TRIGONOMETRIA. Aula 2. Trigonometria no Triângulo Retângulo Professor Luciano Nóbrega. 1º Bimestre. Maria Auxiliadora

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1 TRIGONOMETRIA Aua Trigonometria no Triânguo Retânguo Professor Luciano Nóbrega º Bimestre Maria Auxiiadora

2 Eementos de um triânguo retânguo ß a cateto adjacente ao ânguo ß B c A Lembre-se: A soma das medidas dos ânguos internos de quaquer triânguo resuta sempre em 80º. Aˆ Bˆ Cˆ 80º 90º Bˆ Cˆ 80º Bˆ Cˆ 90º C b Os ânguos agudos de um triânguo retânguo são compementares. Hipotenusa (Lado oposto ao ânguo reto) cateto oposto ao ânguo ß

3 Razões Trigonométricas TERNA PITAGÓRICA Este triânguo merece um destaque ESPECIAL. Observe que as medidas dos seus ados, atende ao TEOREMA DE PITÁGORAS: 6 0,5 5 5² = ² + 4² Ou seja, 5 = Se mutipicarmos as medidas dos ados deste triânguo por um mesmo número rea positivo diferente de, obteremos outro triânguo retânguo,5 α semehante a este. 8 4

4 Razões Trigonométricas Vamos fazer agumas comparações nesses três triânguos sobrepostos: sen α = _cateto oposto ao ânguo α_ hipotenusa =_,5_,5 = 5 = _6_ 0 = 0,6 cos α = 0 _cateto adjacente ao ânguo α_ hipotenusa = = _4_,5 5 = _8_ 0 = 0,8 6,5 5,5 α tg α = _cat. op. a α_ =_,5_ = = _6_ cat. Adj. a α 4 8 = 0,

5 Razões Trigonométricas seno de um ânguo = cateto oposto ao ânguo hipotenusa C seno do ânguo C = cateto oposto ao ânguo C hipotenusa b a sen C = c / a seno do ânguo B = cateto oposto ao ânguo B hipotenusa A c B sen B = b / a 5

6 Razões Trigonométricas cosseno de um ânguo = cateto adjacente ao ânguo hipotenusa C cosseno do ânguo C = cateto adjacente ao ânguo C hipotenusa a cos C = b / a b cosseno do ânguo B = cateto adjacente ao ânguo B hipotenusa A c B cos B = c / a 6

7 Razões Trigonométricas tangente de um ânguo = C tangente do ânguo C = cateto oposto ao ânguo cateto adjacente ao ânguo cateto oposto ao ânguo C cateto adjacente ao ânguo C b tg C = c / b a tangente do ânguo B = cateto oposto ao ânguo B cateto adjacente ao ânguo B A c B tg B = b / c 7

8 Consequências das definições C sen B = b a sen C = a b c a cos B = cos C = B c A b tg B = c c tg C = _ ª CONSEQUÊNCIA - Como B e C são ânguos compementares, podemos observar que o seno de um é igua ao cosseno do outro; sen B = cos C sen C = cos B ª CONSEQUÊNCIA - Observamos também que a tangente de um ânguo é igua ao inverso da tangente do outro. tg B = / tg C 8

9 Consequências das definições 4ª CONSEQUÊNCIA DEMONSTRAÇÃO: sen B = b/a cos B B sen B = b. a cos B sen B = b cos B c/a a. c c a c C b A ª CONSEQUÊNCIA (Reação fundamenta da trigonometria) sen²α + cos²α = DEMONSTRAÇÃO: sen B = b/a cos B = c/a Eevando os membros ao quadrado: sen² B = (b/a)² cos² B = (c/a)² Somando as duas equações: sen² B + cos² B = (b/a)² + (c/a)² Desenvovendo o º menbro: sen² B + cos² B = b²/a² + c²/a² = tg B sen² B + cos² B = (b² + c²)/a² Ora, mas b + c = a (Teorema de Pitágoras), então: 9 sen² B + cos² B = (a²)/a² =

10 Ânguos Notáveis D Razões Trigonométricas do ânguo de 45º Considere o quadrado ABCD, com ado de medida. A diagona AC desse quadrado mede d =. Destaquemos do quadrado o triânguo ABC. Temos: C sen 45º = sen 45º = d = cos 45º = = sen 45º = A 45º B tg 45º = tg 45º = Observe que os vaores das razões trigonométricas não dependem da medida do ado do quadrado. 0

11 B Ânguos Notáveis Razões Trigonométricas do ânguo de 0º Considere agora o triânguo eqüiátero ABC, com ado de medida. A atura AH do triânguo mede h. Destaquemos do ABC o AHC. Temos: A 0º h. H C sen 0º = cos 0º = tg 0º = sen 0º =. sen 0º = cos 0º =. cos 0º = tg 0º =. tg 0º =

12 Ânguos Notáveis Razões Trigonométricas do ânguo de 60º Destaquemos novamente o AHC, temos: A sen 60º = sen 60º =. sen 60º = h cos 60º = cos 60º =. cos 60º = B. H 60º C tg 60º = tg 60º =. tg 60º =

13 Resumo Música Dos Ânguos Notáveis,,...,,... Cooca o embaixo de todo mundo E raiz onde não tem,,... Cooca raiz no E divide o primeiro por Vamos coocar numa tabea os vaores encontrados: Ânguo 0º 45º 60º seno cosseno tangente

14 EXEMPLO: No triânguo retânguo abaixo, qua é o vaor do cosseno de? 8cm SOLUÇÃO: Cos = X 0cm _C. A._ = HIP _x_ = 0 Mas, como descobrir o vaor de x? 6 0 HIP ² = CAT ² + CAT ² 5 0² = 8² + x² 00 = 64 + x² 6 = x² x = 6 4

15 EXEMPLO: Uma escada de m de comprimento esta apoiada em um prédio fazendo com este um ânguo de 60º. Qua é a atura do prédio? SOLUÇÃO: Iniciamente, façamos um esboço que represente a situação descrita. h C.O 60º HIP m 0º SEN 0 COS TAN 0 0º 0º 45º 60º 90º 0 Sen 0º = C.O HIP h h= h=6m 5

16 GABARITO: ) 0 m TESTANDO OS CONHECIMENTOS (UFRN) Observe a figura a seguir e determine a atura h do edifício, sabendo que AB mede 5m e cos Θ = 0,6. 6 (UFCE) Em certa hora do dia, os raios do So incidem sobre um oca pano com uma incinação de 60º em reação à horizonta. Nesse momento, o comprimento da sombra de uma construção de 6m de atura será, aproximadamente: A) 0, m B) 8,5 m C) 5,9 m D) 4, m E),4 m

17 TESTANDO OS CONHECIMENTOS (UFPA) A figura representa um barco atravessando um rio, partindo de A em direção ao ponto B. A forte correnteza arrasta o barco em direção ao ponto C, segundo um ânguo de 60º. Sendo a argura do rio de 0m, a distância percorrida peo barco até o ponto C, é: A) 40 m B) 40 m C) 80 m D) 80 m E) 40 m 4 (UFPA) Para permitir o aceso a um monumento que está em um pedesta de m de atura, vai ser construída uma rampa com incinação de 0 com o soo, conforme a iustração. O comprimento da rampa será igua a: A) / m B) m C) m D) 4 m E) 4 m 7

18 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 5 (UFRN) Um observador, no ponto O da figura, vê um prédio segundo um ânguo de 75. Se esse observador está situado a uma distância de m do prédio e a m de atura do pano horizonta que passa peo pé do prédio, então a atura do prédio, em metros, é: A) 4( + ). B). C) /. D) 6( + ). E) ½. 6 (UFRS) Uma torre vertica é presa por cabos de aço fixos no chão, em um terreno pano horizonta, conforme mostra a figura. Se A está a 5m da base B da torre e C está a 0m de atura, comprimento do cabo AC é: A) 5 m B) 0 m C) 5 m D) 5 m E) 40 m 8

19 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 7 Uma pessoa na margem de um rio vê, sob um ânguo de 60º, o topo de uma torre na margem oposta. Quando ea se afasta 40 metros perpendicuarmente à margem do rio, esse ânguo é de 0º. a) Qua a argura do rio? b) Qua a atura da árvore? GABARITO: a) 0 m b) 0 9

20 TESTANDO OS CONHECIMENTOS Do ivro: 8 Página 58 _ Questão 7 e 8 9 Página 59 _ Questão e 0 Página 6 _ Questão 0 Página 66 _ Questão e 4 Página 68 _ Questão 6 Página 69 _ Questão 7, 8 e 9 4 Página 70 _ Questão 40 e 4 5 Página 7 _ Questão 4 6 Página 7 _ Questão 46 e 48 0

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