò 7. Considere a função = f() abaio definida no domínio R\ π ; π Ó. Analisando o gráfico de f(), responda, justificando: π π 0 π π π (a) f() (c) π +f() π f() f() π π +f() f() = (f) f() π (g) f() π (h) (i) (j) f() π f() π + f() π + (k) f() π (l) π f() (m) (n) (o) π +f() f() π f() (p) f() + (q) f( π) (r) f(0) (s) f(π) π (t) f 8. Investigue a continuidade das seguintes funções: 8 0, 0 (a) f() =,, (c) f() = 4, > 0, = f() = 9. Calcule p de modo que as funções abaio sejam contínuas. (a) f() = +p +, +p,, = f() = p, > 0. Esboce o gráfico das funções abaio, determine 0 +, (a) f() = 8, >, a = ;, 0 (c) f() =, < 0, a = 0; f() =, 0, = 0 (c) f() = (u) f é contínua em 0 = 0? (v) f é contínua em 0 = π? (w) f é contínua em 0 = π? () f é contínua em 0 = π? () f é contínua em 0 = π? e, 0 p 7, = 0 f(), f() e, caso eista, f() ,,, =, <, a = ; f() =, a = 0;. Determine, se possível, as constantes reais a e/ou b de modo que k f() eista, sendo: a +, < (a) f() =,, k = f() =, >, = 5 a, <, k = 4 +, (c) f() = +a, >, k = f() = 5, <, k = a, LISTA DE EXERCÍCIOS CALC CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

6 ØØÔ»»ÐÙÐÓÓÒÕ٠غÛÒÓºÓѺÖ. Determine o que se pede para cada função. (a) f() = 4 +, <, +, > i. f() ii. f() (iii) (iv) f() f() + f() = (c) f() = f() =, > 0, < 0, < 0, 0 <, >, = +5,, +, < 0, > 0 i. f() ii. +f() i. f() ii. f() i. f() ii. f() + iii. f() iv. f() + iii. f() iv. iii. f() + f() iv. f() Limites Fundamentais. Calcule os ites: sen() (a) sen(0) sen(7) (c) tg() 4. Calcule os ites: (a) + 5. Determine: cos() sec() (f) cos() (c) (g) cos() sen() (h) 7 7cos () (i) sen() π 5 (f) sen() sen() (j) +sen() (k) sen( +a) sen(a) (l) (g) + (h) (a) e + (c) e Limites Envolvendo Funções Limitadas 6. Calcule os ites: (a) sen sen()+ 6 + (c) e sen() + ä ç 4 cos( ) + e (f) (+ ) cos[ln()] cos()+ LISTA DE EXERCÍCIOS CALC CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

7 ØØÔ»»ÐÙÐÓÓÒÕ٠غÛÒÓºÓÑºÖ Gabarito (a) ; ; (c) 4 ; 6 ; (h) 56 ; (i) ; (j) ; (l) (a) = ; = ; (c) = 5 e =.. (a) + ; 0; (c) ; 5; + ; (f) ; (g) /; (h) /.. (a) = ; = (a) 0 unidades; tende a produzir um número de 0 novas unidades. 5. (a) 4 unidades; (a) 4 e 60 milhões; 0 milhões (a) Descontínua no ponto = ; Descontínua no conjunto {,,}; (c) Contínua em R; Descontínua em = (a) p = 4 ; p = ; (c) p = (a)0. +. (c) (f). LISTA DE EXERCÍCIOS CALC CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I