Aula 2. Leandro Farina

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1 Aula 2 Leandro Farina (farina@mat.ufrgs.br) Janeiro de 2007 / Petrópolis

2 Linhas Gerais 1 2 e Indentidade de Green Aplicação em

3 Linhas Gerais 1 2 e Indentidade de Green Aplicação em

4 O Minicurso Capítulos. 7 1 em Água Hipóteses da água Equações, condições de contorno,... Primeiras soluções: lineares, senoidais, energia, classificação em relação à profundidade, velocidade de grupo Equação de Declividade Suave (Mild-Slope equation)

5 O Minicurso Capítulos. 7 1 em Água Hipóteses da água Equações, condições de contorno,... Primeiras soluções: lineares, senoidais, energia, classificação em relação à profundidade, velocidade de grupo Equação de Declividade Suave (Mild-Slope equation) 2 Green: Indentidades, integrais Forças, massa adicional Integrais hipersingulares <-> corpos finos Offshore, Petróleo

6 O Minicurso 3 Movimentos Transientes e Não-Linearidade transientes Tsunamis Stokes, Schrödinger, Lagrange & Hamilton Conservação de energia Zakharov

7 O Minicurso 3 Movimentos Transientes e Não-Linearidade transientes Tsunamis Stokes, Schrödinger, Lagrange & Hamilton Conservação de energia Zakharov 4 Irregulares no Oceano Superposição infinita de ondas Estatísticas, espectro e a sétima onda Ventos Previsão de ondas

8 Linhas Gerais 1 2 e Indentidade de Green Aplicação em

9 Linhas Gerais 1 2 e Indentidade de Green Aplicação em

10 Difração Um exemplo.

11 Difração Outro exemplo.

12 Espalhamento de. Movimento Harmônico Simples. Fatoração do Potencial. movimento harmônico simples: Φ(x, y, z, t) = Re{φ(x, y, z)e iωt },

13 Espalhamento de. Movimento Harmônico Simples. Fatoração do Potencial. movimento harmônico simples: Φ(x, y, z, t) = Re{φ(x, y, z)e iωt }, Fatorando φ = φ inc + φ esp.

14 Espalhamento de. Movimento Harmônico Simples. Fatoração do Potencial. movimento harmônico simples: Φ(x, y, z, t) = Re{φ(x, y, z)e iωt }, Fatorando φ = φ inc + φ esp. a condição de superfície livre se torna: φ esp z λφ esp = 0, em z = 0.

15 Espalhamento de. Movimento Harmônico Simples. Fatoração do Potencial. movimento harmônico simples: Φ(x, y, z, t) = Re{φ(x, y, z)e iωt }, Fatorando φ = φ inc + φ esp. a condição de superfície livre se torna: φ esp z λφ esp = 0, em z = 0. No obstáculo, φ = 0, em S. n

16 Espalhamento de. Movimento Harmônico Simples. Fatoração do Potencial. movimento harmônico simples: Φ(x, y, z, t) = Re{φ(x, y, z)e iωt }, Fatorando φ = φ inc + φ esp. a condição de superfície livre se torna: φ esp z λφ esp = 0, em z = 0. No obstáculo, Ou seja, φ esp n φ = 0, em S. n = φ inc n em S,

17 Condição de e Função de Green. Condição de Sommerfeld e Função de Green (de John). Condição de Sommerfeld lim ρ ρ 1/2( φ ) S ρ icφ S = 0.

18 Condição de e Função de Green. Condição de Sommerfeld e Função de Green (de John). Condição de Sommerfeld lim ρ ρ 1/2( φ ) S ρ icφ S = 0. Função de Green de superfície livre: com G = G n, n=0 G n = 2πiB n cosh k n (z + h) cosh k n (ζ + h)h (1) 0 (k nr), satisfaz todas a condições do problema exceto a condição no obstáculo.

19 Condição de e Função de Green. Condição de Sommerfeld e Função de Green (de John). Condição de Sommerfeld lim ρ ρ 1/2( φ ) S ρ icφ S = 0. Função de Green de superfície livre: com G = G n, n=0 G n = 2πiB n cosh k n (z + h) cosh k n (ζ + h)h (1) 0 (k nr), satisfaz todas a condições do problema exceto a condição no obstáculo. Fritz John, On the motion of floating bodies II. Comm. Pure Appl. Math. (1950).

20 Linhas Gerais 1 2 e Indentidade de Green Aplicação em

21 Solução. Identidade de Green. Potencial de velocidade é dado pela FÓRMULA INTEGRAL: φ esp (x) = 1 ( φ esp (ξ) G ) 4π n (x; ξ) G(x; ξ) φ esp n (ξ) dσ ξ. S com φ satisfazendo a seguinte equação integral de Fredholm:

22 Solução. Identidade de Green. Potencial de velocidade é dado pela FÓRMULA INTEGRAL: φ esp (x) = 1 ( φ esp (ξ) G ) 4π n (x; ξ) G(x; ξ) φ esp n (ξ) dσ ξ. S com φ satisfazendo a seguinte equação integral de Fredholm: 1 2 φ esp(p) = f (p) + 1 φ esp (p) G 4π n (p; ξ) dσ ξ, p S, S onde f (p) = 1 G(p; ξ) φ esp 4π S n (p) dσ ξ. (Unicidade, frequências irregulares).

23 Amplitude de Espalhamento. Comportamento assintótico no far-field G 2πiB 0 (π/2)k0 r 0 cosh k 0 (z + h) cosh k 0 (ζ + h) e i(k 0r 0 π/4 ik 0 ρ 0 cos(θ ϕ)).

24 Amplitude de Espalhamento. Comportamento assintótico no far-field G 2πiB 0 (π/2)k0 r 0 cosh k 0 (z + h) cosh k 0 (ζ + h) e i(k 0r 0 π/4 ik 0 ρ 0 cos(θ ϕ)). Substituindo na FÓRMULA INTEGRAL para φ esp, 2 φ esp (x) B 0 i cosh k 0 (z + h)e i(k 0r 0 π/4) πk 0 r 0 ( ) H cosh k 0 (z 0 + h)e ik 0ρ 0 cos(θ ϕ), onde H é o funcional de Kochin

25 Amplitude de Espalhamento. Comportamento assintótico no far-field G 2πiB 0 (π/2)k0 r 0 cosh k 0 (z + h) cosh k 0 (ζ + h) e i(k 0r 0 π/4 ik 0 ρ 0 cos(θ ϕ)). Substituindo na FÓRMULA INTEGRAL para φ esp, 2 φ esp (x) B 0 i cosh k 0 (z + h)e i(k 0r 0 π/4) πk 0 r 0 ( ) H cosh k 0 (z 0 + h)e ik 0ρ 0 cos(θ ϕ), onde H é o funcional de Kochin Pode-se definir a amplitude de espalhamento D(θ) : 2 φ esp (x) D(θ) cosh k 0 (z + h) e ik 0r 0 quando r 0. πk 0 r 0

26 . Seis graus de liberdade. surge, sway, heave, roll, pitch, yaw.

27 . Seis graus de liberdade.

28 O Problema de. Seis potenciais de velocidade. Seis condições de contorno adicionais. 6 φ rad = ξ j φ j (x, y, z) j=1 representa o potencial de velocidades devido às velocidades U j (t) = Re{(iωξ j e iωt }, j = 1, 2,..., 6, Condições de contorno em S: φ j n = i ω n j, j = 1, 2, 3, φ j n = i ω (r n) j 3, j = 4, 5, 6,

29 Forças e Momentos. F = P n dσ, M = P (r n) dσ. Da equação de Bernoulli linear, ( P = ρ gz + Φ ) t S = ρgz ρ Re { (φ inc + φ esp + φ rad ) iwe iωt}. S

30 Forças e Momentos. Então [ F M ] = ρ g S [ n r n ρ Re i ω e iωt ρ Re S [ 6 i ω ξ j e iωt j=1 ] z dσ n r n S [ ] (φ inc + φ esp ) dσ. n r n ] φ j dσ. (1)

31 Massa Adicional e Amortecimento. onde 6 F i = Re ξ j e iωt f ij, i = 1, 2,..., 6, (2) j=1 f ij = ρ S φ i n φ j dσ (3) é uma função complexa representando a força na direção i devido ao modo de movimento com amplitude 1 na direção j.

32 Massa Adicional e Amortecimento. onde 6 F i = Re ξ j e iωt f ij, i = 1, 2,..., 6, (2) j=1 f ij = ρ S φ i n φ j dσ (3) é uma função complexa representando a força na direção i devido ao modo de movimento com amplitude 1 na direção j. Definimos a massa adicional e amortecimento por: f ij = ω 2 A ij i ωb ij. (4)

33 Linhas Gerais 1 2 e Indentidade de Green Aplicação em

34 Formulação. 4πφ(p) = S + S ( φ(ξ) G n (p, ξ) G(p, ξ) φ(ξ) n ) ds ξ.

35 Formulação. 4πφ(p) = S + S ( φ(ξ) G n (p, ξ) G(p, ξ) φ(ξ) n ) ds ξ. Denotamos os dois lados do obstáculo por S + e S e temos φ(ξ + ) n + = φ(ξ ) n,

36 Formulação. 4πφ(p) = S + S ( φ(ξ) G n (p, ξ) G(p, ξ) φ(ξ) n ) ds ξ. Denotamos os dois lados do obstáculo por S + e S e temos Teremos: 4πφ(p) = = φ(ξ + ) n + = φ(ξ ) n, S S (φ(ξ + ) φ(ξ )) G(p, ξ+ ) n + ds ξ [φ] G(p, ξ+ ) n + ds ξ, (5)

37 Formulação. 4πφ(p) = S + S ( φ(ξ) G n (p, ξ) G(p, ξ) φ(ξ) n ) ds ξ. Denotamos os dois lados do obstáculo por S + e S e temos Teremos: 4πφ(p) = = φ(ξ + ) n + = φ(ξ ) n, S S (φ(ξ + ) φ(ξ )) G(p, ξ+ ) n + ds ξ [φ] G(p, ξ+ ) n + ds ξ, (5) Aplicando a condição de contorno no obstáculo S, 1 G(p, ξ) [φ] ds ξ = V (p), p S. 4π n p n ξ S

38 Transgredindo Riemann. Integral Hipersingular. Hadamard. 1 4π S [φ] 2 G(p, ξ) n p n ξ ds ξ = V (p), p S,

39 Transgredindo Riemann. Integral Hipersingular. Hadamard. em 2D, b a 1 4π { f (t) x ε dt = lim (x t) 2 ε 0 a S d dx [φ] 2 G(p, ξ) n p n ξ ds ξ = V (p), p S, b a f (t) b (x t) 2 dt + x+ε b f (t) x t dt = a f (t) (x t) 2 dt. } f (t) 2f (x) dt (x t) 2 ε

40 Transgredindo Riemann. Integral Hipersingular. Hadamard. em 2D, b a em 3D, 1 4π { f (t) x ε dt = lim (x t) 2 ε 0 a S d dx [φ] 2 G(p, ξ) n p n ξ ds ξ = V (p), p S, b w(ξ, η) dω Ω R 3 = lim ε 0 a f (t) b (x t) 2 dt + x+ε b f (t) x t dt = { a f (t) (x t) 2 dt. } f (t) 2f (x) dt (x t) 2 ε } w(ξ, η) dω 2πw(x, y), Ω\Ω ε R3 ε

41 Para o Nosso Problema de (Obstáculo Fino). 1 4π [φ(q)] S { } 1 R 3 + H r (p, q) Ṣ q = V (p), p S

42 Para o Nosso Problema de (Obstáculo Fino). 1 4π [φ(q)] S { } 1 R 3 + H r (p, q) Ṣ q = V (p), Método de expansão-colocação usa: Em 2D, t 2 π U n (t) (x t) 2 dt = (n + 1)U n (x). 1 p S

43 Para o Nosso Problema de (Obstáculo Fino). 1 4π [φ(q)] S { } 1 R 3 + H r (p, q) Ṣ q = V (p), Método de expansão-colocação usa: Em 2D, t 2 π U n (t) (x t) 2 dt = (n + 1)U n (x). Em 3D, 1 1 4π S 1 R 3 Bm k (s, α) s ds dα = C m k B m k (r, θ), 1 r 2 p S

44 Linhas Gerais 1 2 e Indentidade de Green Aplicação em

45 Aplicações Offshore. Plataforma Hibernia, Canadá. Gravity Base Structure (GBS).

46 Aplicações Offshore. Aeroporto Flutuante, Japão.

47 Aplicações Offshore. Aeroporto Flutuante, Japão.

48 Aplicações Offshore. Base Militar Offshore

49 Plataforma TLP Mars. Projetada para suportar ondas de até 22 m e ventos de até 225 km/h simultâneamente.

50 Plataforma TLP Mars. Após a passagem do furacão Katrina em agosto de 2005.

51 Aspectos Computacionais Desafios φ(p) = 1 ( 4π S φ(ξ) G n Integração de núcleos singulares; (p, ξ) G(p, ξ) φ(ξ) n ) ds ξ.

52 Aspectos Computacionais Desafios φ(p) = 1 ( 4π S φ(ξ) G n Integração de núcleos singulares; (p, ξ) G(p, ξ) φ(ξ) n solução de sistemas lineares com matrizes densas; ) ds ξ.

53 Aspectos Computacionais Desafios φ(p) = 1 ( 4π S φ(ξ) G n Integração de núcleos singulares; (p, ξ) G(p, ξ) φ(ξ) n solução de sistemas lineares com matrizes densas; avaliação eficiente da função de Green. ) ds ξ.

54 Aspectos Computacionais Desafios φ(p) = 1 ( 4π S φ(ξ) G n Integração de núcleos singulares; (p, ξ) G(p, ξ) φ(ξ) n solução de sistemas lineares com matrizes densas; avaliação eficiente da função de Green. Procedimentos usuais ) ds ξ. Quadratura Gaussiana ou Monte Carlo

55 Aspectos Computacionais Desafios φ(p) = 1 ( 4π S φ(ξ) G n Integração de núcleos singulares; (p, ξ) G(p, ξ) φ(ξ) n solução de sistemas lineares com matrizes densas; avaliação eficiente da função de Green. Procedimentos usuais ) ds ξ. Quadratura Gaussiana ou Monte Carlo Solução do sistema linear por GMRES e/ou Método Multipolo Rápido;

56 Aspectos Computacionais Desafios φ(p) = 1 ( 4π S φ(ξ) G n Integração de núcleos singulares; (p, ξ) G(p, ξ) φ(ξ) n solução de sistemas lineares com matrizes densas; avaliação eficiente da função de Green. Procedimentos usuais ) ds ξ. Quadratura Gaussiana ou Monte Carlo Solução do sistema linear por GMRES e/ou Método Multipolo Rápido; Aproximação da Função de Green por expansões ou por polinômios de Chebyshev.

57 Métodos Computacionais Método dos Painéis; Elementos de Contorno (constanes ou ordem superior; B-Splines.); Integração Trapezoidal.

58 Forças Hidrodinâmicas em uma Plataforma Spar. da Plataforma.

59 Plataforma Spar. Quilhas para Mitigar Vibrações Induzidas por Vórtices.

60 Plataforma Spar, modelo Genesis. Golfo do México.

61 Modelo Computacional. Para resolver a equação integral governante pode-se usar um método de ordem superior onde a geometria da parte molhada da spar é representada de forma exata através de uma transformação (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = T (u, v), onde (x, y, z) é um ponto em S e (u, v) parâmetros em um simples domínio quadrado. φ é representada por B-Splines.

62 V3 Representação Geométrica. Discretização Especial na Base. Z X Y V2 V1

63 Representação Geométrica. Discretização Especial nas Pontas das Quilhas. X Y Z

64 A massa adicional de surge como uma função do número de onda admensional. A linha sólida: spar padrão; a linha tracejada: spar lisa e a linha formada por (-.) é para a spar de quilha grossa. Massa Adicional de Surge Massa adicional de surge Número de onda admensional

65 O amortecimento de surge como uma função do número de onda admensional. A linha sólida: spar padrão; a linha tracejada: spar lisa e a linha formada por (-.) é para a spar de quilha grossa. Coeficiente de Amortecimento de Surge. Amortecimento de surge Número de onda admensional

66 Modelagem de Tsunamis..