Unidade 9 Trigonometria em um triângulo qualquer. Introdução Teorema ou Lei dos senos Teorema ou Lei dos cossenos Área de um triângulo

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1 Unidade 9 Trigonometria em um triângulo qualquer Introdução Teorema ou Lei dos senos Teorema ou Lei dos cossenos Área de um triângulo

2 Introdução Existem muitos problemas geométricos do nosso cotidiano relacionados a triângulos não retângulos. Como exemplo, observe a próxima situação: Em órbita terrestre, um satélite calcula as coordenadas de dois navios, representados pelos pontos A e B, e de um porto, representado pelo ponto P. Pela análise das coordenada, o satélite determina que a distância existente entre os navios A e B é de 38km e ele obtém também os ângulos PÂB 45º e PBA 60º. Utilizando a Trigonometria, como poderíamos descobrir a distância entre cada navio e o porto?

3 Introdução Antes, porém, é necessário relembrarmos o conceito de suplemento de um ângulo.

4 Introdução Observe as transformações que serão utilizadas: O seno de um ângulo obtuso é igual ao seno do suplemento desse ângulo: senα sen(180º -α) O cosseno de um ângulo obtuso é igual ao oposto do cosseno do suplemento desse ângulo: cosα - cos (180º -α)

5 Introdução Exemplos: sen 150º sen (180º - 150º) sen 30º sen 10º sen (180º - 10º) sen 60º cos 135º -cos (180º - 135º) -cos 45º cos 105º -cos (180º - 105º) -cos 75º

6 Teorema ou Lei dos enos Considere um triângulo qualquer, com ângulo internos A, B e C e lados opostos, respectivamente, de medidas a, b e c: Tomando -se o seno dos ângulos A e C, respectivamente nos triângulos ABH e BCH, temos : h b sen  h b c c.senâ(1) h b sen Ĉ h b a c.senĉ() Igualando as equações (1) e (), temos : c.senâ a.senĉ a senâ c (3) senĉ

7 Teorema ou Lei dos enos Traçando agora a altura há relativa ao lado BC, destacamos os triângulos ABN e ACN: Tomando -se o seno dos ângulos B e C, respectivamente nos triângulos ABN e ACN, temos : sen sen Bˆ Ĉ c.senbˆ h a h a c.senbˆ (4) c h a h a b.senĉ(5) b Igualando as equações (4) e (5), temos : b.senĉ b senbˆ c (6) senĉ Comparando as equações (3) e (6), obtemos :

8 Teorema ou Lei dos enos Calculem o valor de c no triângulo ao lado: a senâ b senbˆ c senĉ Lei dos senos c sen45º 3 sen60º csen. 60º 3. sen45º c c. 3 6 c c c c c c c

9 Teorema ou Lei dos cossenos A lei dos cossenos nos diz que, em qualquer triângulo, podemos relacionar as medidas dos três lados com a medida do cosseno do ângulo oposto a um desses lados. Vamos demonstrar a relação c² a² + b² - abcosc, considerando o ângulo C agudo.

10 Teorema ou Lei dos cossenos Traçando a altura AH, relativa ao lado BC, obtemos os triângulos AHC e AHB. No triãngulo AHC, temos : HC cos Ĉ HC b.coscˆ(1) b b HC + h h b HC () No triângulo AHB, aplicando o Teorema de Pitágoras, temos : c h +BH ubstituindo BH por a - HC, temos : c² h² + (a - HC)² c² h² + a² -.a.hc+ (HC)² (3) ubstituindo (1) e () em (3), temos : c² b² - HC² + Lei c² a² + a² -. a. dos cossenos b² b. cosĉ+ HC² -.a.b.cosĉ

11 Teorema ou Lei dos cossenos Para você fazer Utilizando a lei dos cossenos, calcule o valor de a que representa a medida de um dos lados do triângulo ao lado: Lei dos cossenos a² a² a² a b² + c² -.b.c.cos60º 8² ² Logo, a lado do triângulo mede 7cm. medida a do

12 Em Resumo

13 Resolução de Atividades Página 17 e 18

14 Área de um triângulo No Ensino Fundamental, aprendemos que a área de qualquer triângulo pode ser calculada pela metade do produto das medidas da base, pela altura relativa a essa base: base.altura

15 Área de um triângulo

16 1º: Área em função da medida de dois lados e do ângulo compreendido entre eles Inicialmente, consideremos um triângulo cujas medidas de dois lados sejam a e b e cujo ângulo compreendido entre esses lados meça C: No triângulo ABC, traçamos a altura h, relativa ao lado de medida a; No triângulo CHA, obtemos o seno do ângulo C: ˆ h sen C h b bsen. Cˆ (I) A expressão da área do triângulo ABC, representada por, é: b.h ah. 1. a. h (II)

17 1º: Área em função da medida de dois lados e do ângulo compreendido entre eles Relacionando as duas expressões anteriores, podemos escrever: ubstituindo (I) em (II), obtemos: 1. absenc.. ˆ (III) Dessa forma, qualquer uma das relações a seguir podemos calcular área de triângulo conhecendo dois lados e o ângulo respectivo ao outro lado. 1. absenc.. ˆ 1. acsenb.. ˆ 1. bcsenâ..

18 ª: Fórmula de Heron Frequentemente, um triângulo qualquer é identificado pelas respectivas medidas dos lados. Com a fórmula de Heron nos permite calcular a área do triângulo, conhecendo apenas seus respectivos lados. ( p a)(. p b)( p c) p.. a+ b+ c em que p é o semiperímetro do triângulo

19 Para você fazer p absen.. 30º ,5cm 4

20 Para você fazer p. 19 p a+ b+ c 15 p. 15. ( p a)(. p b)(. p c) ( )( )(. 15 1) Custo do serviço do jardineiro A: CA R$ 14,00 x 39,75 R$ 556,50 Custo do serviço do jardineiro B: CB R$ 600, ,75m O menor preço é do jardineiro A, pois apresenta menor custo 15m

21 Resolução de Atividades Página 0-1 Nota livre página 1-