O Mistério dos Chocalhos

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1 O Mistério dos Chocalhos Cláudia Peixoto IME-USP O objetivo desta oficina é introduzir os conceitos de amostragem e estimação. Para tanto iremos utilizar um objeto idealizado ela MTEMTEC (htt://matemateca.ime.us.br/). Trata-se de um chocalho com bolas de duas cores em seu interior. o cabo do chocalho é ossível visualizar aenas duas bolas. SERÁ POSSÍEL SBER QUTS BOLS DE CD COR HÁ DETRO DO CHOCLHO? Como qualquer criança curiosa faria o exerimento que realizaremos é:. Misturar as bolas (chacoalhar o chocalho).. notar as duas bolas que aareceram no cabo do chocalho. 3. Reetir vezes esse rocedimento. Considerando-se que as bolas do chocalho formam a oulação sobre a qual temos interesse em descobrir algum arâmetro temos que cada anotação refere-se a uma amostra aleatória de dois elementos sem reosição. ssim estamos sorteando amostras de dois elementos. ote que o resultado da amostra k (aós chacoalhar k vezes o chocalho) indeende dos resultados das amostras a k ois ao chacoalharmos o chocalho teremos indeendência entre os resultados das amostras.

2 Considere um chocalho com bolas amarelas e verdes. amos denotar or x o número de bolas amarelas e or y o número de bolas verdes. ssim o chocalho ossui x y bolas. Podemos observar em uma amostra de dois elementos duas bolas amarelas duas bolas verdes ou uma bola verde e uma amarela. robabilidade de cada ossível resultado da amostra ode ser calculada da seguinte forma: x ( x ) P ( ) -> robabilidade de duas bolas amarelas ( x y) ( x y ) x y P ( ) -> robabilidade de uma bola amarela e uma verde ( x y) ( x y ) ou uma verde e uma amarela y ( y ) P ( ) -> robabilidade de duas bolas verdes ( x y) ( x y ) artir do que observamos nas amostras queremos estimar x e y. Podemos também estimar or exemlo x P( selecionar uma bola amarela) ( x y) que é a roorção de bolas amarelas no chocalho. gora suonha que você realizou o rocedimento roosto com 0 e observou as seguintes amostras: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). robabilidade de termos observado essas 0 amostras de dois elementos é ela indeendência. ()

3 É razoável ensarmos que o que foi observado é o mais rovável de ocorrer. Sendo assim odemos ensar que e deveriam ser valores que maximizam a robabilidade do que foi observado ou seja tornam o valor de () máximo. Derivando () em relação à temos () Derivando em relação à temos 0. 3 (3) Resolvendo o sistema formado or () e (3) temos que. Observe que os valores que maximizam () são as frequências relativas observadas na amostra. Para qualquer onde são as reetições de nosso rocedimento teremos resultados e a robabilidade obtida em () ode ser escrita da seguinte maneira: a v a v onde

4 a é o número de ocorrências de () e v é o número de ocorrências de (). Derivando a exressão em relação à temos: e em relação à e igualando a 0 a 0. v a a v a v a ( a v) v 0. a a v a v v ( a v) Resolvendo o sistema chegaremos a a a. ssim temos um estimador ara as roorções utilizando um método estatístico que tem um nome omoso; Método de Máxima erossimilhança. Escolhemos como estimativa o valor que torna as amostras observadas as mais rováveis de ocorrer. Para uma outra ilustração do roblema de estimar a comosição dos chocalhos considere dois chocalhos que ossuem a mesma razão entre bolas amarelas e verdes. Por exemlo Chocalho I: bolas amarelas e bolas verdes ( ) P ( ) ( ) ( ) 6

5 P ( ) ( ) ( ) ( ) P ( ) ( ) ( ) Chocalho II: 3 bolas amarelas e 3 bolas verdes 3 (3 ) P ( ) (3 3) (3 3) 3 3 P ( ) (3 3) (3 3 ) 3 (3 ) P ( ) (3 3) (3 3) Observe que aesar dos dois chocalhos terem a mesma razão entre os números de bolas verdes e amarelas as robabilidades de cada resultado de uma amostra de dois elementos são diferentes. É ossível rovar que a função F x y) ( ) ( que associa a comosição do chocalho aos valores das robabilidades de serem observadas duas bolas amarelas ou duas bolas verdes é injetora. (Tente rovar isto!) Este fato garante que estimar as robabilidades nos levam a uma única comosição do chocalho.