Prof. Weber Campos 2012 Copyri'ght. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.

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1 DNIT Raciocínio Lógico - GEOMETRI ÁSI - TRIGONOMETRI webercampos@gmail.com 01 opyri'ght. urso gora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.

2 ÍNDIE Resumo de Geometria 0 Eercícios Resolvidos de GEOMETRI 1 Eercícios de GEOMETRI das Vídeoaulas 5 Gabarito 8 Resumo de Trigonometria 9 Eercícios Resolvidos de TRIGONOMETRI 6 Eercícios de TRIGONOMETRI das Vídeoaulas 4 Gabarito 45

3 # Tipos de ângulos RESUMO DE GEOMETRI Ângulo reto: É aquele cuja medida é iguala 90º (ou / rad). 90º Ângulo raso: É aquele cuja medida é igual a 180º (ou rad). 180º Ângulo agudo: É aquele cuja medida é menor que a de um ângulo reto. Ângulo obtuso: É aquele cuja medida é maior que a de um ângulo reto e menor que a de um raso. # Ângulos em retas paralelas e transversais Duas retas paralelas r e s, interceptadas por uma transversal, determinam oito ângulos. t d a c b r s Nomenclatura Ângulos correspondentes: a e ; b e ; c e ; d e Ângulos alternos internos: c e ; d e Ângulos alternos eternos: a e ; b e Ângulos colaterais internos: c e ; d e Ângulos colaterais eternos: a e ; b e Ângulos opostos pelo vértice: a e c; b e d; e ; e Propriedade São congruentes. Daí: a = ; b = ; c = ; d = São congruentes. Daí: c = ; d = São congruentes. Daí: a = ; b = São suplementares. Daí: c + = 180º; d + = 180º São suplementares. Daí: a + = 180º; b + = 180º São congruentes. Daí: a = c; b = d; = ; =

4 # omprimento da circunferência = r # omprimento de um arco da circunferência Sabendo que uma volta completa na circunferência corresponde a um ângulo de 60º (ou rad), podemos encontrar a medida de qualquer arco através de uma regra de três simples. # TRIÂNGULOS Quanto aos lados: Equilátero: tem os três lados iguais e os três ângulos iguais. 60º Isóceles: tem dois lados iguais e dois ângulos iguais. Escaleno: os três lados são diferentes e também os três ângulos. 60º 60º Quanto aos ângulos: Retângulo: possui um ângulo reto. cutângulo: todos os ângulos são menores que 90º. Obtusângulo: possui um ângulo maior que 90º. # ondição de eistência do triângulo a c b Qualquer lado do triângulo está compreendido entre a diferença positiva e a soma dos outros dois. Ou seja: b c < a < b + c a c < b < a + c a b < c < a + b # Teorema do ângulo interno soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a = 180º # Teorema do ângulo eterno Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo eterno é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não-adjacentes. e = + e 4

5 # evianas do triângulo eviana é qualquer segmento de reta que tem uma etremidade num vértice de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte do lado oposto a esse vértice. Veremos as cevianas mais importantes: Mediana, issetriz interna e ltura. # Mediana È o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. # ltura É o segmento que parte de um vértice e é perpendicular ao lado oposto. # issetriz É o segmento que parte de um vértice e divide o ângulo em duas partes iguais (em dois ângulos congruentes). D Teorema da bissetriz interna: a bissetriz do ângulo interno de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados. Da figura acima, temos: 5

6 # Pontos notáveis do triângulo INENTRO RIENTRO Z Y O X O incentro é o ponto de encontro das bissetrizes internas. O incentro será o centro da circunferência inscrita no triângulo. ORTOENTRO O baricentro é o ponto de encontro das medianas. O baricentro divide cada mediana em dois segmentos de modo que o menor é 1/ da medida da mediana. Ou seja: OX = X/; OY = Y/; OZ = Z/. IRUNENTRO O ortocentro é o ponto de encontro das alturas. O circuncentro é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo. ( mediatriz de um segmento é a reta perpendicular que passa pelo ponto médio desse segmento.) O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. No triângulo equilátero, o incentro, o baricentro, o ortocentro e o circuncentro coincidem num único ponto. 6

7 # Relações métricas no triângulo retângulo O triângulo abaio é chamado de triângulo retângulo porque possui um ângulo interno igual a 90º. c h b m a n Vamos caracterizar os elementos seguintes desse triângulo: a : hipotenusa b e c : catetos h : altura relativa à hipotenusa m e n : projeções dos catetos sobre a hipotenusa Temos as seguintes relações métricas no triângulo retângulo: 1) bc = ah ) c = m.a ) b = n.a 4) h = m.n Teorema de Pitágoras: O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. ssim: a = b + c # QUDRILÁTEROS Quadrilátero é o polígono de quatro lados. soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 60º. lguns quadriláteros notáveis são: paralelogramo, retângulo, losango, quadrado e trapézio. Paralelogramo É o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. No paralelogramo também se observa: - Os lados opostos são congruentes; - Os ângulos opostos são congruentes; - Os ângulos adjacentes são suplementares. Retângulo É o paralelogramo que possui seus quatro ângulos retos. Losango É o paralelogramo que tem os quatro lados iguais. Quadrado É o paralelogramo que tem os quatro lados e os quatro ângulos iguais entre si. Trapézio É o quadrilátero em que apenas dois lados são paralelos entre si. ase Média do Trapézio Sendo M o ponto médio de D e N o ponto médio de, a medida do segmento MN, chamada de base média do trapézio, é dada por: 7

8 ase Média do Triângulo Se interligarmos os pontos médios de dois lados de um triângulo, teremos um segmento que será: 1o) paralelo ao terceiro lado; o) igual à metade do terceiro lado. # POLÍGONOS Se os lados forem todos iguais e os ângulos internos também, o polígono diz-se regular. Diagonais de um polígono De um único vértice, num polígono de n lados (e n vértices), partem n diagonais. n( n ) Nº de diagonais do polígono = Ângulos internos e eternos de um polígono 1º) soma dos ângulos internos = i 1 + i i n = 180º.(n-) º) soma dos ângulos eternos = e 1 + e e n = 60º º) Se o polígono for regular, ele tem todos os ângulos congruentes, daí vem: ângulo interno de um polígono regular de n lados = ângulo eterno de um polígono regular de n lados = # TEOREM DE TLES Um feie de paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos que são proporcionais. t 1 t D r 1 E r F r Posto isso, teremos: Ou ainda: DE EF DE EF DF 8

9 # SEMELHNÇ DE POLÍGONOS Dois polígonos DE... e D E..., com o mesmo número de lados, são semelhantes se, e somente se: 1º) seus ângulos correspondentes (homólogos) são congruentes, isto é:,,,... º) seus lados homólogos são proporcionais, isto é: constante k, de proporcionalidade entre os lados, é chamada razão de semelhança dos polígonos. Dada a constante k de proporcionalidade entre os lados, temos também que: - razão entre os perímetros é k; - razão entre as diagonais homólogas é k; - razão entre as alturas homólogas dos vértices é k; Enfim, a razão entre dois elementos lineares homólogos é k. razão entre as áreas de polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança, ou seja, k. # ÁRES DS FIGURS PLNS Retângulo: Área = a. b Quadrado: Área = a Paralelogramo: Área = base altura = a h Trapézio: Área = ( + b).h Losango: Área = D. d d = diagonal menor D = diagonal maior Triângulo qualquer Área = base altura = a h ou Área = a.b.sen ou Triângulo Equilátero h = a e Área = a 4 9

10 Triângulo Inscrito numa ircunferência c R b Área do triângulo = a.b.c 4R a Triângulo ircunscrito a uma ircunferência c r b Área do triângulo = (a+b+c).r a Área do írculo: Área = r Setor ircular r Pela aplicação da regra de três simples, teremos: Área = r o 60 Heágono Regular: Área = 6 a 4 # VOLUME DOS SÓLIDOS Paralelepípedo retângulo Volume = área da base altura = a. b. c Área total = (ab + ac + bc) ubo Volume = área da base altura = a. a = a Área total = (a + a + a ) = 6a ilindro Volume = área da base altura = r. h Área lateral = r. h Área total = área lateral + área das bases = rh +.r 10

11 Esfera Volume = 4R Área da superfície esférica = 4 R Pirâmide Volume = área da base altura Para o tetraedro regular (as faces são triângulos eqüiláteros), o volume é: a h Volume = 4 one Volume = área da base altura = r. h # EQUÇÃO D RET equação de uma reta é dada pela epressão: Onde: y = a. + b y: é a ordenada dos pontos da reta; : é a abscissa dos pontos da reta; a: coeficiente angular da reta; b: coeficiente linear da reta. # oeficiente ngular da Reta O coeficiente angular indica a declividade da reta. Quanto maior o seu módulo, mais próima a reta estará da vertical e quanto menor o seu módulo, mais próima a reta estará da horizontal. Se o coeficiente angular é nulo, a reta é horizontal. reta é crescente se e somente se o coeficiente angular é positivo, e a reta é decrescente se e somente se o coeficiente angular é negativo. O coeficiente angular de uma reta é o valor da tangente do ângulo que a reta faz com o eio das abscissas. a = tg O coeficiente angular de uma reta também pode ser determinado a partir de dois pontos da reta. Dados os pontos P 1 =( 1,y 1 ) e P =(,y ), com 1, o coeficiente angular a da reta que passa por estes pontos é o número real: a y y1 1 # oeficiente Linear da Reta O coeficiente linear b de uma reta é a ordenada (altura) do ponto onde a reta corta o eio y. 11

12 # Equação da reta a partir de um ponto e do coeficiente angular Dados o ponto P 1 =( 1,y 1 ) e o coeficiente angular a, a equação da reta pode ser determinada por: y y 1 = a.( 1 ) # Equação da reta a partir de dois pontos da reta Dados os pontos P 1 =( 1,y 1 ) e P =(,y ), com 1, podemos determinar o coeficiente angular da reta através da epressão: a y y1 1 Substituindo este valor de a na equação anterior da reta, teremos: y y 1 = y y1 1.( 1 ) # Retas Horizontais e Verticais Se uma reta é horizontal, o seu coeficiente angular é nulo e a equação desta reta é dada por y=b, onde b é a ordenada do ponto onde está reta corta o eio Y. Se uma reta é vertical ela não possui coeficiente linear e nem coeficiente angular. ssim, a reta é indicada apenas por =k, onde k é a abscissa do ponto onde a reta corta o eio X. # Retas Paralelas e Perpendiculares Retas paralelas: Duas retas no plano são paralelas se ambas são verticais ou se possuem coeficientes angulares iguais. Retas perpendiculares: Duas retas no plano são perpendiculares se uma delas é horizontal e a outra é vertical, ou se o produto de seus coeficientes angulares é igual a 1, isto é, a'.a"= 1. # ÁRE DE UM TRIÂNGULO NO PLNO RTESINO Dados três pontos não-colineares: ( 1,y 1 ), (,y ) e (,y ), podemos determinar a área do triângulo que tem por vértices esses pontos. Área = 1/. det Se a área for zero, isso indica que os três pontos são colineares. 1

13 EXERÍIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRI 01. alcule o ângulo na figura abaio, sabendo que H e I são, respectivamente, a altura e a bissetriz relativas ao vértice do triângulo. 54º 0º H I No triângulo H, temos que o ângulo é 90º. ssim, o ângulo deste triângulo será igual a 6º (=180º 90º 54º). b 6º 54º 0º H I No triângulo, para que a soma dos ângulos seja igual a 180º, é necessário que o ângulo seja igual a 96º (=180º 54º 0º). Daí, vem a igualdade: 6º + + b = 96º Resolvendo, vem: + b = 96º 6º + b = 60º (1ª equação) Da informação da bissetriz I, podemos igualar as duas partes que esta bissetriz divide. Teremos: 6º + = b (ª equação) O valor de b, nesta ª equação, será lançado na 1ª equação. Teremos: + (6º + ) = 60º = 60º 6º = 4º = 1º (Resposta!) 0. O triângulo da figura abaio tem perímetro igual a 5 cm. O segmento P é a bissetriz de  e as medidas dos segmentos e P são, respectivamente, 1 cm e 9 cm. alcule a medida do segmento. 1 P 9 1

14 Designaremos por a medida do segmento e por y a medida do segmento P. 1 y P omo o perímetro do triângulo é igual a 5, podemos formar a seguinte equação: + y = 5 Simplificando, vem: + y = 14 9 E pelo teorema da bissetriz interna, temos: Isolando y na primeira equação e substituindo na segunda, teremos: Resolvendo, vem: (Resposta!) 0. Determine o valor de na figura abaio. 5 4 D O triângulo D é um triângulo retângulo. hamaremos o segmento D de m e depois aplicaremos o teorema de Pitágoras no triângulo D. 5 = 4 + m m = 5 16 m = hamaremos a hipotenusa de a e aplicaremos a relação métrica: c = m.a. 5 =. a a = 5/ Para encontrar, aplicaremos a relação métrica: b.c = a.h.. 5 = 5/. 4 = 0/ (Resposta!) 14

15 04. Na figura abaio, D é um quadrado e DE é um triângulo equilátero. alcule e. E D Os ângulos do quadrado D são iguais a 90º e os ângulos do triângulo eqüilátero DE são iguais a 60º. hamaremos de o ângulo e de o ângulo. 90º E 60º D 0º 0º 60º 60º Os quatro lados do quadrado e mais os lados DE e E do triângulo são todos congruentes entre si. Daí pode-se observar no desenho acima que o triângulo E é isósceles. Deste modo, esse triângulo possui dois ângulos iguais:. seja: soma dos ângulos internos do triângulo E deve ser igual a 180º. Ou + + 0º = 180º = 150º = 75º O ângulo é reto e é igual à soma dos ângulos e. Daí, vem: + = 90º + 75º = 90º = 15º 15

16 05. Na figura abaio, D é um trapézio cujas bases são: = 4 cm e D = 10 cm. Sejam M o ponto médio do lado D e N o ponto médio do lado. Os pontos P e Q são os pontos de intersecção de MN com as diagonais e D. alcule o segmento PQ. 4 cm M P Q N 10 cm O segmento MN é a base média do trapézio, daí vem: D O segmento MP é uma base média do triângulo, daí vem: O segmento QN é a base média do triângulo D, daí vem: Já temos condições de calcular PQ. Observe no desenho que a medida PQ é igual a: (MN MP QN). Daí vem: 06. figura abaio apresenta um heágono regular inscrito numa circunferência. alcule as medidas dos ângulos, y e z. F z y E O ângulo interno de um polígono regular é dado pela epressão: 180º.(n- )/n. Onde n é o número de lados. No heágono, o n é 6. Daí, o ângulo interno do heágono é igual a: 180º.(6-)/6 = / 6 = 10º ssim, temos que:. D 16

17 O triângulo é isósceles, pois =. Daí, os ângulos das bases são iguais a. Veja o desenho abaio: 10º soma dos ângulos internos do triângulo deve ser igual a 180º º = 180º = 60º = 0º No quadrilátero DEF, as bases ED e F são paralelas e os lados D e FE são iguais, assim os ângulos e são congruentes. E os ângulo internos e do heágono são iguais a 10º. Veja o desenho abaio: F z z E 10º 10º D soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 60º. Daí vem: z + z + 10º + 10º = 60º z = 60º - 40º z = 60º Passemos ao cálculo de y. O ângulo interno do heágono é igual a 10º. E esse ângulo é composto pelos ângulos (60º), y e (0º). Temos, então: + y + = 60º + y + 0º = 10º y = 10º - 90º y = 0º Esse cálculo de y era dispensável, pois observe no desenho da questão que os ângulos e y são alternos internos e, portanto, congruentes. 07. Na figura abaio, o ângulo é congruente ao ângulo, = 16 cm, = 1 cm, = 16 cm e P = 6 cm. alcule as medidas dos segmentos PQ e Q P 6 Q 1 17

18 Na figura acima, podemos observar dois triângulos: e PQ, onde o ângulo é comum aos dois triângulos. Separaremos os dois triângulos colocando as medidas de cada um P 6 1 Q y omo há dois ângulos em comum, é claro que o terceiro ângulo também será comum. Daí, os triângulos são semelhantes. Vamos reposicionar o segundo triângulo de forma que os ângulos dos dois triângulos se correspondam. Q y P 6 omo são semelhantes, faremos a proporção entre os lados correspondentes: Igualando a primeira e a última fração, encontraremos o valor de : álculo de y: 08. Na figura abaio, é um triângulo eqüilátero de lado 8 cm e M é o ponto médio de. alcule Q, sabendo que P = 10 cm. M Q 8 10 P M é o ponto médio de e chamaremos de N o ponto médio de. Interligando os pontos M e N, o segmento MN fica paralelo a, e a medida do segmento MN é igual à metade do segmento, ou seja, MN = 8/ = 4. 18

19 M Q 4 4 N 4 10 P Vamos destacar abaio o triângulo MNP. M Q 4 N 4 10 P omo MN é paralelo a Q, então o ângulo é igual ao ângulo. E como o ângulo é comum aos triângulos MNP e QP, então esses triângulos têm dois ângulos em comum. Desse modo, os triângulos MNP e QP são semelhantes. Da semelhança entre os dois triângulos, podemos estabelecer a seguinte proporção: Substituindo pelas medidas dos segmentos, teremos: Resolvendo, vem: Q = (4. 10)/14 = 40/14 = 0/7 =,86 cm (Resposta!) 09. alcule o raio r da circunferência abaio: 8,6 r Observe que o segmento é o diâmetro da circunferência, assim traçaremos o segmento a fim de formar o triângulo retângulo. 19

20 8 r-,6,6 r r projeção do cateto na hipotenusa é igual a diferença entre o diâmetro (r) e a projeção do cateto na hipotenusa (,6), ou seja, r,6. Usaremos agora a relação métrica: b =n.a. 8 = (r,6). r Resolvendo, vem: 64 = 4r 7,r 4r 7,r 64 = 0 r 1,8r 16 = 0 s raízes são: r =5 e r =-,. Portanto, r= alcule a área da parte sombreada dentro quadrado D de lados 1 cm. Observe que os pontos e D são centros de circunferências de mesmo raio. ssim, D = E = DE = 1 cm. Desse modo, o triângulo DE é eqüilátero, com lados iguais a 1 cm e ângulos iguais a 60º. E º 1 D área do triângulo eqüilátero DE é dada por: Área do DE = = O setor circular DE tem área igual a: Área do setor DE = = = 0

21 diferença entre a área do setor circular DE e a área do triângulo DE é igual à área do segmento circular DE. Área do segmento circular DE = Observe no último desenho que a área sombreada corresponde à soma das áreas de três partes: segmento circular E, triângulo DE e segmento circular DE. Área sombreada = ( ) + + ( ) = (Resposta!) 11. (F-STN-000 ESF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, e (y-). Sabendo que a tangente trigonométrica do ângulo oposto ao cateto que mede é igual a 1, então o perímetro do triângulo é igual a a) y ( + 1) d) ( + y) b) y ( + ) e) + y c) ( + ) De acordo com o enunciado, podemos desenhar o seguinte triângulo retângulo: y- tangente de é 1, daí = 45º. gora, conhecemos dois ângulos internos do triângulo: 90 o e 45º. O terceiro ângulo também será 45º graus para que a soma dos ângulos internos seja 180º. omo o triângulo possui dois ângulos iguais, então ele é isósceles, com =y-. No desenho anterior, substituiremos y- por. a hipotenusa a pode ser encontrada a partir do Teorema de Pitágoras: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. plicando o teorema, teremos: a = + 45 o a = a = a = Portanto, temos que os catetos medem e a hipotenusa. O perímetro do triângulo é igual à soma dos lados: perímetro = + + = + = (+ ) Resposta: alternativa. 1

22 1. (MPOG e ENP 006 ESF) razão de semelhança entre dois triângulos, T 1, e T, é igual a 8. Sabe-se que a área do triângulo T 1 é igual a 18 m. ssim, a área do triângulo T é igual a a) 4 m. b) 16 m. c) m. d) 64 m. e) m. Da semelhança entre triângulos, temos a seguinte proporção: Onde k é a razão de semelhança entre os triângulos T 1 e T. Lançando os dados fornecidos na questão na proporção acima, teremos: Resolvendo, vem: Resposta: alternativa E. 1. (nalista de Recursos Financeiros SERPRO 001 ESF) Um triângulo tem lados que medem, respectivamente, 6m, 8m e 10m. Um segundo triângulo, que é um triângulo semelhante ao primeiro, tem perímetro igual a 1m. área do segundo triângulo será igual a: a) 6 m d) 48 m b) 1 m e) 60 m c) 4 m Se os dois triângulos são semelhantes, então os lados correspondentes são proporcionais. Designando por a, b e c os lados do segundo triângulo, teremos: a b c O perímetro do segundo triângulo é 1. Daí: a + b + c = 1. De acordo com as propriedades da proporção, podemos fazer a seguinte igualdade: a b c a b c Sabemos que a + b + c = 1, daí: a b c ,5 Igualando cada fração ao valor 0,5, encontraremos as incógnitas a, b e c. a 6 0,5 b 8 0,5 c 10 0,5 a= b=4 c=5

23 Já temos os valores dos lados do triângulo. área deste triângulo pode ser encontrada através da seguinte fórmula: área p( p a)( p b)( p c) Onde p é o semi-perímetro e a, b, e c são os lados do triângulo. O semi-perímetro do triângulo de lados, 4, e 5 é igual a 1/ = 6. Substituindo os valores, teremos: área 6(6 )(6 4)(6 5) área 61 área 6 Este resultado é a resposta da questão! ontudo, queremos apresentar outra solução para o cálculo da área. Todo triângulo que tem lados iguais a, 4 e 5 é um triângulo retângulo. Observe como os lados seguem o teorema de Pitágoras: 5 = + 4. Portanto, caso apareça no enunciado de uma questão um triângulo com lados iguais a esses valores ou múltiplos desses valores (6, 8 e 10; 9, 1 e 15;...), estaremos diante de um triângulo retângulo. área de um triângulo retângulo é facilmente calculada, pois um dos catetos é a altura e o outro cateto é a base. 4 5 área = (base altura)/ = ( 4)/ = 6 m Resposta: alternativa. 14. (F 005 ESF) Em um triângulo qualquer, um dos lados mede cm e um outro mede cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45, então a área do triângulo é igual a a) 1 c) 1 b) d) 1 e) 1 Para o cálculo da área do triângulo, basta a simples aplicação da fórmula: área = (a. b. sen )/ Onde: a e b são lados do triângulo, e é o ângulo entre estes dois lados. plicando a fórmula, teremos: área = (.. sen45º)/ O seno de 45º é /. (É importante memorizarmos os senos e cossenos dos ângulos notáveis: 0º, 0º, 45º, 60º, 90º, 180º e 70º.) Daí: área = (.. /)/ = / = 1 Resposta: alternativa E.

24 15. (F-SF 001 ESF) Um heágono é regular quando, unindo-se seu centro a cada um de seus vértices, obtém-se seis triângulos equiláteros. Desse modo, se o lado de um dos triângulos assim obtidos é igual a / m, então a área, em metros, do heágono é igual a: a) 9 4 d) b) 7 e) c) Desenhamos abaio o heágono regular, e observe que ele é formado por seis triângulos eqüiláteros. do triângulo. área do triângulo eqüilátero é dada pela fórmula: a 4, onde a é o lado Foi informado que o lado do triângulo é igual a /. Lançando este valor na fórmula da área, teremos: área do triângulo = ( / ) 4 = / 4 = 8 área do heágono é seis vezes a área do triângulo, daí: área do heágono = Resposta: alternativa. 6 =

25 EXERÍIOS DE GEOMETRI DS VÍDEOULS 01. (TRF/010 Esaf) Sejam X, Y e Z três pontos distintos de uma reta. O segmento XY é igual ao triplo do segmento YZ. O segmento XZ mede centímetros. Desse modo, uma das possíveis medidas do segmento XY, em centímetros, é igual a: a) 7 c) 5 e) 7 b) 48 d) 6 0. (F 005 ESF) Um feie de 4 retas paralelas determina sobre uma reta transversal,, segmentos que medem cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feie de retas paralelas determina sobre uma reta transversal,, outros três segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal são iguais a: a) 6, 0 e 54 d) 14, 6 e 50 b) 6, 4 e 50 e) 14, 0 e 56 c) 10, 0 e (Processo Seletivo Simplificado 008 ESF) Dois triângulos, X Y Z e X Y Z são semelhantes. O lado X Y do triângulo X Y Z mede 0 cm e seu lado homólogo X Y, do triângulo X Y Z, mede 40 cm. Sabendo-se que o perímetro do triângulo X Y Z é igual a 00 cm, então o perímetro do triângulo X Y Z é, em centímetros, igual a: a) 100 c) 150 e) 05 b) 105 d) (SEFZ/SP POFP 009 ESF) Em uma cidade, às 15 horas, a sombra de um poste de 10 metros de altura mede 0 metros e, às 16 horas do mesmo dia, a sombra deste mesmo poste mede 5 m. Por interpolação e etrapolação lineares, calcule quanto mediria a sombra de um poste de 0 metros, na mesma cidade, às 15h0min do mesmo dia. a) 45m c) 0m e) 65m b) 5m d) 50m 05. (Oficial de hancelaria MRE 00 ESF) O ângulo de um triângulo qualquer mede 76. ssim, o menor ângulo formado pelas bissetrizes eternas relativas aos vértices e deste triângulo vale: a) 50 d) 64 b) 5 e) 18 c) (MPOG e ENP 006 ESF) base de um triângulo isósceles é metros menor do que a altura relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 6 metros, então a altura e a base medem, respectivamente a) 8 m e 10 m. d) 14 m e 1 m. b) 1 m e 10 m. e) 16 m e 14 m. c) 6 m e 8 m. 07. (SUSEP 010 ESF) soma S 1 dos ângulos internos de um polígono conveo de n lados, com n, é dada por S i =(n-).180. O número de lados de três polígonos conveos, P 1, P, e P, são representados, respectivamente, por (- ), e (+). Sabendo-se que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 40, então o número de lados do polígono P e o total de diagonais do polígono P são, respectivamente, iguais a: a) 5 e 5 b) 5 e 44 5

26 c) 11 e 44 d) 5 e 11 e) 11 e (MPOG 005 ESF) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1 cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 0 cm, então seu perímetro será igual a: a) 40 cm d) 4 cm b) 5 cm e) 45 cm c) cm 09. (F-GU 008 ESF) Um quadrilátero conveo circunscrito a uma circunferência possui os lados a, b, c e d, medindo (4-9), ( + ), e, respectivamente. Sabendo-se que os lados a e b são lados opostos, então o perímetro do quadrilátero é igual a: a) 5 d) 4 b) 0 e) 50 c) (gente de Fazenda - Prefeitura do RJ Esaf) Um quadrado possui um círculo circunscrito e um círculo inscrito. Qual a razão entre a área do círculo circunscrito e a área do círculo inscrito? a) b) c) d) 4 e) (SUSEP 010 ESF) Um círculo está inscrito em um triângulo isósceles de base 6 e altura 4. alcule o raio desse círculo. a) 1,50 b) 1,5 c) 1,00 d) 1,75 e),00 1. (Fiscal de Rendas - Prefeitura RJ 010 Esaf) Um círculo está inscrito em um triângulo equilátero que, por sua vez, está inscrito em outro círculo. Determine a razão entre a área do círculo maior e a área do círculo menor. a) b) c) d) e) 4 1. (gente de Fazenda - Prefeitura do RJ Esaf) Um equipamento no valor D vai ser depreciado em n períodos, ocorrendo a primeira depreciação no fim do primeiro período, a segunda depreciação no fim do segundo período e assim por diante. Plotando-se no eio vertical de um gráfico bidimensional os valores de D k, onde D k é o valor remanescente do equipamento após a k-ésima depreciação, com k = 1,,..., n, os pontos (k,d k ) estarão sobre a reta que passa pelos pontos (0,D) e (n,0). Supondo n=10 e D = R$ ,00, qual o valor remanescente do equipamento após a sétima depreciação? 6

27 a) R$ 1.500,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ 0.000, (gente de Trabalhos de Engenharia Sec Mun da Fazenda RJ Esaf) onsidere um terreno quadrado com área de 1600 m e vértices,, e D, sendo que e são vértices não adjacentes. Um ponto está sobre a diagonal D a uma distância de 10m da intercessão das diagonais do quadrado. Qual é o valor mais próimo da distância deste ponto até o vértice? a) 0 m b) 17, m c) 4,64 m d) 8,8 m e) 14,14 m 15. (FT 010 Esaf) Quando se faz alguns lados de um polígono tenderem a zero ele degenera naturalmente em um polígono de menor número de lados podendo até eventualmente degenerar em um segmento de reta. Dessa maneira, considere um quadrilátero com duas diagonais iguais e de comprimento cada uma. Sendo a área desse quadrilátero, então: a) = 5. b) c) < 5. d) 0 5. e) (gente de Trabalhos de Engenharia Sec Mun da Fazenda RJ Esaf) onsidere um cubo no qual a área de cada face mede 4 cm. Sabendo-se que a diagonal do cubo é o segmento de reta que une dois vértices não pertencentes à mesma face, então a diagonal do cubo mede, em centímetros: a). b). c) 4. d). e). 17. (TRF/010 Esaf) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de raio está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5 cm de altura. De quantos cms é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na superfície? a) 5. b) 7,5. c) /. d) 5. e) (gente de Trabalhos de Engenharia Sec Mun da Fazenda RJ Esaf) Se o volume de um cone de altura h e diâmetro da base d é V, então o volume de um cone de mesma altura h e diâmetro da base d é: a) V. d) V. b) 4V. e) V. c) πv. 7

28 GRITO DE GEOMETRI nulada 08. D E D D 18. 8

29 RESUMO DE TRIGONOMETRI 1. rcos e Ângulos O 180º = rad (meia-volta) ou 60º = rad (1 volta) 1.1. onversão de graus para radianos Eemplo 01. onverter 60º para radianos. Para converter de graus para radianos podemos usar uma regra de três simples: rad º rad º Daí: 180. = 60. = 60/180 = /. O iclo Trigonométrico º Quadrante 1º Quadrante º Quadrante 4º Quadrante - Marcação do ângulo de 00º 90º º Q 1º Q 180º 00º 0º º Q P 4º Q 70º 9

30 - Marcação do ângulo de 10º 90º º Q 1º Q 180º -10º 0º º Q 4º Q P.1. Ângulos ôngruos ou ongruentes 70º Um ângulo maior em valor absoluto que 60º (ou ) percorre mais de uma volta no ciclo trigonométrico, e possui um ângulo congruente a ele que é menor que 60º. Dois ângulos são congruentes quando possuem o mesmo ponto inicial () e o mesmo ponto final (P). Eemplo 0. Qual é o ângulo congruente a 1480º? Para calcular esse ângulo devemos dividir o ângulo por 60º (40) 4 Eemplo 0. Qual é o ângulo congruente a 1980º? (180) 5. Relações entre dois ângulos Dois ângulos são complementares quando a soma deles é igual a 90º(ou /). Dois ângulos são suplementares quando a soma deles é igual a 180º(ou ). Dois ângulos são replementares quando a soma deles é igual a 60º(ou ). Dois ângulos são eplementares quando a subtração deles é igual a 180º(ou ). 0

31 4. função y = sen -1 sen 1. y = sen 1-180º -90º 0 90º 180º 70º 60º 450º 540º -1 senóide é periódica com período igual a 60º (). # Sinal da função seno eio dos senos II I III IV 5. função y = cos -1 cos 1. y = con 1-90º 0 90º 180º 70º 60º 450º -1 cossenóide é periódica com período igual a 60º (). Note que a cossenóide nada mais é que a senóide deslocada de 90º para a esquerda. # Sinal da função cosseno II I eio dos cossenos III IV 1

32 6. Da simetria no círculo trigonométrico podemos obter: sen (180º-) = sen cos (180º-) = - cos cos (60º-) = cos sen (60º-) = sen cos (-) = cos sen (-) = sen sen (180º+) = - sen cos (180º+) = - cos 7. Relação Fundamental entre Seno e osseno sen + cos = 1 8. Função Tangente sen tg cos # Sinal da função tangente II I III IV 9. Função otangente cos cot g ou sen cot g 1 tg 10. Função Secante sec 1 cos 11. Função ossecante cossec 1 sen

33 1. Valores Notáveis para as funções sen, cos, tg, cotg, sec e cossec sen cos tg cotg sec cossec 0º º 45º 1 60º º º º Relações Fundamentais 1ª) sen + cos = 1 4ª) sen ª) tg 5ª) cos sec 1 cos 1 cossec sen ª) 1 cot g tg 14. Relações Decorrentes 1ª) tg 1 sec ª) cot g 1 cossec Da primeira fórmula, pode-se estabelecer uma relação direta entre tangente e cosseno, e também entre tangente e seno. Vejamos: tg 1 sec 1 tg 1 cos 1 tg 1 1 sen 15. Relação entre Ângulos omplementares 1ª) sen = cos(90º ) ª) cos = sen(90º ) 16. Fórmulas do arco duplo 1ª) cos = cos sen ou cos = cos 1 = 1 sen ª) sen =.sen. cos

34 17. Fórmulas da Soma e Diferença 1ª) cos (a + b) = cos a. cos b sen a. sen b ª) cos (a b) = cos a. cos b + sen a. sen b ª) sen (a + b) = sen a. cos b + sen b. cos a 4ª) sen (a b) = sen a. cos b sen b. cos a 5ª) tg a tg b tg( a b) 1tg a tg b 6ª) tg a tg b tg( a b) 1 tg a tg b 18. Fórmulas de Divisão 1ª) cos (/) = ª) sen (/) = 1 cos 1 cos 19. Transformação em produto 1ª) cos a + cos b =. cos (a+b)/. cos (a b)/ ª) cos a cos b =. sen (a+b)/. sen (a b)/ ª) sen a + sen b =. sen (a+b)/. cos (a b)/ 4ª) sen a sen b =. sen (a b)/. cos (a+b)/ 0. Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo a b c sen catetoopostoa hipotenusa b a ; catetoadjacente a c cos ; hipotenusa a tg catetoopostoa catetoadjacente a b c. 4

35 1. Lei dos Senos c b a Em qualquer triângulo, o quociente entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante. a b sen ˆ sen ˆ c sen ˆ E sendo R o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, vale a relação: a b sen ˆ sen ˆ c R sen ˆ. Lei dos ossenos c b a a = b + c.b.c.cos Â. Função arco cosseno É a inversa da função cosseno e ela é definida no intervalo [0, 180º]. Eemplo: arc cos 4. Função arco seno É a inversa da função seno e ela é definida no intervalo [-90º, 90º]. Eemplo: 1 arc sen 5

36 EXERÍIOS RESOLVIDOS DE TRIGONOMETRI 01. onverter 60º para radianos. Para converter de graus para radianos podemos usar uma regra de três simples: rad º rad º Daí: 180. = 60. = 60/180 = / Resposta: 60º = / rad 0. onverter /6 radianos para graus. onverteremos graus para radianos também através de uma regra de três simples: 180º rad /6 rad Daí:. = 180. /6 = 180/6 = 0 Resposta: /6 rad = 0º 0. Qual é o ângulo congruente a 1480º? Para calcular esse ângulo devemos dividir o ângulo por 60º. (40) 4 O quociente 4 significa o número de voltas completas que o 1480º dá no ciclo trigonométrico. O resto 40 é eatamente o ângulo congruente a 1480º. Portanto, temos que 1480º é congruente a 40º. 04. Qual é o ângulo positivo congruente a 1950º? (150) 5 O quociente 5 significa o número de voltas completas que o 1950º dá no círculo trigonométrico no sentido horário. O resto 150 é o valor absoluto em graus que o ângulo de 1950º percorre após completar as 5 voltas. Daí, 1950º é congruente a 150º. Para o 150 completar uma volta falta percorrer um valor absoluto em graus de 10º (= 60º 150º). Daí, 10º é o ângulo positivo congruente a 150º e a 1950º. 6

37 05. alcular sen 150º e cos 5º. omo o 150º é do segundo quadrante, podemos aplicar a fórmula sen (180º-) = sen. Substituindo por 150º, teremos: sen (180º-) = sen sen (180º 150º) = sen 150º sen (0º) = sen 150º Ou seja: sen 150º = sen 0º = 1/. omo o ângulo de 5º está no º quadrante, podemos aplicar a fórmula (180º+) = cos. Fazendo 180º+=5º, o valor de fica em 45º. Daí: cos (180º+) = cos cos (5º) = cos 45º cos (5º) = cos 06. Se 90º < < 180º e cotg = -4/, calcule sen. O ângulo é do º quadrante, logo sen é positivo. cotangente é o inverso da tangente, assim ela é dada pela razão entre cosseno e seno. cotg = -4/ cos /sen = -4/. teremos: Substituindo cos por na relação fundamental entre seno e cosseno, sen + cos = 1 sen + = 1 sen + = 1 9sen + 16sen = 9 5sen = 9 sen = 9/5 sen = /5 Sabemos que o sen é positivo, daí: sen = /5 (resposta!) 07. Sendo tg = / e sen y = 4/5, com 0º < < 90º e 90º < y < 180º, calcule a tangente da soma entre e y. Para calcular a tangente de y, precisamos antes obter o cos y. cos y = 1 sen y = 1 (4 / 5) = / 5 9 = /5 omo y é um ângulo do º quadrante, então ele é negativo. cos y = - /5 Daí, vem: tg y = sen y / cos y = 4/5 / (-/5) = - 4/ 7

38 Podemos agora aplicar a fórmula da tangente da soma de dois ângulos. tg tg y / ( 4/) tg( y) 1tg tg y 1 / ( 4/) Resolvendo, vem: tg ( y) 6/17 (Resposta!) 08. Na figura abaio, a circunferência tangencia os lados do ângulo V e. alcule o raio da circunferência de acordo com as medidas dadas. ˆ nos pontos r V 60º 10 m Podemos deduzir da figura acima que: 1º) a bissetriz do ângulo V ˆ passa pelo centro da circunferência; º) o segmento que une o centro da circunferência com o ponto é perpendicular ao segmento V. Teremos, então, o seguinte desenho: V 0º 0º 10 m O triângulo OV é um triângulo retângulo. razão trigonométrica da tg 0º é: tg 0º = r / 10 tangente é a razão entre seno e cosseno, daí vem: sen 0º/cos 0º = r / 10 Sabemos que: sen 0º=1/ e cos 0º=. 1 / = r / 10 1 / = r / = m r = O r 10 (Resposta!) 8

39 09. Num terreno plano, uma pessoa vê um prédio sob um ângulo de 60º. fastando-se do edifício em mais 0 metros, passa a ver o edifício sob um ângulo de 45º. Qual é a altura do prédio? O desenho da questão é: P h 45º 0 60º d S No triângulo PS, temos: No triângulo PS, temos: Daí: (Resposta!) 10. alcule o lado de um triângulo no qual = 10, = 0º e = 45º. onsidere que sen 105º=0,97. omo a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, o ângulo igual a 105º (=180º-0º-45º). O desenho do triângulo é: é c 45º b 0º º Para encontrar o lado, aplicaremos a lei dos senos. 10 sen 45 Resolvendo, vem: c 0 c sen c / 0,97 100,97 0 9

40 19,4 19,4 c 9,7 aso a questão pedisse o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, a reposta seria: R R R 5 0 sen 45 / 11. Dois lados de um triângulo medem 10 cm e 16 cm e formam entre si um ângulo de 60º. alcule o terceiro lado do triângulo. O desenho do triângulo da questão é: 10 b 60º 16 Temos os dados necessários para aplicar a lei dos cossenos. b = cos 60º Resolvendo, vem: b = / b = b = 196 b = 14 cm (Resposta!) 1. Um triângulo tem lados iguais a 8 cm, 10 cm e 1 cm. alcule o seno do ângulo oposto ao lado de 10 cm. om os dados fornecidos no enunciado, temos o seguinte triângulo: plicando a lei dos cossenos, encontraremos o cosseno do ângulo. 10 = cos Resolvendo, vem: 100 = cos cos = 108/19 = 9/16 Mas a questão não quer o cos, mas sim o sen. Usaremos a relação fundamental entre seno e cosseno. 40

41 sen = 1 cos = (9 /16) = 16 O seno de um ângulo interno de um triângulo é sempre positivo, pois esse ângulo interno é um valor entre 0º e 180º. Daí, a resposta da questão é: sen = (FTN 1998/ESF) O valor de y para o qual a epressão trigonométrica: (cos + sen) + y sen cos - 1 = 0 representa uma identidade é: a) c) -1 e) 1 b) 0 d) - Uma identidade trigonométrica é uma igualdade que se verifica para quaisquer valores atribuídos a variável envolvida nas funções trigonométricas. Na epressão do enunciado, temos a variável envolvida com as funções seno e cosseno. Vamos desenvolver o termo (cos + sen) que aparece na epressão. Teremos: (cos + sen) = cos +.cos.sen + sen (cos + sen) = sen + cos +.cos.sen (cos + sen) = 1 +.cos.sen Substituindo o termo (cos + sen) por 1+.cos.sen na epressão dada no enunciado, teremos: 1+.cos.sen + y.sen.cos - 1 = 0.cos.sen + y.sen.cos = 0 Vamos colocar em evidência o termo sen.cos: sen.cos.( + y) = 0 Se (+y) for igual a zero, então qualquer que seja o valor atribuído a a epressão acima será verificada. Daí: (+y)=0 Resposta: alternativa D. y= 14. (F 005 ESF) O sistema dado pelas equações sen a y cos a = cos a cos a + y sen a = sen a possui duas raízes, e y. Sabendo-se que a é uma constante, então a soma dos quadrados das raízes é igual a a) 1 c) 4 e) cos π b) d) sen π questão afirma que e y são as raízes do sistema. Então a soma dos quadrados das raízes, solicitada na questão, é dada por: + y Para que apareça nas equações do sistema os valores de e y, devemos elevar ao quadrado ambos os lados das equações do sistema. ssim, teremos: 41

42 (.sen a y.cos a) = ( cos a) (.cos a + y.sen a) = (sen a) (.sen a) (.sen a)(y.cos a) + (y.cos a) = ( cos a) (.cos a) + (.cos a)(y.sen a) + (y.sen a) = (sen a).sen a y.sen a.cos a + y cos a = cos a.cos a + y.cos a.sen a + y.sen a = sen a Somando membro a membro as duas equações do sistema, teremos:.sen a +.cos a y cos a + y.sen a = cos a + sen a.(sen a + cos a) + y.(cos a + sen a) = cos a + sen a.(1) + y.(1) = 1 + y = 1 Resposta: alternativa. 15. alcule o cos arc sen1/ 4. Faremos arc sen 1/4 =. Daí, temos: sen = 1/4 O arco seno é definido no intervalo [-90º, 90º]. omo o sen é positivo, então o ângulo está no 1º quadrante. Substituindo arc sen 1/4 por na epressão do enunciado, ficaremos apenas com a epressão cos. plicando a relação fundamental entre seno e cosseno, teremos: cos cos 1 sen 1 (1/ 4) cos 15/16 cos 15 4 Sabemos que o ângulo está no 1º quadrante, desse modo só nos interessa o valor positivo do cosseno. 15 cos (Resposta!) 4 4

43 EXERÍIOS DE TRIGONOMETRI DS VÍDEOULS 01. (F 00 ESF) epressão dada por y = 4(cosseno ) + 4 é definida para todo número real. ssim, o intervalo de variação de y é: a) -4 y 8 c) - y e) 0 y 8 b) 0 < y 8 d) 0 y 4 0. (Sec dministração PE 008 FGV) Se cos = -1/, então cos 6 é igual a: ) 0 D) ) 1 E) -1 ) 1/ 0. (Processo Seletivo Simplificado 008 ESF) Se é um arco do segundo quadrante e seno de é igual a 1/, então a tangente de é igual a: a) b) c) d) 1 1 e) 04. (Fiscal do Trabalho 006 ESF) Sabendo-se que cos + sen = -1, então um dos possíveis valores para a tangente de é igual a: a) -4/ d) -5/ b) 4/ e) 1/7 c) 5/ 05. (Esp. em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG/000 ESF) Sabe-se que o seno de 60º é igual a ( 1/ )/, e que co-seno de 60º é igual a 1/. Sabe-se, também, que o seno do dobro de um ângulo é igual ao dobro do produto do seno de pelo co-seno de. ssim, a tangente do ângulo suplementar a 60 0 é: a) - 1/ d) ( 1/ )/ b) - ( 1/ ) e) - ( 1/ )/ c) 1/ 06. (Especialista em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG 00 ESF) Sabese que a função inversa da função seno é a função cossecante e que o seno do dobro de um arco é dado por sen = sen cos. Sabendo-se que é um arco do segundo quadrante e que o cosseno da metade deste arco é igual a 1/, então a cossecante de vale: a) d) b) e) 1 c) 07. (FRF 009 Esaf) Um projétil é lançado com um ângulo de 0º em relação a um plano horizontal. onsiderando que a sua trajetória inicial pode ser aproimada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará eatamente cinco segundos após o lançamento? 4

44 a) 0, km b) 0,65 km c) 0,5 km d) 1, km e) 1 km 08. (F-GU 008 ESF) Sabendo que arc cos e que o valor da epressão cos( - y) é igual a: a) 6 d) 4 b) 6 4 e) c) 1 y arc sen, então 09. (F/GU 01 Esaf) alcule o determinante da matriz: a) 1 b) 0 c) cos d) sen e) sen (/) 10. (FT 010 Esaf) Seja y um ângulo medido em graus tal que 0 y 180 com y 90. o multiplicarmos a matriz abaio por, sendo 0, qual o determinante da matriz resultante? a) b) c) d) 0 e) 44

45 GRITO DE TRIGONOMETRI 01. E D 45