Cavidades Ressonantes. Vitaly Esquerre

Transcrição

1 Cavidades Ressonantes Vitaly Esquerre

2 Em freqüênias na faixa de miroondas (> 3MHz), elementos loalizados tais omo R, L e C têm omportamento bastante diverso de seu omportamento em baixas freqüênias. Isto porque em altas freqüênias o efeito peliular e as perdas por radiação tornam-se importantes. Assim, na faixa de miroondas os iruitos ressonantes RLC são substituídos pelas avidades ressonantes.

3 As avidades ressonantes são estruturas ompletamente fehadas por paredes metálias. Elas onfinam a energia eletromagnétia e dispõem de grandes áreas para a irulação de orrente, eliminando radiação e diminuindo as perdas. A figura mostra a transformação gradual de um iruito ressonante LC numa avidade ressonante

4 Cavidades Retangulares

5 Podemos omeçar a análise partindo da equação de onda e usar o método de separação das variáveis para obter os ampos elétrios e magnétios que satisfazem as ondições de ontorno da avidade. Porém, fia mais fáil omeçar om os ampos TE e TM do guia, os quais já satisfazem as ondições de ontornonasparedes do guia x y, a, b Ë neessário apenas inserir as ondições de ontorno E x E y nas paredes iniial e final em z

6 Os ampos elétrios transversais (E x, E y ) dos modos TEmn e TMmn, do guia de ondas retangular pode ser esrito omo: j mnz j mnz E ( + β β x,, z) e( x, ) Ae + Ae t y y e x, y A ( ), A + Variação transversal do ampo Amplitude dos ampos em +z e -z A onstante de propagação β mn dos modos m,n (TE ou TM) pode ser esrita omo: mπ nπ β mn k k ω με a b

7 Impondo a ondição que o ampotemque ser nulo em z (,,) (, ) + Et x y e x y A + A A A + Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfíie ondutora Impondo a ondição que o ampo tem que ser nulo em z d (,, ) (, ) jβmnd jβmnd Et x y d e x y A + e A + e E x, y, d e x, y ja sinβ d t ( ) ( )( + ) mn β d l mn π βmn lπ d

8 O número de onda ressonante da avidade será k mnl mπ nπ lπ + + a b d Modos TE mnl ou TM mnl são os modos ressonantes onde m, n, el indiam o numero de meios ilos da onda estaionária nas direções x, y, ez. A frequênia de ressonânia do modo TE mnl ou TM mnl é dado por f mnl kmnl mπ nπ lπ + + π μ rε a b d r π μrεr

9 Os ampos para o modos TE mnl são dados por: Amnl nπ mπ nπ lπ Ex os x sin y sin z ε b a b d Amnl mπ mπ nπ lπ Ey sin x os y sin z ε a a b d E z Amnl mπ lπ mπ nπ lπ H x j sin x os y os z ωμε a d a b d Amnl nπ lπ mπ nπ lπ H y j os x sin y os z ωμε b d a b d ωμε d a b d Amnl lπ mπ nπ lπ H z j k os x os y sin z m,1,,3... n,1,,3... l 1,,3... m n Modo dominante (d > a > b) TE f mπ lπ + π μ ε a d r r

10 Após algumas simplifiações, os modos TE 1l tem as seguintes 1l expressões para os ampos: E H y x π x lπ z E sin sin a d E π x lπ z j sin os η a d TE π E π x l π z ' H j z os sin k η a a d d > a > b O q e laramente demonstra qe são formadas ondas O que laramente demonstra que são formadas ondas estaionárias dentro da avidade

11 Fator de Qualidade: Q Q Wm + We ω P Energia média armazenada Energia Perdida por segundo W P m, W e Energia média armazenada nos ampos magnétios e eletrios. Potênia dissipada no ondutor e no dielétrio Na frequênia de ressonânia: W e W m

12 Cálulo da energia armazenada no ampo elétrio * W ε ε e EyEydv Ey dv 4 4 d E y b a v E π x lπ z sin sin a d ε πx lπz We E sin sin dxdydz 4 a d 1 1 sin x os x v W e εabdε 16 E

13

14 Cálulo da energia armazenada no ampo magnétio μ * Wm H H dv 4 H x v ( ) ( ) * * W μ μ m HxHx + HzHz dv Hx + Hz dv 4 4 v E π x lπ z j sin os H j π E π x lπ z z os sin η ' TE a d kη a a d v W m μ π π π π + 4 ' d b a E x l z π E x l z sin os + os sin ηte a d kη a a d dxdydz ddd 1 1 sin x os x 1 1 os x + os x

15 W m μabd E + 16 ' 1 π + ηte k η a η TE kη ' β π β β1 k a π β + ( π a ) 1 1 ε + ηte k η' a k η' η' μ W m εabd 16 E Ou seja: W e W m

16 Perdas nas paredes ondutoras: P R s P H t ds paredes Onde R s é aresistênia superfiial das paredes metálias dada por: ωμ Rs σ e H t éoampo magnétio tangenial as superfíies das paredes metálias. A ontribuição i devido à parede superior é igual á ontribuição i da parede inferior, o mesmo aontee om as ontribuições da parede lateral direita e esquerda e da parede da frente e posterior.

17 Parede esquerda e direita z ( ) H x Parede superior e inferior x ( ) ( ) H z H x z z d y b a x Parede do fundo e da frente x ( ) H z Usando: R s b a d b s P H x ( z ) dxdy + H z ( x ) dydz y x z y d a H ( ) ( ) x y + Hz y dxdz z x ( ) ( ) k π π kη ' dη ' η λ β lλ TE P RE s λ l ab bd l a d η ' d a d a

18 Fator de Qualidade onsiderando apenas perdas nos ondutores: Q Q ε abd E W m + We Wm ω ω ω 16 P P RE λ s lab bd la d η ' d a d a Q 4π R s 3 kabd η ' lab bd la d d a d a Q ( kad ) 3 bη ' ( ) π R l a b+ bd + l a d + ad s

19 Fator de Qualidade onsiderando apenas perdas no dielétrio: Q d σ ωε " ωε ε tanδ ε ε ' jε" ε ε ( 1 jtanδ) r r Q d 1 ωε " abdωε " E Pd J. E dv E dv 8 v * ε ' abd E W m + We Wm 16 ε ' 1 ω ω ω Pd Pd abdωε " E ε " tanδ 8 v Fator de Qualidade onsiderando perdas no ondutor e no dielétrio: Q total Q total + Q Qd

20 Exemplo Considere uma avidade oa om dimensões; 3m x m x 7m feita de obre (σ 5.8x1 7 ) Calular a frequênia de ressonânia e o fator de qualidade do modo dominante. fr GHz Q ( kad ) 3 bη ' kad bη ωμ Rs π R l a b+ bd + l a d + ad σ s ( ) k ω με η ' με

21 R s ωμ,1944 σ k ω με 113,984 η' μ ε 376,819 Q ( kad ) 3 bη η ' 186 π R l a b bd l a d ad ( ) s

22 Exemplo Considere uma avidade preenhida om polyestireno (εr.56, tan δ,4) om dimensões; a 3m b m feita de obre (σ 5.8 x 1 7 ) determine o valor de d para apresentar uma frequênia de ressonânia de 3,4 GHz. Determine o fator de qualidade do modo dominante. fr d 3, 4GHz d 7m Q ( kad ) 3 bη ' kad bη ωμ Rs π R l a b+ bd + l a d + ad σ s ( ) k ω με η ' με

23 R s ωμ,1514 σ k ω με 113,984 η' μ ε 35,51 Q ( kad ) 3 bη ' 7973, 66 π R l a b bd l a d ad ( ) s Q d 1 5 tanδδ Q total , 7 Q + Q d 7973,66 + 5

24 Cavidades Cilíndrias

25 Podemos omeçar a análise partindo da equação de onda e usar o método de separação das variáveis para obter os ampos elétrios e magnétios que satisfazem as ondições de ontorno da avidade. Porém, fia mais fáil omeçar om os ampos TE e TM do guia irular, os quais já satisfazem as ondições de ontorno nas paredes do guia ρ a Ë neessário apenas inserir as ondições de ontorno E ρ E ϕ nas paredes iniial e final em z ed

26 Os ampos elétrios transversais (E ρ, E ϕ) dos modos TE e TM, do guia de ondas retangular pode ser esrito omo: E (,, ) (, ) t ρφz e ρ φ A e + A e e ρφ, A ( ), A + + j β z j β z Variação transversal do ampo Amplitude dos ampos em +z e -z A onstante de propagação β dos modos TE e TM, respetivamente, pode ser esrita omo: ρ ' β k a ρ β k a k ω με

27 Impondo a ondição que o ampotemque ser nulo em z (,,) (, ) + Et ρφ e ρφ A + A A A + Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfíie ondutora Impondo a ondição que o ampo tem que ser nulo em z d (,, ) (, ) + jβd + jβd Et ρφd e ρφ A e A e E ρφ,, d e ρφ, ja sinβ d t ( ) ( )( + ) β d l mn π βmn lπ d

28 Modos TE l ou TM l são os modos ressonantes onde m, n, el idi indiam o numero de meios ilos il da onda estaionária i nas direções ρ, ϕ,ez. A frequênia de ressonânia do modo TE l é dada por f l ρ ' lπ + π με a d r r n 13,1,,3... m 13 1,,3... l 13 1,,3... A frequênia de ressonânia do modo ou TM l é dado por f l ρ lπ + π a με d r r n,1,,3... m 1,,3... l,1,,3...

29 O modo dominante TE é o modo TE 111, uja freqüênia de 111 ressonânia é dada por: f TE π + π μ ε a d r r O modo dominante TM é o modo TM 1 uja freqüênia de ressonânia é dada por: f TM 1, 449 π μ ε a r r As freqüênias de ressonânia são iguais se d/a,3 (modos degenerados) Quando d/a <,3, o modo dominante é o TM 1 e quando d/a >,3 o modo dominante é o modo TE 111

30 Os ampos para o modos TE l são dados por: η ρ π Eρ J n z d jk ' a nh ' l sin n ρ ( φ) sin ( ρ' ) ρ a jkη' ah ρ' lπ ( φ) Eφ J' n ρ os n sin z ρ ' a d E z βah ' l H J' ρ π ρ os nφ os z ρ n ( ) ρ ' a d βanh ' l H J ρ π sin n os z φ n ρ ( ) ' a φ ρ ρ d ( ) ρ ' lπ H ( ) z HJn os n sin z a ρ φ d n,1,,3... m 1,,3... l 1,,3... ρ ' π f111 + π μ ε a d Modo dominante TE r r

31 Distribuição do ampo para modos ressonantes om l 1el O q e laramente demonstra qe são formadas ondas O que laramente demonstra que são formadas ondas estaionárias dentro da avidade

32 Fator de Qualidade: Q Q Wm + We ω P Energia média armazenada Energia Perdida por segundo W P m, W e Energia média armazenada nos ampos magnétios e eletrios. Potênia dissipada no ondutor e no dielétrio Na frequênia de ressonânia: W e W m

33 Fator de Qualidade d dos Modos TE l Cálulo da energia armazenada, omo W e W W m d π a ( ) ρ φ z φ ρ ε W We E + E ρ d ρ d φ dz a 4 ( ρ ' ) ρ εk η' a πdh ρ' na ρ' J' n ρ Jn ρ ρdρ a + ρ' ρ a ρ εk η a πdh n ' 1 J ' n 8 ( ρ ' ) ρ ' ( ρ )

34 Perdas nas paredes ondutoras: P R s P H t ds paredes Onde R s é aresistênia superfiial das paredes metálias dada por: ωμ Rs σ e H t éoampo magnétio tangenial as superfíies das paredes metálias. A ib i ã d id à d i é i l á ib i ã d A ontribuição devido à parede superior é igual á ontribuição da parede inferior.

35 z d Parede superior e inferior H H Parede lateral ρ ( z ) H z ( ρ a) ρ φ ( z ) a H ( a) φ φ ρ R s d π ( ) + ( ) φ z z φ P H ρ a + H ρ a ad φ dz π a + H ( z ) H ( z ) d d ρ + φ ρ ρ φ φ ρ P Rs da βan βa n ' πh Jn ( ρ ) ( ρ' ) ρ ' ( ρ' )

36 Fator de Qualidade onsiderando apenas perdas nos ondutores: Q Q Wm ω ω P ' 1 ' Jn 4 ( ρ ' ) ρ ' ε k η a πdh n ( ρ ) Rs da βan βa n πh Jn ( ρ' ) ( ρ' ) ρ ' ( ρ' ) Q 3 ( ka) 4 ( ρ ' ) η ' ad n 1 ρ ' ad βan βa n ( ρ' ) ρ ' ( ρ' ) R s

37 Fator de Qualidade onsiderando apenas perdas no dielétrio: Q d σ ωε " ωε ε tanδ ε ε ' jε" ε ε ( 1 jtanδ) r 1 " * ωε Pd J. E dv Eρ + E φ dv v v r a ωε " k η ' a π dh ' ' ρ na ρ Pd J' n ρ Jn ρ ρdρ 4 ( ρ ' ) a + ρ' ρ a ρ P 4 ωε " k η ' a H n 1 ' d J ρ 8 ( ρ ' ) ρ ' n ( )

38 Fator de Qualidade onsiderando apenas perdas no dielétrio: Q d Q d 4 ε' k η' a H n 1 ( ' J n ρ ) W 8 ( ' ) ' m + W ρ e ρ ε ' 1 ω ω P 4 d ωε " k η ' a H ε " tanδ n 1 Jn ( ρ ' ) 8 ( ρ ' ) ρ ' Fator de Qualidade onsiderando perdas no ondutor e no dielétrio: Q total Q total Q Q d 1

39 Fator de Qualidade dos Modos TM 1 Ë importante quando d / a <,3 Eρ Eφ Hρ Hφ 1 E 1 ρ ρ Ez j J ρ a ωμε a ρ1 E ρ1 H z J' a μ a ρ Q μ,449 ε a 1+ R s d

40

41 Outras Geometrias