História da trigonometria

Transcrição

1 Trigonometria

2 História da trigonometria A história da trigonometria e das funções trigonométricas pode abranger em torno de 4000 anos. Etimologia A nossa palavra moderna seno é derivada do latim sinus, que significa "baía" ou "dobra", a partir de uma tradução errônea (via árabe) do sânscrito jiva, e sua variante jya. Aryabhata usou o termo ardha-jiva ("meia-corda"), que foi.(جب) abreviada para jiva e então transliterada pelos árabes como jiba Tradutores europeus como Robert of Chester e Gherardo of Cremona na cidade de Toledo do século XII confundiram jiba com jaib,(جب) que significa "baía", provavelmente porque jiba (جب) e jaib (جب) são escritas da mesma forma na escrita arábica (esse sistema de escrita, em uma de suas formas, não fornece ao leitor informações completas sobre as vogais). As palavras "minuto" e "segundo" são derivadas das frases latinas partes minutae primae e partes minutae secundae.

3 Importância da trigonometria através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos). Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras. A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros. A trigonometria é muito utilizada para fazer medições de astros, distâncias, etc. Observando o tamanho angular que observamos os astros da Terra. Alguns exemplos básicos de aplicações práticas da trigonometria na astronomia: 1º) Eclipses: no cálculo do tamanho da sombra e no cálculo do raio da sombra. 2º) Distâncias dentro do Sistema Solar: calcular distância de planetas inferiores e distâncias de planetas superiores. 3º) Determinação do raio lunar: Um observador com ajuda de aparelhos especiais que lhe forneçam o ângulo em que ele vê a lua e a distância em que a lua se encontra da Terra, pode descobrir o raio da lua, apenas utilizando a lei do seno. 4º) Determinação da distância Terra-Sol: Para calcularmos a distância da Terra ao Sol, devemos, durante o período da fase quarto-crescente da lua, quando o ângulo formado pela Terra, a Lua e o Sol for de 90º, afixar três varetas no chão. Com um transferidor medir o ângulo (abc), calcular os lados do triângulo menor, e depois aplicar regra da semelhança entre triângulos.

4 Aplições trigonometria Seno Dado um triângulo retângulo, o seno de um dos seus 2 ângulos agudos é a proporção entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento da hipotenusa, calculada, como toda proporção, pela divisão de um valor pelo outro, a referência da proporção. No círculo trigonométrico, o seno de um ângulo qualquer pode ser visualizado na projeção do seu raio (por definição igual a 1) sobre o eixo vertical. Cosseno Dado um triângulo retângulo, o cosseno de um dos seus 2 ângulos agudos é a proporção entre o comprimento do cateto adjacente a este ângulo e o comprimento da hipotenusa, calculada, como toda proporção, pela divisão de um valor pelo outro, a referência da proporção. No círculo trigonométrico, o cosseno de um ângulo qualquer pode ser visualizado na projeção do seu raio (por definição igual a 1) sobre o eixo horizontal. Como o cosseno é esta projeção, e o raio do ciclo trigonométrico é igual a 1, segue que,, ou seja, a imagem do cosseno é o intervalo fechado. Tangente Dado um triângulo retângulo, a tangente de um dos seus 2 ângulos agudos é a proporção entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento do cateto adjacente a ele, calculada, como toda proporção, pela divisão de um valor pelo outro, a referência da proporção. No círculo trigonométrico, o valor da tangente de um ângulo qualquer pode ser visualizado na reta vertical que tangencia este círculo no ponto em que ele corta o eixo horizontal do lado direito. Nesta reta tangente ao círculo trigonométrico, o valor da tangente trigonométrica de qualquer ângulo é representado pelo segmento que vai do ponto em que ela corta o eixo horizontal até o ponto em que ela corta a reta que contém o raio do círculo trigonométrico para o ângulo considerado. Para avaliar este valor, deve-se compará-lo com o raio do círculo trigonométrico que, por definição, é igual a 1, de preferência quando este raio se encontra sobre a parte superior do eixo ortogonal vertical. Observe que, enquanto o seno e o coseno são sempre menores do que o raio do círculo trigonométrico e, portanto, menores do que 1, a tangente trigonométrica pode ser tanto menor quanto maior do que 1.

5 Algumas relações Estas são as mais importantes funções trigonométricas; outras funções podem ser definidas tomando as razões dos outros lados de um triângulo retângulo, mas podem ser expressas em termos de seno e cosseno. São elas a tangente,secante, cotangente, e cossecante.