Multiplicação por Escalar em R n. Definição (multiplicação por escalar) (αβ)u = α(βu), α, β, u. Álgebra Linear. Introdução à. Gerados.

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1 (R n ) R n é o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais (1, 2) R 2 Paulo Goldfeld Marco Cabral ( 1, 2, 3) R 3 Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal do Rio de Janeiro (1, 2, 3, 4) (2, 1, 3, 4) R 4 Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 30 Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 30 Soma em R n Multiplicação por Escalar em R n (Soma em R n ) (multiplicação por escalar) u + v = (u1, u2,,un) + (, v2,,vn) = (u1 +, u2 + v2,, un + vn) αu = α(u1, u2,,un) = (αu1,αu2,,αun) Propriedades da Multiplicação por Escalar em R n Propriedades da Soma em R n (αβ)u = α(βu), α, β, u comutativ: u + v = v + u, elemento neutro: 1u = u, u associativ: (u + v) + w = u + (v + w) u, v, w elemento neutro: 0 tq u + 0 = u u Propriedades Distributivas de R n inverso aditivo: dado u, ( u) tq u + ( u) = 0 α(u + v) = αu + αv, α, u, v (α + β)u = αu + βu, α, β, u Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 30 Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 30 Representações Gráficas (2, 1, 0, 3) 3(0, 2, 2, 1) = (2, 1, 0, 3) + (( 3)(0, 2, 2, 1)) = (2, 1, 0, 3) + (( 3)0, ( 3)( 2),( 3)2,( 3)1) = (2, 1, 0, 3) + (0, 6, 6, 3) = (2 + 0, 1 + 6, 0 6, 3 3) = (2, 5, 6, 0) Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / (1, 3, 2) 3 Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 30

2 Soma de Vetores Somando Vários Vetores u + v + w w u = (u1, u2) v v = (, v2) w = u + v = (u1 +, u2 + v2) u Regra do Paralelogramo Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30 Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30 Multiplicação por Escalar Combinações Lineares (combinação linear) v é combinação linear de, v2,,vp se pode ser expresso como p v = + α2v2 + + αpvp = αivi, v = (, v2) w = αv = (α,αv2) α < 0 onde αi s são escalares (3, 3) = 3(1, 1) + 0( 1, 1) = 1(1, 1) 2( 1, 1) (3, 4) α(1, 1) + β( 1, 1) = (α β, α β) α, β Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30 Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30 Conjunto Gerado Conjunto Gerado por 1 Vetor (conjunto gerado) O conjunto gerado por, v2,,vp é o conjunto de todas as combinações lineares de, v2,, vp, v2,,vp = { p (conjunto gerador) αivi αi R, i = 1, 2,,p {,,vp} gera o conjunto S se,,vp = S Diz-se também que {,,vp} é gerador de S Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30 } {αu, α R} = u u 0 u 2u Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30

3 Conjunto Gerado por 2 Vetores Espaço Vetorial (espaço vetorial) O espaço gerado por um conjunto de vetores é um espaço vetorial sinônimos: espaço linear, subespaço (vetorial/linear) 0 V pode ser um ponto, uma reta, um plano, sempre reto, nunca curvo Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30 Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 30 Conjunto Gerado Dependência Linear 1 vetor 2 vetores 3 vetores {, v2,,vp} p redundância : um vetor é cl dos demais, vk = αivi caso típico caso típico caso típico i k Neste caso, diz-se que vk depende linearmente dos demais (dependência linear) Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) se existe um vetor que é cl dos demais redundância redundância Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30 Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 30 s Equação Paramétrica da Reta em R 2 ou R 3 {(1, 0, 0, 0),(0, 0, 3, 0),(0, 0, 0, 2)} é LI Em geral, w + v = {u = w + tv, t R} representa uma reta que não passa pela origem Em geral, v = {u = tv, t R} representa uma reta passando pela origem {(1, 0, 0, 0),(2, 1, 3, 0),(5, 2, 6, 0)} é LD De fato, (5, 2, 6, 0) = (1, 0, 0, 0) + 2(2, 1, 3, 0) Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 30 Equação Paramétrica da Reta Toda reta pode ser expressa na forma w + tv (Esta representação não é única) Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 30

4 Equação Paramétrica do Plano em R 3 Equação Paramétrica da Reta em R n Em geral,, v2 = {u = t + sv2, s, t R} representa um plano passando pela origem (reta) Em R n, define-se uma reta como um conjunto da forma Em geral, w +, v2 = {u = w + t + sv2, s, t R} representa um plano que não passa pela origem w + v, com v 0 Equação Paramétrica do Plano Todo plano pode ser expresso na forma Uma reta passando pela origem é um subespaço vetorial de dimensão 1 w + t + sv2 Uma reta qualquer é um subespaço afim de dimensão 1 (Esta representação não é única) Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 30 Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 30 Espaço Vetorial Espaço Afim Se {,,vp} é LI, então,,vp é um espaço vetorial de dimensão p e1 = (1, 0, 0,,0, 0) R n e2 = (0, 1, 0,,0, 0) R n Se {,,vp} é LI, então w +,,vp é um espaço afim de dimensão p = en = (0, 0, 0,,0, 1) R n αi ei = (,α2,,) = (, v2,,vn) = v αi = vi i (base) Um conjunto ordenado S é base de V se todo vetor de V é expressível de forma única como combinação linear dos vetores deste conjunto Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 30 Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / {e1, e2} é base de R 2 Dado (a, b) R 2, (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = ae1 + be2 2 S = {(1, 0),(2, 2), (0, 1)} não é base de R 2 (4, 4) = 2(2, 2) = 4(1, 0) + 4(0, 1) Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 30 β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} = {b1, b2, b3} R 3 é base = 3 + α2 = v2 + α2 + α3 = v3 αibi = b1 + α2b2 + α3b3 = (, + α2, + α2 + α3) = (, v2, v3) = v = α2 = v2 = v2 α3 = v3 ( + α2) = v3 v2 Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30

5 (coordenadas) 1 As coordenadas do vetor v na base β = {b1, b2,,bn}, são os coeficientes αi s usados para combinar linearmente os vetores bi s de forma a gerar v [vβ = α2 n v = αibi ε = {e1, e2,,en} v = (, v2,,vn) = e1 + v2e2 + + vnen [vε = [ (, v2,,vn) ε = v2 vn coordenadas de v com relação à base ε Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 30 Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 30 2 β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} = {b1, b2, b3} R 3 v = (, v2, v3) v = (, v2, v3) = b1 + (v2 )b2 + (v3 v2)b3 coordenadas de v [vβ com relação à base β [ = (, v2, v3) v2 β v3 v2 [vε = v2 v3 [vβ = v2 v3 v2 Não confundir coordenadas e entradas Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 30 Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 30 v = (2, 4) β = { (1, 1), (0, 1) } [vβ = [ 2 2 Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 30 Determinam mesmo vetor v R n : v = (,,) (uso correto); [vε = v = v t = [ (uso correto); (abuso de notação); (abuso de notação) Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 30