COMPLEMENTO MATEMÁTICO

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1 COMPLEMENTO MATEMÁTICO Caro aluno, A seguir serão trabalhados os conceitos de razão e proporção que são conteúdos matemáticos que devem auxiliar o entendimento e compreensão dos conteúdos de Química. Os conteúdos matemáticos devem ser uma ferramenta para auxiliar os estudos na Química, e não um empecilho!!! Dedique-se... Bons estudos!!! 1. Razão A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números ou de duas grandezas de algum sistema de medidas. Assim, a razão entre os números A e B é: Exemplo 1: Vamos determinar a razão entre os números 12 e 3: Exemplo 2: Determinando a razão entre os números 3 e 6: 1

2 Exemplo 3: Razão entre grandezas OBS: Grandeza é tudo que se pode contar, medir, pesar, enfim enumerar. A relação entre grandezas iguais não tem unidade. Para preparar um suco, normalmente misturamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A relação entre o volume de suco concentrado e o volume de água é um número real expresso como uma fração ou razão. A relação entre a mesma grandeza não tem unidade. Líquido Situação 1 Situação 2 Situação 3 Situação 4 Volume de suco concentrado, em litros (L) Volume de água, em litros (L) Volume de suco pronto para beber, em litros (L) Na Situação 1, para cada 3 litros de suco concentrado coloca-se 8 litros de água, totalizando 11 litros de suco pronto para beber. A razão entre o volume de suco concentrado e o volume de água é: Na Situação 2, para cada 6 litros de suco concentrado coloca-se 16 litros de água. Assim sendo, temos: Como nos exemplos anteriores, determine a razão do volume de suco concentrado por volume de água, para as situações 3 e 4 da tabela. 2

3 Solução: Situação 3: 12 L/32 L = 3/8 (os dois números são divisíveis por 4). Situação 4: 30 L / 80 L = 3/8 (os dois números são divisíveis por 10). Exemplo 4: Em uma partida de basquete um jogador fez 20 arremessos e acertou 10. Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos. Isso significa que o jogador acertou 1 a cada dois arremessos. 2. Proporção Proporção é a igualdade entre duas razões. Quando se diz que a relação entre A e B é proporcional a relação entre C e D, temos: e fazemos a seguinte leitura: A está para B, assim como C está para D. Propriedade fundamental das proporções Numa proporção: 3

4 Os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é: A x D = B x C ou A. D = B. C Exemplo: A relação entre 3 e 4 (3/4) está em proporção com a relação entre 6 e 8 (6/8), ou ainda: 3 está para 4, assim como 6 está para 8. Exercício: Determine o valor de x para que a razão x/3 esteja em proporção com 4/6. Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma: Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: x. 6 = x = 12 x= 2 Razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade média, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo. 1. Velocidade Média: A "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos). v média = distância percorrida / tempo gasto Exemplo: Vamos supor que um carro de Fórmula MAT percorreu 328 km em 2 h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso? 4

5 A partir dos dados do problema, temos: v média = distância percorrida / tempo gasto v média = 328 km / 2 h = 164 km/h O que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km. 2. Escala: Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho à razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade. escala = comprimento no desenho / comprimento real Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes etc. Exemplo: Observe as figuras dos barcos: Base menor barco azul/base menor barco vermelho = 2/4 Base maior barco azul/base maior barco vermelho = 4/8 Altura do barco azul/altura do barco vermelho = 3/6 5

6 O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção. 3. Densidade Demográfica: O cálculo da densidade demográfica, também chamada de população relativa de uma região é considerado uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o numero de habitantes e a área ocupada em certa região. Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador de um time, sendo que não pode haver substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra. 6 jogadores para cada time 1 jogador ( ) do time da direita foi expulso Outro exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de Km². De acordo com o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de habitantes. Assim: Densidade demográfica = habitantes / Km² Densidade demográfica = 60 habitantes/ Km 2 Isto significa que para cada 1 Km 2 existem 60 habitantes. 4. Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo é mais uma aplicação de razão entre duas grandezas. Assim, a densidade (volumétrica) de um corpo é a razão entre a massa desse corpo, medida em kg ou gramas e o seu volume, medido em m³, dm³ ou qualquer outra unidade de volume. 6

7 Exemplo: A densidade volumétrica de uma estátua de bronze é 8,75 kg/dm³. Isso significa que cada 1 dm³ do material tem massa igual a 8,75 kg. Curiosidade: Devido à existência de densidades diferentes, observamos que ao colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água, alguns afundam e outros flutuam. Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume afundará. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. Algumas substâncias e suas densidades estão na tabela abaixo: Substância Densidade [g/cm³] Madeira 0,5 Gasolina 0,7 Álcool 0,8 Alumínio 2,7 Ferro 7,8 Mercúrio 13,6 Na aula Ferrugem, é discutida a densidade dos materiais.lembre-se: Quando duas substâncias de mesmo tamanho têm massas diferentes é porque têm densidades diferentes. 7

8 Formação do óxido de ferro a partir da queima da palha de aço Ao se queimar palha de aço, independente da quantidade de massa de palha de aço, antes e depois de queima, haverá sempre uma razão constante, ou seja, os resultados são proporcionais. Veja o exemplo: Foram pesados vários pedaços de palha de aço, que, por queima, foram transformados em óxido de ferro. Obtiveram-se as seguintes massas: ANTES DE QUEIMAR MASSA DA PALHA DE AÇO 1,0 g 2,0 g 3,0 g DEPOIS DE QUEIMAR MASSA DO ÓXIDO DE FERRO 1,4 g 2,8 g 4,2 g 8

9 A razão entre a massa de óxido de ferro obtida e a massa de palha de aço será: OBS.: Lembre-se que o valor da massa é um valor experimental (foi determinado na balaça). Não é possível afirmar que a massa do óxido de ferro na 3ª. queima está errado. Veja que o resultado da razão 4,3/3,0 é igual a 1,43, com uma diferença de 0,03 em relação aos resultados das outras razões. Experimentlamente esse valor é desprezível. Exercício Qual vai ser a massa, em gramas, de óxido de ferro obtido ao se queimar 10g de palha de aço, mantendo-se a mesma razão dos exemplos anteriores? Resolução: Sabemos, pelos resultados da experiência acima, que a razão entre a massa de óxido de ferro resultante da queima e a massa de ferro antes da queima é 1,4, logo devemos aplicar essa razão: A massa de óxido de ferro obtido a partir da queima de 10 g de ferro é 14 g. 9

10 3. Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Regra de três nada mais é do que uma proporção. Passos utilizados numa regra de três simples: a) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. b) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. c) Montar a proporção e resolver a equação. Exemplo: Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m 2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m 2, qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela: Área (m 2 ) Energia (Wh) 1, ,5 x Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos outra 10

11 seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. Resumindo Grandeza: É uma relação numérica estabelecida com um objeto. Assim, a altura de uma árvore, o volume de um tanque, o peso de um corpo, a quantidade pães, entre outros, são grandeza. Grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar. Razão: é a divisão ou relação entre duas grandezas. Exemplo: se numa classe temos 40 meninos e 30 meninas, qual a razão entre o número de meninos e o número de meninas? Proporção: é a igualdade entre razões. Exemplo: meu carro faz 13km por litro de combustível, então para 26km preciso de 2L, para 39km preciso de 3L e assim por diante. 11

12 Numa proporção, quando multiplicamos em cruz, o resultado é o mesmo. Mas além desta propriedade, temos outras que serão muito úteis: Numa proporção quando somamos termo a termo, a razão se mantém. Numa proporção quando subtraímos termo a termo, a razão se mantém. Dadas as proporções: ATIVIDADES COMPLEMENTARES 1) Determine a razão entre as grandezas: a) Balas/crianças, numa festa onde foram distribuídas 200 balas para 50 crianças b) Massa de areia/balde, onde as crianças brincando dividiram 600 g de areia em 5 baldes c) Distância/tempo, de uma viagem que durou 3 horas entre duas cidades que distam 270 km 2) Numa festa cada pessoa come, em média, 5 salgadinhos. Calcule quantos salgados serão necessários em uma festa para 70 convidados. 12

13 3) Um motorista percorre 320 km por dia. No final do mês, quantos quilômetros o motorista percorreu? Considere que 1mês tem 30 dias. 4) Um aluno resolve 6 tarefas em cada aula. Ao final de um dia de 5 aulas, quantas tarefas ele resolveu? 5) Numa casa um cachorro come, em média, 50 g de ração por dia. Se um pacote de ração tem 1 kg (1000 g), quantos dias vai durar esse pacote? 6) Em uma sala de aula, a razão de moças para o número de rapazes é de 5/4. Se o número total de alunos desta turma é de 45 pessoas, caso exista uma festa quantas moças ficariam sem par? 7) Uma professora preparou uma jarra de suco para 48 copos. Sabendo que cada copo corresponde tem 250 ml, quantos litros de suco a professora preparou na jarra? a) 12,0 b) 15,2 c) 16,0 d) 20,4 e) 24,0 8. Um disco gira a 45 rotações por minuto. Em 4 segundos, a quantidade de voltas dadas pelo disco é a seguinte: a) 3 voltas b) 5 voltas c) 6 voltas d) 9 voltas e) 12 voltas Obs.: É importante notar que 1 minuto é igual a 60s. 13