Cadeias de Markov no ensino básico.

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1 Cadeias de Markov no ensino básico Rodrigo Sychocki da Silva Porto Alegre, 3 de Dezembro de 200

2 Cadeias de Markov no ensino básico Rodrigo Sychocki da Silva* Maria Paula Gonçalves Fachin** Resumo Neste teto, apresentamos uma ideia de atividade envolvendo álgebra linear na escola básica O tópico escolhido foi Cadeia de Markov, que é um assunto abordado na disciplina de álgebra linear em cursos de graduação Vamos mostrar que é possível desenvolver um plano de aula sobre esse tema e possivelmente aplicá-lo em uma turma de ensino médio Salientamos que os alunos já possuem as noções básicas sobre matrizes e suas operações aritméticas Palavras-chave: álgebra linear, ensino aprendizagem, modelagem matemática Introdução As cadeias de Markov são usadas em diversas aplicações na biologia, administração, economia, química, matemática, entre outras Em todas essas disciplinas citadas, essas cadeias descrevem um modelo que é realizado muitas vezes da mesma maneira, através de uma seqüência de etapas Vamos definir o que é uma cadeia de Markov e em seguida elaborar um plano de aula para ser utilizado em uma turma de ensino médio Faremos definições rigorosas e utilizaremos recursos tecnológicos para dar suporte ao nosso plano de aula O uso de tecnologia, neste caso, facilita a obtenção dos resultados e possibilita aos alunos um melhor entendimento do conteúdo e compreensão dos resultados Definições preliminares Antes de definir o que é uma cadeia de Markov, precisamos dizer o que é um vetor * Mestrando do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática na Universidade Federal do Rio Grande do Sul ** Doutora, Professora do Instituto de Matemática da UFRGS

3 de probabilidade Um vetor de probabilidade é um vetor com componentes não-negativas cuja soma de suas coordenadas vale unidade Ainda temos a definição de matriz estocástica Chamamos de matriz estocástica uma matriz quadrada cujas colunas são vetores probabilidade Uma cadeia de Markov é uma seqüência de vetores probabilidade 0,,, quais juntamente com uma matriz estocástica P é tal que: = P 0 2 = P 3 = P 2 + para k = 0,,2,3, = k P k k os Isto é, uma cadeia de Markov é uma seqüência de vetores que descrevem um estado ou fase de um eperimento ao longo do tempo Pode-se chamar ainda que o vetor k é considerado o vetor de estado do eperimento em questão Problema proposto Apresentamos agora o problema que será proposto aos alunos: Um objeto de estudo dos demógrafos é o movimento das populações, ou grupos de pessoas, de uma região para outra Vamos considerar um modelo simples para a variação da população de uma cidade e dos subúrbios vizinhos ao longo de um determinado período de anos Suponha que um estudo demográfico mostre que em cada ano, aproimadamente 5% da população da cidade se mude para o subúrbio (isto significa que 95% permanecem na cidade) enquanto 3% da população dos subúrbios se mudam para a cidade (isto é, 97% permanecem no subúrbio) Sabendo que a

4 população inicial na cidade é de habitantes e no subúrbio habitantes, analise os efeitos dessa migração ao longo de dois anos, verificando a quantidade de habitantes em cada lugar ao longo do tempo Para resolver esse problema, a ideia inicial é obter a matriz estocástica que modela a situação apresentada Facilmente, verificamos que a matriz é dada por: 0,95 P = 0,05 0,03 Nos dois anos subseqüentes, verificamos que a população segue a seqüência: Ano : Ano 2: 0,95 0,05 0,95 0,05 0, , Note que para obter a população, usamos seguintes vetores: Vetor do ano : Vetor do ano 2: ,600 0,400 0,582 0,48 Os vetores 0,600 0,400 e 0,582 são os vetores probabilidade do problema proposto e 0,48 servirão de referencia para a nossa análise Para obter os vetores probabilidade ao longo do tempo, usaremos um software chamado Winmat, um software livre e de fácil manipulação dos alunos Esse software possibilita que o aluno defina, construa matrizes e realize operações básicas com ela, tais como: soma, subtração e produto O uso da tecnologia permitirá a obtenção de resultados numéricos rápidos e eficientes, possibilitando aos alunos um melhor entendimento do conteúdo e compreensão dos resultados Permitirá também que façamos a dedução do vetor estacionário Na seqüência de imagens abaio, verificamos como construir os vetores probabilidade até o quarto ano de migração

5 Figura : Obter o vetor probabilidade no primeiro ano de migração Figura 2: Obter o vetor probabilidade no segundo ano de migração A facilidade de manipular o software permite que os alunos obtenham rapidamente as quantidades depois de quantidades de anos maiores, como por eemplo, 0 anos após o inicio do movimento migratório, respeitando obviamente as condições iniciais Após 0 anos o vetor probabilidade será:

6 Figura 3: Vetor probabilidade no 0º ano de migração Solução estacionária É interessante observar com os alunos, que ao obter a seqüência de vetores probabilidade 0,,, k, estamos com uma seqüência de vetores que pode convergir para um vetor denotado por q quando k +, isto é: k = q quando k + Para esse fenômeno, chamamos o vetor q de vetor estacionário para o problema onde é conhecida a matriz estocástica e o vetor de condições iniciais 0 Facilmente, podemos deduzir como encontrar o vetor estacionário q Quando k +, então pelas condições do nosso problema inicial, devemos ter: P q = q P q q = 0 ( P I) q = 0 Que corresponde à solução de um sistema de equações homogêneo, que admite pelo menos a solução trivial, isto é, um vetor estacionário trivial seria o nulo Para o nosso problema proposto sobre migração, para obter o vetor estacionário teríamos que resolver o seguinte sistema: 0,95 0,05 0, ,05 0,03 0 q = = 0 q 0,05 0,03 0 Após resolver o sistema, obtemos um vetor estacionário para esse problema: 0,375 q = Isso significa que a população ao longo do tempo se estabiliza em ,625 habitantes na cidade e habitantes no subúrbio

7 Considerações finais Aplicar a matemática em problemas onde as soluções busquem o método da investigação, faz com que os alunos tenham uma visão geral do assunto, deiando de ser a matéria algo específico e unívoco Abordar tópicos referentes a problemas do cotidiano e utilizar softwares de matemática para auiliar a busca pelas respostas fornece inúmeros subsídios para formar alunos permanentemente pesquisadores, curiosos e atraídos pelos problemas práticos e que eigem tratamento matemático adequado Buscamos com esse trabalho, fornecer uma ideia de atividade que pode ser desenvolvida por alunos de ensino médio e que com o auílio da informática educativa eles possam perceber melhor a importância dela na resolução de problemas Referências ANTON Howard e RORRES Chris, Álgebra Linear com aplicações 8a edição, Porto Alegre: Bookman, 999 LAY, David Álgebra Linear e Suas Aplicações 2a Edição, 999 Livros Técnicos e Científicos STEINBRUCH & WINTERLE, Álgebra Linear São Paulo: McGRAW-Hill do Brasil, 998