2)Para o exercício anterior e usando os limites de controle e estimativas revistas para este processo, determine se este está estável. Justifique.

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1 ª LISTA DE ESTATÍSTICA (apresentar os cálculos com 4 casas decimais) )Em uma fábrica de produtos de higiene foram medidos os pesos de sabonetes em amostras de tamanho cinco. Supõe-se que o peso dos sabonetes é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente Normal. Os resultados estão apresentados na tabela abaixo: horário peso do sabonete Média R 0,4 0, 0,6 0,2 0, 0,2 2 0,4 0, 0, 0,4 0,4 0,6 0,6 0,2 0,4 0,2 0, 0,42 4 0,4 0,4 0, 0, 0, 0,46 0,40 0, 0, 0, 0,2 0,26 6 0,2 0,4 0,2 0, 0,4 0,4 0, 0,4 0,4 0, 0,4 x 0,60 8 0,4 0, 0,4 0, 0,4 0,40 0,60 0,4 0, 0,4 0,4 0,4 0,42 0 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,40 0 0, 0, 0,4 0,4 0, 0,42 0,20 2 0,2 0, 0, 0, 0, 0,40 y 0, 0,2 0, 0,2 0,4 0,6 4 0,2 0, 0,4 0, 0,2 0,6 0,4 0, 0,6 0,2 0, 0,6 0,40 6 0,4 0,4 0,8 0, 0,8 0,80 0, 0, 0,2 0,4 0,2 0,6 8 0, 0, 0, 0,4 0,4 0,46 0,40 0, 0,4 0, 0, 0,2 0, ,2 0, 0, 0, 0, 0,6 2 0,8 0,6 0,4 0,4 0, 22 0,4 0, 0, 0, 0, 0,40 0,40 2 0,4 0,4 0,2 0,4 0, 0, , 0, 0, 0,4 0, 0,6 0,20 0, 0, 0, 0,6 0,6 0,42 total,60,00 a)determine os valores de e Y. b)usando todos os dados, encontre os limites de controle para os gráficos de e R, construa o gráfico e plote os dados. c)use os limites do item b) para identificar pontos fora de controle. Se necessário, reveja seus limites de controle, considerando que qualquer amostra fora dos limites de controle poderá ser eliminada. 2)Para o exercício anterior e usando os limites de controle e estimativas revistas para este processo, determine se este está estável. Justifique. )Para o exercício anterior é conhecido que o peso do sabonete, por especificação, deve estar entre 0,g e LIE=4,8g. Usando os limites de controle e estimativas revistas para este processo: a)estime C P ec PK. Interprete essas razões. b)qual o nível de fração defeituosa (fallout)?

2 4)Foram medidos em 0 ocasiões o ph de um efluente industrial remetido à SABESP. horário ph Média R,2,0 6,0,0 6, 6,4,20 2 6,,8 6, 6, 6, 6,6,0 8,0 6,,8,8 6,0,22 2,00 4 6,,2,0 6, 6,0 6,64,20,0 6,,8,2 8,0,0,0 6,0,8 6, 6, 6, 6,86,0 6,,0,2,2,2,02 8,0 8,0,0,0 6,0,00 2,00 6,,2,8,0,8,26,0 0 8,0 6,0,8,2 6,,0 2,00,0,0,0,0 6, 6,0 2,8,2,8 8,0 6,0,6 2,00 6,0 6,0,2,8 6,0 6,60,80 4 6,,8,0 8,0 6,,6,0,2,2,8,2,2,2 0,60 6 6, 6,0,0,0 6,0 6,0,00 6, 6, 6,0,8 8,0 6,6 2,00 8,8 6,,2,0 6,,00,0,2,8 6,0 8,0 8,0,40 2, ,0,0 8,0,2 6,0,24 2,00 2 6, 6,,0,8 8,0,6,0 22 8,0,8,0 6, 6,,6,0 2 6,,0,2,2 8,0,8,0 24,8 8,0 6, 6,0 6, 6,6 2,00 8,0,2 6,0 8,0 8,0,44 2,00 26,8,8,0,2 6,,26,0 2 6, 6, 6,0 6, 6,0 6,0 28,2,0,8,8,0,6 0,80 2 6,,0,2,0,0 6,4 0,0,0,0,0,0,00 0 Média,0,6 Para atender ao artigo A do decreto estadual 8468 este ph deve estar entre e 0. Foi realizada uma análise dos dados coletados. Os resultados estão apresentados nos gráficos abaixo. Baseado nestes gráficos você afirmaria que este processo é capaz? Justifique. Porcentagem, , Gráfico de probabilidade Normal do ph 6 ph Capacidade do processo 8 Média,0 Desvio Padrão 0,66 N 0 KS 8 Valor P <0 Média amostral Amplitude amostral,,0 6,,0, Carta -barra R para o ph 6 Amostra 6 Amostra UCL=,8 =,0 LCL=6,248 UCL=2,80 R=,6 LCL=0 LSL USL Dados do processo Capacidade LIE Cp,42 LSE 0 Cpk,6 Média amostral,066 N 0 desvio Padrão ( dentro) 0,86 Desvio padrão ( geral) 0,66 4,,6 6,,0, 8,4,,8

3 )Um gráfico usa amostra de tamanho 4. A linha central está em 00 e os limites, sigmas, superior e inferior de controle estão em 06 e 4 respectivamente. a)qual é σ do processo? b)suponha que a média do processo se desloque para 0. Encontre a probabilidade dessa mudança se detectada na próxima amostra. 6)Em 0 amostras da % AV-6/0 em uma unidade de produção de E.V.A. (Etileno Acetato de Vinila) encontrou-se uma porcentagem média de 8,2 % e um desvio padrão de 0,28 %. Supondo que a percentagem AV-6/0 tem distribuição aproximadamente normal, teste ao nível de significância de % se a porcentagem média é superior a 8 %. )Testes exaustivos realizados pela indústria Cookbem indicam que seu forno de microondas tem probabilidade 0, de apresentar a ª falha antes de 00 horas de uso. Um novo método de produção está sendo implantado e os engenheiros garantem que a probabilidade acima indicada deve diminuir. Com vistas a verificar essa afirmação, escolheu-se aleatoriamente 00 aparelhos para realizar testes acelerados e os resultados indicaram que 8 deles tiveram sua ª falha antes de 00 horas. a)formule as hipóteses adequadas. b)determine o nível descritivo. c)verifique se os engenheiros têm razão, considerando um nível de significância α = 6 %. 8)Uma marca particular de margarina diet foi analisada para determinar o nível (em percentagem) de ácidos graxos insaturados. Uma amostra de seis pacotes resultou nos seguintes dados: 6,8 ;,2 ;,4 ; 6, ; 6, e,. Teste a hipótese de que o nível médio de ácidos graxos insaturados na margarina é igual a %, usando α =. Quais são suas conclusões? )Um rebite deve ser inserido em um orifício. Se o desvio padrão do diâmetro do orifício exceder mm haverá uma probabilidade inaceitavelmente alta de que o rebite não se ajuste. Uma amostra aleatória de n = peças é selecionada e o diâmetro do orifício é medido. O desvio padrão das medidas do diâmetro do orifício é s = 2 mm. Existe forte evidência indicando que o desvio padrão do diâmetro do orifício exceda mm? Use α =. Estabeleça qualquer suposição necessária a cerca da distribuição sob consideração dos dados. 0)Uma máquina deve produzir peças com diâmetro de 2 cm. Entretanto, variações acontecem e vamos assumir que o diâmetro dessas peças siga o modelo Normal com variância igual a cm 2. Para testar se a máquina está bem regulada, 00 peças são observadas e sua média calculada em 2, cm. a)formule o problema como um teste de hipóteses. b)qual seria a região crítica e a decisão? Use α = 2. c)se a região de aceitação fosse { IR /, 2, }, qual seria a probabilidade do erro tipo II se µ =, cm? )Num estudo realizado pelo gerente de produção sobre jornais sem defeito, é selecionada uma amostra de 200 jornais a partir da população de jornais impressos e são encontrados jornais com problemas. O gerente quer saber se a proporção de jornais com problemas é no máximo igual a 0,. Qual deve ser sua conclusão ao nível de significância de 0%?

4 2)De um lote contendo 0 sacos de açúcar, amostrou-se 8 sacos. O peso médio dos sacos na amostra foi de 0, gramas com um desvio padrão amostral de 8,0 gramas. Supondo que o peso dos sacos de açúcar tem distribuição aproximadamente normal, Teste ao nível de significância de % se o peso médio dos sacos de açúcar é inferior a 000 g. RESPOSTAS E BIBLIOGRAFIA: ) (minha autoria) a)x = 0,4g y = 0,g b) LIC = 0,8 LSC =0,600 LIC R não existe LSC R = 0,864 c)ponto fora de controle = 6 LIC = 0,864 LSC =0,2 LIC R não existe LSC R = 0,48 0,6 bar-r Chart of peso UC L=0,600 0,6 bar-r Chart of peso UC L=0,600 Mean 0, 0,4 0, =4 Mean 0, 0,4 0, =4 0,2 2 2 LC L=0,8 0,2 2 2 LC L=0,8 0,8 UC L=0,866 0,8 UC L=0,866 Range 0,6 0,4 0,2 R=0,2 Range 0,6 0,4 0,2 R=0,2 LC L=0 LC L= ) (minha autoria) O processo está estável pois para os gráficos de -barra e de R não há pontos fora dos limites de controle, não há sete pontos consecutivos acima ou abaixo da média, não há sete pontos consecutivos crescendo ou decrescendo. ) (minha autoria) Cp =,0 C pk = 0,8 C p > e C pk <. O processo não é capaz. O processo não está centralizado. 4) (minha autoria) Não. Embora C p > e C pk > não há sentido nestes cálculos uma vez que os dados não obedecem a uma distribuição Normal. O gráfico de probabilidade Normal não apresenta dados que podem ser cobertos por uma linha grossa (P < ). Mesmo se os dados obedecessem à distribuição Normal, o processo não está estável pois há sete pontos seguidos acima da média na carta de R. ) (bibliografia nº ) a)4 b)8 6) (minha autoria) R.C = {T T,8} T =,0 R.C., ao n.s. de % afirmo que a porcentagem média é superior a 8%. ) (bibliografia nº )a)h 0 : p 0, H : p < 0, b)0,4 c)z = 0,6 R.C., ao n.s. de 6% afirmo que os engenheiros não tem razão. 8) (bibliografia nº 2) R.C = {T T 4,02 ou T 4,02} T = 0,28 R.C., ao n.s. de % afirmo que o nível médio de ácidos graxos insaturados na margarina é igual a %. ) (bibliografia nº 2) a) R.C. = {χ 2 χ 2 2,4} χ 2 obs = 20,6 R.C., ao n.s. de % afirmo que não existe forte evidência indicando que o desvio padrão do diâmetro do orifício exceda mm 0) (bibliografia nº ) a)h 0 : µ = 2 H : µ 2 b) R.C = {Z Z 2,26 ou Z 2,26} Z =, R.C. logo ao n.s. de % rejeito H 0 e afirmo que a máquina não está bem regulada. ou R.C = {, ou 2,0} obs = 2, R.C. logo ao n.s. de % rejeito H 0 e afirmo que a máquina não está bem regulada. c)β = 0, ) (minha autoria) R.C = {Z Z,286} Z = 0, R.C., ao n.s. de 0% afirmo que a proporção de jornais com problemas é no máximo igual a 0,. 2) (minha autoria) R.C = {T T,8} T =, R.C., ao n.s. de % afirmo que o peso médio dos sacos é inferior a 000 g.

5 .MAGALHÃES, Marcos N. e LIMA, Antonio Carlos P. Noções de Probabilidade e Estatística. 6 ed. São Paulo: Edusp, MONTGOMERY, Douglas C. e RUNGER, George C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC, MOORE, David S. e McCABE, George P. Introdução à prática da Estatística. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.