Electromagnetismo e Óptica 1º Semestre /10 2º Teste/1º Exame 09/01/2009 9:00h

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1 Lieniatura em Engenharia e Arquitetura Naval Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespaial Eletromagnetismo e Óptia º emestre - 9/ º Teste/º Exame 9//9 9:h Duração do teste (problemas 4, 5 e 6): :3h Duração do exame (problemas,, 3, 4, 5, 6) : 3:h Leia o enuniado om atenção. Justifique todas as respostas. Identifique e numere todas as folhas da prova Problema (ó exame) Considere quatro argas idêntias, q, (no váuo) das quais 3 estão loalizadas omo se india na figura nas posições (, a, ), (a, a, ) e ( a,, ). a) ( valor) Em que posição deverá ser oloada a quarta arga para que o ampo elétrio no ponto (,, ) seja nulo? b) ( valor) Determine o valor de ada uma das argas, sabendo que o fluxo do vetor ampo elétrio através de uma superfíie fehada que envolve as quatro argas tem o valor de 45,78 N.C.m. ) ( valor) Qual o valor do fluxo do ampo elétrio através de uma superfíie fehada om o dobro da área que ontenha no seu interior a superfíie referida na alínea b). E através de uma superfíie fehada, om metade da área da superfíie referida na alínea b) e que ontenha apenas duas das argas? Justifique. Problema (ó Exame) O iruito representado na figura é alimentado pela bateria de força eletromotriz = 6 V e inlui 4 resistênias que apresentam os seguintes valores R = R 3 = R 4 = kr = k a) (,5 valores) Determine os valores das intensidades de orrente elétria I, I e I 3 e os valores das tensões em ada uma das resistênias (V, V, V 3 e V 4 ) definidas no sentido das orrentes I, I e I 3. b) ( valor) Determine o valor da resistênia equivalente entre os pontos A e B do iruito. ) (,5 valores) e a bateria forneer uma quantidade de energia de 59 J ao longo da sua vida útil, qual será a duração da mesma quando apliada ao iruito indiado na figura.

2 Problema 3 (ó Exame) Na figura seguinte é representado um solenóide toroidal de seção retangular om N espiras, preenhido om material de permeabilidade magnétia. a) (,5 valores) Determine a expressão do ampo magnétio B em função da orrente elétria, I, que perorre as espiras, das dimensões do solenóide e da distânia r ao eixo entral do toro, indiado na figura. b) (,5 valores) Mostre que o oefiiente de auto-indução do. N. h b solenóide é dado por L. ln a Problema 4 (Teste/Exame) Considere que o utilizava fio de obre de, mm de diâmetro para onstruir um solenóide om 4 espiras, semelhante ao representado na figura referente ao Problena 3, om um raio interior a =, m, um raio exterior b =,5 m e uma altura h =,5 m, utilizando um material no interior om = 8 Cu = 5.9 m a) (Exame:,5 valores; Teste: 3 valores) Determine os valores da resistênia e do oefiiente de autoindução do solenóide (sugestão: utilize o resultado da alínea b) do problema 3). b) (Exame:,5 valores; Teste: 3 valores) e o solenóide for alimentado om uma tensão sinusoidal om uma amplitude de V = 5 V e uma frequênia f = Hz, quais os valores da frequênia e da amplitude da orrente elétria no iruito toroidal, em regime forçado? Problema 5 (Teste/Exame) a) (Exame:,5 valores; Teste: 3 valores) Dertermine o fluxo do ampo magnétio através de uma espira (e) exterior ao solenóide representada na figura do problema 3, onsiderando que o mesmo é perorrido por uma orrente elétria dada pela expressão I I os t (note que o ampo magnétio varia om a distânia ao entro do solenóide; se está a realizar a prova de exame poderá utilizar, omo ponto de partida, a expressão enontrada na alínea a) do problema 3). Admita que o ampo magnétio no exterior do solenóide é desprezável. b) (Exame:,5 valores; Teste: 3 valores). Determine a orrente induzida na espira exterior, I ind onsiderando que esta espira tem uma resistênia de,e que a orrente sinusoidal agora imposta ao solenóide tem uma frequênia f = 5 khz e uma amplitude de I =, A(despreze o efeito de auto-indução na espira exterior). Problema 6 (Teste/Exame) A expressão seguinte representa o ampo elétrio de uma onda luminosa plana monoromátia, polarizada E E os k. x. t. e linearmente, propagando-se no ar (n ar ): z a) (Exame: valor; Teste: valores) Indique, justifiando, qual a direção de propagação da onda. abendo que a frequênia da onda é f=mhz, determine o valor de k? b) (Exame: valor; Teste: valores) Determine a expressão do vetor ampo magnétio ( B ) assoiado à onda. ) (Exame: valor; Teste: valores) Mostre que as densidades de energia elétria e de energia magnétia assoiadas à onda eletromagnétia são iguais. d) (Exame: valor; Teste: valores) abendo que a onda irradia uma superfíie perpendiular à direção de propagação om uma potênia média por unidade de área de 4 W.m - determine o valor de E.

3 oluções: Problema a) E = q e 4πε a y E = q e 4πε a x e y E 3 = 4πε q a e x E + E + E 3 + E 4 = E 4 olinear om E + E + E 3 e om sentido inverso Por razões de simetria (porque E + E 3 é olinear om E ), E 4 é também olinear om E e tem sentido inverso. Definindo a posição (que queremos determinar) da arga 4 omo (b, b, ), será: E 4 = q e 4πε b x + e y E + E + E 3 + E 4 = b = a + =,5a Qint 4. q 9 b) D n d Qint E n d 45,78N.C m q C nc ) O teorema de Gauss afirma que o fluxo do ampo elétrio através de uma superfíie fehada, Qint E E n d Problema depende apenas do valor da totalidade da arga no interior da superfíie, sendo independente da forma e extensão da mesma. Logo o valor do fluxo através da nova superfíie, que inlui igualmente as quatro argas, será idêntio (45,78 NC - m ) uma vez que a arga total no interior é a mesma. Pela mesma razão, no aso de uma superfíie fehada que inlua apenas duas das quatro argas de igual valor, o fluxo será metade do fluxo total (5,89 NC - m ) uma vez que a arga total no interior da superfíie também é metade (isto independentemente da forma e extensão da nova superfíie). a) Pela lei dos nós: I = I + I 3 Pela lei das malhas R I + R I I 3 = ε R I 3 I + R 3 I 3 + R 4 I 3 = ubstituindo os valores das resistênias e da tensão da bateria,, obtém-se: I = 3 ma; I =,5 ma; I 3 =,5 ma. V = R. I = 3 V; V = R. I = 3 V; V 3 = R 3. I 3 =,5 V; V 4 = R 4. I 3 =,5 V b) R eq = R + R R 3 + R 4 = R + R. R 3 +R 4 R +R 3 +R 4 = kω

4 ) P = R eq I = ε R eq = 8 3 W; Problema 3 P = dw = W t t = W P = 59 J 8 3 W =,44 5 s = 4 h a) B dl = μ I int πr. B = μni B = μni πr e θ b) Φ B ( espira) = B A esp h b a πr n d = dz μni dr = h μni π b a dr = μnhi ln b r π a Φ B N espiras = NΦ B espira = μn h π ln b a. I L = Φ B N espiras I = μn h π ln b a Problema 4 a) R = l σ Cu L = μ N h π N. h+(b a) 4,5+,5 = σ Cu π.r = = 43,6 Ω fio 5,9 7 π. 4 ln b a = 85,6 mh b) I = V = V = 5 = 3 ma Z R + ωl 43,6 +4π,856 Problema 5 f = Hz a) B = μni e πr θ Φ B espira exterior = Φ B espira = μnhi π ln b a = μnh π ln b a I.os ωt (expressões obtidas onforme se mostra na solução do problema 3: só interessa o fluxo no interior do solenóide uma vez que no exterior o ampo é desprezável) b) ε = dφ = d μnh π ln b a I.os ωt = μnh π ln b a ω I.sin ωt I ind = ε R = R μn h π ln b a ω I.sin ωt I ind = 8 4π 7,5 4 ln,5, π, π 5 3,. sin π 5 3 t I ind = 448,7A (!!!)

5 Problema 6 a) Direção de propagação: eixo dos x : note-se que: k r = kx k = k = π λ = πf =,9 rad.m - b) E = B t e x e y e z x y z E os kx ωt = B x e t x + B y e t y + B z e t z ke sin kx ωt e y = B y t e y (únio termo não nulo do rotaional) B y = k ω E os kx ωt B = k ω E os kx ωt e y = E os kx ωt e y ) u E = ε E = ε E os u B = μ B = μ k ω E os u E = u B μ ε k ω = ε μ = ε μ = ε μ ε μ = u E = u B d) O vetor de Poynting representa o fluxo de potênia por unidade de área. A potênia média por unidade de área perpendiular à direção de inidênia da radiação (normal à superfíie paralela ao vetor de Poynting) é dada por: P = = E B = E μ μ. E os = E μ = ε. E = 4 Wm - E = 54,88NC -

6 E q n i rˆ i 4 i r i V A V B E dr AB J N. q. v J E I J n d R ; A Q C V I dq V RI P VI LI di V L L V C I. C U C CV U L LI Id F q. E v B F m I. d B B e I e 4 r divd divb D n d D E P D E E Q int H B n d B M H B M B rote t m d E d m m B r v a r D roth J t H d I int d D 8-3. ms E B u E.E ub B C N m 7-4 NA 9 q e.69 C m 3 e 9. kg R L LC t I I e os t U F x x f T vt T k n m n sin n sin m sin n tan n B n n d sin m d sin m asin m