Educação Matemática MATEMÁTICA LICENCIATURA. Professora Andréa Cardoso

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1 Educação Matemática MATEMÁTICA LICENCIATURA Professora Andréa Cardoso

2 UNIDADE I: EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E ENSINO Trigonometria na Antiguidade: Babilônia e China 2

3 OBJETIVO DA AULA: Aplicar os conceitos trigonométricos dos povos antigos 3

4 Trigonometria esteve inteiramente enraizada na Astronomia. Astronomia: razões religiosas, calendário e as épocas de plantio. Das tábuas encontradas, cerca de 400 estão relacionadas à Matemática e foram copiadas, estudadas e explicadas. Trigonometria na Babilônia 4

5 A Plimpton 322 é uma tabela de números dispostos em quatro colunas e quinze linhas. Revela semelhanças com tábuas trigonométricas. Fragmento de uma tabuleta de argila produzida por volta de 1800 a.c., doada à Universidade de Columbia por George Plimpton. Trigonometria na Babilônia 5

6 Recentemente, foi identificada como uma lista implícita de secantes. sec α = 1 cos α = hipotenusa cateto adj Tabela Plimpton 322 restaurada e descrita em notação moderna. Trigonometria na Babilônia 6

7 Tabela Plimpton 322 em notação decimal com primeira coluna inserida. Trigonometria na Babilônia 7

8 Consideravam u e v números inteiros primos entre si, com fatores 2, 3 ou 5. Utilizavam a base 60 = Perceberam que x 2 + y 2 = u 2 v uv 2 = u 2 2 2u 2 v 2 + v u 2 v 2 = u u 2 v 2 + v 2 2 = u 2 + v 2 2 = d 2 Triplas Babilônicas 8

9 u 2 v 2 = 119 u 2 + v 2 = 169 Somando e subtraindo, obtemos: 2u 2 = 288 2v 2 = 50 Logo, u = 12 e v = 5 são as coordenadas da tripla (119,120,169) Triplas Babilônicas 2uv =

10 u = 12 v = 5 sec α = hipotenusa cateto adj = u2 + v 2 2uv = d y Assim, a coluna I da tabela é o quadrado da secante. Triplas Babilônicas 10

11 Encontre as coordenadas u e v referente à linha 11. Você encontrará valores não inteiros para os lados do triângulo retângulo, entretanto este será semelhante a outro triângulo com u = 30 v = 15 Exercício: Triplas Babilônicas 11

12 Os Babilônicos convencionaram dividir o círculo em seis partes iguais, em que cada uma equivalia a 60 (sua base numérica). Assim, o círculo passava a ter 360, que também designava o número de dias do ano, segundo o seu calendário. Trigonometria na Babilônia 12

13 Aproximadamente a.c. Evidências do conhecimento das relações trigonométricas e do conceito de ângulo. Desenvolvimento da trigonometria primitiva para medir distâncias, comprimentos e profundidades. Há indícios que a resolução destes problemas assemelham-se com a dos Babilônicos. Trigonometria na China 13

14 152 a. C. Chuan Tsanom No livro Nove capítulos sobre a arte da Matemática. Capítulo 9º trata do estudo do Triângulo Retângulo abordando conceitos como empilhar quadrados e a função tangente. Trigonometria na China 14

15 Um dos grandes desafios para o homem é a medida de distâncias inacessíveis. Qual é a altura do Morro do Pão de Açúcar no Rio de Janeiro? Utilizando um teodolito e as razões trigonométricas é possível estimar a altura com margem de erro aceitável. Trigonometria em Problemas da Agrimensura 15

16 Foi realizada uma medida do ângulo α = 10 o, a uma certa distância y do morro. tg α = h y Como obter y? Problemas da Agrimensura: Altura do Pão de Açúcar 16

17 Realizando-se uma medida adicional do ângulo β = 14 o de um ponto B que dista 650 metros de A. tg α = h x + d tg β = h x tg α = x tg β x + d h = x tg β x = d tg α tg β tg α Problemas da Agrimensura: Altura do Pão de Açúcar 17

18 Dados do Problema: α = 10 o tg α = 0,1763 β = 14 o tg β = 0,2493 d = 650 m x 1570 m tg β = h x h = x tg β 391,4 m A altura real é 396 metros, boa precisão pois há que se considerar o nível do mar do local de medição e a altura do teodolito. Problemas da Agrimensura: Altura do Pão de Açúcar 18

19 EVES, H. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, OLIVEIRA, J. Tópicos selecionados de trigonometria e sua história. 65 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática). Departamento de Matemática, Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, Disponível em: < em 08/04/2015. Referências 19

20 1. O que motivou o estudo da trigonometria na Babilônia? 2. Quais as informações que a Tabuleta Plimpton 322 revela sobre o conhecimento sobre trigonometria dos babilônicos? 3. O escriba cometeu um erro na linha 11 da Plimpton 322? Explique. 4. Como as razões trigonométricas podem ser usadas para calcular distâncias inacessíveis? 5. Um topógrafo instala um teodolito em terreno plano e observa o topo de um prédio. Determine a altura do prédio considerando as medidas dadas na figura. Atividade Aula 07 20