11 Sistemas resolvem problemas

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1 A UA UL LA Sistemas resovem probemas Introdução Na aua anterior, mostramos como resover sistemas de duas equações de 1º grau com duas incógnitas. Agora vamos usar essa importante ferramenta da matemática na soução de probemas. Em gera, os probemas são apresentados em inguagem comum, ou seja, com paavras. A primeira parte da soução (que é a mais importante) consiste em traduzir o enunciado do probema da inguagem comum para a inguagem matemática. Nessa inguagem, usamos os números, as operações, as etras que representam números ou quantidades desconhecidas, e as nossas sentenças são chamadas de equações. Para dar um exempo, considere a seguinte situação: uma costureira de uma pequena confecção ganha R$ 7,00 por dia mais uma determinada quantia por cada camisa que faz. Certo dia, ea fez 3 camisas e ganhou R$ 19,00. Se quisermos saber quanto essa costureira ganha por cada camisa que faz devemos traduzir em inguagem matemática a situação apresentada. Vamos então representar por x a quantia que ea recebe por cada camisa. Ea faz 3 camisas e ganha R$ 7,00 por dia, independentemente do número de camisas que faz. Se nesse dia ea ganhou R$ 19,00, a equação que traduz o probema é: 7 + 3x = 19 Como já sabemos resover equações e sistemas, daremos mais importância, nesta aua, à tradução do enunciado dos probemas para inguagem matemática. Nossa aua Agora vamos apresentar aguns probemas e suas souções. Entretanto, procure resover cada um antes de ver a soução. Para ajudar, incuímos agumas orientações entre o enunciado e a soução. EXEMPLO 1 Em uma festa havia 40 pessoas. Quando 7 homens saíram, o número de muheres passou a ser o dobro do número de homens. Quantas muheres estavam na festa? Pense um pouco e eia as orientações a seguir.

2 Orientações - A quantidade de homens e muheres serão as nossas incógnitas. Então: o número de homens = x A U L A o número de muheres = y Traduza em inguagem matemática a frase: havia 40 pessoas na festa. Se 7 homens saíram, quantos ficaram na festa? Traduza em inguagem matemática a frase: o número de muheres é o dobro do número de homens que ficaram na festa. Soução - Seguindo as nossas orientações, temos como primeira equação x + y = 40. Depois, se tínhamos x homens e 7 saíram, então ficaram na festa x - 7 homens. E, se o número de muheres é o dobro do número de homens, podemos escrever y = 2 (x - 7). O probema dado é traduzido em inguagem matemática peo sistema: x + y = 40 y = 2 (x - 7) Agora, vamos resovê-o. Como a incógnita y está isoada na segunda equação, podemos usar o método da substituição. Temos, então: x + y = 40 x + 2 (x - 7) = 40 x + 2x - 14 = 40 3x = x = 54 3x 3 = 54 3 x = 18 Substituindo esse vaor na primeira equação, temos: 18 + y = 40 y = y = 22 Na festa havia então 22 muheres. EXEMPLO 2 { Uma omeete feita com 2 ovos e 30 gramas de queijo contém 280 caorias. Uma omeete feita com 3 ovos e 10 gramas de queijo contém também 280 caorias. Quantas caorias possui um ovo? Pense um pouco e eia as orientações a seguir.

3 A U L A Orientações - A caoria é uma unidade de energia. Todos os aimentos nos fornecem energia em maior ou menor quantidade. Neste probema, vamos chamar de x a quantidade de caorias contida em um ovo. Para diversos aimentos, a quantidade de caorias é dada por grama. Isso ocorre porque um queijo pode ter diversos tamanhos, assim como uma abóbora pode também ter os mais variados pesos. Então, no nosso probema, vamos chamar de y a quantidade de caorias contidas em cada grama de queijo. Se cada grama de queijo possui y caorias, quantas caorias estão contidas em 30 gramas de queijo? Quantas caorias possuem dois ovos? Escreva em inguagem matemática a frase: dois ovos mais 30 gramas de queijo possuem 280 caorias. Escreva em inguagem matemática a outra informação contida no enunciado. Soução - Vamos novamente seguir as orientações para resover o probema. Se as nossas incógnitas estão bem definidas, não teremos dificudade em traduzir o enunciado do probema em inguagem matemática. Temos que: número de caorias contidas em um ovo = x número de caorias contidas em um grama de queijo = y Portanto, se dois ovos e 30 gramas de queijo possuem 280 caorias temos a equação: 2x + 30y = 280 Da mesma forma, se três ovos e 10 gramas de queijos possuem 280 caorias podemos escrever: 3x + 10 y = 280 O sistema que dará a soução do nosso probema é 2x + 30 y = 280 3x + 10 y = 280 Repare que o probema pergunta qua é o número de caorias contidas em um ovo. Portanto, se a resposta do probema é o vaor de x, podemos usar o método da adição e eiminar a incógnita y. Observe que, mutipicando a segunda equação por 3, tornamos iguais os coeficientes de y. Se, em seguida, mudamos todos os sinais da primeira equação, estamos prontos para eiminar a incógnita y. { 2x + 30y = 280 (-1) - 2x - 30y = x + 10y = 280 (3) o 9x + 30y = x - 2x =

4 7x = 560 7x 7 = x = 80 A U L A Concuímos, então, que cada ovo contém 80 caorias. Para saber mais O corpo humano é uma máquina que necessita de combustíve para funcionar bem. Quando comemos, a energia contida nos aimentos é transferida para nosso corpo. Muita energia é também gasta em todas as nossas atividades diárias, e o idea é conseguir um equiíbrio entre o que comemos e o que gastamos. Há pessoas que comem demais. Comendo mais que o necessário, as pessoas acumuam energia em forma de gordura - o que não é bom para a saúde. Para as atividades normais, o homem necessita de cerca de caorias por dia, ou um pouco mais, dependendo de sua atividade. Para que você tenha uma idéia da quantidade de caorias contidas nas coisas que comemos, saiba que um pão francês de 100 gramas contém 270 caorias; um prato de arroz, feijão, bife e batatas fritas contém 900 caorias e uma feijoada competa, mais duas cervejas e sobremesa de goiabada e queijo, contém o incríve número de caorias. Procure, portanto, incuir sempre egumes e verduras nas refeições. Ees têm vitaminas, são bons para o processo digestivo e possuem poucas caorias. EXEMPLO 3 Para ir de sua casa na cidade até seu sítio, João percorre 105 km com seu automóve. A primeira parte do percurso é feita em estrada asfatada, com veocidade de 60 km por hora. A segunda parte é feita em estrada de terra, com veocidade de 30 km por hora. Se João eva duas horas para ir de sua casa até o sítio, quantos quiômetros possui a estrada de terra? Pense um pouco e eia as orientações a seguir. Orientações - A veocidade de um automóve é o número de quiômetros que ee percorre em uma hora. De uma forma gera, a distância percorrida é igua ao produto da veocidade peo tempo de percurso. distância = veocidade tempo Estabeeça as incógnitas: x = distância percorrida na estrada asfatada y = distância percorrida na estrada de terra O esquema abaixo ajuda a compreender o probema. 105 km x km y km casa asfato terra 2 horas sítio

5 A U L A Escreva uma equação com as distâncias. Procure escrever uma equação com o seguinte significado: o tempo em que João andou na estrada asfatada mais o tempo em que ee andou na de terra é igua a duas horas. Soução - Mais uma vez, vamos resover o probema seguindo as orientações. Se João andou x km na estrada asfatada e y km na estrada de terra, então a nossa primeira equação é x + y = 105. Observe novamente a reação: (distância) = (veocidade) (tempo) Na primeira parte do percurso, a distância foi x, a veocidade foi 60 e o tempo gasto será chamado de t 1. Temos, então: x = 60 t 1 x 60 = t 1 ou Na segunda parte do percurso a distância foi y, a veocidade foi 30 e o tempo gasto será chamado de t 2. Temos, então: y = 30 t 2 y 30 = t 2 ou Como a soma dos dois tempos é igua a 2 horas, conseguimos a segunda equação: x 60 + y 30 = 2 Vamos mehorar o aspecto dessa equação antes de formarmos o sistema. Mutipicando todos os termos por 60, temos: 1 x y 30 = x + 2y = 120 Temos, agora, o sistema formado peas duas equações: { x + 0y = 105 x + 2y = 120

6 O vaor de y nesse sistema é cacuado imediatamente peo método da adição: - x - y = x + 2y = y - y = y = 15 Concuímos, então, que a estrada de terra tem 15 km. A U L A Nesta aua você viu a força da ágebra na soução de probemas. Entretanto, para adquirir segurança é preciso praticar. Para cada um dos exercícios, procure matematizar as situações descritas usando o método agébrico. Escoha suas incógnitas e arme as equações. Depois, resova os sistemas e verifique se os vaores encontrados estão corretos. Exercício 1 Determine dois números, sabendo que sua soma é 43 e que sua diferença é 7. Exercício 2 Um marceneiro recebeu 74 tábuas de compensado. Agumas com 6 mm de espessura e outras com 8 mm de espessura. Quando foram empihadas, atingiram a atura de 50 cm. Quantas tábuas de 8mm ee recebeu? Exercício 3 Em um estacionamento havia carros e motocicetas num tota de 43 veícuos e 150 rodas. Cacue o número de carros e de motocicetas estacionados. Exercício 4 Uma empresa desejava contratar técnicos e, para isso, apicou uma prova com 50 perguntas a todos os candidatos. Cada candidato ganhou 4 pontos para cada resposta certa e perdeu um ponto para cada resposta errada. Se Marceo fez 130 pontos, quantas perguntas ee acertou? Exercício 5 Certo dia, uma doceira comprou 3 kg de açúcar e 4 kg de farinha e, no tota, pagou R$ 3,20. Outro dia, ea comprou 4 kg de açúcar e 6 kg de farinha, pagando R$ 4,50 peo tota da compra. Se os preços foram os mesmos, quanto estava custando o quio do açúcar e o quio da farinha? Exercício 6 Pedro e Pauo têm juntos R$ 81,00. Se Pedro der 10% do seu dinheiro a Pauo, ees ficarão com quantias iguais. Quanto cada um dees tem? Exercício 7 A distância entre duas cidades A e B é de 66 km. Certo dia, às 8 horas da manhã, um cicista saiu da cidade A, viajando a 10 km por hora em direção à cidade B. No mesmo dia e no mesmo horário um cicista saiu da cidade B, viajando a 12 km por hora em direção à cidade A. Pergunta-se: a) A que distância da cidade A deu-se o encontro dos dois cicistas? b) A que horas deu-se o encontro?