Resolução da Prova 735 (Matemática B)

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1 Resolução da Prova 75 (Matemátia B) Proposta da Isabel: margaridas rosas violetas 7 arranjos tipo A arranjos tipo B Total de flores neessárias Proposta do Dinis: margaridas rosas violetas 10 arranjos tipo A arranjos tipo B Total de flores neessárias A proposta da Isabel é viável e a proposta do Dinis não é viável, uma vez que não existem margaridas (nem violetas) em número sufiiente. 1.. Sejam x n.º arranjos do tipo A e y n.º arranjos do tipo B. Pretendemos maximizar a função L x + y (função objetivo). De aordo om o problema podemos organizar os dados do seguinte modo: n.º margaridas n.º rosas n. violetas x arranjos do tipo A 16x 4x 8x y arranjos do tipo B 8y 8y 8y n.º total de flores 16x+8y 4x+8y 8x+8y onstrangimentos 16x+8y 19 4x+8y 88 8x+8y 11 As restrições para as variáveis são, então, 16x + 8y 19 4x + 8y 88 8x + 8y 11 x, y ln 0 y x + 4 y 0,5x + 11 y x

2 Geometriamente, tem-se: 1.º proesso: L L x + y y 1,5 x +. Esta expressão define a família de retas om delive 1, 5. A reta da família que nos dá a informação sobre o maior luro é, por observação geométria, a que ontém o ponto de oordenadas (10, 4). Logo, devem produzir-se 10 arranjos do tipo A e 4 do tipo B (o luro será de ). euros ( ).º proesso: A solução óptima é, habitualmente, um dos vérties do polígono de onstrangimentos. Assim, basta testar ada uma das soluções. x y L x+y Verifia-se que o luro máximo é no ponto (10, 4).

3 ..1. O n.º de adeiras de ada uma das n filas da plateia são termos onseutivos de uma progressão aritmétia. Sabemos que a soma destes n termos é igual a 465. Assim, n 465 1n 465 n 15 Logo, onfirma-se que a plateia tem 15 filas... 1.ª fila.ª fila.ª fila 15.ª fila k 10 + k k Tem-se, então, k k Assim, o valor de k é igual a... Das 15 filas da plateia existem 0 lugares om má visibilidade, em ada uma das filas. Assim, a Nazaré verá satisfeita a sua pretensão se lhe for atribuído um dos 45 bilhetes orrespondentes aos restantes lugares. Tem-se: p ou p Logo, a probabilidade pedida é igual a r 4 A π 4 16π (m ) área da manha irular de raio 4 Para determinar o valor pedido tem de resolver-se a ondição A ( 5) 16π, equivalente a k e 16π. Considerando as funções x 1+ 4 e e y 16 π, vamos alular o ponto de interseção dos seus gráfios. No editor de funções da aluladora obtém-se: y 1 16π y O valor de k é aproximadamente igual a -0,8.

4 .. A( 4) A( 0) 40,461 0 t. m. v. 5 (m /s) [ 0 ; 4] 4 4 Durante os quatro primeiros segundos, a área da manha aumentou, em média, 5 m por segundo Sabe-se que 1 os ( x ) 1, para todo o valor de x. Como b > 0, virá b b os ( x) b e a b a + b os ( x) a + b, ou seja, a b y a + b Assim, omo queríamos mostrar, o ontradomínio da função é o intervalo a b, a + b. [ ] π é período da função se e só se y x + π y( x), para todo o valor de x do domínio da função. Tem-se π π y x + a + b os x a + b + os os Confirma-se, assim, o pretendido. ( x + π ) a + b ( x ) y( x) π é período da função o-seno 4.. Por observação das figuras 1 e o ontradomínio da função é [ 0, 71 ; 0, 87 ], intervalo de amplitude 1,58. Amplitude do intervalo [ a b, a + b ] b. Logo, b 1,58 b 0, 79. Como a + b 0, 87, temos a 0,87 0,79 0, 08 Finalmente, dois maximizantes onseutivos são 0,00 e 0,004. O período positivo mínimo da função é 0,00. Assim, π 0,00 14 Logo, a 0, 08, b 0, 79 e

5 5.1. O número total de lientes é igual ao número total de telemóveis vendidos. Assim, a empresa vendeu 8,5 milhares de telemóveis (7 + 6, ,5 + +,5). Destes, 1,5 milhares foram vendidos a um preço inferior a 180 euros. 1,5 9 A probabilidade pedida é, assim, p. 8, Introduzindo em L1 o preço, em euros, de ada telemóvel e em L o número de unidades vendidas, em milhares, obtém-se Para este onjunto de dados, o oefiiente de orrelação linear é aproximadamente igual a -0,97 (ver figura ao lado). Este valor india-nos que existe uma orrelação negativa muito forte entre as variáveis n e p. As variáveis variam inversamente, isto é, à medida que o preço do telemóvel aumenta, o número de unidades vendidas diminui e vie-versa. 5.. A quantia, em euros, que a empresa prevê vir a reeber pela venda dos telemóveis do novo modelo é dada por q 1000 n p Dado que n 0,0p + 10, vem ( 0,0 p + 10 ) p 0 p + p q 1000n p sen α α 1, 0949 (radianos) 18 Sabe-se que P irunf de raio 18 Pbase do π α. one Assim, P base do one π 18 π 1,0949 P 9, 4164 m base do one 5

6 P base Cálulo do raio da base do one: 9,4164 π r π r 9,4164 r 6,7 π m Cálulo da altura do one: h 18 6, 7 h 16,8714 m Cálulo do volume do one: 1 V π 6, 7 V 695, m 16, 8714 Ora, 695, m > 500 m superior a meio litro., pelo que o filtro onstruído tem apaidade Fim Esta proposta de resolução também pode ser onsultada em 6