FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Cursos de Engenharia. Prof. Álvaro Fernandes Serafim

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1 FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA Cursos de Engenharia Prof Álvaro Fernandes Serafim Última atualiação: //7

2 Esta apostila de Álgebra Linear foi elaborada pelos Professores Adelmo Ribeiro de Jesus Ilka Rebouças Freire e Maria Amélia Barbosa A formatação e adaptação é do Professor Álvaro Fernandes Serafim Temas desta apostila: Espaços vetoriais pág Subespaços vetoriais pág 6 Combinação linear pág 9 Subespaço gerado pág Operações com subespaços vetoriais pág 6 Interseção de subespaços vetoriais pág 6 Soma de subespaços vetoriais pág 8 Dependência e independência linear pág Base e dimensão pág 4 Base ordenada e coordenadas de um vetor pág Eercícios gerais pág Espaços vetoriais Os espaços vetoriais constituem o objeto de estudo da Álgebra Linear No curso de Geometria Analítica foram estudados os conjuntos de vetores no plano e no espaço Lembremos que duas operações foram definidas nestes conjuntos a adição de vetores e a multiplicação por um escalar: Adição de vetores Multiplicação por um escalar Estas duas operações goam de determinadas propriedades e são as mesmas operações que estão também definidas por eemplo no conjunto das matries de ordem mn em R Vamos agora generaliar esta estrutura apresentada no conjunto dos vetores do espaço e das matries de ordem mn O conceito de vetor vai ser estendido estabelecendo-se as propriedades mais usuais dos vetores como postulados Definição: Seja V um conjunto não vaio V é dito um espaço vetorial sobre R se: I) Está definida uma adição em V que associa a cada par de elementos u e v um único elemento em V indicado por u v e chamado de soma de u com v que satisfa as seguintes propriedades u v w V: i ) u v v u (comutativa) ii) u (v w) (u v) w (associativa) iii) Eiste V tal que u u ( é chamado de elemento neutro ou vetor nulo) iv) Para todo u V eiste u V tal que u ( u) ( u é chamado de vetor oposto de u)

3 II) Está definida uma multiplicação por escalar em V que associa cada escalar α R e cada elemento v V um único vetor αv V que goa das seguintes propriedades α β R e u v V: v) α(βu) (αβ)u vi) (α β)u αu βu vii) α(u v) αu αv viii) u u Observações: Podemos também considerar na definição de espaço vetorial os escalares como sendo números compleos e neste caso o espaço é chamado de espaço vetorial compleo (ou sobre C) Os elementos de um espaço vetorial são chamados de vetores O vetor nulo também pode ser denotado por 4 Neste curso só iremos trabalhar com espaços vetoriais reais Eemplos: ) V R é um espaço vetorial real R {( ); R} é o conjunto dos pontos do plano Um par ordenado ( ) tanto pode ser interpretado como um ponto do plano ou como um vetor do plano (vetor a partir da origem até o ponto ( )) Veja a figura ) V R é um espaço vetorial real R {( ); R} é o conjunto dos pontos do espaço Um terno ordenado ( ) tanto pode ser interpretado geometricamente como um ponto do espaço ou como um vetor do espaço (vetor a partir da origem até o ponto ( )) Veja a figura figura figura

4 Embora nossa visualiação geométrica não se estenda além do espaço tridimensional podemos considerar muitas das propriedades algébricas e numéricas estendendo-as a outros espaços além do tridimensional A idéia de se utiliar pares de números ordenados para situar pontos no plano e ternos de números ordenados para situar pontos no espaço se consolidou em meados do século XVII e é a idéia básica da Geometria Analítica Na segunda metade do século XVIII os matemáticos e físicos perceberam que poderiam usar seqüências ordenadas com quatro cinco n números para representar pontos num espaço de dimensão maior É o que formaliamos no eemplo a seguir ) Se n é um inteiro positivo diemos que uma seqüência ( ) n de números reais é uma n-upla ordenada O conjunto das n-uplas ordenadas é chamado de espaço n-dimensional e denotada por n R R n {( ); R} n i é um espaço vetorial com as operações: Adição: ( ) ( ) ( ) n n n n Multiplicação por escalar: ( ) ( α α α ) α R α n n 4) V ( R) M mn - Conjunto das matries de ordem mn com elementos em R é um espaço vetorial real com as operações de adição de matries e multiplicação de uma matri por um escalar já definidas Obs: Se m n então denotaremos M mn ( R) simplesmente por ( R) M n V ; w R w com as operações usuais definidas no conjunto das matries: Por eemplo consideremos M ( R) Adição: w w w w α α Multiplicação por escalar: α w α αw M (conjunto das matries de ordem com elementos reais) satisfa todos os postulados de espaço vetorial O conjunto V ( R)

5 5) V ( R) P n - Conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n com coeficientes em R é um espaço vetorial real com as operações usuais de adição de polinômios e multiplicação por um escalar: Adição: n n ( a a a ) ( b b b ) ( a b ) ( a b ) ( a b ) n n n n n Multiplicação por escalar: α n n ( a a a ) αa αa αa n n 6) Toda reta (no plano ou no espaço) que passa pela origem é um espaço vetorial Por eemplo no plano R temos que W {( ) R ; k} é um espaço vetorial pois este conjunto satisfa todos os postulados da definição Brevemente este conjunto será chamado de subespaço vetorial 7) Todo plano que passa pela origem é um espaço vetorial do R W{( ) R ; a b c } satisfa todos os postulados de espaço vetorial Brevemente este conjunto também será chamado de subespaço vetorial 4

6 Contra-eemplos: ) W {( ) R ; } V R não possui o elemento neutro da adição ( ) Além disso se considerarmos também dois pontos sobre a reta por eemplo w ( ) e w ( ) a soma w w ( ) não está sobre a reta ) W {( ) R ; } V R não tem elemento o neutro da adição ( ) Além disso se considerarmos dois pontos sobre o plano a soma também não está sobre o plano (Para ver isso dê um eemplo numérico) ) Generaliando: Retas e planos que não passam pela origem não são espaços vetoriais pois além de não conterem o vetor nulo não satisfaem a propriedade do fechamento da adição 5

7 Subespaços vetoriais Às vees é necessário detectar dentro de um espaço vetorial subconjuntos W que são também espaços vetoriais Vimos por eemplo que as retas que passam pela origem (no plano) são espaços vetoriais que estão contidos no R Da mesma forma planos que passam pela origem são espaços vetoriais contidos no R Eemplo: Consideremos V R uma reta passando pela origem e W {( ) R ; k} {( k) R } Graficamente W é W é também um espaço vetorial pois ( k ) ( k ) ( k k ) ( k( )) W Esta operação satisfa as propriedades de i) a iv) da definição de espaço vetorial α( k ) (α kα ) W Esta operação satisfa as propriedades de v) a viii) da definição de espaço vetorial Um subconjunto de um espaço vetorial V que é ele mesmo um espaço vetorial em relação às operações de adição e multiplicação por escalar definidas em V recebe o nome de subespaço vetorial de V Proposição: Dado um espaço vetorial V um subconjunto W de V W é um subespaço vetorial de V se e somente se: a) O vetor nulo W; b) Se w w W então w w W; c) Se α R e w W então αw W Observações: Estas três condições garantem que ao operar vetores em W não obteremos vetores fora de W Por esta proposição para mostrar que um subconjunto W de V é um subespaço de V não precisamos testar todos os 8 postulados de espaço vetorial Basta verificar se W contém o vetor nulo e as operações de adição e multiplicação por escalar estão fechadas em W Com isto W é também espaço vetorial e as propriedades que são válidas em V também são em W pois W V Por eemplo w w w w porque esta propriedade é válida para TODOS os elementos de V Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços W V e W {} Estes subespaços são chamados de subespaços triviais de V 6

8 Eemplos de subespaços vetoriais V R e W {( ); k} (retas passando pela origem) Este conjunto satisfa as três condições de subespaço vetorial V R e W {( ); a b c } (planos passando pela origem) Este conjunto satisfa as três condições de subespaço vetorial De fato: a) O vetor nulo () W b) Considerando os vetores ( ) e ( ) W temos que a b c e a b c Assim ( ) ( ) ( ) W pois a( ) b( ) c( ) (a b c ) (a b c ) c) Considerando α R e ( ) W temos que α( ) (α α α ) W pois a(α ) b(α ) c(α ) α(a b c ) α a b V M (R) e W abc R o conjunto das matries triangulares superiores de c ordem Este conjunto satisfa as três condições de subespaço vetorial De fato: a) W a b a b a a b b b) W c c c c a b αa αb c) α W c αc 4 Consideremos o conjunto-solução W de um sistema linear homogêneo de ordem e V M ( R) O sistema pode ser dado na forma matricial por A X sendo A uma matri quadrada de ordem Este conjunto satisfa as três condições de subespaço vetorial De fato: a a a a a a a a a 7

9 8 a) Obviamente a solução nula está no conjunto W b) Se X e X W então A X e A X Logo A(X X ) AX AX e portanto X X W c) Seja X W e α R Então A(αX ) αax α Logo αx W Interpretando geometricamente o conjunto-solução W podemos ter: i) Um plano que passa pela origem Eemplo: escalonado obtemos ii) Uma reta que passa pela origem Eemplo: escalonado obtemos 5 5 As duas equações representam planos que passam pela origem e o sistema resultante pode ser interpretado como a equação da reta que é interseção dos dois planos Um vetor genérico dessa reta é escrito como (5 ) R iii) A origem Eemplo: cujo conjunto-solução é o subespaço nulo iv) Todo o espaço Eemplo: cujo conjunto-solução é ( ) R M que é um subespaço trivial

10 Combinação Linear Dados dois ou mais vetores de um espaço vetorial esses vetores podem ser combinados usando-se as duas operações de um espaço vetorial: adição e multiplicação por um escalar O vetor resultante é chamado de uma combinação linear Eemplo: v c v c v c v o vetor v é uma combinação linear dos vetores v v e v Eemplo: Seja V R O vetor v ( 76 ) é uma combinação linear dos vetores v ( ) e v ( ) v 76 v v escrever ( ) ( ) ( ) De uma maneira geral temos a seguinte definição: uma ve que podemos Definição: Seja V um espaço vetorial real v v vn V e α α αn R O vetor n v αi v i é chamado de combinação linear dos vetores v v vn i Obs: n v α v αv α v α nvn i i v i Eemplos e contra eemplos ) O vetor v ( ) é uma combinação linear dos vetores ( ) e v ( 4 6) v v v ve que ( ) v uma ) A matri é uma combinação linear das matries De fato ) O vetor ( ) não é combinação linear dos vetores ( ) e ( ) Vamos verificar se eistem escalares a e b tais que ( ) a( ) b( ) ( ) a( ) b( ) ( ) (a a) (b b b) a b b a b Este sistema é impossível (Substituindo b na a equação obtemos a e estes valores não satisfaem a a equação!) 9

11 4) Todo vetor de R é uma combinação linear dos vetores e ( ) e e ( ) vetor ( ) qualquer do R temos que ( ) ( ) ( ) e e De fato dado um 5) Todo vetor ( ) do R é uma combinação linear dos vetores i ( ) j ( ) e ( ) De fato ( ) ( ) ( ) k( ) i j k k 6) Toda matri do espaço vetorial M ( R) é uma combinação linear das matries De fato: w w Eercícios: Verifique quais dos seguintes vetores abaio são combinação linear dos vetores u e v ( ) ( ) a) ( ) b) ( 5) c) ( ) Epresse se possível os vetores abaio como combinação linear de u ( 4) v ( ) e w ( 5) a) ( 9 7 5) b) ( ) c) ( 8 9) 7 Verifique se a matri é combinação linear das matries e

12 Subespaço gerado Como já vimos em Geometria Analítica os vetores v ( ) e v ( ) R são geradores do plano XOY Isto significa que todo vetor v ( ) desse plano é combinação linear de v e v Analogamente dados n vetores v v v n fios em um determinado espaço vetorial V alguns vetores de V podem ser combinação linear desses vetores v v v n e outros não O conjunto W consistindo de todos os vetores que podem ser obtidos como combinação linear de v v v n é um subespaço vetorial de V chamado subespaço gerado pelos vetores v v v n Teorema: Seja V espaço vetorial Considere v v v n V e α α α n R Então o conjunto W {v V / v α v α v α n v n } de todas as combinações lineares de v v v n é um subespaço vetorial de V W é chamado de subespaço gerado por v v v n e denotado por W [v v v n ] Os vetores v v v n são chamados de geradores de W Vejamos a demonstração do Teorema para o caso particular de vetores ou seja W [v v ] a) Observemos inicialmente que W pois v v Logo W b) Sejam w e w W Temos que w α v α v e w β v β v sendo α α β e β escalares reais Então w w (α β )v (α β )v é também uma combinação linear de v e v palavras w w W Em outras c) Seja w W e β R Então βw β(α v α v ) (βα )v (βα )v é também uma combinação linear de v e v ou seja βw W A demonstração para uma quantidade finita de vetores de W é feita de forma análoga

13 Eemplos: Consideremos o vetor v ( ) do plano e W [( )] O espaço gerado por v é o conjunto de todas as combinações lineares do vetor ( ) o que no plano cartesiano corresponde ao eio OX Resumindo [( )] {( ) ; R} W [( )] é o conjunto de todas as combinações lineares do vetor ( ) o que corresponde no plano à reta ( a bissetri) Se v ( o o ) R e v então [v] {k( o o ); k R} é uma reta no plano passando pela origem 4 W [v ( ) v ( )] Não é difícil mostrar que qualquer vetor v ( ) do R é combinação linear de v e v Logo [v v ] R De fato: ( ) c ( ) c ( ) c c e c c Encontrando c e c em função de e obtemos: c ( )/ e c ( )/ Assim qualquer vetor ( ) pode ser escrito como combinação linear dos vetores v ( ) e v ( ) Por eemplo: ( 4) ( ) ( ) e ( 5) ( ) ( ) 5 R [( ) ( )] É fácil verificar que qualquer vetor do plano é combinação de ( ) e ( ) De fato: ( ) ( ) ( ) 6 W [( )] é o conjunto de todas as combinações lineares do vetor ( ) (neste caso particular todos os múltiplos do vetor ()) Isto corresponde à reta r do espaço que passa pela origem e que tem a direção do vetor ( ) Veja a reta na figura abaio 7 W [( ) ( )] é o subespaço do R que corresponde ao plano XOY De fato qualquer que seja v W temos que v ( ) ( ) ( )

14 8 W [( ) ( )] corresponde ao plano determinado pelos vetores u ( ) e v ( ) 9 R [( ) ( ) ( )] Qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores De fato temos v ( ) ( ) ( ) ( ) O resultado a seguir nos di que se retirarmos ou acrescentarmos a um conjunto de geradores um vetor que pertence ao espaço gerado o espaço gerado permanece o mesmo Teorema: Seja V espaço vetorial sobre R e v v vn V [ v v v v] [ v v ] n vn Se v [ v v vn ] então n vn Para mostrar a igualdade entre os subespaços W [ v v v v] e W [ v v ] vamos mostrar que W W e que W W u então u av av anvn an v ai R para todo i n Como v [ v v vn ] então v bv bv bnvn bi R para todo i n Desta forma podemos escrever a seguinte combinação linear para u W W De fato seja W u Isto mostra que u W ( a a n b ) v ( a a n b ) v ( a n a n b n ) v n u então u av av anvn Desta forma podemos v Logo u W W W Isto é óbvio pois se W escrever u a v av anvn Eemplos: [( ) ( )] [( )] Ou [( ) ( )] [( )] [( ) ( ) ( )] [( ) ( )] Ou [( ) ( ) ( )] [( ) ( )] ou [( ) ( ) ( )] [( ) ( )]

15 De uma forma geral [ v v v ] [ v v ] [ v v ] [ v v ] se a v av av ai i Pois v v v ( a a ) v ( a a ) ( a a ) v ( a a ) ( a a ) v ( a a ) v v v Este resultado pode ser estendido para uma quantidade maior de vetores Eercícios resolvidos ) Determine geradores para os seguintes subespaços: a) W {( ) R ; } b) W {( ) R ; } c) W {( ) R ; e } Soluções: a) Vamos determinar a solução geral do sistema homogêneo { Assim ( ) ( ) ( ) R Logo W [( )] Você pode verificar que o vetor ( ) satisfa a equação b) Vamos determinar a solução geral do sistema homogêneo { Assim ( ) ( ) ( ) ( ) e R Logo W [( ) ( )] Você pode verificar que os vetores ( ) e ( ) satisfaem a equação c) Vamos determinar a solução geral do sistema homogêneo e Assim ( ) ( ) ( ) R Logo W [( )] Você pode verificar que o vetor ( ) satisfa as equações do sistema 4

16 ) Encontre as equações lineares homogêneas que caracteriam os seguintes subespaços: a) W [( ) ( )] Solução: Um elemento genérico v ( ) de W é combinação linear dos vetores ( ) ( ) isto é eistem constantes reais a e b tais que v ( ) a( ) b( ) nos leva ao sistema e o que a b b a b Devemos verificar as condições para que este sistema tenha solução / Vemos que o sistema terá solução (isto é eistirão as constantes a e b) se { } Logo W ( ) R Você pode verificar que os vetores ( ) e ( ) satisfaem a equação b) W [( ) ( 4 )] Solução: Um elemento genérico v ( w) de W é combinação linear dos vetores ( ) e ( 4 ) isto é eistem constantes reais a e b tais que v ( w) a( ) b( 4 ) o que nos leva ao sistema a b b a 4b a b w Devemos verificar as condições para que este sistema tenha solução 4 w w / w / / w Vemos que o sistema terá solução (isto é eistirão as constantes a e b) se w e ( ) { w e 6 } 4 Logo W ( w) R os vetores ( ) e ( 4 ) Você pode verificar que satisfaem as equações w e 6 5

17 Operações com subespaços vetoriais ) Interseção de subespaços vetoriais Definição: Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V Indicamos por U { e } U W v V / v U v W W o conjunto Proposição: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V então U W é um subespaço vetorial de V De fato U W satisfa as condições para um subespaço de V: a) Como U e W são subespaços de V então U e W b) Sejam v e v dois vetores de U W ( ) ( ) v U W então v U e v W v U W então v U e v W Assim ( U W) Como Como v v pertencem a U então v v pertencem a U v v pertencem a W então v v pertencem a W e e Assim v v pertencem simultaneamente a U e a W logo pertencem a U W c) Fica como um eercício! Eemplo: Sejam U ( ) e W ( ) subespaçou W ambos subespaços de V Determine o A melhor forma de trabalharmos com interseção de subespaços é trabalharmos com as equações dos subespaços envolvidos Desta forma { } ( ) ( ) e ( ) ( ) U / { } W / Para obtermos U W juntamos todas as equações de U e de W num único conjunto e resolvemos o sistema encontrando por fim o(s) gerador(es) da U W 6

18 Assim ( ) { e } U W / Resolvemos então o sistema cuja solução é ( ) ( ) Logo U W ( ) A interseção entre U e W é o espaço nulo de Graficamente U W é a interseção das retas e eios O e O do plano respectivamente Observação: A união entre dois subespaços vetoriais U e W simbolicamente U W subespaço vetorial necessariamente { ou } U W v V / v U v W não é um Podemos perceber no eemplo anterior que ( ) ( ) ( ) ( ) { } { } v U / v W / logo v ( U W) logo v ( U W) e Mas v v ( ) ( U W) pois ( ) e ( ) U W De uma forma geral Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V Obviamente se U W então U W é um subespaço vetorial de V situação da figura Se W U então U W é um subespaço vetorial de V situação da figura Figura Figura 7

19 ) Soma de subespaços vetoriais Definição: Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V Indicamos por U { e } U W u w / u U w W W o conjunto Proposição: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V então U W é um subespaço vetorial de V De fato U W satisfa as condições para um subespaço de V: a) Como U e W são subespaços de V então U e W b) Sejam v e v dois vetores de U W ( ) ( ) v U W então v u w onde u U e w W v U W então v u w onde u U e w W Assim ( U W) Como Como u u pertencem a U então u u pertencem a U w w pertencem a W então w w pertencem a W e e Desta forma v v ( u w ) ( u w ) ( u u ) ( w w ) Assim v v ( U W) c) Fica como um eercício! Definição: Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V tais que U W { } Nesta situação diemos que o subespaço U Notação para soma direta U W W é soma direta dos subespaços U e W Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V e V U W diemos que U e W são subespaços suplementares ou que U é suplemento de W (ou W é suplemento de U) Eemplo: Sejam U ( ) e W ( ) subespaço U W ambos subespaços de V Determine o { e } U W u w/u U w W { } ( ) ( ) e ( ) ( ) U / Desta forma ( ) ( ) Portanto U W { } W / { e } {( ) } U W / / Do ponto de vista geométrico a soma dos eios O e O é o plano 8

20 De uma forma mais simples e direta podemos obter o espaço soma reunindo todos os geradores de U e W formando o subespaço U W : ( ) e W ( ) Obtemos então U W ( ) ( ) U Pergunta: É verdade neste eemplo que U W? Sim pois verificamos que U { } W além de termos visto que U W ( ) A partir deste eemplo podemos generaliar um resultado prático: Para determinarmos os geradores de U W basta unirmos os geradores de U e W Em outras palavras se U [ u u ] e W [ w w ] u n então w m [ uu u ww w ] U W n m Eercício: Mostre que {( ) } W / { } U / e é soma direta dos subespaços ( ) Proposição: Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V Então V U W se e somente se cada vetor v V admite uma única decomposição v u w com u U e w W 9

21 Dependência e independência linear Já sabemos que se v [ v v ] então [ v v v v] [ v v ] vn n vn Isto significa dier que os vetores v são suficientes para gerar o subespaço [ v v v v] v vn n Eemplo: W [( )] [( ) ( )] Todo vetor de W pode ser escrito como combinação linear de ( ) e também de ( ) e ( ) Por eemplo: ( ) W e ( ) ( ) Podemos também escrever ( ) ( ) ( ) ou ( ) ( ) /( ) Observemos que o vetor ( ) é escrito de maneira única como combinação de ( ) mas tem infinitas maneiras de se escrever ( ) como combinação linear de ( ) e ( ) Um problema fundamental em Álgebra Linear é saber o número mínimo de vetores necessários para gerar um espaço Este problema está relacionado com as condições para que um vetor seja escrito de maneira única como combinação linear de um conjunto de vetores Vamos apresentar um conceito que terá grande importância na análise desta questão Definição: Seja V espaço vetorial sobre R e v v vn V Diemos que o conjunto { v v vn} é linearmente independente (LI) ou que os vetores única solução da equação v v vn são linearmente independentes se a α v α v αnvn é a trivial isto é α α α n Se a equação acima admite uma solução não trivial isto é se eiste algum α j tal que α v αv α nvn { v } então diemos que o conjunto v vn é linearmente dependente (LD) ou que os vetores são linearmente dependentes Eemplos: Os vetores e ( ) e e ( ) são LI De fato: Tomando a combinação linear a( ) b( ) ( ) obtemos a e b

22 É fácil verificar que os vetores i ( ) j ( ) e k ( ) são LI O conjunto é LI De fato: d c b a d c b a 4 { } é LD De fato: Eistem infinitas soluções para a equação α 5 {} v com v é LI De fato: v α α 6 O conjunto {( ) ( )} é LI Pois a( ) b( ) ( ) ( ) ( ) ab b a b a 7 O conjunto {( ) ( 4 6)} é LD De fato considerando a combinação linear nula a( ) b( 4 6) ( ) obtemos infinitas soluções para a e b (resolva!) por eemplo a e b é uma solução não trivial desta equação 8 é LD De fato a equação c b a tem solução não trivial pois

23 Consideremos os seguintes eemplos: {( ) ( 4 6)} é LD e ( 4 6) ( ) é LD e Percebemos nestes eemplos que num conjunto LD um dos vetores é combinação linear dos outros Isto vale de uma forma geral Teorema: Seja V espaço vetorial sobre R e v v v n V Então: i) {v v v n } é LD um dos vetores é combinação linear dos demais ii) {v v v n } é L I nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos demais Como conseqüências deste teorema temos os seguintes resultados: Qualquer conjunto de vetores que contenha um subconjunto LD é LD Qualquer conjunto de vetores contendo o vetor nulo é LD Todo subconjunto de um conjunto LI é LI 4 Um conjunto de dois vetores é LD se e somente se um deles é um múltiplo escalar do outro Eemplos: a) {( ) ( ) ( )} é LI Também são LI os conjuntos {( ) ( )} {( ) ( )} e {( ) ( )} b) {( ) ( 4) ( ) ( ) ( )} é LD pois eiste vetor neste conjunto que é combinação linear dos outros c) Em R (ou em R ) se dois vetores são LD então estes vetores estão sobre uma reta passando pela origem d) Em R se três vetores são LD então estes vetores estão sobre um mesmo plano passando pela origem

24 Eercícios: Sejam R w v u e Determine sob que condições o conjunto { } vw u é LI Solução: Sejam ( ) u u u u ( ) v v v v e ( ) w w w w Vamos tomar uma combinação linear nula destes vetores isto é ( ) w v u Isto nos leva ao seguinte sistema: w v u w v u w v u Assim o conjunto { } vw u é LI se e somente se w v u w v u w v u det Neste caso o sistema tem a solução única trivial ( ) ( ) (lembre-se da Regra de Cramer!) ) Use o eercício anterior para verificar se os vetores ( ) ( ) e ( ) são LI Solução: det então os vetores são LI ) Mostre que os vetores ( ) ( ) e ( ) geram o R Solução: ( ) a( ) b( ) c( ) nos leva ao sistema b a c a c b a Escalonando este sistema obtemos: Verificamos que o sistema tem solução única qualquer que seja ( ) Desta forma v R v pode ser escrito como combinação linear dos vetores ( ) ( ) e ( ) ou seja R [( ) ( ) ( )] Os dois eercícios anteriores nos mostram que o conjunto {( ) ( ) ( )} é LI e estes vetores geram o R isto é R [( ) ( ) ( )] Isto significa dier que o conjunto {( ) ( ) ( )} é uma base para o R como veremos a definição a seguir

25 Base e dimensão Definição: Um conjunto {v v v n } de vetores de um espaço V é dito uma base de V se e somente se: ) {v v v n } é linearmente independente; ) V [v v v n ] isto é o espaço V é gerado pelos vetores v v v n Obs: Se {v v v n } é uma base para V então qualquer vetor de V é escrito de maneira única como uma combinação linear dos vetores v v v n Eemplos: {( ) ( )} é uma base do R {( ) ( ) ( )} é uma base do R é uma base do M (R) Obs: As bases dos três eemplos anteriores são chamadas de bases canônicas 4 O conjunto {( ) ( ) ( )} é uma base do R (vimos nos dois eercícios anteriores que este conjunto é LI e gera o R ) 5 não é uma base do M (R) Os vetores são LI mas não geram o M (R) 6 {( ) ( ) ( )} não é uma base do R Os vetores geram o R mas não são LI Voltemos a este eemplo 6: Os vetores () () e () geram o R combinação dos outros dois: e são LD Podemos escrever qualquer um deles como ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Logo qualquer um dos vetores pode ser despreado e os dois restantes continuam gerando o R ou seja R [( ) ( )] [( ) ( )] [( ) ( )] Além disso o conjunto que resta é LI isto é {( ) ( )} {( ) ( )} e {( ) ( )} são conjuntos LI e portanto qualquer um destes conjuntos formam uma base para o R 4

26 Este fato está epresso no seguinte teorema: Teorema: Sejam v v vn vetores não nulos que geram um espaço vetorial V Então entre estes vetores podemos etrair uma base para V De fato se { v } v vn é um conjunto LI então este já forma uma base de V Caso contrário eiste um vetor que pode ser escrito como combinação linear dos demais Logo este vetor pode ser ecluído do conjunto Se os vetores restantes são LI então formam base de V Caso contrário eiste um outro vetor que é combinação linear dos demais e pode ser ecluído Continuamos com o processo despreando os vetores supérfluos até obtermos um conjunto LI e portanto uma base para o espaço com um número mínimo de geradores Teorema: Seja V espaço vetorial sobre R e { v } espaço V com mais de n vetores é necessariamente LD v vn uma base para V Então qualquer conjunto no Eemplos: Três ou mais vetores no plano (R ) são sempre LD Quatro ou mais vetores no espaço (R ) são sempre LD Cinco ou mais matries de ordem ( em M (R) ) são sempre LD Observação: O teorema anterior é equivalente a Um espaço vetorial gerado por n vetores tem no máimo n vetores LI e tem como conseqüência que Qualquer base de um espaço vetorial V tem sempre o mesmo número de vetores Este fato nos permite dar a seguinte definição: Definição: Seja V espaço vetorial sobre R O número de vetores de uma base qualquer de V é chamado de dimensão de V e indicado por dim(v) Eemplos: dim(r ) dim(r ) Generaliando: dim(r n ) n dim( M (R) ) 4 Generaliando: dim( M mn (R) ) mn dim( P (R) ) dim( P (R) ) 4 Generaliando: dim( P n (R) ) n 5

27 Observações: ) Eistem espaços vetoriais em que o número de elementos da base é infinito (por eemplo o espaço das funções contínuas reais de variável real) Só trabalharemos neste curso com espaços de dimensão finita ) Se W é subespaço vetorial de V e dim(v) n então dim(w) n ) Se V é o espaço nulo isto é V [ ] então dim(v) Teorema: Seja V espaço vetorial sobre R tal que dim(v) n Então qualquer conjunto LI de V pode ser completado até formar uma base para V De fato seja {v v v r } LI (r n pois dim(v) n) Se V [v v v r ] então {v v v r } já é base de V Caso contrário eiste um vetor em V que não pertence ao subespaço [v v v r ] Acrescentamos então este vetor ao conjunto {v v v r } obtendo ainda um (novo) conjunto LI Se este novo conjunto gerar o espaço V temos a base procurada Caso contrário continuamos com o processo até obtermos a base procurada O fato da dimensão do espaço ser finita nos garante que o processo tem fim Conseqüência: Se dim(v) n então qualquer conjunto com n vetores LI formará uma base para V De fato caso não formasse poderíamos pelo teorema completar até formar uma base e obteríamos assim um conjunto LI com mais de n vetores o que é uma contradição Eemplo: O conjunto {() () ()} é LI Como dim(r ) este conjunto forma uma base para o R Observação: ) Se temos um conjunto de n vetores que geram um espaço de dimensão n podemos garantir que este conjunto é LI e portanto forma uma base para o espaço ) Se temos um conjunto de n vetores LI de um espaço de dimensão n podemos garantir que o conjunto gera o espaço e portanto forma uma base para o mesmo 6

28 Processo prático para a determinação de uma base de subespaços de R n I Conhecendo-se os seus geradores Seja V um subespaço de n R e V [ v v vr ] Observemos que: ) Mudando a ordem dos vetores geradores não alteramos o subespaço gerado ( vi v j ); ) Multiplicando qualquer vetor gerador por um escalar não nulo não alteramos o subespaço gerado ( vi kv i ) ) Substituindo qualquer vetor gerador por ele somado a um outro vetor multiplicado por uma constante não alteramos o subespaço gerado ( v i vi kv j ) As operações citadas acima correspondem às operações elementares sobre as linhas de uma matri Desta forma dado um conjunto de geradores escrevemos os vetores como linhas de uma matri de ordem rn e escalonamos a matri A matri escalonada resultante tem por linhas vetores que geram o mesmo espaço Despreando-se as eventuais linhas nulas as restantes correspondem a vetores LI que geram o subespaço e portanto formam uma base para o mesmo Eemplo : Encontre uma base para o seguinte subespaço: U [( ) ( ) ( 4 )] R 4 Solução: Vamos escalonar a matri cujas linhas são os vetores geradores: Assim U [( ) ( ) ( 4 )] [( ) ( 4)] e {( ) ( 4)} é uma base para U que possui dimensão Observação: A quantidade de vetores não nulos na matri escalonada nos dá a dimensão do espaço 7

29 8 Eemplo : Encontre uma base e a dimensão para o seguinte subespaço: ( ) R M U Solução: Neste caso podemos associar uma matri w do ( ) R M a um vetor ( ) w do 4 R e resolvemos o problema de forma análoga ao eemplo anterior Ao final retornamos ao espaço original de matries Associando às matries aos vetores: ( ) ( ) e ( ) Vamos escalonar a matri cujas linhas são os vetores geradores ( ) ( ) e ( ) : Associando os vetores não nulos às matries: ( ) e ( ) Assim U e é uma base para U que possui dimensão

30 9 II A partir de um conjunto LI O método descrito anteriormente também serve para se estender um conjunto de vetores LI até obter uma base para um espaço vetorial V Eemplo : Encontrar se possível uma base para o 4 R que contenha o conjunto ( ) ( ) { } Colocamos os vetores como linhas de uma matri e buscamos mais duas linhas de forma que a matri resultante esteja na forma escalonada???????? Quaisquer dois vetores que tomemos ( ) ( ) e de maneira que a matri acima fique escalonada sem linhas nulas servem como eemplo Neste caso a base procurada poderia ser ( ) ( ) ( ) ( ) { } Eemplo 4: Encontrar se possível uma base para o ( ) R M que contenha o conjunto Dispomos as matries (já associadas aos respectivos vetores do 4 R ) como linhas de uma matri e buscamos mais uma linha de forma que a matri resultante esteja na forma escalonada???? Qualquer vetor que tomemos ( ) com Isto garante que a matri acima fique escalonada sem linhas nulas Neste caso a base procurada poderia ser

31 Base ordenada e coordenadas de um vetor Vamos trabalhar agora com bases ordenadas de um espaço vetorial V Sabemos que B {() ()} e B {() ()} são bases de R O que diferencia a base B de B é a ordem dos vetores Esta ordem é de fundamental importância quando desejamos identificar a combinação linear de um vetor no R Por eemplo chamando v o primeiro vetor e v o segundo vetor das bases temos que 5 v v (5) usando a base B e 5 v v (5) usando a base B Podemos perceber que uma mesma combinação linear gera vetores distintos a depender da ordem dos vetores da base Base ordenada Uma base ordenada é uma base na qual fiamos a ordem dos seus vetores isto é quem é o primeiro vetor quem é o segundo vetor etc Seja V um espaço vetorial de dimensão finita Dada uma base ordenada B { v v } vn de V então todo vetor v desse espaço pode ser escrito de forma única como uma combinação linear dos vetores de B v a v av anvn Eemplo: Seja {( ) ( 46) } escrever de forma única o vetor v ( ) como v v ( ) v ( ) e v ( 46 ) v B a base ordenada de um espaço vetorial contido em R Podemos onde A partir de agora todas as bases que iremos trabalhar serão ordenadas de tal forma que chamaremos simplesmente de base ao invés de base ordenada Coordenadas de um vetor Os escalares a a an que aparecem na igualdade v av av anvn são chamados coordenadas do vetor v em relação á base B cuja notação é dada em forma de matri coluna [] v B a a a n No eemplo acima temos então que [( )] B onde {( ) ( 46) } B

32 Eercício: Determine as coordenadas do vetor v em relação à base B nos casos a seguir a) ( ) 4 v e ( ) ( ) ( ) { } B b) v e 7 4 B

33 EXERCÍCIOS GERAIS Considere os subespaços do : {( ) e } W 5 V ( ) ( 7) ( 4 7) a) As equações lineares homogêneas que caracteriam o subespaço V e dim ( V ) b) Geradores para o subespaço W e dim ( W ) c) Geradores para o subespaço W d) O vetor v ( ) V e dim( V W) pertence ao subespaço V? Por quê? e) Geradores para V W Podemos dier que V W? Justifique Determine justificando: Com relação ao conjunto 4 {( ) ( ) ( ) ( )} A responda: a) Este conjunto é LI ou LD Justifique b) Qual a dimensão do subespaço gerado pelos vetores do conjunto A? Justifique Determine se possível o valor de k de modo que o conjunto k seja LI {( ) ( ) ( )} W M w w w 4 Considere o subespaço ( ) e Determine justificando: a) Uma base para W b) dim ( W ) 5 Diga justificando se o conjunto {( ) } W ( ) / Qual dimensão de W? { } β é uma base do subespaço 6 Dê se possível eemplo: a) De um conjunto LI com vetores do b) De um conjunto LI com 4 matries do M ( ) { } que contenha o conjunto A ( ) ( ) que contenha o conjunto C

34 Respostas: ) a) ( ) { } R e ( V ) V b) W ( ) { } c) V W ( ) e dim ( W ) e ( ) dim V W dim d) Sim pois este vetor satisfa a equação que caracteria o subespaço V V W i j k e) ( ) ( ) ( ) ( ) V W pois V W e V W ( ) { } ) a) LD b) Dimensão ) k 4) a) β Esta resposta não é única! b) dim ( W ) 5) Não pois dim ( W ) e β possui apenas um vetor LI do espaço W 6) a) Não é possível pois qualquer conjunto que contenha A é LD pois A é LD b) Esta resposta não é única! Referências Bibliográficas - Álgebra Linear Alfredo Steinbruch / Paulo Winterle - Álgebra Linear Boldrini / Costa / Figueiredo / Wetler - Álgebra Linear Caliolli - Álgebra Linear com Aplicações Anton / Rorres