Gráficos alternativos ao gráfico de R
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1 Gráficos alternativos ao gráfico de R Tiago M. Magalhães Departamento de Estatística - ICE-UFJF Juiz de Fora, 16 de abril de 2019 Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
2 Roteiro 1 Motivação 2 Gráfico da variância S 2 3 Gráfico do desvio padrão S Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
3 Roteiro 1 Motivação 2 Gráfico da variância S 2 3 Gráfico do desvio padrão S Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
4 Motivação Gráficos alternativos ao gráfico de R para monitoramento da dispersão Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
5 Motivação Gráficos alternativos ao gráfico de R para monitoramento da dispersão Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
6 Roteiro 1 Motivação 2 Gráfico da variância S 2 3 Gráfico do desvio padrão S Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
7 Gráfico da variância S 2 Limites de controle obtidos fixando-se n e α, Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
8 Gráfico da variância S 2 Limites de controle obtidos fixando-se n e α, S 2 i = nj=1 (X ij X i ) 2 n 1 Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
9 Gráfico da variância S 2 Limites de controle obtidos fixando-se n e α, S 2 i = nj=1 (X ij X i ) 2 n 1 e n 1 σ 2 S2 χ 2 n 1. Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
10 Gráfico da variância S 2 Limites de controle obtidos fixando-se n e α, S 2 i = nj=1 (X ij X i ) 2 n 1 e n 1 σ 2 S2 χ 2 n 1. Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
11 Gráfico da variância S 2 LSC S 2 = ˆσ2 0 n 1 χ2 n 1,α/2 LM S 2 = ˆσ 2 0 LIC S 2 = ˆσ2 0 n 1 χ2 n 1,1 α/2 Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
12 Gráfico da variância S 2 LSC S 2 = ˆσ2 0 n 1 χ2 n 1,α/2 LM S 2 = ˆσ 2 0 LIC S 2 = ˆσ2 0 n 1 χ2 n 1,1 α/2 Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
13 Gráfico da variância S 2 ˆσ 2 0 s 2 = mi=1 S 2 i m. Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
14 Gráfico da variância S 2 ˆσ 2 0 s 2 = mi=1 S 2 i m. Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
15 Gráfico da variância S 2 Pd = P ( ) S 2 > LSC S 2 σ 2 = 4σ0 2 e n = 5 ) ( 4ˆσ 2 = P 0 n 1 χ2 n 1 > LSC S 2 = P ( ) χ 2 n 1 > 3, 72 = 0, 44. Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
16 Gráfico da variância S 2 Pd = P ( ) S 2 > LSC S 2 σ 2 = 4σ0 2 e n = 5 ) ( 4ˆσ 2 = P 0 n 1 χ2 n 1 > LSC S 2 = P ( ) χ 2 n 1 > 3, 72 = 0, 44. Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
17 Roteiro 1 Motivação 2 Gráfico da variância S 2 3 Gráfico do desvio padrão S Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
18 Gráfico do desvio padrão S: limites 3-sigma Seja X uma variável de interesse com distribuição normal. A média e o desvio padrão do desvio padrão amostral S são dados, respectivamente, por µ S = c 4 σ e σ S = [( ) 1 c4 2 σ 2] 1/2. Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
19 Gráfico do desvio padrão S: limites 3-sigma Seja X uma variável de interesse com distribuição normal. A média e o desvio padrão do desvio padrão amostral S são dados, respectivamente, por µ S = c 4 σ e σ S = [( ) 1 c4 2 σ 2] 1/2. Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
20 Gráfico do desvio padrão S: limites 3-sigma Os limites 3-sigma para o gráfico S são dados por: Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
21 Gráfico do desvio padrão S: limites 3-sigma Os limites 3-sigma para o gráfico S são dados por: LSC S = c 4ˆσ c4 2ˆσ 0 LM S = c 4ˆσ 0 LIC S = max { } 0, c 4ˆσ c4 2ˆσ 0, Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
22 Gráfico do desvio padrão S: limites 3-sigma Os limites 3-sigma para o gráfico S são dados por: LSC S = c 4ˆσ c4 2ˆσ 0 LM S = c 4ˆσ 0 LIC S = max { } 0, c 4ˆσ c4 2ˆσ 0, em que ˆσ 0 = S c = S/c 4, com S = m i=1 S i /m. Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
23 Gráfico do desvio padrão S: limites 3-sigma Os limites 3-sigma para o gráfico S são dados por: LSC S = c 4ˆσ c4 2ˆσ 0 LM S = c 4ˆσ 0 LIC S = max { } 0, c 4ˆσ c4 2ˆσ 0, em que ˆσ 0 = S c = S/c 4, com S = m i=1 S i /m. Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
24 Gráfico do desvio padrão S: limites 3-sigma Os pontos amostrais no gráfico do desvio padrão S são os valores da estatística S (desvio padrão amostral) de cada amostra: Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
25 Gráfico do desvio padrão S: limites 3-sigma Os pontos amostrais no gráfico do desvio padrão S são os valores da estatística S (desvio padrão amostral) de cada amostra: ( ) n 2 j=1 X ij X i S i = n 1 Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
26 Gráfico do desvio padrão S: limites 3-sigma Os pontos amostrais no gráfico do desvio padrão S são os valores da estatística S (desvio padrão amostral) de cada amostra: ( ) n 2 j=1 X ij X i S i = n 1 em que X i é a média dos n valores X ij da variável X na amostra i. Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
27 Gráfico do desvio padrão S: limites 3-sigma Os pontos amostrais no gráfico do desvio padrão S são os valores da estatística S (desvio padrão amostral) de cada amostra: ( ) n 2 j=1 X ij X i S i = n 1 em que X i é a média dos n valores X ij da variável X na amostra i. Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
28 Gráfico do desvio padrão S: limites 3-sigma A distribuição de S não é tabelada. No entanto, como, para qualquer a > 0, Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
29 Gráfico do desvio padrão S: limites 3-sigma A distribuição de S não é tabelada. No entanto, como, para qualquer a > 0, LM S = c 4ˆσ 0. Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
30 Gráfico do desvio padrão S: limites 3-sigma A distribuição de S não é tabelada. No entanto, como, para qualquer a > 0, LM S = c 4ˆσ 0. Notar que se a variabilidade do processo é monitorada pelo gráfico S, o estimador S C deve ser usado no gráfico que monitora a média do processo. Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
31 Gráfico do desvio padrão S: limites 3-sigma A distribuição de S não é tabelada. No entanto, como, para qualquer a > 0, LM S = c 4ˆσ 0. Notar que se a variabilidade do processo é monitorada pelo gráfico S, o estimador S C deve ser usado no gráfico que monitora a média do processo. Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
32 Gráfico do desvio padrão S: limites 3-sigma No entanto, a linha média do gráfico é dada por Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
33 Gráfico do desvio padrão S: limites 3-sigma No entanto, a linha média do gráfico é dada por P ( S 2 > a 2) = P (S > a). Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
34 Gráfico do desvio padrão S: limites 3-sigma No entanto, a linha média do gráfico é dada por P ( S 2 > a 2) = P (S > a). Podem-se obter os riscos α e β associados ao gráfico S, com o auxílio da tabela de qui-quadrado. E, da mesma forma que foi feito para o gráfico S 0 2, pode-se adotar limites para o gráfico S que correspondam a um risco α pré-especificado. Esses limites (superior e inferior) são dados pela raiz quadrada dos LSC S 2 e LiC S 2, obtidos fixando-se n e α. Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
35 Gráfico do desvio padrão S: limites 3-sigma No entanto, a linha média do gráfico é dada por P ( S 2 > a 2) = P (S > a). Podem-se obter os riscos α e β associados ao gráfico S, com o auxílio da tabela de qui-quadrado. E, da mesma forma que foi feito para o gráfico S 0 2, pode-se adotar limites para o gráfico S que correspondam a um risco α pré-especificado. Esses limites (superior e inferior) são dados pela raiz quadrada dos LSC S 2 e LiC S 2, obtidos fixando-se n e α. Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
36 Agradecimentos À professora Denise A. Botter por ceder sua apresentação. Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
37 Bibliografia Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
38 Obrigado! ufjf.br/tiago_magalhaes Departamento de Estatística, Sala 307 Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Gráficos alternativos ao gráfico de R 16 de abril de / 18
3 Modelo Matemático Definições Iniciais. Denote-se, em geral, o desvio-padrão do processo por σ = γσ 0, sendo σ 0 o
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