Complemento Matemático 04 Ciências da Natureza I RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Física - Ensino Médio Material do aluno

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1 A Trigonometria é a parte da Matemática que estuda os triângulos e seus elementos, como ângulos, lados e alturas. Atualmente ela não fica limitada ao estudo dos triângulos. E podemos observar a presença de aplicações da trigonometria em outras áreas do conhecimento como na Física, música, engenharia e medicina por exemplo. Muitos problemas cuja solucão pode estar associada à determinação de um elemento de um triângulo têm sua resolução atendida pela trigonometria. Por exemplo, em muitas profissões necessita-se usualmente determinar algumas distâncias que chamamos de distâncias inacessíveis. Reflita sobre as situações abaixo: Um navio precisa determinar a que distância se encontra da praia. Um engenheiro na praia vê o navio e precisa determinar sua distância até uma ilha próxima. Um arquiteto precisa determinar a largura de um rio e a altura de uma montanha por onde passará uma ponte. Há mais de anos os gregos utilizando relações trigonométricas determinaram o raio da Terra. Como os astrônomos, no passado, determinavam a distância da Terra à Lua? Estas e outras situações podem ser resolvidas fazendo uso das relações trigonométricas. Para entendermos melhor o que são essas relações trigonométricas vamos dar uma olhada no triângulo retângulo (triângulo BAC) abaixo: Nomeando os elementos do triângulo BÂC, temos: B a = b = cateto b = cateto b a = ângulo agudo (alfa) = ângulo agudo (beta) Â = ângulo reto A c C A partir da nomeação acima, podemos definir as seguintes razões trigonométricas: 1) Seno (sen) de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da. sen = cateto oposto = c a sen = cateto oposto = b a

2 2) Cosseno (cos) de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da. cos = cateto adjacente = b a cos = cateto adjacente = c a 3) Tangente (tang) de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo. tang = cateto oposto = c cateto adjacente b tang = cateto oposto = b cateto adjacente c Lembre-se que na linguagem comum, cateto oposto, é o cateto que esta de frente para ângulo, e cateto adjacente, é o cateto que fica ao lado do ângulo. Para cada ângulo foi estabelecido um valor para o seno, o cosseno e a tangente. Na tabela abaixo podemos visualizar esses valores para os ângulos mais comumente utilizados. ângulo 0 o 45 o 60 o 90 o seno 0 1 = 0, ,71 0, cosseno = 0,5 0,87 0, tangente 3 1 0,57 3 1,73 3 Observe que alguns dos valores acima podem ser apresentados na forma de números fracionários ou de números irracionais. No final do volume 2 do livro de Matemática do NovoTelecurso são apresentadas as tabelas trigonométricas com valores de seno, co-seno e tangente para vários ângulos. Na tabela a seguir mostramos outros valores para seno, cosseno e tangente que poderão ser úteis na resolução de exercícios.

3 ângulo sen cosseno tangente 5 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Observe a tabela e responda às questões abaixo: a) Qual o valor, aproximado, para o seno de 20º? b) Qual o valor, aproximado, para o co-seno de 70º? c) Qual o valor, aproximado, da tangente de 55º? d) Qual é o ângulo cujo seno vale aproximadamente 0,64? e) Qual é o ângulo cujo cosseno vale aproximadamente 0,96? f) Qual é o ângulo cuja tangente vale aproximadamente 11,4?

4 Exercício resolvido Um avião decola com ângulo de com a horizontal. Utilizando as informações da ilustração determine a distância percorrida pelo avião em linha reta e a altura na qual se encontra. h =? d =? 100 m Para cálculo da distância (d) que o avião percorreu em linha reta e a altura (h) na qual se encontra, visualizemos os triângulos abaixo: d =? h =? 100 m 100 m Para o triângulo da esquerda temos o valor do ângulo, um lado (cateto adjacente) e queremos determinar o valor da. Entre as razões, seno, co-seno e tangente, aquela que apresenta uma relação entre essas medidas é o cosseno. Teremos então: cos = cateto adjacente cateto adjacente onde cos = 0,87, cateto adjacente = 100 e = d cos = 100 d

5 0,87 = 100 d 0,87.d = 100 d = 100 d 115m 0,87 No caso do triângulo da direita temos também o valor do ângulo, um lado (cateto adjacente) e queremos determinar o valor do cateto oposto. Entre as razões, seno, cosseno e tangente, aquela que apresenta uma relação entre essas medidas é a tangente. Teremos então: tang = cateto oposto cateto adjacente cateto oposto onde tang = 0,57, cateto adjacente = 100 e cateto oposto = h cateto adjacente tang = h 100 0,57 = h 0, = h h = 57m 100 Propomos agora alguns exercícios para você aprofundar seus estudos: 02. Determine os valores solicitados nas figuras abaixo. a) a =? 4 b =? b) 8 60 o x =?

6 c) x =? o d) t =? 80 o Na figura abaixo podemos observar um menino soltando uma pipa. O vento permite que o fio fique esticado fazendo com a horizontal um ângulo de 55 o. Considerando que as mãos do garoto estão a uma altura de 1,70m do chão, a que altura está a pipa quando se desenrolar 50m de fio? (Adote sen 55 o 0,82; cos 55 o 0,57; tang 55 o 1,43.) 50 m 55 o 1,70 m

7 04. Um alpinista pretende escalar a encosta de uma montanha. Ele se afasta horizontalmente 80m do pé da encosta e visualiza o topo sob um ângulo de 60 o com o plano horizontal. Considerando que o alpinista tem uma altura de 1,80m, qual a altura da encosta. 60 o 05. Uma homem parte da posição A vai até a posição B e logo em seguida dirige-se para a posição C. Calcule a distância entre os pontos de partida e de chegada. (Adote sen 35 o = 0,57 ; cos 35 o = 0,82) B 15 m 35 o A C

8 Resolução dos exercícios 01. Observando a tabela teremos: a) seno de 20º 0,34 ângulo sen cos tangente 20 0, , ,36397 b) co-seno de 70º 0,34 ângulo sen cos tangente 70 0, , , c) tangente de 55º 1,42 ângulo sen cos tangente 55 0, , , d) observe que o valor 0,64 que está na coluna do seno está na linha do ângulo de 40º. ângulo sen cos tangente 40 0, , , e) qual é o ângulo cujo co-seno vale aproximadamente 0,96? 15º ângulo sen cos tangente 15 0, , , f) qual é o ângulo cuja tangente vale aproximadamente 11,4? 85º ângulo sen cos tangente 85 0, , , a) Cálculo da medida a cateto oposto ao ângulo de = a = 4 Para o cálculo da medida a utilizaremos a razão seno. sen = cateto oposto a =? 4

9 0,5 = a 4 a = 0,5. 4 a = 2 Cálculo da medida b cateto adjacente ao ângulo de = b = 4 Para o cálculo de b utilizaremos a razão cosseno. cos = cateto adjacente 0,87 = b 4 b = 0,87.4 b 3,5 4 b =? b) A ilustração fornece: ângulo, lado oposto ao ângulo de 60 o e lado adjacente ao ângulo de 60 o. Trabalharemos com a razão tangente. tang 60 o = cateto oposto cateto adjacente 1,73 = 8 x 60 o x =? 1,73.x = 8 x = _8_ x = 4,6 1,73 8 c) A ilustração fornece: ângulo, lado oposto ao ângulo de 40 o e. Pelas informações fornecidas utilizaremos a razão seno. Utilizando uma tabela trigonométrica 1 temos que sen 40 o 0,64. sen 40 o = cateto oposto 0,64 = x 10 x =? o x = 0,64.10 x = 6,4

10 d) A ilustração fornece: ângulo, lado adjacente ao ângulo de 80 o e. Pelas informações fornecidas utilizaremos a razão co-seno. Novamente utilizando a tabela trigonométrica temos que cosseno 80 o 0,17. cosseno 80 o = cateto adjacente 0,17 = _t_ 20 t =? 80 o 20 t = 0,17.20 t = 3,4 03. Visualizando um triângulo retângulo na ilustração abaixo a altura (h) na qual o pipa se encontra será dada pela soma da medida do cateto oposto ao ângulo de 55 o com o valor 1,70m. h = x + 1,7 50 m x =? h =? 55 o 1,7 m Utilizando a razão seno no triângulo retângulo da figura teremos: sen 55 o = 0,82 cateto oposto = x = 50 sen 55 o = cateto oposto 0,82 = x 50 x = 0,82.50 x = 41 m A altura será de: h = ,7 h = 42,7 m

11 04. Visualizando um triângulo retângulo na ilustração abaixo a altura (h) da encosta será dada pela soma da medida do cateto oposto ao ângulo de 60 o com o valor 1,80 m (altura do alpinista). h = x + 1,8 h =? x 1,8 m 80 60º No triângulo retângulo da ilustração trabalhamos com o ângulo de 60º, os lados adjacente e oposto a esse ângulo. Dessa maneira a razão trigonométrica utilizada será a tangente. tang 60 o = cateto oposto cateto adjacente tang 60 o = 1,73 cateto adjacente = 80 cateto oposto = x 1,73 = x_ 80 x = 138,4 m Para a altura da encosta teremos: h = x + 1,8 h = 138,4 + 1,8 h = 140,2 m

12 05. O homem partiu da posição A e chegou na posição C. Chamando a distância AC de x teremos: ângulo de 35 o = 15 lado oposto ao ângulo de 35 o = x C chegada sen 35 o = cateto oposto 15m x 0,57 = _x_ 15 x = 0,57.15 x = 8,55m B 35º A partida