Prof. MSc. David Roza José -

Transcrição

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2 2/15 Análise Modal Na aula anterior fomos apresentados à matriz P, que reunia os autovetores de um problema de vibração. Esta matriz pode ser utilizada para desacoplar equações de vibrações, ao transformar o sistema de coordenadas utilizado. Assim, cada equação pode ser resolvida separadamente, e as matrizes P e M^(-1/2) são então utilizadas para trazer as soluções novamente para o sistema de coordenadas original. As matrizes P e M^(-1/2) são chamadas de transformações, o quê é apropriado pois elas transformam o problema de vibrações entre diferentes sistemas de coordenadas. Este procedimento é chamado de análise modal, pois a transformação S=M^(-1/2)P, chamada de matriz modal, relaciona-se aos modos de vibração do sistema.

3 3/15 Análise Modal Considere a forma matricial da equação de movimento: sujeita às condições iniciais: O problema torna-se desacoplado ao modificarmos o sistema de coordenadas de x para q, multiplicando a equação de movimento à esquerda e à direita por M^(-1/2), resultando em: tal que:

4 4/15 Análise Modal Aplica-se então uma segunda transformação, definida por: transformando a equação de movimento em: Note que as equações tornam-se desacopladas. A estas chamamos de equações modais.

5 5/15 Análise Modal Estas duas equações estão sujeitas às condições iniciais, que também devem ser transformadas para o novo sistema de coordenadas r(t) das coordenadas originais x(t). Assim: Com as equações modais desacopladas e as condições iniciais transformadas, pode-se facilmente encontrar a solução das equações modais.

6 6/15 Análise Modal Assim, a solução torna-se: Uma vez calculadas as soluções modais, as transformações M^(1/2) e P podem ser utilizadas sobre o vetor solução r(t) para recuperar a solução x(t) nas coordenadas físicas x 1 (t) e x 2 (t).

7 7/15 Análise Modal Denomina-se a matriz S como matriz dos modos normais, e cada coluna representa a um modo de vibração. Este método, chamado de Análise Modal, fornece os meios para se resolver um sistema livre não amortecido com 2 GL através de operações matriciais. Sua grande vantagem é que pode ser facilmente extrapolado para sistemas com um número arbitrário de graus de liberdade. O conceito de análise modal é um dos fundamentos de vibrações, juntamente com os conceitos de frequência natural e ressonância.

8 8/15 Análise Modal (1) Calcula-se (2) Calcula-se a matriz de rigidez normalizada pela massa (3) Calcula-se os autovalores e autovetores de K~ para encontrar ω² i e v (4) Normaliza-se os vetores v i para se construir a matriz P = [v 1 v 2 ] (5) Calcula-se (6) Calcula-se as condições iniciais (7) Encontra-se a solução na coordenada modal (8) Multiplica-se r(t) por S para encontrar x(t).

9 9/15 Exemplo 20.1 Calcule a solução do sistema com 2 GL através de análise modal:

10 10/15 Exemplo 20.2 Calcule a resposta do seguinte sistema utilizando análise modal:

11 11/15 Exemplo 20.2

12 12/15 Exemplo 20.3 Considere o sistema mostrado. Encontre a resposta da vibração livre do sistema com k 1 = 30 N/m, k 2 = 5 N/m e k 3 = 0 N/m; m 1 = 10 Kg, m 2 = 1 Kg; c 1 =c 2 =c 3 =0 para as condições iniciais x 1 (0) = 1, ẋ 1 (0) = x 2 (0) = ẋ 1 (0) = 0.

13 13/15 Exemplo 20.3

14 14/15 Exemplo 20.4 Encontre a frequência natural de vibração do sistema mostrado quando m 1 =m, m 2 =2m, k 1 =k e k 2 =2k. Determine a resposta do sistema quando k=1000 N/m, m=20kg, e os valores iniciais dos deslocamentos das massas m 1 e m 2 são 1 e -1, respectivamente.

15 15/15 Exemplo 20.4