ELABORAÇÃO: PROF. OCTAMAR MARQUES. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA. QUESTÕES DE 01 A 08.

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1 RESOLUÇÃO DA 1 a AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA _ U I _ANO 007 a SÉRIE DO EM _ COLÉGIO ANCHIETA BA ELABORAÇÃO: PROF OCTAMAR MARQUES RESOLUÇÃO: PROFA MARIA ANTÔNIA GOUVEIA QUESTÕES DE 01 A 08 Nas questões de 01 a 10, assinale as proposições verdadeiras e marque os resultados na Folha de Respostas QUESTÃO 01 No conjunto dos números reais é verdade que: (01) A soma de dois números irracionais é um número irracional A soma de dois números irracionais opostos é igual a zero que é um número racional (0) é um número racional Racionalizando o denominador da fração ( )( + ) ( )( + ) = = 1, temos: = Q x (0) x R; 0 < 1 x + 1 Se x R, então x é sempre um número não negativo, ou seja, x 0 e o denomindor x + 1 é sempre um número positivo, ou seja, x x + 1 > 0 Logo 0 para todo x R, isto é, S 0 = R x + 1 x x x 1 1 Resolvendo agora a inequação < 1 = < 0 x + 1 x + 1 x + 1 Como o denominador x > 0 para todo x R, então a solução da inequação < 0, é x + 1 S 1 = R (08) (x ) + (x y) = 0 y N Se x, y R e (x ) + (x y) = 0, então, (x ) = 0 e (x y) = 0 x = e y = N (16) a, b, c, d R, a < b e c < d a c < b d Consideremos a = 1, b =, c = 5 e d =, por exemplo Vemos que a c = 1 ( 5) = = 6 e b d = = 1 Temos com estes valores a c > b d 07-17_Resolução-1ªAvalMatem-ºEM_U1doc (prof)

2 () x R; x < x Fazendo x igual a, por exemplo, temos < < 16 8 que é uma afirmação verdadeira QUESTÃO 0 Sobre Geometria Plana pode-se afirmar que: (01) Se os inteiros x, e são lados de um triângulo e x é oposto a um ângulo obtuso, então 5 < x < 7 Se o lado x é oposto a um ângulo obtuso, então, x é o maior lado do triângulo obtusângulo, x é um inteiro maior que e diferente de 5 (senão seria um triângulo retângulo) Como qualquer lado de um triângulo é sempre menor que a soma dos outros lados, temos x < 7 Logo x = 6 (0) Se os lados de um triângulo eqüilátero medem 6cm, o raio do círculo inscrito é igual a cm No triângulo retângulo ABC, tg0 o r r = = r = (0) Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo de área S obtém-se um triângulo de área S/ Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo determina-se um triângulo semelhante ao primeiro e cujos lados têm como medida as metades das medidas dos lados correspondentes no triângulo dado l S Se l 1 = e os triângulos são semelhantes, então S 1 = 07-17_Resolução-1ªAvalMatem-ºEM_U1doc (prof)

3 (08) Se M e N são os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio tal que MN = 8cm e sendo 6cm a distância de qualquer ponto de MN à base maior desse trapézio então sua área é igual a 96cm MN é a base média do trapézio (segmento determinado pelos pontos médios dos lados não paralelos), então, MN = Se a distância de MN à base maior é 6cm, então a altura do trapézio mede 1cm A área do trapézio é dada pela fórmula S = () h = 81 = 96cm (16) A área de um hexágono regular de lado igual a 8uc é igual a 96 ua A área de um hexágono regular pode ser calculada como sendo o sêxtuplo da área de um triângulo eqüilátero de lado equivalente ao lado do hexágono: S = l 8 6 = 6 = 96 () A condição suficiente para um triângulo ser acutângulo é ter um ângulo interno agudo Qualquer triângulo tem no mínimo dois ângulos agudos QUESTÃO 0 Na figura, vemos um círculo de centro O tal que, AB = a, BC = b e CD = É verdade que: (01) OF = a+b = r CD= = r OB = r 07-17_Resolução-1ªAvalMatem-ºEM_U1doc (prof)

4 (0) FB = ab No triângulo retângulo AFC, temos ABBC = FB FB = ab FB = ab ab (0) GF = Na figura acima, considerando o triângulo retângulo FBO, temos FB = GFFO ab ab = GF GF = (08) FC = ( )b No triângulo retângulo AFC, temos FC = BCAC FC = b(a+b) FC = ( )b (16) m ( Dˆ E) O > 5 o No triângulo retângulo DEO temos: sen ( Dˆ E) () A área do triângulo OED é igual a O Dˆ E = 0 o m(dôe) = 60 o S OED = Como m ( ) 8 (a + b) 1 o 1 sen60 OEOD = rr = = ( ) 8 O = r r 1 = m ( Dˆ E) O = 0 o > 5 o QUESTÃO 0 Numa reunião com 0 pessoas só estão presentes brasileiros e italianos (ninguém com dupla nacionalidade) Verificou-se que: O número de brasileiros excede em o número de italianos O número de brasileiros que fumam é igual a um terço do número de italianos que não fumam O número de fumantes é 10 É verdade que: (01) O número de brasileiros que não fumam é 16 (0) O número de pessoas que não fumam é 0 (0) O número de brasileiros que fumam ou de italianos que não fumam é 16 (08) Escolhendo-se uma pessoa ao acaso a probabilidade de ocorrer um italiano que fuma é de 15% (16) Escolhendo-se ao acaso um não fumante a probabilidade de ser italiano é de 0% 07-17_Resolução-1ªAvalMatem-ºEM_U1doc (prof)

5 RESOLUÇÃO: De acordo com os dados da questão, ilustrados pelo diagrama acima, temos: f = 16 f + f = 10 f + f + f + f = 1 (I) fazendo (II) (I) f = f + f + 10 f + f = 0 f + f = 0 (II) f = 18 Analisando o diagrama acima, preenchido após a resolução do sistema, chegamos as seguintes conclusões: (01) O número de brasileiros que não fumam é 16 (0) O número de pessoas que não fumam é 0 (0) O número de brasileiros que fumam ou de italianos que não fumam é 16 ( + 1 = 16) (08) Escolhendo-se uma pessoa ao acaso a probabilidade de ocorrer um italiano que fuma é de 15% 6 15 = = = 15% (16) Escolhendo-se ao acaso um não fumante a probabilidade de ser italiano é de 0% 1 0 = = = 0% QUESTÃO 05 Em Lógica pode-se afirmar que: (01) p q é verdadeira, se ~q é verdadeira 07-17_Resolução-1ªAvalMatem-ºEM_U1doc (prof) 5

6 Nas linhas 1 e vemos que p q é verdadeira, porém ~q é falsa (0) ~p q é condição necessária para p ~q Pela coluna 6 concluímos que (p ~q) (~p q) é uma tautologia (0) Uma condição suficiente para p ~q é ~p q Na coluna 7 os resultados das linhas 1 e são falsos (08) ~[(p q) r] (p ~q) ~r analisando a coluna 6 concluímos que ~[(p q) r] (p ~q) ~r é uma tautologia (16) O argumento a seguir é válido: Nenhum peixe é foca Um animal é foca se somente se é pingüim Nenhum peixe é pingüim QUESTÃO 06 Considere o polinômio p(x) = a(x + x) (x + ) que dividido por x + 1 tem resto igual a É verdade que: (01) O valor de a é Se o polinômio p(x) = a(x + x) (x + ) dividido por x + 1 deixa resto igual a, então p( 1) = a(1 ) ( 1 + ) = a = (0) O grau de p(x) é 5 O grau do polinômio é 6 (0) A soma dos coeficientes de p(x) é igual a _Resolução-1ªAvalMatem-ºEM_U1doc (prof) 6

7 A soma dos coeficientes de p(x) = p(1) = (1+) (1+) = 16 (08) p(x) possui uma raiz de multiplicidade p(x) = (x + x) (x + ) = x (x+) (x+) =x (x+) p(x) tem duas raízes nulas e quatro raízes iguais a (16) O quociente da divisão de p(x) por (x + ) é o polinômio mx +nx tal que m + n = 6 p(x) x (x + ) = x (x + ) = x + x (x + ) (x + ) () A soma das raízes de p(x) é igual a A soma das raízes é 8 QUESTÃO 07 Os objetos P e Q custam, respectivamente, R$ 00,00 e R$ 650,00 Pode-se afirmar que: (01) O custo de Q é 5% superior ao custo de P VQ 650 = = 1,65 = 1 + 0,65 = 100% + 6,5% V 00 P (0) Se P for vendido com um lucro de R$ 50,00, seu lucro relativo ao preço de venda será superior a 10% V = R$ 50,00 e L V = = 0, % > 10% (0 Se os preços de venda desses objetos sofrerem um aumento de 15% e, em seguida, uma redução de 8%, então o aumento acumulado desses preços será de 5,8% 1,15 P (1 0,08) = 1,058P = P + 0,058 (08) Se os preços de venda dos objetos P e Q forem iguais e o LP na venda de P for o triplo do lucro LQ na venda de Q, então LQ = R$ 15,00 VP = 00 + LQ e VQ = LQ Mas VP = VQ 00 + LQ = LQ LQ = 50 LQ = 15 (16) Se os lucros forem relativos aos custos e P for vendido com lucro de 10% e Q com lucro de 0%, então o lucro obtido na venda dos objetos será superior a 17% 0, , = 0,16190 = 16,19% < 17% QUESTÃO 08 O preço de venda de um objeto é R$ 800,00 É verdade que: 07-17_Resolução-1ªAvalMatem-ºEM_U1doc (prof) 7

8 (01) Se for comprado por R$ 850,00 com um mês de prazo para pagamento, a taxa de juros será de 6,5% ao mês 50 = 800 0,065 (0) Se for comprado por R$ 1000,00 com o prazo para pagamento de dois meses, a taxa mensal de juros simples será de 1,5% M = ,15 = 1000 (0) Se na proposição anterior os juros fossem compostos a taxa mensal será superior a 1,5% 800 (1 + i) = 1000 (1 + i) = 1,5 1 + i 1,1180 i = 11,80% < 1,5% (08) Se foi vendido com juros simples de 10% ao mês, através de uma única prestação no valor de R$ 100,00, então o prazo de pagamento foi superior a 6 meses m 0,10 = m = 00 m = (16) Se, no momento da compra, forem pagos R$ 00,00 e, após dois meses, R$ 00,00, então o comprador ainda estará devendo R$ 6,00, supondo que a taxa mensal de juros compostos, foi de 10% Pagando R$ 00,00 no ato da compra a pessoa estará financiando R$ 600,00 Ao final de dois meses a sua dívida será de 1, = 6 reais QUESTÃO 09 Com os algarismos x, y e z são formados os números xyz e xzy A soma dos números é igual a 151 e sua diferença á igual a 9 Calcule o valor da soma x + y + z Resolução: 100x + 10y + z + 100x + 10z + y = x + 11y + 11z = x + 10y + z (100x + 10z + y) = 9 9y 9z = 9 { 00x + 0y + z = 150 { 100x + 10y + z = 765 = x + y + z + 18 Resposta: 18 QUESTÃO _Resolução-1ªAvalMatem-ºEM_U1doc (prof) 8

9 A figura, ao lado, representa um terreno com a forma de um trapézio isósceles tal que AB = 0m, CD = 8m e BC = 10m Deseja-se dividir esse terreno em partes I, II e III de áreas proporcionais a, e 1, respectivamente Sabendo que AF é o triplo de GB, calcule DE Resolução: Pela figura à esquerda, temos: 100 = 6 + h h = 8m (8 + 0) 8 = 11m Então a área do trapézio é S = Como as partes I, II e III de áreas proporcionais a, e 1, respectivamente, podemos representá-las por x, x e x, então x + x + x = 11 x = 16 Sendo a área do trapézio AFDE igual a x, então SAFDE = 6m Como a área do paralelogramo CEFG é o dobro da área do triângulo e as suas alturas são iguais, então as suas bases também são iguais Temos: a + a + a = 0 a = 5 AF = 15m ( 1 + DE) 8 = DE = 16 DE = A área do trapézio AFDE é 6m Resposta: m(de) = m ( Esta é uma solução se considerarmos CEFG um paralelogramo) Se CEFG não for um paralelogramo, e sendo a área do trapézio AFDE igual a 6m, temos (DE + AF)8 = 6 DE + AF = 16m SAFDE = Então DE pode assumir qualquer valor positivo menor do que 8, tal que DE = (16 AF) 07-17_Resolução-1ªAvalMatem-ºEM_U1doc (prof) 9