APLICAÇÃO DE ALGORITMOS GRASP E GENÉTICOS AO PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO DE ESTAÇÕES DE RÁDIO BASE

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1 APLICAÇÃO DE ALGORITMOS GRASP E GENÉTICOS AO PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO DE ESTAÇÕES DE RÁDIO BASE José André de M. Brito IBGE Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística Diretoria de Pesquisas - DPE Coordenação de Métodos e Qualidade COMEQ britom@ibge.gov.br Flávio Marcelo Tavares Montenegro IBGE Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística Diretoria de Pesquisas - DPE Coordenação de Métodos e Qualidade COMEQ fmontenegro@ibge.gov.br Luciana Roque Brito Programa de Engenharia de Sistemas e Comutação COPPE/UFRJ luciana@cos.ufrj.br RESUMO Este trabalho relata um estudo de soluções heurísticas ara o roblema de localização de estações de rádio base ('s). Dado um conjunto de locais, em uma região geográfica em estudo, candidatos à instalação de uma estação de radio base (), o roblema consiste em selecionar um subconjunto de custo mínimo, considerando a cobertura da área geográfica em estudo, o atendimento da demanda e uma exloração eficiente do esectro de freqüências. Ao invés de utilizarmos abordagens de rogramação inteira (Mateus, 2) ou rogramação não-linear (Brito, 24), roomos e imlementamos algoritmos heurísticos baseados nos conceitos de GRASP e VNS e em Algoritmos Genéticos. Resultados comutacionais e uma análise comarativa são também aresentados. Palavras-chave: Localização, Metaheurística, GRASP, VNS, Algoritmos Genéticos ABSTRACT This aer resents metaheuristic aroaches to solve the radio base stations (RBSs) locating roblem. Given a set of candidate sites (remaining to a geograhic region under study) to install a radio base station (RBS), the roblem consists of selecting a minimum cost subset that is subject to the following conditions. It should cover all the geograhic area, meet the demand and make an efficient use of the frequency sectrum. As alternatives to the use of integer (Mateus, 2) or non-linear (Brito, 24) rogramming, heuristic algorithms based on Genetic Algorithms as well as on GRASP and VNS concets are roosed and imlemented. Comutational results and a comarative analysis are also resented. Keywords: Location, Metaheuristic, GRASP, VNS, Genetic Algorithms

2 1. Introdução O roblema de localização de estações de rádio base ( s) consiste em, dado um conjunto de locais candidatos à instalação de uma, em uma região geográfica em estudo, selecionar um subconjunto de custo mínimo observando-se as seguintes condições: a cobertura da área em estudo, o atendimento da demanda e uma exloração eficiente do esectro de freqüências. Normalmente, as áreas de lanejamento das comanhias fazem uso aenas de modelos de roagação de sinais (Mateus, 1998) alicados ad hoc. Ou seja, não há a utilização de um modelo de rogramação matemática geral que determine em que locais as s devem ser instaladas. Deendendo, então, da dimensão da região em estudo, ou seja, do número de ontos a serem atendidos (usuários) e do número de s candidatas à instalação na região, o número de soluções ossíveis, imlementáveis elo lanejamento, ode ser razoavelmente grande. Em virtude disso, o rocesso de determinação da localização das s utilizado elo lanejamento ode fornecer uma solução aenas razoável, comrometendo, em alguns casos, a qualidade e os custos com equiamentos. Em face dessa dificuldade e da necessidade de uma ráida resolução do roblema, várias abordagens baseadas em técnicas de rogramação inteira (Beasley, 1992 e Wolsey, 1991), metaheurísticas e heurísticas (Reeves, 1993 e Viana, 1998), rogramação não-linear (Martinez, 1995) e teoria dos grafos (Boaventura, 1979) têm sido utilizadas ara tal fim. Dentre as inúmeras abordagens existentes ara o roblema de localização de estações de rádio base, odemos destacar os trabalhos de: Brito (24), que desenvolveu um conjunto de modelagens ara o roblema de localização de s utilizando técnicas de suavização e enalização. Mateus e Mazzini (2), que imlementaram uma modelagem ara o roblema de lanejamento de uma rede de comunicação móvel em três níveis. Bhaskar (1999), que utilizando metaheurísticas como Simulated Annealing e Busca Tabu (Viana, 1998) roõe soluções ara diversos roblemas de telefonia celular. Chamaret e Lanloy (1997), que desenvolveram uma modelagem baseada em grafos ara localização de transmissores. Stamatelos (1996), que considera o ajuste da localização e da otência das s em ambientes internos. Hanif (1996), que aresenta uma modelagem ara o roblema de localização de s 3 considerando a roagação do sinal de cada numa região Q R. A artir do estudo do roblema de localização de s e dos trabalhos que vêm sendo desenvolvidos ara sua resolução, roomos, neste trabalho, uma nova abordagem baseada na metaheurística GRASP (Resende, 1995) e em Algoritmos Genéticos (AG s) (Holland, 1992, Srinivas e Patnaik, 1994, e Vianna, 1998). A artir do estudo dessas duas metaheurísticas, imlementamos três algoritmos GRASP Básico, GRASP com FILTRO e AG com a exectativa de se obter soluções viáveis de boa qualidade ara instâncias do roblema de localização de s de dimensão razoável. A aresentação deste trabalho está dividida em três seções: Na seção 2, temos a descrição do roblema de localização de estações de rádio base. Na seção 3, descrevemos os algoritmos GRASP e Genético roostos ara sua resolução. Concluindo, aresentamos e comaramos, na seção 4, os resultados comutacionais obtidos a artir da utilização dos três algoritmos. 2. O Problema de Localização de Estações de Rádio Base 1283

3 2.1 Conceito de Célula e Área de Cobertura Uma célula é uma área geográfica atendida ou coberta or uma (estação de rádio base). Uma é caracterizada ela resença de uma ou mais antenas fixas, instaladas em torres, e tem o objetivo de atender às demandas oriundas de outras estações ou unidades móveis que estejam dentro de sua área de cobertura. Em outro sentido, a célula corresonde à área de abrangência de uma, ou seja, a todo onto onde o sinal de rádio emitido ela é aceitável (está dentro de um adrão limite de ruídos e interferências). As células não têm forma definida. Idealmente seriam circulares, mas, na rática, odem assumir formas totalmente irregulares, deendendo do relevo e da toografia da área. Para fins conceituais e de simlificação, nos modelos de cobertura de rádio foi adotada a geometria dos hexágonos ara reresentar as células, uma vez que o hexágono ermite uma análise fácil e acessível do sistema celular. No sistema de telefonia celular, o termo área de cobertura refere-se à área geográfica em que uma unidade móvel (celular) ode ser atendida elo equiamento de rádio de uma. Para cada área geográfica com uma certa demanda or serviços, são efetuadas medidas de qualidade de sinal (Stuber, 2) ela área de lanejamento da comanhia. Através destas medidas, ode-se definir o número necessário de s que serão instaladas nessa área. O alcance dos sinais de rádio emitidos or cada uma dessas s deende das características do meio de roagação (construções, montanhas, etc.), dos tios de antenas que irão comor cada e da otência de transmissão das antenas. O nível de alcance desses sinais (abrangência) define o que chamamos de raio de cobertura das s. Quando o raio de cobertura das s é equeno, significa que o alcance dos sinais de rádio emitidos ela está limitado a uma área de oucos quilômetros ou até metros (Mateus, 1998), ou seja, os usuários só odem se utilizar destas s se não estiverem muito distantes de seus ontos de localização. Já as s com grande raio de cobertura se caracterizam or emitirem sinais que têm alcance de muitos quilômetros, ou seja, mesmo que o usuário esteja distante oderá utilizar os serviços destas s. 2.2 Definição do Problema O roblema de localização de estações de rádio base ( s) aarece como um dos ontos chave no lanejamento e desenvolvimento de redes de telefonia celular. Na maioria dos casos, a localização das s é efetuada de uma forma ad hoc ela inseção de maas de roagação de sinais (Stuber, 2 e Mateus, 1998) relacionados à área em estudo. Fornecida uma lista de locais otenciais onde as estações odem ser localizadas, a idéia é utilizar o conhecimento das características de roagação das ondas de rádio nessa área de forma a maximizar a cobertura (Mateus, 1998 e Nascimento, 2) e minimizar os custos. O roblema de localização de s consiste em selecionar, dentro de um conjunto de locais candidatos à instalação de uma (figura 1), um subconjunto de custo mínimo e sujeito à cobertura da área em estudo, ao atendimento da demanda e a uma exloração eficiente do esectro de freqüências (Stuber, 2), considerando fatores conflitantes como a área de cobertura de uma e os usuários suortados or ela ou a área de cobertura de uma e suas taxas de transmissão de dados. Quanto menor o número de s instaladas, menor será o custo. Por outro lado, o atendimento da demanda e a qualidade de serviço odem ser rejudicados. 1284

4 Figura 1 Exemlo do Problema de Localização de s A localização das estações de rádio base ode estar relacionada a três diferentes objetivos: a cobertura total ou cobertura máxima, o máximo aroveitamento esectral e o máximo número de canais or usuário. Pode-se, ainda, considerar o retorno financeiro e a qualidade de serviço esecífica or usuário. A cobertura total consiste em associar a cada onto da área de estudo elo menos uma em condições de oferecer um sinal que ermita minimamente a conversação ou a transmissão de dados. O máximo aroveitamento esectral busca solucionar as deficiências, exostas anteriormente, limitando a área de cobertura de cada. Nesse caso, a localização das estações de rádio base e suas resectivas otências de transmissão são definidas conjuntamente. Como último objetivo, rocura-se maximizar o número de canais disoníveis or usuários em cada. A determinação dos locais de uma dada região onde haja ossibilidade de instalação de s ode ser feita mediante a utilização de um sistema de redição de roagação de sinais (Mateus, 1998). O método de escolha das s envolve três assos. Inicialmente, as s candidatas são criadas elo sistema. Parâmetros como altura das antenas, otência de transmissão e localização física da são definidos. O sistema simula, então, a roagação de sinal (Mateus, 1998) de cada ao longo da área de estudo, gerando um maa de erdas de sinal em cada onto desta. No asso seguinte, é feita uma comosição dos sinais das diversas s candidatas. Esta comosição atribui a cada onto da área em estudo a de melhor sinal. No terceiro e último asso, as s selecionadas na etaa de comosição são submetidas a um algoritmo de alocação de canais (Stuber, 2 e Guedes, 2), que leva em consideração a demanda de cada onto da região em estudo e a otência de transmissão de cada. Na fase inicial do rojeto, não há uma limitação no número de estações de rádio base que odem ser instaladas na região. O que existe é uma reocuação com a qualidade do atendimento restado. A redução desse número de estações é efetuada em uma fase de ós-rocessamento. No caso deste trabalho, vamos estudar e roor uma nova metodologia ara o roblema de localização de s levando em conta o asecto de cobertura total. 1285

5 3. Metodologia Proosta 3.1 Introdução Nesta seção, aresentaremos os três algoritmos desenvolvidos ara a resolução do roblema de localização de s. Os dois rimeiros algoritmos foram desenvolvidos com base nos conceitos das metaheurísticas GRASP e VNS, e o terceiro foi baseado em conceitos de Algoritmos Genéticos. Com a utilização desses algoritmos, tem-se a exectativa de obter soluções viáveis de boa qualidade ara o roblema de localização de s. Inicialmente, com a finalidade de facilitar o entendimento dos algoritmos, faremos uma descrição sucinta dos rinciais conceitos de GRASP, VNS e de Algoritmos Genéticos. 3.2 GRASP O GRASP (Greedy Randomized Adative Search Procedure) é um método (Resende, 1995) que consiste de uma fase de construção, na qual uma solução viável x é construída iterativamente, seguida da fase de busca local, que visa melhorar a solução obtida na fase de construção. Em cada asso da fase de construção, é definida uma lista de candidatos ( LC ) que reresenta os elementos que odem ser adicionados à solução. Uma função gulosa g é alicada em cada um dos elementos da lista de candidatos, e estes são classificados de acordo com os valores dessa função. O elemento melhor classificado é adicionado à solução. Aós essa oeração, a lista de candidatos é atualizada, rovocando a mudança dos valores observados aós alicação da função gulosa. O rocesso é reetido até que LC =. Uma forma de ossibilitar uma maior variabilidade nas soluções obtidas consiste em definir uma lista de candidatos restrita ( LCR ), formada elos melhores elementos avaliados na LC através da função g, ou seja, aqueles que quando incororados à solução arcial x roduzem um acréscimo mínimo (caso de minimização). Este rocesso reresenta o asecto guloso do GRASP, ois temos semre os melhores elementos ara serem incororados na solução. No trabalho de Resende e Feo (1995) são roostos dois esquemas ara a construção da LCR : Um inteiro k é fixado e os k melhores candidatos, ordenados na LC segundo algum critério, são selecionados ara comor a LCR. A cada iteração da fase de construção, denotamos resectivamente or g e g o menor e maior acréscimo rovocados ela inserção de um elemento t LC na solução, segundo a função gulosa g (.). A artir da utilização desta função e dos valores g e g, definimos LCR = { t LC g( t) g + α ( g g)}, onde α [,1]. Quando α =, o rocedimento de construção torna-se guloso, ois a LCR tem aenas um elemento, e quando α = 1, roduzimos uma solução aleatória, tendo em vista que a LCR terá todos os elementos da LC. 1286

6 Na segunda fase, de busca local, há uma tentativa de melhora da solução inicial x obtida na rimeira fase, tendo em vista que esta solução não é necessariamente uma solução ótima ara o roblema. A ' busca local consiste na substituição da solução x ela melhor solução x encontrada na vizinhança de x (Resende, 1995). A solução obtida a artir do GRASP será a melhor das soluções obtidas em todas as iterações. 3.3 VNS O enfoque exlorado ela metaheurística VNS (Variable Neighborhood Search), roosta or Nenad Mladenovic (1999), está baseado em uma troca sistemática de estruturas de vizinhanças associadas a um algoritmo de busca local. De forma geral, uma vizinhança V ( x ) de uma solução x é um conjunto de soluções que odem ser obtidas a artir de x através da inserção, mudança de osição ou remoção de um elemento de x. Diferentemente de outras metaheurísticas, o VNS não segue uma trajetória, mas exlora incrementalmente vizinhanças distantes da vizinhança associada à solução x de forma a obter soluções melhores. Ou seja, utiliza-se um conjunto finito de vizinhanças V k ( k = 1,..., kmax ) reviamente selecionadas, sendo V k ( x ) o conjunto de soluções na k-ésima vizinhança de x. ' No algoritmo VNS básico, selecionamos aleatoriamente uma solução x Vk ( x ) e submetemos esta solução a uma busca local. Se a busca fracassar na obtenção de uma solução melhor que x, incrementa-se a ordem da vizinhança corrente. Ou seja, assamos a exlorar uma solução em outra vizinhança V k + 1 ( x ). Caso contrário, se a busca local encontrar uma solução melhor do que a solução x na vizinhança V k, atualizamos a solução e a ordem da vizinhança volta a ser 1 (retornamos à vizinhança V 1 exlorando-a incrementalmente). 3.4 Algoritmo GRASP ara o roblema de localização de s Nas figuras 2 e 3, aresentadas a seguir, aresentamos os seudocódigos do algoritmo GRASP roosto ara o roblema de localização de s. O rimeiro algoritmo está associado à fase de construção do GRASP e o segundo à fase de busca local. Na fase de construção, definimos um conjunto inicial de s que serão utilizadas ara a cobertura dos ontos da região e, na fase de busca local, tentamos reduzir esse número de s Algoritmo de Construção No asso 1, definimos o total de iterações do GRASP e o valor do arâmetro α ara formar a lista de candidatos restrita e, no asso 2, inicializamos o conjunto das s que serão utilizadas ara a cobertura dos ontos. No asso 3, definimos M como a lista contendo o número de ontos cobertos or cada. No asso 4, definimos a lista de candidatos LC, considerando o número das s que cobrem cada um dos ontos descobertos e, no asso 5, calculamos os valores de g (.), onde g (t) corresonde ao inverso do total de ontos cobertos or cada t. 1287

7 No asso 6, temos a condição de arada do algoritmo, ou seja, a LC ficará vazia quando todos os ontos estiverem cobertos or elo menos uma. No asso 7, obtemos os valores máximo e mínimo de g (.). No asso 8, definimos a lista de candidatos restrita (LCR) considerando o número de ontos cobertos or cada uma das s e, no asso 9, selecionamos uma da LCR aleatoriamente. No asso 1, adicionamos a selecionada à solução arcial LC. Finalmente, no asso 12, recalculamos os valores de g (.). (1) Escolha o valor de α [,1] (2) Defina S = Algoritmo de Busca Local Figura 2 - Algoritmo da Fase de Construção do GRASP S e, no asso 11, atualizamos a (3) Defina M (lista que contém o número de ontos cobertos or cada uma das s) (4) Defina LC (contém o número das s que cobrem todos os ontos descobertos) (5) Avalie g(t) considerando as s que estão em LC (onde g(t)=1/m(t)) (6) Enquanto ( LC ) Faça (7) Faça g = min{ g( t) t LC} e Faça g = max{ g( t) t LC} (8) Faça LCR = { t LC g( t) g + α ( g g} (9) Selecione t LCR aleatoriamente (1) Faça S = S t (11) Atualize LC considerando aenas as s que cobrem elo menos um dos ontos descobertos (12) Reavalie g(.) considerando as s que estão em LC. (13) Fim-Enquanto Essencialmente, neste algoritmo, retiramos uma ou mais s da solução ( S ) obtida na fase de construção, garantindo que todos ontos continuarão sendo atendidos or elo menos uma. No asso (1), definimos o número máximo de vizinhanças que serão testadas ( s). O valor inicial de k = 2 indica o número de s que serão utilizadas no teste de cobertura. No asso 3, definimos a lista arcial de s ( S ) igual à lista inicial de s ( S ) (obtida na fase de construção), selecionamos uma t desta lista inicial (asso (5)) e atualizamos ( S ) no asso (6). No asso (8), selecionamos k s de S e atribuímos estas s ao conjunto S COB. No asso (9), verificamos se as s que estão em S COB cobrem todos os ontos que a t cobre. Caso isto ocorra, odemos retirar a t de ( S COB ) (melhor solução obtida até o momento) e retornarmos à vizinhança

8 Caso as k s do conjunto vizinhança (asso (14)). Ou seja, selecionamos k +1 s de s ao conjunto S COB não cubram todos os ontos cobertos ela t, mudamos a S COB. No asso 18 temos a condição de arada do algoritmo. S e, novamente, atribuímos estas (1) Defina Max _ Viz S 1, k = 2 e MAX _ TENTATIVAS = S div 2 (2) Reita (3) Se ( k = 2) Então Figura 3 - Procedimento de Busca Local do GRASP ara o Problema de Localização de s O algoritmo reresentado nas figuras 2 e 3 é definido como GRASP básico (GRASP-B). Através de equenas modificações no GRASP-B, obtemos o GRASP com FILTRO (GRASP-F). Conforme já aresentado, em cada iteração do GRASP básico temos a geração de uma solução viável x na fase de construção e, deois, alicamos a busca local com a finalidade de obter uma solução x' V ( x) tal que f ( x ') < f ( x ) (roblema de minimização). No caso do GRASP com FILTRO, são geradas m soluções viáveis na fase de construção e, dentre estas, seleciona-se a melhor solução ara, então, alicar o rocedimento de busca local. Este rocedimento é realizado em todas as iterações do GRASP. 3.5 Algoritmos Genéticos = (4) Faça S = S (5) Selecione aleatoriamente de S uma {t} (6) Faça S S /{t} = (7) Fim-Se (8) Selecione aleatoriamente, de S, k s e atribua estas s a S COB (9) Se ( s de S COB cobrem os mesmos ontos cobertos ela {t} ) Então (1) Faça S = S (11) Faça k = 2 (Volta ara vizinhança 1) (12) Senão (13) Se ( Max _ viz < k) (14) Então Faça k = k + 1 (15) Senão Faça k = 2 e buscas = buscas + 1 Fim-Se (17) Fim-Se (18) Até ( buscas = MAX _ TENTATIVAS) Algoritmos genéticos (AG s) são rocedimentos adatativos que simulam a evolução de uma oulação de indivíduos, cada um deles reresentando uma ossível solução de um dado roblema de otimização. Cada indivíduo é caracterizado or um cromossomo que codifica suas características relevantes ao roblema. A oulação evolui iterativamente através de rocessos de seleção dos indivíduos mais bem adatados, ou seja, as melhores soluções, segundo uma dada função objetivo. 1289

9 Estes indivíduos têm seus cromossomos combinados de uma forma que ossibilite a obtenção de novas gerações de indivíduos cada vez mais atos. Para que seja induzida uma maior diversidade entre os indivíduos, são utilizados, também, mecanismos de mutação. Ao fim de todo o rocesso, o melhor indivíduo encontrado corresonderá a uma solução heurística ara o roblema (Holland, 1992, Srinivas e Patnaik, 1994, e Vianna, 1998). 3.6 Algoritmo Genético ara o roblema de localização de s Para o roblema de localização de s, desenvolvemos um AG cujas rinciais características são aresentadas a seguir. - A oulação é constituída or um número fixo Po_size de indivíduos, sendo cada uma destes um vetor x com N coordenadas -1, onde N é o número total de s candidatas, de modo que a i -ésima comonente de x é igual a 1 se a i é revista ser instalada e igual a em caso contrário. - A função objetivo z (x) é o número de s revistas em cada solução, acrescido de uma enalidade Penalty_value or cada onto não coberto ela solução. - A seleção do conjunto de indivíduos mais atos ao cruzamento é realizada através de torneios de três indivíduos, escolhidos aleatoriamente e comarados segundo seus resectivos valores da função objetivo, com uma maior atidão corresondendo a um menor valor de z. - Cada ar de indivíduos, escolhidos aleatoriamente dentre aqueles já selecionados ara rerodução, tem robabilidade de rerodução Reroduction_rate. Na rerodução, utiliza-se crossover de dois ontos, ou seja, os cromossomos (vetores solução x ), de dois indivíduos têm suas comonentes ermutadas dentro de um intervalo que vai da comonente i 1 até a comonente j tal que i < j N, sendo i e j escolhidos aleatoriamente. Caso não haja rerodução do ar de indivíduos escolhidos, estes assam diretamente ara a nova oulação, que ainda será submetida ao rocesso de mutação. - Cada comonente i de cada cromossomo da nova oulação ossui uma mesma robabilidade de mutação Mutation_rate. Quando uma mutação ocorre, o novo valor da comonente i será alterado ara 1, caso seja atualmente zero, e vice-versa. - É utilizada uma estratégia elitista, isto é, a melhor solução é mantida na oulação corrente. - O algoritmo termina aós Max_iter gerações (iterações comletas) sem melhora da melhor solução já encontrada. Desenvolvemos um rograma em Delhi ara o AG acima. Os valores escolhidos ara os arâmetros foram Po_size = 15, Penalty_value = N, Reroduction_rate =.7, Mutation_rate =.1 e Max_iter = 1. Eseramos que as características acima descritas ossa ser ainda bastante desenvolvidas e melhoradas, ois foram imlementadas no contexto de um AG sem sofisticações. Aesar disso, os resultados obtidos já nos sugerem que abordagens do roblema de localização de s via AG s deste tio odem ser romissoras. 4. Resultados Comutacionais 4.1 Introdução Nesta seção, aresentamos os resultados comutacionais obtidos ara um conjunto de 5 instâncias geradas a artir de um rograma imlementado na linguagem de rogramação Delhi 6.. Os rocedimentos imlementados neste rograma foram baseados no trabalho de Mateus,

10 Em linhas gerais, o rograma utiliza como arâmetros de entrada o número de ontos que devem cobertos elas s, o número de canais necessários em cada onto (demanda) e o número de canais disoníveis ara cada. A artir destas informações, o rograma gera dois arquivos. O rimeiro contendo o número de ontos que devem ser cobertos elas s e o número de s definido, inicialmente, ara cobrir estes ontos. No segundo arquivo, temos, em cada linha, o número de s que cobrem cada um dos ontos e os números identificadores destas s. Além deste rograma, imlementamos os algoritmos GRASP e o algoritmo genético roostos neste trabalho (seção 2), também utilizando a linguagem de rogramação Delhi. Observamos que os resultados obtidos ara as 5 instâncias utilizando estes algoritmos foram obtidos em um comutador IBM-PC Pentium IV de 1.6 Mhz, com 256 Mb de memória RAM. Para a obtenção das soluções dos algoritmos GRASP-B e GRASP-F, o número de iterações considerado foi 5. No caso do GRASP com FILTRO, o número de filtros considerado foi de Avaliação dos Resultados quanto às Soluções e Análise da Qualidade Média da Soluções Na tabela 1, temos, segundo a ordem das colunas, as seguintes informações: a identificação da instância, o número inicial de s utilizadas ara cobrir a região em estudo, o número de ontos da região, as soluções dos algoritmos GRASP Básico (GRASP-B), GRASP com FILTRO (GRASP-F) e do algoritmo Genético (AG) e os ga s (diferenças ercentuais entre as soluções destes algoritmos) definidos resectivamente or: (GRASPB GRASPF) ρ 12 = 1. GRASPB (AG GRASPF) ρ 32 = 1. AG (GRASPB AG) ρ 13 = 1. AG Obs: Os valores em azul, nas colunas de solução, indicam a melhor solução obtida considerando os três algoritmos. Pelos resultados da tabela 1, odemos fazer as seguintes observações: O algoritmo GRASP-F forneceu a melhor solução (quando comarado com GRASP-B e AG) em 78% das instâncias utilizadas. O algoritmo GRASP-B teve a ior erformance, fornecendo a melhor solução ara aenas 18% das instâncias consideradas. O ga ( ρ 32 ) entre o algoritmo GRASP-F e o AG foi em média de 6,4%. Todavia, ara algumas instâncias, este ga suerou os 3%, indicando que o algoritmo GRASP-F forneceu soluções melhores do que o AG. No caso dos algoritmos GRASP-F e GRASP-B, o ga ( ρ 12 ) foi em média de 2,3%. Na tabela 2, temos a solução média (X ) e o desvio adrão σ ara cada um dos algoritmos, considerando seis instâncias escolhidas da tabela 1. Para a obtenção da solução média e do desvio adrão associado à solução destas instâncias, executamos cada um dos algoritmos 1 vezes (novamente considerando o número de iterações de GRASP-B e GRASP-F igual a 5), obtendo desta forma 1 soluções que foram utilizadas ara o cálculo da média e do desvio adrão. 1291

11 Podemos erceber, na tabela 2, que os valores médios obtidos elo algoritmo GRASP-F, ara as seis instâncias escolhidas, foram tiicamente menores que aqueles obtidos elo algoritmo GRASP-B, havendo, entretanto, ouca diferença com relação aos resultados médios obtidos elo Algoritmo Genético. Quando considerados os desvios adrão, observamos que os menores valores foram, em sua maior arte, aqueles do algoritmo GRASP-F, enquanto que o AG aresentou, tiicamente, desvios adrão maiores. Em resumo, os resultados obtidos elo GRASP-F ara estas instâncias foram em média melhores e mais robustos. Tabela 1 - Soluções obtidas a artir dos Algoritmos GRASP e do Algoritmo Genético Instância N o Erbs N o Pontos GRASPB (1) GRASPF (2) AG (3) ρ 12 ρ 32 ρ ,%,%,% ,8%,% 4,8% ,% 7,7% 4,% ,%,%,% ,7%,% 2,7% ,% 3,9% 2,% ,6% 1,8% 1,8% ,8%,% 1,8% ,% 2,5% 2,4% ,6%,% 8,6% ,5% 2,8% 2,7% ,% 1,2% 1,1% ,% 5,6% 5,3% ,1% 9,6% 9,5% ,%,%,% ,2% 3,5% 5,6% ,4% 1,4% 2,8% ,9% 1,4% 2,6% ,%,%,% ,4% 1,2% 3,6% ,4% 29,% 3,5% ,1% 8,7% 6,2% ,% 5,2% 4,9% ,4% 1,2% 2,3% ,1% 3,4% 2,3% ,% 1,% 3,% ,6% 6,7% 2,3% ,2% 1,1% 8,8% ,% 3,2% 5,1% ,4% 4,4%,% ,2%,% 3,2% ,% 4,3% 4,1% ,8% 9,7% 6,6% ,% 15,4% 18,2% ,8% 12,4% 11,% ,% 5,7% 6,% ,9% 11,6% 9,8% ,% 1,%,% ,9% 3,9% 1,% ,% 4,% 2,% ,% 34,2% 51,9% ,3% 8,9% 5,1% ,9% 22,7% 25,7% ,% 1,% 2,% ,% 6,8% 7,3% ,6% 4,5%,9% ,7% 3,3% 1,7% ,7% 17,9% 19,8% ,1% 23,8% 34,% ,3% 14,% 13,6% Tabela 2 Média e desvio adrão de um subconjunto de instâncias GRASPB GRASPF AG Instância X σ X σ X σ 2 2,43,51 2,,4 2,28, ,22,58 24,72,46 25,52, ,69,5 36,18,38 36,21, ,5,83 55,81,85 54,5 1, ,24,69 4,36,62 4,18 1, ,2,94 7,65 1,1 69,84 1,

12 4.3 Análise Probabilística Para avaliar em maior detalhe o desemenho dos algoritmos GRASP-B, GRASP-F e Genético, roostos neste trabalho, efetuamos uma análise robabilística considerando a instância 5. Executamos os três algoritmos 1 vezes e calculamos as soluções médias. A artir destas médias, definimos dois alvos: Alvo fácil dado ela ior média obtida e alvo difícil, dado ela melhor média (ambos arredondados). Aós a determinação destes dois alvos, a análise foi feita da seguinte maneira. Cada algoritmo foi executado 1 vezes. No instante em que o algoritmo encontrava uma solução menor ou igual ao alvo, o temo de rocessamento era inserido em uma lista L e uma nova execução começava. Concluídas as 1 execuções, ordenamos os temos armazenados em L em ordem crescente. Para cada temo de rocessamento t i obtido associamos a robabilidade i = ( i,5) / 1. Em seguida, os ontos z i = ( ti, i ) foram lotados em um gráfico, estabelecendo uma distribuição emírica do temo que cada algoritmo consome ara alcançar o alvo ré-determinado. Observamos que, quanto mais à esquerda estiver a curva associada a um algoritmo, melhor será o seu desemenho. Considerando o alvo fácil, os algoritmos GRASP-B, GRASP-F e Genético têm, resectivamente, robabilidades de quase 8 %, 95 % e 1 % de alcançar este alvo. No caso do alvo difícil, o algoritmo GRASP-F foi o que aresentou uma melhor erformance, com uma robabilidade de 8 %. Já os algoritmos GRASP - B e Genético têm robabilidades de alcançar o alvo difícil em torno de 25 % e 75 %, resectivamente. Alvo Fácil = 37 1,9,8,7,6,5,4,3,2, GRASP-B GRASP-F Genético Gráfico 1 Instância 5 Alvo Difícil = 36 1,9,8,7,6,5,4,3,2, GRASP-B GRASP-F Genético Gráfico 2 Instância 5 Em conclusão, dos três algoritmos heurísticos ara o roblema de localização de estações de rádio base ( s) aresentados neste trabalho, udemos observar um melhor desemenho, ara as instâncias consideradas, do algoritmo GRASP-F. Certamente, tais roostas de abordagem heurística ara o roblema odem ser ainda bastante desenvolvidas, tornando os algoritmos mais sofisticados. Entretanto, acreditamos serem esses algoritmos heurísticos desde já uma contribuição imortante ara o roblema de localização de s, uma vez que se constituem em abordagens alternativas aos algoritmos exatos ora existentes. Eseramos ter demonstrado aqui a eficácia de tais abordagens, aresentando alguns resultados e estatísticas que odem servir de base à comaração de futuros algoritmos heurísticos e metaheurísticos alicados ao roblema. 5. Bibliografia 1293

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