ESCOAMENTO ANUAL 1 DISTRIBUIÇÃO ESTATÍSTICA

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1 ESCOAMENTO ANUAL 1 DISTRIBUIÇÃO ESTATÍSTICA O escoamento anual numa secção de um rio tem essencialmente uma natureza aleatória não sendo ortanto ossível rever deterministicamente os seus valores futuros a artir do conhecimento de uma amostra de valores já ocorridos. Pode ois ser considerado uma variável aleatória. Tem-se considerado que os valores do escoamento anual são indeendentes no temo uma vez que a influência do escoamento do ano anterior sobre o do ano seguinte é ara o clima ortuguês raticamente eliminada através da adoção do ano hidrológico e a existência de ciclos lurianuais não foi demonstrada de modo irrefutável (QUINTELA1967). Assim os valores assumidos elo escoamento anual numa sequência de anos hidrológicos constituem um vector de amostragem aleatório sendo ortanto as suas comonentes indeendentes entre si. Sendo o escoamento anual uma variável aleatória imorta estudar a lei de distribuição resectiva. O método seguido consiste em adotar o tio de lei estatística que romova o melhor ajustamento entre as frequências dos valores observados e as corresondentes robabilidades determinadas ela referida lei estatística. Uma análise suerficial oderia levar a considerar como lei de distribuição ossível a lei normal já que o valor do escoamento anual sendo a soma dos valores do escoamento diário tenderia segundo o Teorema do Limite Central a seguir aquela lei. 1 Artigo ublicado em MILLENIUM 9 Ano Instituto Suerior Politécnico de Viseu.

2 Isto ressuoria contudo que os valores do escoamento diário fossem indeendentes entre si o que na realidade não acontece. A sua deendência (QUINTELA 1967) é tanto menor quanto menores forem as reservas subterrâneas das bacias hidrográficas. A adoção da lei normal considerando como domínio da resectiva variável aleatória o coro dos reais leva a que ara valores baixos da robabilidade corresondam valores negativos do escoamento anual o que é fisicamente inaceitável. Além disso arece verificar-se a tendência ara a lei normal fornecer nas zonas das baixas e das altas robabilidades valores do escoamento anual inferiores aos observados o que leva a não aceitar a lei normal elo menos ara a determinação de valores do escoamento anual com baixas robabilidades de não serem atingidos (QUINTELA 1967). Estes factos e a constatação de que as variáveis hidrológicas aresentam em geral uma assimetria ositiva que arece ser tanto maior quanto menor for o intervalo de temo a que se refere a variável hidrológica levaram a considerar a alicação de leis estatísticas assimétricas no estudo da distribuição do escoamento anual. Uma das leis consideradas com bons resultados é a lei Gama com três arâmetros também or vezes designada de Lei III de Pearson. A alicação ao estudo da distribuição do escoamento anual da Lei Gama com três arâmetros começou or ser realizada or FOSTER 194. Seja ois a variável aleatória escoamento anual. Se x for o valor do escoamento anual cuja robabilidade de não ser atingido é F se tem: x µ + Kσ ( x ) Foster mostrou que onde µ e σ são or esta ordem o valor médio e o desvio-adrão da variável aleatória e K é um factor tabelado or Foster função de F ( x ) e do coeficiente de assimetria 1 :

3 [ 1 ] K K F ( x ) designado or factor de robabilidade (CHOW 1954). A tabela dos valores de K a que se recorre na vida rática é a que se vê no Quadro 1 ao final (QUINTELA 1967 LINSLEY 1949 SUPINO 1938). No sentido de amliar a tabela referida determina-se ara a Lei Gama com três arâmetros a exressão que ermite determinar os valores de K. Seja então a variável aleatória escoamento anual e admita-se que a resectiva lei de distribuição é do tio Gama com três arâmetros. Nestas condições a função densidade de robabilidade de é: onde β ] [ f ( x α ) β 1 β Γ( ) ( x α) e x α ( x; α β ) 0 x < α 0 e α é um arâmetro real. Como ode facilmente deduzir-se o valor médio o desvio-adrão e o coeficiente de assimetria valem resectivamente: µ α + β. σ 1 β Se x for o quantil de robabilidade de tem-se: P( x )

4 exressão que ode assumir a forma: P x P α x α ( ). β β Considerando a mudança de variável: Y α β virá: P Y x α β sendo Y uma variável aleatória com distribuição Gama com um arâmetro. Desta exressão tira-se que: x α + β y. onde y é um valor dey tal que: y 0 Y 1 e Y dy Γ( ) Para a nova variável Y ode facilmente deduzir-se que: µ σ Y Y 1 Y

5 elo que se tem: x σ ( µ β ) + y σ µ y + σ [ y ] 1 µ + y 1 µ + σ σ ou seja: ( 1 ) x µ + K µ σ sendo: ( 1 ) 1 K y. (1) Para efectuar o cálculo dos valores de K basta rearar que se uma variável aleatóriay tem distribuição Gama com um arâmetro a variável Y tem uma distribuição Qui-Quadrado com graus de liberdade. Assim a exressão (1) toma a forma: sendo: ( 1 ) 1 K y χ

6 χ 8 1 A um valor tal que: χ A e ( χ ) 1 d( χ ) Γ e que ode ser obtido nas tabelas do Qui-Quadrado em função do número de graus de liberdade B e de sendo B dado ela exressão: BIBLIOGRAFIA 8 B 1 CHOW Ven Te - The log-robability law and its engineering alications - Proc. ASCE Hyd. Div. Vol. 80 Paer nº 536. New York FOSTER H. A. - Theoretical Frequency Curves - Trans. ASCE Vol LINSLEY Ray et al. - Alied Hydrology - Mc Graw-Hill Book Co. New York QUINTELA António - Recursos de Águas Suerficiais em Portugal Continental - Lisboa SUPINO Giulio - Le Retti Idrauliche - Nicola Zanichelli Edittore Bologna 1938.

7 Quadro 1 TABELA DE VALORES DO FACTOR DE PROBABILIDADE

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