2. Radiação de Corpo Negro

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1 Apostila da Disiplina Meteorologia Físia II ACA 036, p. 14. Radiação de Corpo Negro Define-se omo orpo negro o meio ou substânia que absorve toda a radiação inidente sobre ele, independentemente do omprimento de onda, direção de inidênia ou estado de polarização 6. Nenhuma parte da radiação inidente é refletida ou transmitida. Para entender o oneito, imagine um orpo isolado do seu meio externo, om paredes isolantes. Como não há troas om o meio externo, dizemos que o orpo se enontra em equilíbrio termodinâmio, isto é, enontra-se em: 1) Equilíbrio térmio: Não há gradientes de temperatura. A temperatura do orpo é onstante e homogênea. ) Equilíbrio meânio: Não há forças líquidas ou tensões, isto é, a pressão é onstante em todas as partes do orpo. 3) Equilíbrio radiativo: O ampo de radiação dentro do orpo é onstante, isto é, o fluxo de radiação que entra no orpo é igual ao que sai. 4) Equilíbrio químio: As taxas de todas as reações químias são balaneadas por suas reações inversas, tal que a omposição químia é a mesma em todo o orpo. Suponha agora que esse orpo possui uma pequena abertura em sua parede. Toda a radiação inidente nesta abertura é absorvida, visto que a probabilidade de ser refletida dentro do orpo de forma a voltar pelo mesmo orifíio é muito pequena. Por essa razão, a abertura é perfeitamente absorvedora ou negra. A radiação que sai pela abertura alançou equilíbrio térmio om o material que onstitui o orpo. Essa radiação emitida pela abertura é denominada radiação de orpo negro e tem as seguintes araterístias: - é isotrópia - não polarizada - independe da onstituição e da forma do orpo em questão - depende apenas da temperatura do orpo e do omprimento de onda da radiação. 6 Polarização: A radiação onstitui uma grandeza vetorial, om quatro omponentes. Apenas a radiânia L está assoiada à transferênia de energia através de um meio. Os demais omponentes desrevem o estado de polarização do feixe de radiação. Uma onda eletromagnétia é dita polarizada quando os vetores dos ampos elétrio e magnétio osilarem no tempo de forma oerente, isto é, observando-se sua osilação no tempo, o vetor perorre figuras geométrias bem definidas, omo uma reta, um írulo ou uma elipse. Quando o vetor osila sobre uma reta, diz-se que a onda é linearmente polarizada. Quando osilar sobre um írulo diz-se que

2 Apostila da Disiplina Meteorologia Físia II ACA 036, p Lei de Kirhhoff Para manter o equilíbrio radiativo e térmio do orpo, a radiação absorvida por ada unidade de área do orpo deve ser igual à radiação que ada unidade emite em determinado omprimento de onda. Denotando-se por πb o fluxo onstante de radiação por unidade de área (irradiânia), disponível dentro do orpo, tem-se: πb (.1) 1 = a1 πb ; = a πb ;...; i = ai onde 1 (, (),..., i () são as irradiânias emitidas por ada porção das paredes do orpo e a 1 (), a (),..., a i () são as absortânias espetrais de tais porções a uma determinada temperatura de equilíbrio e omprimento de onda. Dessa forma, 1 i = =... = = πb a a a 1 i = onstante (.) Esta é uma forma da Lei de Kirhhoff que diz que a uma determinada temperatura e omprimento de onda, sob ondições de equilíbrio termodinâmio, a razão entre o fluxo emitido por unidade de área e a absortânia de qualquer orpo é onstante. O valor máximo possível de a() é a unidade. Por definição, um orpo negro é o que tem absortânia unitária em todos os omprimentos de onda. Portanto, a onstante πb é a irradiânia de um orpo negro a uma determinada temperatura e omprimento de onda. Um orpo negro também emite a quantidade máxima possível de radiação em qualquer temperatura e omprimento de onda e por isso diz-se que um orpo negro é um radiador e um absorvedor perfeito de radiação. A emissividade de um orpo é definida omo a razão entre a irradiânia emitida pelo orpo a uma dada temperatura e omprimento de onda e a irradiânia de um orpo negro sob as mesmas ondições: 1 i ε1( ) =, ε =,..., ε i = (.3) πb πb πb ou, de (.), ε ) = a, ε = a,..., ε = a ( ) (.4) 1( 1 i i onde ε() é a emissividade do orpo para o omprimento de onda onsiderado. Observe que as equações (.) a (.4) valem para qualquer orpo em equilíbrio termodinâmio loal e a onda apresenta polarização irular esquerda ou direita, de aordo om o sentido de perurso do vetor sobre o írulo (anti-horário ou horário) [Nussenzveig, 1996]. A radiação solar é não polarizada.

3 Apostila da Disiplina Meteorologia Físia II ACA 036, p. 16 representam igualdades espetrais, isto é, não é esperado que a absortânia seja igual à emissividade de um orpo em omprimentos de onda distintos. Finalmente, um orpo inza é aquele para o qual a absorção e a emissão de radiação são iguais e menores que a unidade em todos os omprimentos de onda, portanto apresenta: a ( ) = ε = onst., onst. < 1 para qualquer.. Lei de Plank O modelo oneitual lássio para desrever a distribuição espetral de emissão de ondas eletromagnétias se baseava na teoria de vibrações elástias. Nesse modelo, as ondas estaionárias seriam geradas em um meio de omprimento finito omo um resultado da interferênia onstrutiva entre as ondas direta e refletida. Por exemplo, uma mola ou fio estiado. A vibração fundamental oorreria em um omprimento de onda igual a duas vezes o omprimento do fio. As demais freqüênias ou modos de vibração são, 3, 4,... vezes a fundamental, podendo tender ao infinito. Num sólido, a série termina quando o omprimento de onda atinge duas vezes a separação dos átomos. Entretanto, tal limite não se aplia à radiação, omo se verifiou posteriormente. Utilizando esse raioínio derivouse a lei de radiação de Rayleigh-Jeans, na qual a densidade de energia (energia por unidade de volume, por unidade de freqüênia) seria dada por: du dvd 8πkTν 3 ν = (.5) onde k é a onstante de Boltzman (= 1,3806 x 10-3 JK -1 ), T é a temperatura em K e é a veloidade da luz. Entretanto, por essa lei, o aumento da freqüênia impliaria em aumento da energia radiante até que atástrofe do ultravioleta 7. lim ν U!!!! Essa inoerênia fiou onheida omo Para ontornar esse problema, Plank postulou que a energia radiativa é emitida em paotes finitos, ou quanta, e que a energia de um quantum é hν. Dessa forma, a radiânia espetral emitida por um orpo negro é desrita matematiamente pela função de Plank:

4 Apostila da Disiplina Meteorologia Físia II ACA 036, p hν Bν = [Wm - sr -1 Hz -1 ] (.6) [ exp( hν / kt) 1] onde h é a onstante de Plank (= 6,66 x Js). Essa função é limitada matematiamente em ambos os extremos: - para hν/kt >> 1 B ν ν 3 h hν / kt e, que é o limite de Wien, para altas energias. ν kt - para hν/kt << 1 Bν, que é o limite de Rayleigh-Jeans, útil na região espetral das miroondas ( > 1mm), e que está de aordo om o modelo lássio. Em função do omprimento de onda, a função de Plank pode ser reesrita omo: h B = 5 [Wm - sr -1 µm -1 ] (.7) [ exp( h / kt) 1] A Figura.1 ilustra gráfios da função de Plank obtida utilizando-se diferentes valores de temperatura. Note-se que a função tende a zero para valores baixos de omprimento de onda, ontornando a limitação do modelo lássio proposto por Rayleigh- Jeans. 7 No livro The Feynman Letures on Physis volume I, de Feynman et al. [1977] há um omentário mostrando a inoerênia da lei do quadrado da freqüênia da equação.5. Ele diz que, ao abrir um forno, não vamos queimar nossos olhos om raios-x emitidos por ele!

5 Apostila da Disiplina Meteorologia Físia II ACA 036, p. 18 Figura.1 Função de Plak alulada para diferentes valores de temperatura. Exeríio.1: Obtenha a expressão da radiânia espetral de um orpo negro em função do número de onda..3. Leis de Wien Uma das propriedades da função de Plank é que o omprimento de onda referente ao seu ponto de máximo é inversamente proporional à temperatura para a qual ela é alulada. Essa é a lei do desloamento de Wien. Em outras palavras, o valor do omprimento de onda, para o qual a radiânia emitida por um orpo negro é máxima, é inversamente proporional à sua temperatura. Difereniando a função de Plank om relação ao omprimento de onda e igualando a zero, obtém-se: 897 m = [µm] (.8) T Portanto, quanto maior a temperatura de um orpo, menor será o omprimento de onda para o qual o orpo emite radiação máxima. Dessa forma, qualquer orpo luminoso que se resfria progressivamente deixa de emitir luz visível (por exemplo, um arame inandesente).

6 Apostila da Disiplina Meteorologia Físia II ACA 036, p. 19 Wien também hegou à onlusão de que a radiânia máxima orrespondente a m deveria ser proporional à quinta potênia da temperatura do orpo: B ( m, T ) = KT 5 (.9) Esta é a segunda lei de Wien, onde K é uma onstante de proporionalidade. Exeríio.: Obtenha (.8). Exeríio.3: Determine o valor de K de (.9)..4. Lei de Stefan-Boltzmann A radiânia total emitida por um orpo negro pode ser obtida integrando-se a função de Plank em todo o domínio de omprimento de onda: h B( T ) = B ( T ) d = d (.10) 5 [exp( h / kt ) ] Com uma mudança de variável hega-se à integral: B( T ) = ( kt ) 3 h x dx x e 1 O resultado da integral é π 4 /15 e, portanto: π k B( T ) T 15h = (.11) 3 Como a radiação emitida por um orpo negro é isotrópia, a irradiânia por ele emitida será: (T)=πB(T)=σT 4 (.1) onde σ é a onstante de Stefan-Boltzmann (= (5,6696 ± 0,005) x 10-8 Wm - K -4 ). Portanto, para qualquer orpo: (T)=εσT 4 (.13) Esta é a Lei de Stefan-Boltzmann. Voltando à apliação de interesse, até o presente, todas as leis físias obtidas neste apítulo se basearam na existênia de equilíbrio termodinâmio. A atmosfera obviamente

7 Apostila da Disiplina Meteorologia Físia II ACA 036, p. 0 não se enontra em tal equilíbrio, pois o ampo de radiação não é onstante e nem a sua temperatura é onstante em todos os pontos!.5. Equilíbrio Termodinâmio Loal Como será visto em apítulo futuro, o proesso de absorção de radiação ausa uma mudança no estado de uma moléula ou átomo, passando do estado fundamental a um estado denominado exitado (mais energétio). No aso da atmosfera, para que ela seja onsiderada em equilíbrio termodinâmio, é neessário que as moléulas possam troar energia om seus vizinhos por um número sufiiente de olisões para alançar o equilíbrio térmio durante a vida média do estado exitado responsável pela emissão. Em outras palavras, após a absorção de radiação, se o tempo neessário para transferir energia entre as moléulas for menor que o tempo para a oorrênia de emissão de radiação, pode-se dizer que o sistema se enontra em equilíbrio termodinâmio loal. Com o aumento da altitude, a taxa de olisões moleulares diminui, pois a densidade e a temperatura do ar diminuem, ao passo que o tempo araterístio do proesso de emissão permanee o mesmo. Por este motivo, a lei de Kirhhoff só é válida para altitudes menores que aproximadamente 40 km. Exeríio.4: Uma superfíie plana está sujeita à radiação solar a pino. A absortânia dessa superfíie é igual a 0,1 para radiação solar e 0,8 para radiação terrestre, onde oorre a maior parte da emissão de radiação por essa superfíie. Calule a temperatura de equilíbrio radiativo da superfíie, desprezando o efeito da atmosfera e onsiderando que a irradiânia solar om o sol a pino é igual a 1367 Wm -. Exeríio.5: Calular a radiânia monoromátia de um orpo negro à temperatura de 300 K para o omprimento de onda de 15µm. Exeríio.6: Uma superfíie emite irradiânia igual a 459,5 Wm -. Determine a temperatura da superfíie onsiderando as seguintes emissividades: a) 1,0; b) 0,9; ) 0,8. Exeríio.7: Para uma superfíie que irradia omo um orpo negro à temperatura de 1000K, alule o espetro de radiânia no intervalo espetral de x 10-6 a 1 x 10-6 m (onsidere pelo menos 6 valores de omprimento de onda nesse intervalo). Apresente o resultado em um gráfio de radiânia por omprimento de onda.

8 Apostila da Disiplina Meteorologia Físia II ACA 036, p. 1 Exeríio.8: Para uma superfíie que irradia omo um orpo negro à temperatura de 1000K, determine o omprimento de onda de emissão máxima. Se a temperatura fosse igual a 500K, em que omprimento de onda seria a emissão máxima? E se fosse 300K?