Método dos Elementos de Contorno Aplicado a Equação Bidimensional do Telégrafo com Solução Fundamental Independente do Tempo

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1 Método dos Elementos de Contorno Apliado a Equação Bidimensional do Telégrafo om Solução Fundamental Independente do Tempo o Mauríio Dolinski Barddal Universidade Federal do Paraná PPGMNE Curitiba, Paraná mauriio.barddal@gmail.om o José Antonio Marques Carrer Universidade Federal do Paraná PPGMNE Curitiba, Paraná arrerj@gmail.om Resumo Neste estudo, apresenta-se a solução numéria da equação bidimensional do telégrafo através do método dos elementos de ontorno, fazendo uso da solução da equação de Laplae omo solução fundamental. O MEC fará om que a equação diferenial seja tranformada em uma equação integral que relaiona valores do ontorno. Essa equação integral será omposta por integrais referentes ao ontorno, impondo a neessidade de sua disretização através de elementos. Esses, dentre as variações mais utilizadas, serão do tipo linear. A equação integral também possui integrais referentes ao domínio, fazendo om que haja a disretização do mesmo através de élulas triangulares lineares. As derivadas temporais, de primeira e segunda ordem, serão aproximadas pelo esquema de diferenças finitas e pelo método de Houbolt. Index Terms Método dos Elementos de Contorno, Equação do Telégrafo, Condição Iniial I. INTRODUÇÃO A equação do telégrafo foi proposta iniialmente por Oliver Heaviside em 88, modelando a orrente elétria ou a voltagem através de um fio ondutor. Essa equação também pode modelar outros fenômenos, omo o movimento randômio de uma partiula sobre um plano limitado, proposto por [] e a propagação de ondas elétromagnétias através da ionosfera terrestre, por []. As apliações se estendem também para área da biologia, om o estudo de movimento unidimensional de insetos, assim omo o fluxo sanguíneo através das artérias, [3]. Neste trabalho, a equação bidimensional do telégrafo será resolvida numeriamente através do método de elementos de ontorno. A equação iniialmente será tratada por resíduos ponderados, tanto para o domínio quanto para o ontorno. Após apliada a identidade de Green, as funções pesos, provindas dos resíduos ponderados, terão seus valores devidamentes esolhidos de tal forma que a equação se torne mais simplifiada. Sequenialmente, a solução da equação de Laplae será utilizada omo solução fundamental do problema, sendo interpretada omo o efeito em um ponto ampo (x, y), de um Delta de Dira apliado em um ponto fonte ξ. Após o uso da propriedade do Delta de Dira e o tratamento da equação para pontos pertenentes ao ontorno, é obtida a equação básia do método dos elementos de ontorno. Efetuando a disretização do ontorno por elementos lineares e a disretização do domínio por élulas triangulares lineares, teremos a equação omo uma soma de integrais sobre elementos e élulas para todos os nós pertenentes ao ontorno e ao domínio (pontos internos). Por fim, serão geradas duas formulações, a primeira (MEC-D) fará uso de diferenças finitas para as derivadas de primeira e segunda ordem, e a segunda formulação (MEC-H), utiliza o método de Houbolt para ambas as derivadas. A efiáia das formulações será analisada para dois exemplos sobre domínios bidimensionais de formato retangular para determinados instantes de tempo.

2 II. EQUAÇÃO DO TELÉGRAFO ATRAVÉS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO Seja a equação do telégrafo em duas dimensões: µ g(x, y, t) = µ t α µ t β µ, () ujo domínio bidimensional será representado por, ou ainda, (x, y). Os valores α e β são onstantes positivas. As ondições de ontorno esseniais ou Dirihlet são apliadas em µ : µ(x, y, t) = µ(x, y, t) (x, y) µ () As ondições de ontorno naturais ou de Newmann são apliadas em q : Reesrevendo (4), separando as integrais referentes ao ontorno através da subtração de duas integrais, e substituindo a primeira integral de domínio pela igualdade (6), obtem-se: ( ω )µ d bω d qω d η µ d µω d µ µω d µ qω 3 d q qω 3 d = q (7) lembrando que = µ q, (7) torna-se: ( ω )µ d µ η µ d bω d qω d µ qω d q q η µ d µω d µω d µ µ qω 3 d qω 3 d = (8) q q q(x, y, t) = µ(x, y, t) η = q(x, y, t) (x, y) q (3) om µ e q partes onstituintes do ontorno, de tal forma que = µ q. Admite-se que µ(x, y, t) seja uma solução aproximada do problema; onsequentemente teremos resíduos para o domínio e para o ontorno. Assim, a sentença para resíduos ponderados pode ser expressa da seguinte maneira: ( µ)ω d bω d [µ µ] ω d µ [q q] ω 3 d = q (4) sendo ω, ω e ω 3, funções de ponderação, e ainda: b = b(x, y, t) = [ ( )] µ g(x, y, t) t α µ t β µ (5) Considerando as funções de ponderação para os seguintes valores: ω = ω η e ω 3 = ω, e agrupando os termos semelhantes, (8) fiará: ( ω )µ d [ [ ] bω d qω d qω d µ q µ η µ d Fazendo, µ = µ e q = q, (9) torna-se: ( ω )µ d Para a equação: q η µ d ] bω d qω d = (9) µ d = () η ω (ξ, x, y) = δ(ξ, x, y) () A primeira integral de domínio pertenente à (4), pode ser vista omo a segunda identidade de Green: ( µ)ω d = qω d η µ d ( ω )µ d (6) tem-se a solução fundamental: ω = µ (ξ, X) = ( ) π ln = ln r () r π

3 onde r = r(ξ, X), representa a distânia entre o ponto ampo X = (x, y), e o ponto fonte ξ = (ξ x, ξ y ). A derivada da solução fundamental, em relação a direção normal ao ontorno, é alulada omo: se ξ / (ξ) = se ξ ontorno suave se ξ q = µ η = µ r r η = r πr η (3) A equação (7) é valida para pontos ξ pertenentes, tanto para o domínio, quanto para o ontorno. Apliando a igualdade () na primeira integral de domínio pertenente à (), e substituindo ω por µ e ω η por q, obtem-se: δ(ξ, x, y)µ d(x) bµ (ξ, x, y) d(x) qµ (ξ, x, y) d(x) q (ξ, x, y)µ d(x) = (4) Seja a propriedade do Delta de Dira: δ(ξ, x, y)f(x, y) d(x, y) = f(ξ) (5) Apliando a propriedade (5) e rearranjando os termos, (4) torna-se: µ(ξ, t) = qµ (ξ, x, y) d(x) q (ξ, x, y)µ d(x) bµ (ξ, x, y) d(x) (6) É através de (6) que se obtém a solução para os pontos ξ pertenentes ao domínio. Para os valores de µ(x, y, t) e q(x, y, t) pertenentes ao ontorno, será neessário um tratamento difereniado: exlui-se do domínio um írulo ɛ de raio ɛ, om entro em ξ, sendo ξ. Logo em seguida, toma-se o limite quando ɛ tende a zero. Apliado o limite, através de [4], é obtida a equação fundamental do método dos elementos de ontorno: onde: (ξ)µ(ξ, t) q (ξ, x, y)µ d(x) = qµ (ξ, x, y) d(x) bµ (ξ, x, y) d(x) (7) III. DISCRETIZAÇÃO TEMPORAL E SOLUÇÃO DOS SISTEMAS Para a obtenção das variáveis µ e q, primeiramente é neessário que o ontorno seja disretizado. Segundo [5], tal disretização deve ser feita por elementos que sejam apazes de proporionar uma boa aproximação para a geometria do ontorno. Esses elementos são denominados elementos de ontorno, uja a geometria adotada neste trabalho será a linear. Assim omo o ontorno, o domínio também será desretizado. Tal disretização será efetuada através da divisão do domínio em pequenas regiões hamadas élulas. Neste trabalho serão adotadas élulas om formato triangular, que são definidas, de modo a envolver todos os pontos do ontorno e do domínio. Com o ontorno e o domínio disretizados, (7) pode ser reesrita omo uma soma de integrais sobre elementos e élulas para um número finito de pontos ou nós ξ i seleionados: j= NE (ξ i )µ(ξ i, t) q (ξ i, x, y)µ d = j j= NE NC qµ (ξ i, x, y) d bµ (ξ i, x, y) d (8) j j onde NE representa o número de elementos que disretizam o ontorno e NC sendo o números de élulas que onstituem o domínio. A função b(x, y, t), presente em (8), é omposta pela derivada de primeira e de segunda ordem de µ(x, y, t) em relação ao tempo. A derivada de primeira ordem pode ser representada através de diferenças regressivas: j= µ n = µ n µ n (9) onde o índie (n ), onfome [6], refere-se ao tempo, t n = (n ) sendo o intervalo de tempo adotado na disretização temporal. Para a aproximação da derivada de segunda ordem de µ(x, y, t), pelo tempo, teremos: µ n = µ n µ n µ n () ()

4 Após a apliação de (8) para todos os nós do ontorno e pontos internos, o seguinte sistema de equações é obtido: Para uma segunda forma de resolução, utiliza-se a aproximação da primeira derivada temporal de µ(x, y, t), através do método de Houbolt (959), [7]: onde [ ] { [ ] H µ G H d I µ d = G d {q [ ] { M M d b M d M dd b d () µ n = 6 [µ n 8µ n 9µ n µ n ] (6) A segunda derivada temporal de µ(x, y, t) om o método de Houbolt, é aproximado omo segue: { b b d { g = g d { µ µ d { µ α µ d β µ d µ n = () [µ n 5µ n 4µ n µ n ] (7) Utilizando a notação usual do MEC, as matrizes H e G provém das integrais de ontorno que possuem respetivamente q (ξ i, x, y)µ(x, y, t) e q(x, y, t)µ (ξ i, x, y) omo integrando. As matrizes M representam a integração através do domínio sobre termo b(x, y, t)µ (ξ i, x, y). A submatriz indentidade pertenente ao lado esquerdo da igualdade, representa os valores de (ξ i ), para os pontos ξ i que provém do domínio. O superíndie india ontorno e d, domínio. Substituindo as igualdades (9) e () em () e agrupando os termos semelhantes, obtem-se: onde [ (H ρ M ) ρ M d ] n (H d ρ M d ) (I ρ M dd ) [ ] [ G {qn M M d G d ( ρ n µ d n M d ρ 3 n µ d n M dd µ d n ] { g n g d n = ) () ρ = () α β (3) ρ = () α (4) ρ 3 = () (5) Como o sistema () foi originado através do uso exlusivo da diferença finita regressiva omo aproximação de suas derivadas pelo tempo, a sua denominação é MEC-D. Apliando as igualdades (6) e (7) em () e agrupando os termos semelhantes, será obtido o seguinte sistema que será denominado omo MEC-H: sendo [ (H σ M ) σ M d (H d σ M d ) (I σ M dd ) [ G ( σ n µ d n G d ] n ] [ {qn M M d M d M dd σ 3 n µ d n [ M M d M d M dd µ d n ] σ 4 n µ d n ] { g n g d n = ) σ = () α 3 β (8) σ = 5 () 6α σ 3 = 4 () 3α σ 4 = () α 3 (9) (3) (3) Os dois métodos numérios: MEC-D e MEC-H, são analisados para n =,,, 3...

5 IV. RESULTADOS A. EXEMPLO Seja a equação bidimensional do telégrafo, onforme (), om α = ( π ), β = e g(x, y, t) =. A solução analítia, segundo Pekmen e Tezer-Sezgin [8], é dada por: µ(x, y, t) = e t sin(xπ) sin(yπ) om as seguintes ondições iniiais: µ(x, y, ) = sin(xπ) sin(yπ) µ t (x, y, ) = sin(xπ) sin(yπ) e as ondições de ontorno esseniais ou Dirihlet : Figura. Valor de µ(x, y,, 8):MEC-H. µ(, 49, y, t) = e t sin(, 49π) sin(yπ) µ(, y, t) = µ(x,, t) = µ(x,, 9996, t) = A malha utilizada para o primeiro exemplo possui x, 49 e y, 9996.O ontono será onstituído de sessenta elementos e o domínio será formado por quatroentos e trinta e duas élulas triangulares. Para o instante t =, 8, as figuras e representam respetivamente as formulações MEC-D e MEC-H, e são omparadas om a função analítia, figura 3. O instante t =, 4 é ilustrado pelos gráfios 4, 5 e 6, que representam, respetivamente, as formulações MEC-D, MEC-H e a função analítia..5 Figura 3. Valor de µ(x, y,, 8):Analítia Figura. Valor de µ(x, y,, 8):MEC-D. Figura 4. Valor de µ(x, y,, 4):MEC-D.

6 e as ondições de ontorno: µ(x,, t) = ln(x t ) µ(, 5, y, t) = ln(y t, 5) µ(x,, t) = ln(x t ) µ(, y, t) = ln(y t ) Figura 5. Valor de µ(x, y,, 4):MEC-H..8 A malha utilizada para o segundo exemplo possui x, 5 e y. O ontono será onstituído por oitenta e quatro elementos e o domínio será formado por seteentos e sessenta e oito élulas triangulares. O instante t =, 5, será representado pelo esquema MEC-D através da figura 7, MEC-H pela figura 8, sendo omparados a função analítia, figura 9. Para o instante t = 4, 5, as figuras, e, ilustram, respetivamente, os métodos MEC-D, MEC-H e a função analítia Figura 6. Valor de µ(x, y,, 4):Analítia As duas formulações obtiveram resultados satisfatórios, mas Houbolt demonstrou melhor aproximação, apresentando uma maior similaridade perante a função analítia para ambos os instantes de tempo. Todos os resultados foram exeutados para o intervalo de tempo =, 8. Figura 7. Valor de µ(x, y,, 5):MEC-D. B. EXEMPLO Vamos onsiderar a seguinte equação bidimensional do telégrafo om α =, β = e g(x, y, t) = x y t ln( x y t) ( x y t) om solução analítia, segundo [8], será: µ(x, y, t) = ln(x y t ) Dada as ondições iniiais: µ(x, y, ) = ln( x y).6.4. µ t (x, y, ) = x y Figura 8. Valor de µ(x, y,, 5):MEC-H.

7 Figura 9. Valor de µ(x, y,, 5):Analítia. Figura. Valor de µ(x, y, 4, 5):Analítia. resultados foram obtidos para o intervalo de tempo =, 5. REFERÊNCIAS Figura. Valor de µ(x, y, 4, 5):MEC-D..5 [] E. Orsingher, A Planar Random Motion Governed by the Two-Dimensional Telegraph Equation, Applied. Prabability. Trust, vol. 3, pp , 986. [] V. V. Kirillov, Two-dimensional theory of elf eletromagneti wave propagation in the earth-ionosphere waveguide hannel, Radiophysis. and. Quantum. Eletronis, vol. 39, pp , 996. [3] R. K. Mohanty, New unonditionally stable differene shemes for the solution of multi-dimensional telegraphi equations, International. Journal. of. Computer. Mathematis, vol. 86, pp. 6 7, 9. [4] C. A. Brebbia, J. C. F. Telles and L. C. Wrobel, Boundary Element Tehniques Theory and Appliation in Engineering, Springer-Verlag, Berlim and New York, 984. [5] W. J. Mansur, J.H.A Prodanoff and J.P.S Azevedo, Métodos Numérios em Reursos Hídrios, Assoiação Brasileira de Reursos Hídrios, Porto Alegre, 996. [6] R. J. Vanzuit, Análise do Fluxo Bidimensional de Calor Pelo Método dos Elementos de Contorno om Soluções Fundamentais Independente do Tempo, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 7. [7] J. A. M. Carrer and W. J. Mansur, Alternative time-marhing shemes for elastodynami analysis with the domain boundary element method formulation, Computational Mehanis, vol. 34, pp , 4. [8] B. Pekmen and M. Tezer-Sezgin, Differenial Quadrature Solution of Hyperboli Telegraph Equation, Hindawi, pp. 8, Figura. Valor de µ(x, y, 4, 5):MEC-H. Como pode-se observar, tanto MEC-D omo MEC-H apresentaram resultados expressivos para os dois instantes de tempo, representando a função analítia de maneira muito similar. Todos os