DETERMINAÇÃO DE FATORES DE SENSIBILIDADE PARA ESTUDOS DE PLANEJAMENTO EM SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

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1 DEERMINAÇÃO DE FAORES DE SENSIBILIDADE PARA ESUDOS DE PLANEJAMENO EM SISEMAS DE DISRIBUIÇÃO FILLIPE M. VASCONCELOS*, VANUSA A. DE SOUSA**, GERALDO R. M. DA COSA* *Laboratório de Análise de Sistemas de Energia - LASEE, Deartamento de Engenharia Elétrica, Escola de Engenharia de São Carlos (EESC) / Universidade de São Paulo (USP) Avenida rabalhador São-carlense, 400, , São Carlos, São Paulo, Brasil s: fillie@us.br, geraldo@sc.us.br **Centro de Ciência Exatas e de ecnologia, Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR) Via Washington Luiz, m 235, , São Carlos, São Paulo, Brasil vanusa@ufscar.br Abstract his aer resents a comutational tool for solving the load flow (LF) roblem in electrical radial or wealy meshed systems. he methodology is based on the methods of the Lagrangian function and Newton method. he roblem of numerical ill-conditioning of the Jacobian matrix of Newton's method is solved by the Lagrangian Hessian matrix. As a result of the roosed aroach the Lagrange multiliers are obtained and it reresents the sensitivity of the resource availability related to objective function. In order to verify its efficiency, were used the 10, 34 and 70 bus radial distribution systems, as well as 33 and 69 bus meshed distribution systems. A comarative test with classical methods for solving the roblem of radial LF is shown. In all tests, the comutational tool showed suerior erformance comared to classical methods by roviding additional information through the Lagrange multiliers that can suort engineers in the lanning system. Keywords Load flow, Newton s method, lanning in distribution systems, sensitivity analysis. Resumo Este trabalho aresenta uma ferramenta comutacional ara a resolução do roblema de fluxo de carga (FC) em sistemas elétricos radiais ou fracamente malhados. A metodologia utilizada baseia-se nos métodos da função Lagrangiana e de Newton. O roblema do mau condicionamento numérico da matriz Jacobiana do método de Newton é resolvido através da matriz Hessiana da Lagrangiana. Como resultado da abordagem roosta obtêm-se os multilicadores de Lagrange ue reresentam a sensibilidade entre a função objetivo e a disonibilidade de recursos. A fim de verificar a eficiência desta, foram utilizados os sistemas de distribuição radiais de 10, 34 e 70 barras e malhados de 33 e 69 barras. Um teste comarativo com métodos clássicos ara resolver o roblema de FC radial é aresentado. Em todos os testes, a ferramenta comutacional aresentou um desemenho suerior em relação aos métodos clássicos fornecendo informações adicionais através dos multilicadores de Lagrange ue odem subsidiar os engenheiros no lanejamento do sistema. Palavras-chave Fluxo de carga, método de Newton, lanejamento em sistemas de distribuição, análise de sensibilidade. 1 Introdução O setor elétrico brasileiro vem assando or imortantes reformas na sua estrutura, e a rincial delas é a mudança do modelo de monoólio ara o modelo cometitivo, imondo, assim, novas filosofias de oeração e de lanejamento dos sistemas elétricos ue envolvem a geração, a transmissão e a distribuição de energia elétrica. Esta mudança tem or objetivo beneficiar os consumidores com um aumento na ualidade da energia entregue e, além disso, na confiabilidade do sistema. Neste contexto, o estudo de Fluxo de Carga (FC) tem recebido muita atenção das concessionárias de energia elétrica or ser uma ferramenta básica utilizada elos centros de controle ara determinar os estados e as condições oeracionais dos sistemas de otência. Conhecendo-se o estado da rede, calculam-se as outras grandezas de interesse, como: os fluxos ativos e reativos nas linhas de distribuição e nos transformadores; as gerações de otências reativas nas barras de controle de reativos; a geração da otência ativa da barra de referência ou slac; erdas de otência ativa no sistema; entre outras. Basicamente, as metodologias emregadas ara o cálculo do FC são baseadas nos métodos clássicos de Newton ou Gauss (Denis e Padilha, 2000). Em sistemas de distribuição de energia, todavia, devido a articularidades inerentes a estes, como a alta relação R/X e a oeração radial, estes métodos odem aresentar roblemas de convergência e se tornam ineficientes na maioria das vezes. Alguns autores contornaram estes roblemas sugerindo versões modificadas dos métodos clássicos. Em Rajicic e Bose (1988), é roosta uma modificação no método desacolado ráido utilizando técnicas de comensação ara resolver roblemas com alta relação R/X. Estes mesmos roblemas foram resolvidos or Zhang e Cheng (1997) através da mudança na reresentação da matriz Jacobiana do método de Newton convencional ara evitar o mal condicionamento da mesma. Em 2002, eng (2002), aresenta um algoritmo modificado de Gauss-Seidel ara análise trifásica de sistemas de distribuição. O método, baseado na ordenação ótima da matriz Y-bus, ode ser alicado tanto às redes radiais como a redes malhadas e fracamente malhadas. Outros autores desenvolveram formulações esecíficas ara alicação em sistemas de distribuição

2 radiais. Dentre estes, o método o Bacward/Forward Swee roosto or Shirmohammad et al. (1988) é um dos mais conhecidos. Alicado aos sistemas radiais, este é dividido em duas fases. Na rimeira fase, calculam-se as correntes dos ramos, artindo das barras extremas em direção à subestação (bacward). Na segunda, fazendo-se o caminho inverso (forward), são calculadas as tensões nas barras. Cheng e Shirmohammad (1995) e Chang et al. (2007) fazem uma extensão deste método ara sistemas trifásicos deseuilibrados. Baran e Wu (1989b) rouseram uma solução iterativa das euações de otência ativa, reativa e magnitude de tensão ara resolver o fluxo de carga radial. Em 1990, Renato (1990) aresenta uma modelagem simles de fluxo de carga ue elimina a necessidade de se trabalhar com tensões comlexas e ermite incluir na formulação cargas deendentes da tensão. Mais recentemente, Bijwe e Raju (2006) aresentam um método baseado em lógica fuzzy ue ode ser alicado a sistemas fracamente malhados e deseuilibrados. O rogresso na área de FC é vital ara uma oeração eficiente e contínuo desenvolvimento destes como um todo. Desenvolver novas técnicas e métodos ara análise da rede elétrica utilizando disositivos baseados em microrocessadores tem sido de interesse ara esuisadores e engenheiros da área de otência nos últimos anos. O aerfeiçoamento das técnicas existentes e as novas metodologias visam melhorar cada vez mais a recisão dos resultados e a eficiência dos métodos. Assim, o objetivo deste trabalho é desenvolver uma ferramenta comutacional ara resolução do roblema de FC ara sistemas elétricos de distribuição e obter informações de sensibilidade, multilicadores de Lagrange, ara estudos de lanejamento. A nova abordagem consiste da associação dos métodos função Lagrangiana e de Newton com o objetivo de melhorar o condicionamento numérico da matriz dos coeficientes. estes ara verificar a eficiência da abordagem roosta foram realizados em três sistemas radias de distribuição (10, 34 e 70), e dois sistemas malhados (33 e 69), conhecidos da literatura e foi realizado um teste comarativo com os métodos clássicos ara resolver o roblema de FC. 2 Método da Função Lagrangiana (MFL) Alicado ao Problema de Fluxo de Carga Em geral, um sistema de distribuição é alimentado or uma barra de tensão controlada corresondente à barra slac e todos os outros nós são assumidos serem barras de carga PQ. O roblema de fluxo de carga em sistemas de distribuição ode ser formulado como: inimi ar ( ) s eito a ( ) (, ) (1) sendo:,, e, (número de barras), (número de barras de carga); em ue: - ( ) e ( ) são os resíduos de otência ativa e reativa, resectivamente; - V e são os vetores da magnitude e fase da tensão, resectivamente; - f m (V,) é a função de erdas de otência ativa na linha m, dada or: ( m ) ( m m m os m) (,m) sendo NL é o número total de linhas de distribuição. As euações de balanço do sistema elétrico são dadas or: 1. Potência ativa ara as barras de carga: P ( V, θ) P P sendo: m G ( V, θ) ( V ) P 2 g C m mω ( V ) V P m ( V, θ); m ( g m cos θ m b 2. Potência reativa ara as barras de carga: Q ( V, ) Q m G Q C 2 Q ( V, ) ( V ) b m mω Q ( V, ); ( V ) V m m ( b m cos m g m m sen ) m senθ - g m e b m são a condutância e a suscetância da linha, resectivamente; - e são as otências ativas, geradas e consumidas, resectivamente; - e são as otências reativas, geradas e consumidas, resectivamente; - é o conjunto de todas as barras vizinhas à barra, incluindo ela mesma; No roblema (1) o número de variáveis é igual ao número de euações (n=2*m), ortanto ossuí uma única solução. Alicando o MFL em (1), constrói-se a função Lagrangiana associada ao roblema dada or: m 1 m L( x, ) F ( x (2) P( Q( ) 1 sendo x = (V,)), e os multilicadores de Lagrange associados às euações de resíduos de otência ativa e reativa, resectivamente. m )

3 As condições necessárias de rimeira-ordem do eorema de Karush-Kuhn-ucer são alicadas sobre função Lagrangiana (2), gerando um sistema de euações não-lineares, como segue: x F( J P( 0 Q( 0 ( J ( 0 (3) em ue: J ( P (,..., P ( ), e ( x 1 x m J ( ( xq1 (,..., xqm ( ). O sistema de euações não-lineares (3) é resolvido utilizando-se o método de Newton. A alicação do método de Newton gera as direções de busca (V,,, ), as uais serão utilizadas ara a atualização das variáveis do roblema, e resulta num sistema matricial, ue, ode ser reresentado de forma simlificada como: em ue: W = W d L (4) xxl J ( J ( J ( é a matriz Hessiana da Lagrangiana com: d x,,, e xx F( J L P( Q( é o vetor gradiente. 0 0 ( J J ( 0 0 ( Os vetores das variáveis x,, e são atualizados da seguinte forma: Algoritmo x x x (5) O roblema de fluxo de carga mostrado em (1), ode ser resolvido iterativamente or meio do algoritmo aresentado a seguir: 1. Faça =0, dê uma estimativa inicial ara d ( x,, ) ; 2. Determine o vetor gradiente e a matriz Hessiana da Lagrangiana, e resolva o sistema (4); 3. Atualize as variáveis do roblema conforme (5). Faça =+1; 4. Se o critério de arada está satisfeito, então are. Caso contrário, vá ara o asso 2. No critério de arada verifica-se ue as euações do fluxo de otência são menores ue uma recisão ξ. 3 Análise de Sensibilidade Em Fritzsche (1978), a reseito da sensibilidade dos multilicadores de Lagrange, os vetores e reresentam a mudança marginal do valor ótimo na função objetivo ( ) mediante a variação incremental e, resectivamente, das otências ( ) e ( ). O significado de e ode ser exresso de acordo com as euações dadas or: ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ) sendo e os vetores do módulo e da fase da tensão, resectivamente, na condição em ue a solução é ótima. Em sistemas elétricos de otência, estes multilicadores odem ser obtidos ara diferentes funções objetivos e utilizados ara estudos de lanejamentos de sistemas de distribuição de energia relacionados à otimização de variáveis roblemas de geração distribuída, de alocação de reativos, de congestão, de identificação de erros de toologia, dentre diversos outros. 4 Resultados Numéricos estes foram realizados ara verificar a eficiência da abordagem roosta. Os rogramas foram desenvolvidos em linguagem de rogramação FORRAN, cujos resultados foram obtidos usando um microcomutador Pentium (R) 4 3,4 GHz, com 2 GB de memória RAM. As características rinciais dos sistemas elétricos de distribuição estudados são resumidas na abela 1. Os sistemas de 10, 34 e 70 barras são todos radiais, enuanto ue os de 33 e 69 barras são malhados. Em todos os testes, os valores dos multilicadores de Lagrange iniciais foram = = 0, os valores iniciais do vetor das magnitudes da tensão foram V = 1 e do vetor dos ângulos de fase da tensão = 0.

4 Magnitude de ensão (u) Multilicadores de Lagrange abela 1. Características elétricas dos sistemas. Sistemas N de barras de subestação N de barras de carga N de linhas de distribuição N de laterais N de malhas* * contabilizou-se como malha somente auelas em ue não é ossível dividir em duas ou mais malhas. 4.1 Sistemas radiais Sistema de 10 barras Neste teste são aresentados os resultados obtidos ara o sistema utilizado em (Grainger; Lee, 1982). A figura 1 mostra o diagrama unifilar do sistema de 10 barras. Figura 1. Diagrama unifilar da rede de distribuição de 10 barras. Na Figura 3 os resultados dos multilicadores de Lagrange relacionados às euações de otência ativa ( ) e reativa ( ) são ilustrados. 0,400 0,350 0,300 0,250 0,200 0,150 0,100 0,050 0, Figura 3. Multilicadores de Lagrange nas 10 barras do sistema Sistema de 34 barras Neste teste são aresentados os resultados obtidos ara o sistema utilizado em (Chis; Salama; Jayaram, 1997). A Figura 4 mostra o diagrama unifilar do sistema de 34 barras. O método convergiu em 3 iterações e o valor das erdas de otência ativa e reativa nas linhas foram de 783,77 W e 1036,47 VAr, resectivamente. O rocesso de convergência está resumido na abela 2, a ual aresenta, or iteração, a erda de otência ativa (P), a erda de otência reativa (Q), o maior erro de otência ativa (P) e o maior de otência reativa (Q). abela 2. Processo de convergência do sistema 10 barras. Iteração P (W) Q (VAr) (MW) (MVAr) 0 0,0000 0,0000 1, , , ,2916 0, , , ,7422 0, , , ,4648 0, ,00007 Na Figura 2 têm-se os resultados obtidos ara as 1,02 1,00 0,98 0,96 0,94 0,92 0,90 0,88 0,86 0,84 0, Figura 4. Diagrama unifilar da rede de distribuição de 34 barras. O método convergiu em 3 iterações e o valor das erdas de otência ativa e reativa nas linhas foram de 222,29 W e 65,20 VAr, resectivamente. O rocesso de convergência está resumido na abela 3. abela 3. Processo de convergência do sistema 34 barras. Iteração P (W) Q (VAr) (MW) (MVAr) 0 0,0000 0,0000 0, , , ,3273 0, , , ,1836 0, , , ,1967 0, ,00003 Na Figura 5 aresentam-se os resultados das Figura 2. Magnitude das tensões nas 10 barras do sistema.

5 Multilicadores de Lagrange Multilicadores de Lagrange Magnitude de ensão (u) Magnitude de ensão (u) 1,01 1,00 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,94 0,93 Figura 5. Magnitude das tensões nas 34 barras do sistema. Na Figura 6 têm-se os multilicadores de Lagrange de otência ativa e reativa resectivos de cada barra. 0,120 0,108 0,096 0,084 0,072 0,060 0,048 0,036 0,024 0,012 0, Figura 6. Multilicadores de Lagrange nas 34 barras do sistema Sistema de 70 barras Neste teste são aresentados os resultados obtidos ara o sistema utilizado em (Baran; Wu, 1989a). A Figura 7 mostra o diagrama unifilar do sistema de 70 barras. abela 4. Processo de convergência do sistema 70 barras. Iteração P (W) Q (VAr) (MW) (MVAr) 0 0,0000 0,0000 1, , , ,5103 0, , , ,0474 0, , , ,1803 0, ,01472 Na Figura 8 aresentam-se os resultados das 1,01 1,00 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,94 0,93 0,92 0,91 0,90 Figura 8. Magnitude das tensões nas 70 barras do sistema. Na Figura 9 têm-se os resultados dos multilicadores de Lagrange. 0,180 0,160 0,140 0,120 0,100 0,080 0,060 0,040 0,020 0, Figura 9. Multilicadores de Lagrange nas 70 barras do sistema. 4.2 Sistemas malhados Sistema de 33 barras Figura 7. Diagrama unifilar da rede de distribuição de 70 barras. Neste teste são aresentados os resultados obtidos ara o sistema com malhas aresentado em (Baran e Wu, 1989a). A Figura 10 mostra o diagrama unifilar do sistema de 33 barras. O método convergiu em 3 iterações e os valores de otência ativa e reativa nas linhas foram de 225, 02 W e 102,18 VAr, resectivamente. O rocesso de convergência está resumido na abela 4.

6 Magnitude de ensão (u) Multilicadores de Lagrange 0,0750 0,0625 0,0500 0,0375 0,0250 0,0125 0, Figura 12. Multilicadores de Lagrange nas 33 barras do sistema. Figura 10. Diagrama unifilar da rede de distribuição de 33 barras. O método convergiu em 2 iterações e o valor das erdas de otência ativa e reativa nas linhas foram de 123,28 W e 87,91 VAr, resectivamente. O rocesso de convergência está resumido na abela Sistema de 69 barras Neste teste são aresentados os resultados obtidos ara o sistema com malhas aresentado em (Chiang e Jean-Jumeau, 1990). A Figura 13 mostra o diagrama unifilar do sistema de 69 barras. abela 5. Processo de convergência do sistema 33 barras. Iteração P (W) Q (VAr) (MW) (MVAr) 0 0,0000 0,0000 0, , , ,7987 0, , , ,9137 0, ,00010 Na Figura 11 aresentam-se os resultados das Figura 13. Diagrama unifilar da rede de distribuição de 69 barras. 1,01 1,00 0,99 0,98 0,97 0,96 0, Figura 11. Magnitude das tensões nas 33 barras do sistema. Na Figura 12 têm-se os multilicadores de Lagrange de otência ativa e reativa resectivos de cada barra. O método convergiu em 3 iterações e o valor das erdas de otência ativa e reativa nas linhas foram de 8,3003 W e 6,7502 VAr, resectivamente. O rocesso de convergência está resumido na abela 6. abela 6. Processo de convergência do sistema 69 barras. Iteração P (W) Q (VAr) (MW) (MVAr) 0 0,0000 0,0000 0, , ,1349 6,6248 0, , ,3003 6,7502 0, , ,3003 6,7502 0, ,00190 Na Figura 14 aresentam-se os resultados das

7 Multilicadores de Lagrange Magnitude de ensão (u) Iterações 1,002 1,000 0,998 0,996 0,994 0,992 0,990 0,988 0, Sistemas MFL MBW MBFS Figura 14. Magnitude das tensões nas 69 barras do sistema. Na Figura 15 têm-se os resultados dos multilicadores de Lagrange relacionados às euações de otência ativa ( ) e reativa ( ). Figura 16. este comarativo. Observa-se da Figura 16 ue o MFL teve um melhor desemenho ue os métodos clássicos, ois convergiu com um número menor de iterações em todos os sistemas testados. 0,018 0,016 0,014 0,012 0,010 0,008 0,006 0,004 0,002 0, Figura 15. Multilicadores de Lagrange nas 69 barras do sistema. 4.4 este comarativo Os resultados obtidos da imlementação do método da função Lagrangiana (MFL), adatado ara sistemas de distribuição radiais, são comarados com os métodos de varredura ou Bacward-Forward Swee (BFS) (Shirmohammadi; Hong; Semlyen and Luo, 1988) e Baran-Wu (Baran and Wu, 1989a), ue são métodos clássicos utilizados ara solução do roblema de fluxo de carga em sistemas de distribuição radiais. Os resultados aresentados são referentes às simulações de três sistemas radias de distribuição, com 10, 34 e 70 barras. Destaca-se ue, como o sistema de 33 e 69 barras ossuem malhas, os métodos clássicos BFS e Baran-Wu não odem ser alicados ao mesmo. Enuanto ue, o método da MFL não aresenta dificuldades com sistemas malhados, sendo essa característica uma vantagem da abordagem roosta. A Figura 16 mostra os resultados obtidos no teste comarativo utilizando o sistema de 10, 34 e 70 barras. 5 Conclusão Neste trabalho foi roosta uma metodologia ara resolução de um roblema de fluxo de carga baseada na associação do método Lagrangiano com o método de Newton ara a resolução de um sistema não linear ossível e determinado. A modelagem aresentada ara a resolução do roblema de fluxo de carga or meio do MFL aresenta como rinciais vantagens: (a) fornecem os multilicadores de Lagrange ue são de grande imortância em roblemas de otimização como ferramenta ara análise de sensibilidade; (b) a boa característica de convergência devido à robustez da matriz Hessiana da Lagrangiana ara contornar roblemas de mal condicionamento da matriz Jacobiana do método de Newton clássico; (c) a boa recisão dos resultados; e (d) a caacidade de solucionar o fluxo de carga ara redes malhadas e fracamente malhadas. Foram simulados sistemas radiais (10, 34 e 70 barras) e malhados (33 e 69 barras). Os resultados encontrados ara os sistemas radiais foram comarados com os obtidos elos métodos clássicos MBW e MBFS, e concluiu-se ue um melhor desemenho foi alcançado, ois o roblema convergiu com menos iterações ara todos os casos. Agradecimentos Os autores agradecem elo suorte financeiro do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e ecnológico (CNP) ara a realização deste trabalho. Referências Bibliográficas Baran, M.E. and Wu, F. F (1989a). Otimal Sizing of Caacitors Placed on a Radial Distribution System. IEEE ransactions on Power Delivery, Vol. 4, No. 1, Baran, M.E. and Wu, F. F (1989b). Networ Reconfiguration in Distribution Systems for

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