MADEIRA arquitetura e engenharia

Transcrição

1 Voltar MADEIRA arquitetura e engenharia Modelo ara Análise Global de Estruturas de Madeira com Avaliação de Forças Localizadas em inos Deformáveis nº 4 artigo3 Eng. Civil rof. Dr. Francisco A. Romero Gesualdo Universidade Federal de Uberlândia RESUMO As estruturas de madeira semre aresentam ligações entre as eças que as comõem. Estas ligações, quando feitas através de inos metálicos, ou de madeira, são deformáveis e constituem-se em arte fundamental da análise da estrutura. Tais deformações afetam o comortamento global da estrutura em termos de esforços e deslocamentos. Neste trabalho, aresenta-se uma formulação ara cálculo de estruturas de madeira interligadas or inos deformáveis, reresentando-se a estrutura or camadas. Esta formulação é verificada através de exemlos numéricos, usando-se rograma comutacional esecífico que considera o modelo sugerido. ABSTRACT Timber structures always include connections between members that form the whole structure. Bolts normally make these connections or egs and they are art of the structure. The connectors roduce semirigid joints that influence the behavior of the structure. This work resents a formulation for this tye of structure, assuming the structure formed by layers. This model was confirmed with numeric examles. It was used a secific comutational rogram which considers such formulation. 1 Introdução As estruturas de madeira formadas or barras interligadas or inos metálicos ou de madeira aresentam efeitos adicionais que odem interferir nos deslocamentos e nos esforços nelas atuantes. Isto acontece orque cada ino, com ou sem deslocamento relativo entre as eças interligadas, concentra esforços que afetam o fluxo de distribuição de tensões. Estudar a deformação das ligações, ou o seu efeito no comortamento global da estrutura, reresenta uma forma mais comleta de análise estrutural, mesmo que em alguns casos estes efeitos sejam equenos. ara determinados tios de estruturas, mesmo sendo desconsideradas as deformações das ligações, o dimensionamento do ino somente é ossível quando se sabe qual é o esforço atuante no mesmo. Enfim, conhecer detalhadamente a distribuição de forças atuantes em cada ino é fundamental ara o seu dimensionamento e ara o conhecimento real do comortamento das estruturas. Diversas esquisas têm sido desenvolvidas nesta área. Esecialmente na década de 60, foram ublicados imortantes trabalhos avaliando este efeito. Dentre outros ode-se citar Monforton e Wu (1) e Rodda & Suddarth e Dale (2). Nova retomada de interesse elo tema acontece no início da década de 90. Na Euroa, surge o chamado COST C1 (Co-oeration in Science and Technology), e se destaca o trabalho de Haller (3), que congrega estudos voltados ara a análise de estruturas de concreto, aço e madeira com ligações semirígidas. A artir daí, outros esquisadores têm estudado o citado efeito. Trabalhos mais recentes como os de Jensen e Larsen (4) ou Gesualdo e Riskowski (5) aresentam avaliações sobre o efeito das ligações nas estruturas. Valiosa contribuição é dada or Bohnhoff (6) ao desenvolver um modelo eficiente ara avaliar vigas de madeira interligadas or elementos deformáveis. 2 Formulação 2.1 Generalidades O uso da formulação aresentada tem o objetivo de facilitar o cálculo de estruturas do tio em questão. Isto orque alguns rogramas comutacionais considerados, abrangentes na solução de roblemas gerais, acabam inibindo o usuário ela grande quantidade de dados necessários ara definir o roblema. Mesmo ara os casos mais usuais, exigem a criação de malhas e modelos comlexos que demandarão sistemas comutacionais de configuração sofisticada. De outro lado, a formulação aqui aresentada trata o roblema de forma esecífica e direta, disensando-se considerar barras de órticos como uma malha bidimensional de elementos finitos.

2 A idéia básica é criar um modelo formado or dois tios de elementos, ou seja, barras de órticos lanos e molas. Isto significa que a estrutura fica reresentada or camadas (barras de órtico lano) aralelas entre si, interligadas lateralmente or elementos do tio mola, conforme exemlo mostrado na fig. 1. Sistema de coordenadas global Y X y x a) estrutura real Sistema de coordenadas local da ligação b) modelo reresentado or camadas e molas Figura 1 - Exemlo de modelo formado or camadas e molas. Neste modelo o afastamento lateral não é considerado ela sua dimensão. Tem aenas o efeito de definir as camadas. No exemlo da fig. 1, a estrutura é definida or três diferentes camadas e duas molas. As molas transferem força horizontal, vertical e momento fletor entre as camadas, fig. 2b. 2.2 Elementos estruturais Conforme já mencionado, a formulação considera a estrutura comosta or dois tios de elementos básicos, ou seja, barra de órtico lano (fig. 2a) e ligação deformável mola (fig. 2b), que reresenta um ou mais inos. No sistema local, os dois elementos ossuem seis graus de liberdade, associados a duas translações e uma rotação nó j nó k a) barra convencional b) elemento de ligação Figura 2 Sistema de referência local ara barra de órtico e elemento de ligação. É imortante observar que o elemento de ligação da fig. 2-b é fisicamente erendicular ao elemento de órtico da fig. 2-a, ois faz a união entre os mesmos. A estrutura fica, ortanto, dividida em camadas, definidas elas osições de cada elemento do tio órtico. Assim, um elemento de ligação semre ligará duas camadas. O elemento mola, quaisquer que sejam as inclinações ou dimensões das camadas interligadas, não terá dimensão física, aenas interessam os seus coeficientes de rigidez, que deendem da rigidez do ino e das osições individuais dos mesmos. Uma ligação formada or inos alinhados verticalmente ode ser entendida como um gruo de inos. Assim, as coordenadas 3 e 6 da fig. 2-b estarão associadas ao momento transmitido elo conjunto de inos. A formulação é genérica e ermite também considerar um gruo de inos distribuídos nas duas direções, horizontal e/ou vertical, como exemlificado na fig. 1a. A mola reresenta a rigidez do gruo de inos elas suas coordenadas. Conforme ode ser visto na fig. 3, cada ino é retilíneo e atravessa as duas eças continuamente. ortanto, tem semre a mesma coordenada global ara as duas eças interligadas (elemento j e k), quando está indeformado. Contudo, ode existir uma situação em que as eças interligadas não estejam no mesmo

3 y elemento j y ino i x CG da ligação nó k elemento k nó j x elemento j a) Elementos j e k interligados or inos b) Elemento j e osições dos nós j e k Figura 3 Ligações entre eças com nós em osições não coincidentes. nível, ou seja, os centros de gravidade que caracterizam os nós nos elementos j e k não tenham as mesmas coordenadas. Este é o caso tíico de interligação entre barras inclinadas, ou entre barras de diferentes alturas, como mostrado na fig. 3.b. ara a determinação da rigidez equivalente da mola ara o gruo de inos, analisa-se cada ino individualmente. Este ino será chamado de ino i. Aós a deformação da ligação, o ino i assará a ter diferentes osições em relação aos elementos j e k, ois já não é mais retilíneo, conforme ilustra fig. 4. ara avaliar a força resultante no ino, considera-se o deslocamento relativo do ino nas direções x e y. Admitese que os deslocamentos ocorrem semre erendicularmente à reta que assa elo nó corresondente e o ino analisado. O mesmo rocedimento é alicado ara cada ino do gruo. A artir das forças resultantes em cada ino, tem-se a resultante ara cada direção, bem como o momento fletor transmitido. Esse cálculo tem como referência o nó j, a artir do qual são medidas as deformações relativas, fig. 4. y L ino i na osição deslocada, com referência ao nó j ino i na osição deslocada, com referência ao nó k ino i na osição indeslocada nó k nó j Figura 4 ino i na osição inicial e deslocada. x L Como o comortamento dos inos é não linear, a avaliação das forças e do momento fletor atuante envolve considerações adicionais que odem ser vistas em Gesualdo (7). O comortamento dos inos, ou seja, a relação entre carga e deformação, ode ser qualquer, semre definida exerimentalmente ara cada caso. Existem diversas formas de reresentar esta equação não linear. A definição do tio de curva reresentativa do comortamento da ligação tem sido estudada or diversos autores, através de modelos não lineares conforme Attiogbe & Morris (8) alicados ao caso de estruturas metálicas; modelos exonenciais, tal como

4 adotado or Foshi (9) ara as madeiras. Modelos olinomiais também são usados conforme estudos desenvolvidos or Yee & Melchers (10). 2.3 Solução global A equação básica ara a solução do roblema é aresentada na eq. 1, lembrando que a matriz de rigidez é não linear devido às contribuições dos inos. [ K u) ]{ u} = { F} ( (1) Nesta equação, K(u) é a matriz de rigidez, {u} é o vetor dos deslocamentos nodais e {F} é o vetor de forças nodais. O roblema ode ser resolvido ela eq. 1 de forma iterativa. Contudo, este rocedimento demandará a montagem de nova matriz de rigidez ara cada asso de iteração. Isto exige um temo de rocessamento comutacional significativo, deendendo da quantidade de graus de liberdade da estrutura. ara otimizar este rocesso ode-se usar o artifício da divisão da matriz [K(u)] em duas artes: uma que considera a arte linear (barras de órtico) e outra que considera a não linearidade (inos), resectivamente, chamadas de [K f ] e [K ]. O objetivo é deixar no rimeiro membro da equação somente arcelas lineares, simlificando o rocesso iterativo, ois a matriz básica somente será rocessada uma única vez. A iteração fica somente deendente dos termos do segundo membro da equação, como indicado na eq. 2. [ K ]{ u} { F} [ K ( u) ]{ u} f = (2) Se a matriz [K f ] for mantida no rimeiro membro ocorrerá um roblema de inconsistência do sistema, ois esta matriz não é definida ositiva. ara eliminar o roblema, ode-se acrescentar uma matriz de constantes que, somada à [K f ], resulte numa matriz definida ositiva. Somando-se esta matriz auxiliar, chamada de [C], aos dois membros da eq. 2, resulta a eq. 3. ( [ K ] + [ C] ){ u} = F} ( [ K ( u) [ C] ){ u} f { (3) O rocesso iterativo será interromido quando o rimeiro e o segundo membro da eq. 3 igualarem-se. Deve ser notado que na eq. 3, o vetor {u} do rimeiro e do segundo membro são diferentes durante o rocesso. Comutacionalmente, fica melhor reresentada ela eq. 4, onde os deslocamentos do segundo membro são reresentados or {u }. ( ){ u } ( [ K ] + [ C] ){ u} = { F} [ K u )] [ C] f ( (4) Em cada iteração são calculadas constantes de molas ara cada grau de liberdade corresondente, em função da solicitação determinada no asso. Isto é feito usando-se rocedimento anteriormente descrito. A artir desta formulação, criou-se um rograma comutacional que incorora toda esta formulação, tanto ara a estrutura global, bem como ara a avaliação isolada de cada ino. Através do rograma comutacional é ossível conhecer deslocamentos, esforços nas barras, forças nos inos e ângulo de inclinação da solicitação no ino. 3 Exemlos numéricos ara mostrar a viabilidade da formulação e o desemenho do rograma desenvolvido, aresentam-se dois exemlos de cálculo. O rimeiro trata do caso de uma estrutura formada or trechos retos, mostrada na fig. 5, e o segundo é o caso de uma viga simlesmente aoiada, fig.6. O rimeiro caso é meramente didático, ara sucintamente ilustrar uma alicação desta formulação. Admitiu-se um carregamento simétrico e, assim, a estrutura foi calculada ela metade, usando-se os recursos de simetria, que é uma oderosa ferramenta no cálculo de estruturas formadas or muitos nós e barras. or isto, no onto central utilizaram-se engastes móveis como condição de aoio. A seção transversal corresonde a duas tábuas de 2,5 20 cm, esaçadas de 5 cm nos trechos AB e DE, fig. 5a. No trecho intermediário BCD assumiu-se uma seção transversal sólida de 5 20 cm considerandose que as duas tábuas estão em contato lateral. O modelo de cálculo usado está mostrado na fig.5b. É formado or três camadas, seis barras de órtico lano e quatro elementos do tio mola. A ligação do onto B é formada or oito cavilhas de 16 mm, da classe C60, cuja resistência individual em função do deslocamento relativo é não é linear. No onto D foram consideradas aenas quatro cavilhas de mesmas características resistentes. Foi utilizada a exressão R = 25 u 0.4, onde R é a força resistente de um ino (kn) e u é o deslocamento relativo entre as eças interligadas (cm). Em função da resistência de cálculo

5 A B C D E Unidades: kn e cm /2 / a) estrutura comleta 8 Figura 5 Estrutura do exemlo aresentado. dada ela NBR 7190 (11), e da exressão anterior, o deslocamento relativo entre as eças corresonde a 0,06mm. Com o modelo utilizado é ossível estabelecer, com recisão, a osição efetiva do onto de alicação da carga. or exemlo, observa-se, ela fig. 5b, que os nós 2, 3 e 9 têm inicialmente as mesmas coordenadas nodais. Contudo, aós a alicação das cargas, estes nós terão coordenadas diferenciadas em função da rigidez da mola que interliga os mesmos. De igual modo, a resosta da estrutura será ligeiramente diferente se o onto de alicação for um dos três nós. As comarações feitas tomam como referência a estrutura com nós contínuos (rígidos), determinadas usando-se rograma convencional de órtico lano. Os estados limites últimos e de utilização são verificados de acordo com a NBR 7190 (11). As estruturas com nós deformáveis foram calculadas elo rograma comutacional citado. Comararam-se as forças normais, os momentos fletores, os deslocamentos verticais e as forças resultantes nos inos. Estas forças foram controladas ara não excederem a resistência de um ino dada ela NBR (11). Controlando a força máxima atuante nos inos, chegou-se a uma carga alicada sobe os nós igual a 5,2kN. Nesta condição, quando as deformações dos inos são bastante equenas (0,06mm) os esforços e deslocamentos roduzidos elas ligações são raticamente desrezados, da ordem de 3% maiores. Contudo, falta estabelecer curvas reresentativas da força e deslocamentos das ligações, ois este efeito deende diretamente de tais arâmetros. De fato, o deslocamento relativo ermitido de 0,06mm também arece ser bastante rigoroso. Como exemlo, se a exressão usada fosse R = 50 u 0.7, estas diferenças já assariam a ser significativas, aumentando ara 15% em termos de deslocamentos, mantendo os mesmos 3% ara variações de momentos fletores e forças normais. Similarmente, caso adotado um deslocamento maior ara os inos, logicamente os esforços e os deslocamentos nodais aumentariam significativamente em relação ao caso da estrutura com nós erfeitamente rígidos, odendo atingir valores altamente reresentativos. De qualquer forma, o modelo ermite estudar as distribuições dos inos e gerenciar as forças máximas alicadas sobre as ligações, tendo-se um maior controle sobre o cálculo estrutural. Os casos de vigas formadas or diversas camadas, fig. 6, interligadas or inos é bastante interessante e reresenta a grande alicação do rocedimento aresentado. Neste caso, é ossível se fazer um maeamento total de todos os ontos da estrutura, ois os inos são considerados como elementos integrantes do sistema. Mesmo que o efeito das deformações dos inos seja equeno, ode-se conhecer com recisão os esforços atuantes em qualquer onto da estrutura, bem como avaliar diferentes distribuições de inos. Há uma total integração entre o cálculo e o dimensionamento, lembrando que os esforços nos inos são, em geral, um fator limitante. Diversas situações analisadas mostraram que os esforços e deslocamentos considerando a deformação dos inos são em torno dos mesmos 3% encontrados ara o exemlo anterior. Neste caso, vale destacar que, na região mais central, onde existe a sobreosição das camadas, deve-se considerar as características geométricas corresondentes às três camadas, e não aenas a central. Veja que, neste caso, o uso de rogramas convencionais de cálculo de esforços aenas modela a viga como uma linha contínua, desconsiderando as variações e as articularidades de cada onto ao longo do vão. ortanto, o modelo aresentado ermite uma reresentação bastante aroriada e detalhada da estrutura real. ara a viga da fig. 6, atingiu-se uma carga máxima de =2,11kN, limitada elas forças alicadas nos inos da linha A e D, fig. 6b. Também ode-se saber que os inos nas linhas B e C têm solicitações da ordem de

6 55% aos da linha A. ortanto, a distribuição mostrada não é a mais eficiente, fato conhecido aenas ela alicação desta formulação. Os deslocamentos e esforços são 5% maiores que os da estrutura rígida. a) estrutura real A B C D b) modelo Figura 6 Viga formada or camadas. 4 Conclusões Em função dos casos mostrados e de vários outros já avaliados, considera-se erfeitamente aceitável emregar o modelo, a formulação e o rograma comutacional descritos. Esta metodologia reresenta um meio de se avaliar mais recisamente as estruturas de madeira, com maior controle de todas as suas variáveis. Quando significativas, as deformações das ligações interferem não aenas nos deslocamentos dos nós, mas também nos esforços das extremidades das barras, esecialmente ara estruturas formadas or camadas interligadas or inos. Sendo assim, arece ser interessante continuar os estudos nesta área no sentido de arimorar o conhecimento dos efeitos citados, e facilitar o uso de alicativos comutacionais ara a avaliação das estruturas de madeira, seguindo a tendência natural do arimoramento de cálculo. Com este tio de avaliação oderão ser melhor estabelecidos, or exemlo, valores de contra-flechas em estruturas com ligações, distribuições de forças em ligações exerimentais, dentre outras alicações. Referências Bibliográficas (1) Monforton, G.R.; Wu, T.S Matrix analysis of semi-rigid connected frames. American Society of Civil Engineers, (2) Rodda, E.D.; Suddarth, S.K.; Dale, A.C Analysis of wood trusses with nailed metal-late joints. Transactions of the ASAE, 9 (3), (3) Haller, rogress in timber joint develoment and modeling. In: Fifth World Conference on Timber Engineering, V. 1, (4) Jensen, J.L.; Larsen, H.J Modeling of semi-rigid joints and their influence on the behaviour of structures, Fifth World Conference on Timber Engineering, V.1, (5) Gesualdo, F.A.R.; Riskowski, G.L Structures formed by non-arallel layers joined by connectors. In: International Conference on Timber Engineering TEC 99, V. 2, (6) Bohnhoff, D.R Theoretical and user s manual for FEAST. Agricultural Engineering Deartment, University of Wisconsin. (7) Gesualdo, F.A.R Distribuição de forças em ligações deformáveis de conectores com relação carga-deformação não linear. Revista Ciência e Tecnologia, n.1, (8) Attiogbe, E.; Morris, G Moment-rotation functions for steel connections. Journal of Structural Engineering, V.117, n.6, (9) Foshi, R.O Analysis of wood diahragms and trusses. Canadian Journal of Civil Engineering, V. 4, (10) Yee, Y.L.; Melchers, R.E Moment-rotation curves for bolted connections. Journal of Structural Engineering, V.112, (11) Associação Brasileira de Normas Técnicas NBR 7190: rojeto de estruturas de Madeira, Rio de Janeiro, ABNT.

7 Agradecimento O autor agradece o constante aoio dos órgãos de esquisa da UFU (Universidade Federal de Uberlândia), CNq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico) e FAEMIG (Fundação de Amaro à esquisa do Estado de Minas Gerais) ao longo da evolução deste trabalho.