Universidade Federal de Alfenas - UNIFAL. Disciplina: História da Matemática Professora: Andrea Cardoso Aluno: Wagner Vinícius Volpi

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1 Universidade Federal de Alfenas - UNIFAL Disciplina: História da Matemática Professora: Andrea Cardoso Aluno: Wagner Vinícius Volpi

2 Introdução Trigonometria trigonos (triângulos) + meiruns (medida) = medida dos triângulos. Estudar os lados e ângulos de um triângulo. Astronomia, Agrimensura e Navegação. A trigonometria desenvolveu como resultado de uma interação contínua e fértil entre a oferta e a demanda. Várias civilizações contribuíram de alguma forma para a trigonometria: Egito, Babilônia, China, Grécia, Índia, Arábia e Pérsia. A Trigonometria somente tornará ciência analítica no século XVII d.c.

3 Trigonometria no Egito Cálculo das razões entre números e entre lados de triângulos semelhantes. Papiro Rhind 1650 a.c. seqt. Seqt: Razão entre afastamento horizontal e elevação vertical resultava em como deveria ser a inclinação da face de uma pirâmide a. C. - Associação de sombras projetadas por uma vara na vertical, Gnômon, à sequencias numéricas, onde o comprimento da sombra era relacionada com a hora do dia.

4 O mais antigo gnômon de que temos conhecimento e que chegou até nossos dias, está no museu de Berlim.

5 Utilizavam a relação = 5 para obter ângulos retos durante a construção de suas pirâmides utilizando de corda de 13 nós.

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7 Trigonometria na Babilônia Astronomia razões religiosas, calendário e as épocas de plantio. Placa cuneiforme Plimpton 322. O Plimpton 322 recebe esse nome porque é o número 322 na coleção GA Plimpton na Universidade de Columbia, é uma tabela de quatro colunas que, inicialmente, parece ser registro de uma transação comercial. Entretanto, ao ser analisado com mais cautela revelou algo bem diferente: é uma lista de secantes. A divisão do círculo em 360º, por exemplo, teve origem na Babilônia, onde se convencionou dividir um círculo em seis partes iguais, em que cada uma equivalia a 60. Assim, o círculo passava a ter 360, que também designava o número de dias do ano segundo o seu calendário.

8 Trigonometria na China Trigonometria primitiva foi encontrada no império de Chou Pei Suang Ching aproximadamente 1110 a.c. Medir distâncias, comprimentos e profundidades; O conhecimento vem da sombra e a sombra vem do gnômon. Noção de geometria plana primitiva Segundo Milênio a.c.; 152 a. C. Chuan Tsanom Nove capítulos sobre a arte da Matemática. 9º Capítulo Triangulo Retângulo conceitos: Empilhar quadrados e a função tangente. Há indícios que a resolução destes problemas assemelham-se com a dos Babilônicos.

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10 Existem evidências tanto do conhecimento das relações trigonométricas quanto do conceito de ângulo e a forma de medí-los, mas não há registros de como eram feitas as medições e quais unidades de medidas utilizadas. Dois motivos: registros em bambu material perecível; Imperador Shi Huang-ti ordenou em 213 a.c. uma lamentável queima de livros, apesar de muitos livros terem sido reconstituídos, muitos ainda indagam sobre autenticidades de grande parte destes materiais bibliográficos

11 Trigonometria na Grécia A trigonometria teve um grande desenvolvimento na Grécia antiga preceptora a todas as outras nações. Trigonometria está diretamente relacionada com a geometria. Tales de Mileto (625? 546? a. C.) astronomia e geometria medir a altura da pirâmide de Quéops semelhança de dois triângulos.

12 Pitágoras de Samos (~580 a.c. - ~500 a.c.) discípulo de Tales : Demonstrou o teorema do triângulo retângulo:.em todo triângulo retângulo a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

13 A trigonometria grega surgiu com a necessidade da astronomia, afim de prever as efemérides celestes calcular tempo e ser utilizada na Navegação e Geografia. Trigonometria esférica triângulos esféricos Triângulos sobre uma superfície esférica, com isso houve um desenvolvimento da trigonometria plana.

14 Astrônomo. Aristarco de Samos (310 a.c. 230 a. C.) Acreditava que todos os planetas, incluindo a Terra, giravam em torno do Sol. Fases da Lua, quando a lua exibia um quarto iluminada, era possível observar um triângulo retângulo. Os escritos de Aristarco sobre esse tema se perderam e somente conhecemos suas ideias mencionados por Arquimedes e Plutarco. Obra: Tamanhos e distancias do Sol e da Lua Suas ideias estavam relacionadas nos conceitos de semelhanças de triângulos, noções de geometria simples e um pouco de Algebra.

15 Eratóstenes de Cirene (276 a.c. 194 a.c.) Matemático e Geográfico. Tutor do filho de Ptolomeu III e coordenador da biblioteca de Alexandria no período que viveu em Atenas. Siena: 800km de Alexandria ao meio dia do Solstício de verão, colunas verticais não projetavam qualquer sombra e já em Alexandria na mesma época havia projeção da sombra. Com isso deduziu que a Terra fosse redonda. Quanto maior fosse a curvatura da Terra, maior seria a projeção da sombra e o Sol deveria estar tão longe que seus raios de luz chegam paralelos. Chegou à um valor aproximado da medida da circunferência da Terra utilizando a geometria plana: Km. Atualmente sabemos que a distancia da circunferência na linha do Equador é de Km.

16 Hiparco de Nicéia (180 a.c. 125 a.c.) Fortemente influenciado pela matemática Babilônica Base 60 dividiu a circunferência em 360 partes arco de 1 grau 60 partes arco de 1 minuto. Tabela de cordas: tabela trigonométrica com os valores das cordas de uma série de ângulos entre 0º e 180º - correspondência entre o arco e sua corda utilizadas na astronomia. Pai da trigonometria Criou o astrolábio, instrumento para medir alturas.

17 Claudio Ptolomeu ( 85 d.c 165 d.c.) Áreas de estudo: matemática, geografia, cartografia, dentre outras. Viveu em Alexandria. Sua obra mais importante A Coleção Matemática Almagesto composto de 13 livros apresenta e desenvolve argumentos a favor da teoria geocêntrica do universo. Desenvolve também as ferramentas matemáticas, a geometria elementar, usada na astronomia e bem como a trigonometria. A trigonometria apenas aparece nos capítulos 10 Tabela de cordas mais aprimorada do que a de Hiparco e capítulo 11 onde explica como tal tabela pode ser calculada.

18 Segue um pequeno trecho do Almagesto traduzido para o português (...) Pois, se ela fosse côncava, as estrelas que nascem apareceriam primeiro às pessoas do Ocidente; e se fosse plana, as estrelas nasceriam e se poriam para todas as pessoas ao mesmo tempo; e se ela fosse uma pirâmide, um cubo ou qualquer outra figura poligonal, ela apareceria ao mesmo tempo para todos os observadores na mesma linha reta. Mas nenhuma dessas coisas parece acontecer (...) está claro aqui que a curvatura da Terra, cobrindo uniformemente as partes em direções oblíquas, prova sua forma esférica de cada lado. (...)

19 Almagesto: 1 - Uma tabela mais completa que a de Hiparco, com ângulos de meio em meio grau, de 0º a 180º; 2 - a circunferência foi dividida em 360 partes hoje chamadas graus, o diâmetro foi dividido em 120 partes e cada uma dessas divididas em 60 porções minutos, sendo essas, por sua vez, divididas em mais 60 partes segundos. 3 - Teorema de Ptolomeu: Um quadrilátero convexo inscrito em um círculo, então a soma dos produtos dos lados opostos é igual ao produto das diagonais. 4 Equivalência das fórmulas (nos dias atuais) de seno da soma e seno da diferença, isto é sen(a + b) e sem (a b); 5 O uso, também usando as cordas, do seno do arco metade: Na Grécia Antiga o conceito de função propriamente dito não foi desenvolvido.

20 Tábua de cordas de Ptolomeu

21 Trigonometria Hindu Trigonometria aplicada para a Astronomia. No Século IV d.c., a Europa Ocidental entrou em crise com as constantes dominações dos bárbaros germânicos e a queda do Império Romano, o centro da cultura deslocou-se para a Índia Siddhanta sistemas de Astronomia. Aritmética ao contrário da grega que era muito geométrica. Surya Siddhanta Sistemas do Sol 400 d.c. poucas explicações e nenhuma prova, pois acreditavam que a obra foi escrita pelo Deus Surya e seria muita pretensão exigir provas de um Deus. Jya Utilização de uma tábua da metade da corda de um arco duplo Tábua do seno.

22 No Surya, a relação usada era entre a metade da corda e a metade do ângulo central correspondente, chamada por eles de jiva razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Isto possibilitou a visão de um triângulo retângulo na circunferência. 500 d. C Aryabhata calculava semi cordas e usava também o sistema decimal. 505 d. C Varahamihira encontramos o equivalente de sen² θ + cos² θ = 1. Muitos matemáticos se dividiram através do tempo na literatura matemática de Ptolomeu (Almagesto) e Surya dos hindus.

23 Conclusão Mesmo com instrumentos rudimentares as civilizações antigas tiveram grandes feitos para a Trigonometria como observação, prática e demonstrações, para séculos depois tornar-se uma ciência. A importância da Astronomia e das problemáticas cotidianas para a época foram primordiais para construção de uma Trigonometria sólida e eficaz nos dias atuais, conhecendo um pouco de sua evolução.

24 Referências MENDES OLIVEIRA, Juliana. A trigonometria básica com foco em sua evolução histórica e suas aplicações contemporâneas. Disponível em: < 4954/Publico/texto%20completo.pdf>. Acesso em 04/04/2015. COSTA, Nielce M. Lobo da. A história da trigonometria. Disponível em: < em 04/04/2015. UBERTI, Gerson Luiz. Uma abordagem das aplicações trigonométricas. Disponível em: < nce=1>. Acesso em 05/04/2015. COSTA NETO,Deoclécio Pinto da. Dando corda a Trigonometria. Disponível em:< %20Deocl%C3%A9cio%20Pinto%20da%20Costa%20Neto.pdf>. Acesso em 05/04/2015. NASCIMENTO, Alessandra Zeman do. Uma sequencia de ensino para a construção de uma tabela trigonométrica. Disponível em < 03T07:18:46Z-3983/Publico/Alessandra%20Nascimento.pdf>. Acesso em 05/04/2015. SANTOS COSTA, Daniel dos. Astronomia e Trigonometria: As cordas de Ptolomeu. Disponível em: < Acesso em 07/04/2015. OLIVEIRA, Jaqueline de. Tópicos selecionados de Trigonometria e sua História. Disponível em:< em 08/04/2015.