Algoritmos genéticos: alguns experimentos com os operadores de cruzamento ( Crossover ) para o problema do caixeiro viajante assimétrico

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1 Algoritmos genéticos: alguns exerimentos com os oeradores de cruzamento ( Crossover ) ara o roblema do caixeiro viajante assimétrico Anderson Freitas Silva (DIE/UFPI) cadfreitas@yahoo.com.br Antonio Costa de Oliveira (DIE/UFPI) costa@ufi.br Resumo Os algoritmos genéticos são métodos de busca robabilística insirados na evolução natural. Este método heurístico mostra-se eficiente e robusto na resolução de diversos roblemas de otimização combinatória. Uma das alicações dos algoritmos genéticos em tais roblemas é na resolução do Problema do Caixeiro Viajante (PCV). Um algoritmo genético ara o PCV requer modificações do algoritmo genético adrão roosto or John Holland na década de 70. Codificações aroriadas ara lidar com as ermutações inerentes ao roblema foram necessárias, e conseqüentemente oeradores de cruzamentos foram desenvolvidos sobre essas codificações ara maniular a oulação de cromossomos e garantir a geração de roles viáveis.este artigo visa comarar, em termos de desemenho comutacional e qualidade da solução obtida, os rinciais oeradores de cruzamento desenvolvidos ara o PCV. Palavras-chave: Problema Caixeiro Viajante, Algoritmos Genéticos e Oeradores de Cruzamento. 1. Introdução O Problema do Caixeiro Viajante (PCV) é um exemlo clássico de roblema de otimização combinatória. Dado um conjunto de n cidades e a distância (ou custo da viagem) entre elas; o roblema consiste em determinar uma rota que ercorra cada uma das n cidades uma única vez e retorne à cidade de origem, de tal forma que a distância total ercorrida seja mínima. O interesse or este roblema deve-se a sua dificuldade de resolução e também, a sua enorme alicabilidade na engenharia e nas ciências. Diversos roblemas reais odem ser modelados como um PCV: roteamento de veículos, rogramação de tarefas em máquinas, erfuração de lacas de circuitos integrados, maeamento do DNA humano, dentre outras alicações (LENSTRA & RINNOOY KAN, 1975) e (TSP Homeage, 005). Há inúmeros algoritmos exatos e heurísticos ara resolver este roblema. Os algoritmos exatos encontram soluções ótimas, mas sua alicação em roblemas de grande dimensão torna-se roibitiva em virtude do elevado esforço comutacional. Isto se deve ao fato do PCV ertencer a classe de roblemas NP-Comleto (GAREY & JOHNSON, 1979). Os algoritmos heurísticos constituem uma alternativa comutacionalmente viável encontrada elos esquisadores ara resolver o PCV. A limitação desta alternativa é a qualidade da solução obtida, que não necessariamente é a ótima. Dentre os métodos heurísticos que encontram boas soluções de forma eficiente estão os algoritmos genéticos. Algoritmos genéticos são métodos de busca e otimização baseados nos rincíios de seleção e evolução natural dos organismos biológicos. Foram roostos or John Holland e seus 1

2 colaboradores da Universidade de Michigan na década de 70. Inicialmente, foram utilizados no arendizado de máquinas e otimização de funções numéricas. O algoritmo genético canônico, idealizado or Holland, oera sobre uma oulação de cromossomos inicial codificados em cadeias de strings 0 s e 1 s. Cada cromossomo reresenta uma otencial solução do roblema. A cada geração, os cromossomos são avaliados de acordo com uma função de adatação, também chamada de fitness. Os indivíduos mais atos (com melhores valores de adatação) ossuem maior robabilidade de reroduzir-se (seleção) mediante cruzamentos com outros indivíduos da oulação, roduzindo descendentes com características de ambas as artes. Também é ossível modificar características da oulação através de mutações. A seleção, o cruzamento e a mutação são oeradores genéticos que transformam a oulação através de sucessivas gerações. Aós a alicação desses oeradores, ao longo das gerações, esera-se que os indivíduos da oulação convirjam ara uma boa solução, não necessariamente a ótima (GOLDBERG, 1989). O oerador de cruzamento e a forma de codificação do esaço de soluções (conjunto de todas as soluções ossíveis) têm um ael fundamental no desemenho dos algoritmos genéticos. Para o PCV, diversas formas de codificação e seus resectivos oeradores de cruzamento foram desenvolvidos, dentre os rinciais oeradores estão PMX (Partially Matched Crossover), OX (Order Crossover), CX (Cicle Crossover) e HX (Heuristic Crossover). O objetivo deste artigo é fazer uma análise comarativa do desemenho comutacional e a qualidade da solução obtida or estes oeradores, utilizando uma das formas mais naturais de codificação, a reresentação or caminho. Inicialmente, na seção, serão exostas as razões ela escolha desta codificação e em seguida, na seção 3, serão descritas as formas de codificação ara o PCV. Na seção 4, será descrito o funcionamento de cada oerador de cruzamento utilizado no trabalho. E finalmente, na seção 5, serão mostrados os resultados comutacionais obtidos utilizando instâncias assimétricas do PCV em um grafo comleto, geradas de forma aleatória ou retiradas da literatura.. Algoritmos genéticos ara o PCV No contexto do PCV, cada cromossomo codifica uma solução, isto é, uma rota. A função de adatação (fitness), que avalia cada cromossomo, está relacionada com o tamanho da rota, o qual deende da ordem em que as cidades aarecem na mesma. Para construir novos cromossomos (role), o algoritmo genético deve combinar as características de duas soluções reviamente selecionadas. Essas características a serem transmitidas são os arcos de cada solução. O algoritmo canônico de Holland não é adequado ara o PCV, or dois motivos: a) Exige excessivo uso de memória, à medida que aumenta o tamanho do PCV. Suondo um roblema com n cidades, cada cidade é codificada em uma seqüência de 0 s e 1 s com log tamanho n n log. Assim, o cromossomo inteiro terá o tamanho n. b) O oerador de cruzamento de um corte roduz roles inviáveis, requerendo uma técnica auxiliar ara rearar estas soluções, aumentando, assim, o esforço comutacional. Desta maneira, foram esquisadas e desenvolvidas novas formas de codificação ara o PCV, assim como, elaborados sofisticados oeradores de cruzamento ara maniular estas reresentações e criar soluções viáveis.

3 3. Reresentação genética das soluções Para o PCV, foram roostas várias formas de codificação do esaço de busca. Entre as rinciais reresentações estão: a ordinal, or caminho (ou inteiros) e or adjacência. Além destas, há outras formas baseada em matrizes booleanas (MICHALEWICZ, 1996). Nas subseções a seguir, será detalhada cada uma destas codificações. 3.1 Reresentação ordinal Nesta forma de codificação, cada solução é reresentada como uma lista de n cidades, onde o i-ésimo elemento da lista é um número entre 1 e n i +1. Existe uma lista ordenada de cidades que serve como referencia ara construir a reresentação. A lista ordenada l, varia de 1 a n cidades. O cromossomo é um vetor de osicionamento da cidade na lista. Por exemlo, seja o cromossomo = (1, 1,, 3, 1, 1) e a lista l = (1,, 3, 4, 5, 6). O rimeiro elemento do cromossomo é 1. Ele corresonde ao rimeiro elemento da lista l que é o 1 (Rota: 1). O róximo elemento do cromossomo é 1. Ele corresonde ao rimeiro elemento da lista l atualizada (aós remoção do 1) que é o (Rota: 1 ). O róximo número do cromossomo é. Tal número corresonde ao segundo elemento da lista l atualizada (sem o 1 e o ) que é o 4 (Rota: 1 4). O róximo elemento do cromossomo é 3, corresondendo ao 6 na lista l atualizada (Rota: 1 4 6). Seguindo este raciocínio, chega-se à rota final: Essa é a solução reresentada or este cromossomo. 3. Reresentação or caminho Esta reresentação é talvez a mais natural de uma solução ara o PCV. O cromossomo é formado ela seqüência dos nós na solução. Por exemlo, o cromossomo = (1, 4,, 3, 6, 5) reresenta diretamente a solução Reresentação or adjacência Cada cromossomo é reresentado como uma lista de n cidades. A cidade j da rota é listada na osição i se, e somente se, a rota vai da cidade i a cidade j. Por exemlo, um cromossomo = (3, 1, 5, 6, 4, ) aresenta os seguintes arcos em uma rota associado a : 1 3; 1; 3 5; 4 6; 5 4; 6. Assim, o cromossomo reresenta a seguinte solução: Oeradores de cruzamento Existem diversos oeradores de cruzamento desenvolvidos ara maniular cada uma das reresentações descritas acima. Cada reresentação ossui seu rório conjunto de oeradores. Neste artigo, foram selecionados os rinciais oeradores ara a codificação or caminho. Eles são classificados, de acordo com Potvin (1996), em: oeradores que reservam a osição absoluta das cidades e oeradores que reservam a ordem relativa. Dentre os oeradores de cruzamento que mantêm a osição absoluta estão: o PMX (Partially Matched Crossover) roosto or Goldberg e Lingle (1985 aud POTVIN, 1996,. 351) e o CX (Cycle Crossover) roosto or Oliver (1987 aud POTVIN, 1996,. 353). E entre os oeradores que mantêm a ordem relativa está o OX (Order Crossover) desenvolvido or Davis (1985 aud MICHALEWICZ, 1996,. 17). Também, foi utilizada ara o estudo comarativo uma versão adatada do HX (Heuristic Crossover) que utiliza reresentação or caminho. Além destes oeradores, existem outros que foram desenvolvidos ara outras formas de codificação, como o oerador ER (Edge 3

4 XXVI ENEGEP - Fortaleza, CE, Brasil, 9 a 11 de Outubro de 006 Recombination) ara a reresentação or adjacência e o oerador de um corte ara a reresentação ordinal, os quais são citados or Michalewicz (1996) e Potvin (1996). A seguir, será descrito como cada um destes oeradores maniula uma solução do PCV. 4.1 Oerador PMX Ele é descrito elo seguinte rocedimento: considere um ar de cromossomos 1 e (figura 1), e sobre eles realizam-se dois ontos de corte aleatórios. Os filhos f 1 e f herdam integralmente as seqüências arciais entre os dois ontos de corte resectivamente de e 1, ou seja, há uma troca de subseqüências. Para isso, deve-se reservar a ordem e a osição de cada cidade nas subseqüências. 1 1 = (1,, 3, 4, 5, 6) f = (3,, 1, 4, 5, 6) = (6, 3, 1, 4, 5, ) f = (6, 1, 3, 4, 5, ) Figura 1 Cruzamento alicando oerador PMX Esta troca também define o seguinte maeamento: 1 3, 4 4, 5 5, ara rearar rotas inviáveis. Cada gene de f 1, ainda não conhecido aós a colocação das seqüências arciais, é reenchido a artir de seu ai 1, e cada gene de f não conhecido é reenchido a artir de seu ai, desde que não forme uma rota inviável. Observa-se que se o filho f 1 herdar a cidade 1 (já resente em sua seqüência arcial) do cromossomo 1 cria-se uma rota inviável. Assim elo maeamento definido anteriormente, o filho f 1 herda a cidade 3. Da mesma forma, o filho f herda a cidade 1 ao invés da cidade 3 de. 4. Oerador CX Este oerador gera filhos que reservam a osição absoluta das cidades rovenientes dos cromossomos ais. Ele trabalha sobre um subconjunto de cidades que ocua um mesmo subconjunto de osições em ambos os ais. Estas cidades são coiadas de um dos ais (or exemlo 1 ), nas mesmas osições, ara um filho (f 1 ). As osições remanescentes são comletadas com as cidades do outro ai ( ). Assim, cada cidade e sua osição são herdadas de um dos ais. Veja figura : 4.3 Oerador OX 1 1 = ( 3,, 1, 4, 5, 6) = (6, 3, 4, 1, 5, ) f = ( 3,, 4, 1, 5, 6) Figura Cruzamento alicando oerador CX Este oerador gera filhos a artir da escolha de uma seqüência arcial de cidades de um dos ais e reservando a ordem relativa das cidades do outro ai. Observe a figura 3: 1 1 = (1, 6, 3,, 5, 4) f = (1, 4, 3,, 5, 6) = (6,, 1, 4, 3, 5) f = (, 5, 1, 4, 3, 6) Figura 3 Cruzamento alicando oerador OX 4

5 Os filhos f 1 e f herdam as faixas entre os cortes de seus resectivos ais 1 e. A seguir, artindo do segundo corte de um ai (or exemlo ), coia-se as cidades na mesma ordem em que aarecem, removendo aquelas contidas entre os dois cortes do outro ai (no caso 1 ). Assim, a artir da seqüência 5, 6,, 1, 4 e 3, obtêm-se a seqüência 6, 1, 4 (removendo 3, e 5 já resentes) a ser inserida em f 1 a artir de seu segundo onto de corte. Da mesma maneira, a artir da seqüência 4, 1, 6, 3, e 5 de 1, têm-se a seqüência 6, e 5 (removendo 1, 4 e 3 de ) a ser inserida em f a artir de seu segundo corte. Dessa forma, obtêm-se os filhos ilustrados na figura acima. 4.4 Oerador HX Este oerador utiliza uma informação heurística não exlorada elos oeradores anteriores, a distância entre as cidades, isto é, o tamanho dos arcos. O oerador HX ode ser descrito da seguinte forma: a) Escolha uma cidade inicial aleatória de um dos ais; b) Comare os arcos deixando a atual cidade em ambos os ais e selecione o menor; c) Se o menor arco escolhido formar um ciclo na rota arcial, então escolha um arco aleatório que não introduza um ciclo; d) Reita os assos b e c até que todas cidades sejam incluídas na rota. 5. Testes e resultados comutacionais Um algoritmo genético ara o PCV foi imlementado em linguagem C++. Os testes comutacionais foram realizados em um microcomutador com rocessador Intel Pentium IV 3.0 GHz e 51 MB de RAM. Para realizar a comaração dos oeradores exlanados nas seções anteriores, foram resolvidos 9 (nove) PCV s assimétricos. Dentre estes, 5 (cinco) foram gerados de forma aleatória com instâncias de 100, 00, 300, 400 e 500 cidades. E os 4 (quatro) roblemas restantes foram retirados do TSPLIB (1995), com as seguintes instâncias: 17, 71, 171 e 443 cidades. Cada roblema foi resolvido 5 (cinco) vezes ara cada oerador, obtendo-se a solução média e o temo comutacional médio das execuções, assim como o registro da melhor solução encontrada or cada oerador. Os valores utilizados na matriz reresentativa das distâncias entre as cidades, ara os roblemas gerados aleatoriamente, ertencem ao intervalo inteiro [0,1000]. No algoritmo imlementado, o oerador de seleção utilizado foi o método da roleta, no qual os indivíduos a serem selecionados são reresentados em uma roleta roorcionalmente ao seu fitness, ara osteriormente serem submetidos ao oerador de cruzamento, de acordo com uma taxa de cruzamento (GOLDBERG, 1989). Esta taxa indica a robabilidade de alicação do oerador de cruzamento sobre duas soluções selecionadas na roleta. De acordo com Coley (1999) e Goldberg (1989), o valor desta robabilidade está comreendido entre 0,4 e 0,95. No algoritmo, a taxa foi fixada em 0,85 ara todos os oeradores utilizados. Já o oerador de mutação imlementado foi o de inversão. Dois ontos no cromossomo são selecionados aleatoriamente e a substring entre estes ontos é invertida (MICHALEWICZ, 1996). Este oerador foi alicado ara cada cromossomo da role com uma dada robabilidade também fixada, no valor de 0,0. 5

6 Outros arâmetros imortantes de um algoritmo genético também foram fixados. O tamanho da oulação foi limitado a 100 cromossomos. E número máximo de iterações (critério de arada do algoritmo) foi gerações. Além disso, o algoritmo imlementado utiliza uma estratégia elitista, de maneira que a melhor solução da geração atual seja transferida automaticamente ara a geração seguinte. A tabela 1 resume os resultados comutacionais obtidos ara os 9 (nove) PCV s roostos. Nº de PMX OX CX HX Melhor Cidades Média Melhor Média Melhor Média Melhor Média Melhor Conhecida , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabela 1 Comaração de quatro oeradores de cruzamento A artir da tabela acima, observa-se que o oerador de cruzamento HX destaca-se sobre os demais oeradores, sobretudo quando o número de cidades aumenta. Uma exceção foi o roblema com 443 cidades, onde o CX foi melhor. Analisando os resultados obtidos ara os roblemas com a melhor solução conhecida, observa-se que, à medida que o número de cidades cresce, a qualidade da melhor solução obtida ara cada roblema distancia-se da melhor solução conhecida. Para o roblema com 17 cidades, todos os oeradores encontraram a melhor solução conhecida. Já no roblema com 71 cidades, a melhor solução, obtida elo oerador OX, ficou or volta de 3,1 % da melhor solução conhecida. No roblema com 171 cidades, o ercentual foi de 15,4 %, que foi obtido elo oerador HX. E no roblema com 443 cidades, a melhor solução, obtida elo oerador CX, foi 18,6 % da melhor solução conhecida. As figuras 4 e 5 mostram a evolução do fitness médio ara alguns exerimentos realizados com relação aos 4 (quatro) oeradores imlementados e duas diferentes instâncias de cidades. Para o PCV com 171 cidades (figura 4), o oerador HX obteve uma solução de melhor qualidade em relação aos demais oeradores. 6

7 Figura 4 - Evolução do fitness médio da melhor solução ara os diferentes oeradores de cruzamento num PCV assimétrico com 171 cidades Já, com relação ao PCV com 500 cidades (figura 5), o oerador HX também obteve uma solução de melhor qualidade que os demais oeradores. Figura 5 - Evolução do fitness médio da melhor solução ara os diferentes oeradores de cruzamento num PCV assimétrico com 500 cidades De acordo com o gráfico da figura 6, observa-se que, ara os PCV s com tamanho até 100 cidades, todos os oeradores têm um temo médio comutacional semelhante. Mas, ara os PCV s com tamanho maior que 100 cidades, o temo comutacional do oerador HX destacase em relação aos demais. Ele obtém soluções melhores a um esforço comutacional um ouco maior. Em contraartida, o oerador CX tem um desemenho quase linear, exigindo ouco temo de execução. Os outros oeradores PMX e OX têm um desemenho intermediário, entre o CX e o HX. 7

8 Figura 6 Temo comutacional médio dos oeradores de cruzamento ara diferentes instâncias do PCV 6. Conclusões Neste trabalho, foram realizados alguns exerimentos com os oeradores de cruzamento imlementados (PMX, OX, CX e HX), utilizando reresentação or caminho. Estes oeradores obtiveram boas soluções, ara os roblemas gerados aleatoriamente e retirados da literatura, em ouco temo de execução, demonstrando eficiência ara lidar com um roblema NP-Comleto como o PCV (GAREY & JOHNSON, 1979). Com relação à comaração de desemenho entre os oeradores, o HX foi o oerador que aresentou melhor desemenho na qualidade da solução, considerando a totalidade dos resultados. Isto ocorre, talvez, elo fato do oerador utilizar uma informação heurística não exlorada elos oeradores anteriores, a distância entre as cidades, como dito em seções anteriores. Já o CX foi o oerador que exigiu o menor temo comutacional em relação aos outros oeradores. Isto se deve ao fato da alicação do oerador, sobre duas soluções reviamente selecionadas, não exigir maeamentos e muitas verificações de viabilidade na role obtida, como ocorre no PMX, no OX e no HX. Considerando somente o conjunto de oeradores PMX, CX e OX, observou-se um maior distanciamento das melhores soluções obtidas or estes oeradores em relação à solução obtida elo HX, ara PCV s de tamanho maior que 300 cidades. Alguns fatores odem ter influenciado no desemenho desses oeradores, como os valores fixados dos arâmetros utilizados (tamanho da oulação, taxas de cruzamento e mutação) e o oerador de mutação. Isto requer um maior arofundamento sobre a influência desses arâmetros ara os oeradores PMX, CX e OX. 7. Trabalhos futuros Como trabalhos futuros, sugere-se uma análise comarativa destes mesmos oeradores de cruzamento (PMX, OX, CX e HX) ara PCV s simétricos e em um grafo qualquer. Também, esta análise ode ser estendida, abrangendo outros oeradores de cruzamento, utilizando outras formas de codificação. 8

9 Outra sugestão é a inserção de busca local na role, a fim de melhorar os resultados obtidos. Existem diversos algoritmos híbridos (algoritmos genéticos com busca local) que melhoram a eficiência dos algoritmos genéticos sem comrometer sua flexibilidade (KENNEDY, 1993). 8. Referências COLEY, David A. An Introduction to Genetic Algorithms for Scientists and Engineers. World Scientific Pub Co, Singaure, GAREY, M. R. & JOHNSON, D. S. Comuters and Intractability: a guide to the theory of NP-Comleteness. San Francisco, Freeman, GOLDBERG, D. E. Genetic Algorithms in Search, Otimization and Machine Learning. Addison-Wesley, Reading, MA, KENNEDY, Scott A. Five Ways to a Smarter Genetic Algorithm. AI Exert. December LENSTRA, J. K. & RINNOOY KAN, A. H. G. Some Simle Alications of the Traveling Salesman Problem. Oerational Research Quarterly, v. 6, n. 4, , MICHALEWICZ, Z. Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs. 3rd edition. Sringer- Verlag. Berlin, Germany (1996). POTVIN, J. Y. Genetic algorithms for the traveling salesman roblem. Annals of Oerations Research 6, , TSP HomePage, 005. TSP Alications. Janeiro 005. Disonível em: htt:// Acesso em: 06/05/006. TSPLIB, Traveling Salesman Problem Library. Novembro 004. Disonível em: htt:// Acesso em: 06/05/006. 9