GRANDEZAS. A sua nota na prova depende do número de questões que você acerta?

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1 . UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO CURSO DE MATEMÁTICA DISCIPLINA: Matemática Financeira - Negócios PROFESSOR: Ramon Silva de Freitas DATA: / / ALUNO: GRANDEZAS Você já pensou que: A sua nota na prova depende do número de questões que você acerta? A quantidade de água que você gasta em um banho é proporcional ao tempo que você leva tomando banho? O tempo que um caminhoneiro leva para ir do Rio de Janeiro a São Paulo depende de sua velocidade média? Portanto, podemos dizer que: GRANDEZA é tudo aquilo que pode ser medido e contado. As grandezas podem ser: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou até mesmo nem diretamente e nem inversamente proporcionais. No nosso caso iremos estudar as grandezas diretamente proporcionais e as grandezas inversamente proporcionais. GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas são chamadas diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual à razão entre os valores da segunda. Portanto, se uma grandeza dobra a outra também dobra. Se uma grandeza triplica a outra também triplica. Exemplo: A professora Marta foi ao supermercado comprar tomates. O quilo do tomate estava custando R$2,00. Vamos imaginar: QUANTIDADE DE TOMATE COMPRADO (kg) VALOR GASTO POR MARTA (R$) 1 2,00 2 4,00 3 6,00 4 8,00 Podemos observar que as razões foram sempre iguais, conforme Marta dobrava ou triplicava a quantidade comprada o valor gasto também dobrava ou triplicava. 1

2 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas são chamadas inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores da segunda. Portanto, se uma grandeza dobra a outra se reduz a metade. Se uma grandeza triplica a outra se reduz a terça parte. Exemplo: A professora Simone deseja distribuir para os seus alunos 48 pirulitos. A quantidade de pirulitos que cada aluno irá receber dependerá da quantidade de alunos que há na turma. Verifique: Nº DE ALUNOS NA TURMA Nº DE PIRULITOS PARA CADA ALUNO Podemos observar que quando o número de alunos duplica, o número de pirulitos para cada aluno cai para a metade. Quando triplica o número de alunos a quantidade de pirulitos é a terça parte. Logo, as razões são inversas. Exercícios: 1) A professora Maria Luiza foi visitar sua família em São Paulo. Na ida sua velocidade foi de 100km/h e ela levou 4h de viagem. Na volta sua velocidade foi de 80km/h e ela levou 5h. a) Qual foi a razão entre as velocidades? b) Qual foi a razão entre os tempos gastos no percurso? c) As razões são iguais ou inversas? d) A velocidade e o tempo gasto para fazer o percurso são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais? 2) A Mega-Sena de uma determinada semana acumulou em R$45.000,00. Vamos supor que: Nº DE GANHADORES QUANTIA QUE CADA UM RECEBERÁ (R$) , , , ,00 a) Quando o número de ganhadores varia de 1 para 3, ele varia em que razão? E de 2 para 4? b) Quando a quantia que cada ganhador receberá varia de R$45.000,00 para R$22.500,00, ela varia em que razão? E de R$22.500,00 para R$11.250,00? c) As razões obtidas nos itens a e b são iguais, inversas ou nenhuma delas? 2

3 d) Logo, as grandezas são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou nenhuma delas? 3) O ônibus da linha 350 (Irajá/Passeio) faz o percurso de ida (Irajá até Passeio) em 96 min numa velocidade de 70km/h. Na volta (Passeio até Irajá), ele faz o mesmo percurso em 84min numa velocidade de 80km/h. Pergunta-se: a) Qual foi a razão entre as velocidades de ida e de volta? b) Qual foi a razão entre o tempo gasto na ida e na volta? c) Com relação a velocidade e o tempo gasto, as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais? 4) Luiza, Sérgio e Ramon trabalham no mesmo colégio há 10, 8 e 4 anos, respectivamente. O colégio distribuiu uma gratificação de R$6.600,00 para esses três funcionários em partes diretamente proporcionais ao tempo de serviço de cada um. Quanto cada um receberá de gratificação? REGRA DE TRÊS SIMPLES REGRA DE TRÊS Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) agrupar as grandezas da mesma espécie em colunas e manter na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos: 1) Simone resolveu fazer cortinas novas para sua casa. O tecido que ela gostou, na loja Curtinex, seis metros custa R$74,00. Quanto Simone irá gastar ao comprar 30 metros do tecido? METROS 6 74,00 30 x VALOR (R$) Observe que quanto maior for a metragem do tecido a ser comprado, maior será o valor a ser pago. Logo, podemos dizer que as grandezas são diretamente proporcionais. Portanto: = 6x= x= x 6 Logo, Simone irá gastar R$370,00. 3

4 2) Em um treino de Fórmula I, Felipe Massa fez o percurso em 90 segundos, com uma velocidade média de 212km/h. Se a velocidade média fosse de 227km/h, qual seria o tempo gasto no VELOCIDADE TEMPO 212 km/h 90s 227 km/h x Observe que, se aumentarmos a velocidade do carro, o tempo gasto pelo piloto para fazer o percurso irá diminuir. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Portanto: 212 x = 227. x= Logo, Felipe Massa teria feito o percurso em 84segundos. Exercícios: 1) Rica em carboidratos, a batata é grande fonte de energia. Contém ainda sais minerais, vitamina C e, em pequenas quantidades, vitaminas do Complexo B. Cem gramas de batata fornecem 126 calorias. Portanto, 1,5k de batata fornecem quantas calorias? 2) Cristine deseja fazer uma geléia. Ele leu em um livro de receitas que para cada 3k de açúcar é preciso 2,5k de frutas. Se ela tem 4k de frutas, qual a quantidade de açúcar, em k, que ela irá precisar para fazer à mesma geléia? 3) A maçã possui um excelente valor nutritivo, pois em sua casca encontramos a pectina que ajuda a reduzir o colesterol do sangue. Além disso, é um fruto rico em vitaminas B1, B2, niacina, ferro e fósforo. Cada 100 gramas de maça possui, em média, 55 calorias e 1,5 gramas de fibras. Qual a quantidade, em gramas, de maçã que devemos considerar para termos 66 calorias? E para termos 5,25 gramas de fibra? 4) No alto de uma torre de transmissão, uma luz pisca 18 vezes a cada 4 minutos. Quantas vezes essa luz piscará em meia hora? 5) Uma ponte foi feita em 120 dias por 16 trabalhadores. Se o número de trabalhadores fosse 24, quantos dias seriam necessários para a construção da mesma ponte? 6) Ramon estava viajando de automóvel tranquilamente, à velocidade de 60 km/h, e verificou que levaria 4 horas para fazer todo o trajeto. Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo Ramon faria esse trajeto? 4

5 REGRA DE TRÊS COMPOSTA proporcionais. A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente Os passos utilizados são os mesmos da regra de três simples. Exemplo: 1) Em uma creche, 320 crianças consumiram 1440 litros de leite em 15 dias. Quantos litros de leite deverão ser consumidos por 400 crianças em 30 dias? crianças dias leite x Observe que se aumentar o número de crianças, será necessário mais leite e se aumentarmos o número de dias também será necessário mais leite. Logo, podemos dizer que as grandezas são diretamente proporcionais. Portanto: = x Logo, será necessário 3600 litros de leite. 2) Trabalhando 8 horas por dia, 6 pedreiros constroem uma casa em 5 meses. Quantos pedreiros seriam necessários para construir a mesma casa em 4 meses, trabalhando 6 horas por dia? horas quant. de pedreiros meses x 4 Observe que, se diminuirmos o número de horas, iremos precisar de mais pedreiros. Se diminuirmos o número de meses também iremos precisar de mais pedreiros. Logo, a quantidade de pedreiros é inversamente proporcional a hora e aos meses. Portanto: x = Logo, será necessário 10 pedreiros. 5

6 Exercícios: 1) Uma tonelada de ração alimenta 20 vacas durante 30 dias. Quantos quilogramas de ração são necessários para alimentar 30 vacas durante 75 dias? 2) Numa fábrica de calçados trabalham 15 operários, que produzem, em 8 horas diárias de trabalho, 240 pares de calçados por dia. Quantos operários são necessários para produzir 500 pares de calçados por dia, se a jornada de trabalho diária for de 10 horas? 3) Newton foi acampar com 8 alunos e levou alimento suficiente para 6 dias, calculando fazer 4 refeições diárias. Se chegassem Rodrigo e mais dois alunos e se o grupo fizesse 3 refeições diárias, a mesma quantidade de alimento seria suficiente para quanto tempo? 4) Em uma rede de fast-food, 300 fregueses consomem 6000 esfihas em 5 dias. Calcule quantas esfihas 200 fregueses irão consumir em 30 dias, admitindo que todos esses fregueses tenham hábitos iguais. 5) Um caminhoneiro, com velocidade média de 50km/h, roda 8 horas por dia e leva 30 dias para fazer certo percurso. Se a sua velocidade fosse de 60km/h e se rodasse 10 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso? CONCURSOS 1) (FAETEC) Uma engrenagem de 36 dentes movimenta uma outra de 48 dentes. Se a primeira engrenagem executa 100 voltas, a segunda engrenagem executará: (A) 60 voltas (B) 112 voltas (C) 100 voltas (D) 84 voltas (E) 75 voltas 6

7 2) (FAETEC 2004) A cloração da água é fundamental para que se possa evitar uma série de doenças infecciosas. A solução de hipoclorito de sódio 2,5% é equivalente a água sanitária e pode ser utilizada para tratar a água. Para 1000 litros de água são necessários 100 ml de hipoclorito de sódio. Imagine que a quantidade de hipoclorito a ser adicionada seja diretamente proporcional à de água. Nesse caso, para 250 litros de água, a quantidade, em mililitros, de hipoclorito de sódio será de: (A) 45 (B) 35 (C) 30 (D) 25 3) (FAETEC 2005) Um galpão de 500 m 2 foi destruído por um tremor de terra. Para reconstruí-lo, foram necessários 20 homens. O número de homens para reconstruir um galpão com 700 m 2, será de: (A) 25 (B) 26 (C) 27 (D) 28 4) (CEFETEQ) Quatro torneiras iguais despejam um total de litros de água em 2 horas. Calcular, em quantas horas, três dessas torneiras despejam um total de litros de água. 5) (C. BOMBEIROS) Num acampamento há 72 bombeiros e alimento suficiente para 20 dias. Retirando-se 24 bombeiros, a quantidade de alimento dará para, no máximo, o seguinte número de dias: (A) 24 (B) 25 (C) 27 (D) 30 (E) 36 6) (EPCAR) Se 16 homens gastam 10 dias montando 32 máquinas, o número de dias que 20 homens necessitarão para montar 60 máquinas é: (A) par (B) ímpar (C) primo (D) não inteiro 7) (CEFETEQ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 t (toneladas) de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas, em 30 dias? 8) (CFS) Para armar um circo, 50 homens levam 2 dias, trabalhando 9 horas por dia. Com a dispensa de 20 homens, em quantos dias o circo será armado, trabalhando-se 10 horas por dia? (A) 7 dias (B) 6 dias (C) 5 dias (D) 4 dias (E) 3 dias 7

8 9) (CEFET) Num programa de reflorestamento de uma certa região, 4 homens, trabalhando 8 horas por dia, plantaram em 10 dias, mudas. Quantas horas por dia terão que trabalhar 6 homens para plantar mudas, em apenas 8 dias? 10) (TTN) Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6 horas por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8 horas por dia, a estrada será concluída em: (A) 90 dias (B) 84 dias (C) 72 dias (D) 128 dias (E) 60 dias 11) (CEFETEQ 2007) Parece pouco, mas o aquecimento global já está causando derretimento de geleiras, elevação do nível do mar, furacões mais intensos, enchentes e secas cada vez mais fortes. Segundo o Greenpeace, a temperatura da Terra subiu 0,7ºC nos últimos cem anos. Admitindo que esse aumento tenha sido linear, e que o aumento da temperatura continue ocorrendo da mesma maneira, a temperatura da Terra aumentará de 2029 a 2106: (A) 0,693ºC (B) 0,639ºC (C) 0,579ºC (D) 0,573ºC (E) 0,539ºC 8