ESPAÇOS VETORIAIS. Álgebra Linear

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1 Álgebra Linear ESPAÇOS VETORIAIS Com doze andares de altura e pesando 75 toneladas, o US Columbia partiu majestosamente de sua plataforma de lançamento numa manhã fresca num domingo de abril de 1981, em Palm. Produto de dez anos de intensa pesquisa e desenvolvimento, o primeiro ônibus espacial dos EUA foi uma vitória da engenharia de controle de sistemas, envolvendo muitas áreas da engenharia - aeronáutica, química, elétrica, hidráulica e mecânica. Os sistemas de controle do ônibus espacial são absolutamente críticos para o vôo. Como o ônibus espacial é uma aeronave instável, ele requer um constante monitoramento por computador durante o vôo atmosférico. O sistema de controle de vôo envia uma seqüência de comandos para as superfícies de controle aerodinâmico e 44 jatos de propulsão. Matematicamente, os sinais de entrada e saída de um sistema de engenharia são funções. É importante para as aplicações que essas funções possam ser somadas e multiplicadas por escalares. Essas operações em funções têm propriedades algébricas que são completamente análogas às operações de soma de vetor e multiplicação de vetor por escalar no n. Por este motivo, o conjunto de todas as entradas possíveis (funções) é chamado de um espaço vetorial.(teto etraído e adaptado de Livro Álgebra Linear e suas aplicações, David C. La, 2ª edição. LTC.). Definição: Um espaço vetorial real (abreviado por e.v.) é um conjunto V, não vazio, com duas operações definidas: soma V V V v, v v v e multiplicação por escalar K V V a, v a v satisfazendo a propriedades operatórias análogas às listadas para matrizes e vetores, sendo: da soma: A1) u v v u, com u,v V. A2) u v w u v w,com u,v V A3) Eiste um elemento nulo em V tal que u u u. A4) Para cada u em V, eiste um elemento oposto u em V tal que u u. da multiplicação por escalar: M1) u v u v,com u,v V e. M2) u uu,com u V e,. M3) u u,com u V e,. M4)1 u u, para todo elemento u de V. 1

2 Portanto, dizer que V é um espaço vetorial real significa que V é fechado para soma e para a multiplicação por escalar. Isto é, se u e v são elementos quaisquer de V, então u v está em V. E se u é um elemento qualquer de V e qualquer número real, então u está em V. Obs: 1. Os elementos de V são chamados de vetores. 2. O vetor nulo () de V é único. 3. O vetor oposto de v em V, isto é, v 1v, é único. Eemplo: Se V é o conjunto das matrizes de ordem 2, chamaremos mesmo assim as matrizes de vetores. Eemplos: São espaços vetoriais com as operações usuais (a soma e multiplicação por escalar conhecidas): conjunto dos números reais. 2, /, conjunto dos vetores no plano bi-dimensional. 3,, z/,, z conjunto dos vetores no plano tri-dimensional. n 1, 2,, n / i conjunto dos vetores n-uplas de números reais. M mn conjunto das matrizes mn cujos elementos são reais. M n conjunto das matrizes de ordem n cujos elementos são reais. f conjunto das funções reais de variável real. P n a a 1 a 2 ² a n n conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n de coeficientes reais. Eercício 1: Descreva o vetor nulo e vetor oposto de cada espaço vetorial citado acima. SUBESPAÇOS VETORIAIS Ás vezes, é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V, subconjuntos S que sejam eles próprios espaços vetoriais "menores". Tais conjuntos serão chamandos subespaços vetoriais de V. Eemplo: O conjunto nulo S e o próprio espaço vetorial V são subespaços (triviais) de V. Definição: Seja V um espaço vetorial real. Um subconjunto S V (um conjunto não vazio) é um subespaço vetorial de V se: a) S. b) Se v, w S, então v w S. c) Se k e v S, então k v S. 2

3 Seja V um espaço vetorial real e S um subconjunto não vazio de V. S é um subespaço vetorial de V se S for um espaço vetorial, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para V. Observação: Muitas vezes usamos a palavra subespaço no lugar de subespaço vetorial e espaço ao invés de espaço vetorial quando não eiste possibilidade de dúvida. Eemplo: São subespaços de 2 com as operações usuais:,a origem uma reta que passa pela origem Eemplo: São subespaços de 3 com as operações usuais: -,, a origem - uma reta que passa pela origem - um plano que passa pela origem. - e o próprio 3 próprio 2 Eemplo: Não é subespaço vetorial de 2 com as operações usuais: S, 2 / e OBS: 1) 2 3, isto é, 1, 3 1, 3,!!!!!!!!!! 2) Todo subespaço vetorial é um espaço vetorial. Eemplo: São subespaços vetoriais de V dado: a) S nn S n M n /S S T conjunto das matrizes simétricas de V M n (conjunto das matrizes quadradas de ordem n). 3

4 b) Se AX é um sistema linear homogêneo de m equações em n incógnitas, então o conjunto dos vetores-soluções é um subespaço do V n. Eemplo: z. Encontre a solução deste sistema homogêneo. Verifique que o vetor-solução pode ser escrito como 2 3z que é a equação de um plano que passa pela origem, isto é, S,, z 3 / 2 3z é subespaço vetorial de 3 com as operações usuais. Isto significa que se somarmos duas soluções, a soma de soluções também será uma solução do sistema. Faça o teste: encontre duas soluções e some-as! O produto de uma constante real por uma solução também será solução do sistema. Faça o teste: multiplique uma solução por uma constante real qualquer! E a solução trivial é solução do SEL, o que prova que o vetor-solução é um subespaço vetorial do 3 com as operações usuais. E o SEL for não-homogêneo, o conjunto dos vetores-soluções será um subespaço do V n? Por quê? Eemplo: O conjunto S,, z 3 /2 3 6z (plano contendo a origem) é um subespaço de 3. Eemplo: O conjunto S,, z 3 /2 3 6z 12 (plano não contendo a origem) não é um subespaço de 3. Eemplo: Sejam S 1 e S 2 subespaços do espaço V. A interseção de subespaços S 1 S 2 é um subespaço de V, mas a união S 1 S 2 não é um subespaço de V. Eemplo: V 3 e S 1 a, b, 3 /a, b e S 2,, c 3 /c Eercício 2: Quais dos seguintes conjuntos S são subespaços vetoriais de V? Justifique 1) V 3 e S a,, 3 /a Resp: sim 2) V 3 e S a, 1, 1 3 /a Resp: não 3) V 3 e S a, b, c 3 /b a c 1,onde a, b, c Resp: não 4) V M 2 e S A a c b d M 2 /a b c d,onde a, b, c, d Resp: sim a b 5) V M 2 e S A M 2 / det A c d 6) V M n e S A M n /A T A Resp: sim Resp: não 4

5 Eercícios de Revisão 1) Considere o conjunto cujo único elemento é a Lua. Será este conjunto um espaço vetorial com as operações LuaLua Lua e k Lua Lua para cada número real k? Eplique o seu raciocínio. Resp: sim. 2) Você considera possível eistir um espaço vetorial formado por eatamente dois vetores distintos? Eplique o seu raciocínio. Resp: sim 3) Determine se o conjunto-solução do sistema AX é uma reta pela origem, um plano pela origem ou somente a origem. Se for um plano, obtenha uma equação para este plano; se for uma reta, obtenha as equações paramétricas desta reta. a) A b) A c) A d) A e) A f) A Resp: a) reta; 1/2t, 3/2t, z t b) reta; 2t, t, z c) origem d) origem e) reta; 3t, 2t, z t f) plano; 3 z 4) Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-eemplo. a) Se AX B é qualquer sistema linear possível de m equações em n incógnitas, então o conjunto-solução é um subespaço de n. Resp:falsa b) Se W é um conjunto de um ou mais vetores de um espaço vetorial V tal que ku v sempre é um vetor em W para quaisquer vetores u e v em W e qualquer escalar k, então W é um subespaço de V. Resp: verdadeira 5) Considere o sistema linear 2 4 6z a 4z b 6 14z c Seja W,, z 3 /,, z é solução do sistema. Isto é, W é o conjunto-solução do sistema; Que condições devemos impor a a, b,e c para que W seja subespaço vetorial de 3? Resp:a b c Consultar o livro: Steinbruch, A. Winterle, P. Álgebra Linear. 2a. ed. Makron Books Fazer os eercícios 1 a 26 (páginas 87 a 9) do capítulo 2. 5