Probabilidade e Estatística, 2009/1

Transcrição

1 Probabilidade e Estatística, 2009/1 CCT - UDESC Prof. Fernando Deeke Sasse Problemas Resolvidos - Intervalos de Confiança 1. s dados relativos a cargas de falha sobre amostras de um tipo de aço fornecem os seguintes resultados (megapascal): 12.4, 16.5, 12.7, 11.9, 11.4, 11.4, 14.1, 17.6, 16.7, 15.8, 19.5, 8.8, 13.6, 11.9, Determine o intervalo de confiança de 95% sobre a média amostral. A média amostral é restart with Statistics : L d 12.4, 16.5, 12.7, 11.9, 11.4, 11.4, 14.1, 17.6, 16.7, 15.8, 19.5, 8.8, 13.6, 11.9, 11.4 L := 12.4, 16.5, 12.7, 11.9, 11.4, 11.4, 14.1, 17.6, 16.7, 15.8, 19.5, 8.8, 13.6, 11.9, 11.4 XM d Mean L XM := Um plot normal corrobora a hipótese de que a distribuição é aproximadamente normal: NormalPlot L, thickness = 2 (1.1) (1.2) desvio padrão da população é desconhecido, de modo que devemos estimá-lo: n d nops L n := 15 (1.3)

2 s d sum L i K XM 2, i = 1..n n K 1 s := ; ou StandardDeviation L ; Como a amostra é pequena e a variância da população é desconhecida, podemos utilizar a distribuição t para construir o intervalo de confiança. u seja, supomos que a variável (1.4) (1.5) tem distribuição t com n - 1 graus de liberdade. A distribuição t é dada por ou seja, G f d x, k / k C 1 2 p$k G k 2 $ x 2 k 1 C 1 kc 1 2 G 1 2 k C 1 2 f := x, k / p k G 1 2 k x 2 k C 1 Aqui k d n K 1 k := 14 s limites de confiança de 95% sobre µ são 1 2 kc 1 2 (1.6) (1.7) ou seja, a d 0.05 a := 0.05 (1.8) Devemos agora determinar o valor de t que corresponde à probabilidade acumulada a/2=0.025: CD d 0 : dk3 :

3 De fato, X := RandomVariable StudentT k : CDF X, s limites de confiança de 95% para a média são então XM while CD! do CD d evalf int f t, k, t =KN.. ; d C ; K x0 dkevalf $s n x0 := L1 d XM C x0; L2 d XM K x0 L1 := ; L2 := (1.9) (1.10) (1.11) (1.12) (1.13) 2 Um teste de impacto foi realizado em 20 amostras de tubo PVC. A média amostral de força de ruptura é xm = 1.25 e o desvio padrão amostral é s=0.25. Encontre um intervalo de confiança limitado inferiormente de 99% na média da força de ruptura. Suponha que a distribuição é normal. Lembramos a definição Como a amostra é pequena devemos utilizar a distribuição t para construir o intervalo de confiança. restart with Statistics : CD d 0 : dk3 : k d 19 : X := RandomVariable StudentT k : while CD! do CD d evalf CDF X, ;

4 d C ; CDF X, L dk $0.25 sqrt KL K L := intervalo de confiança de 99% na média é, portanto, [1.108, + ]. (2.1) (2.2) (2.3) (2.4) 3 Um teste de impacto foi realizado em 100 amostras de tubo PVC. A média amostral de força de ruptura é xm = 1.35 e o desvio padrão amostral é s=0.2. Encontre um intervalo de confiança de 95% na média da força de ruptura. Suponha que a distribuição é normal. Como a amostra é suficientemente grande podemos utilizar a distribuição normal para construir o intervalo de confiança. restart with Statistics : s d 0.2 : µ d 1.35 : n d 100 : CD d 0 : dk3 : X := RandomVariable Normal 0, 1 : while CD! do CD d evalf CDF X, ; d C ; K CDF X, X1 dk $s sqrt n L1 d µk X1; L2 d µc X X1 := L1 := L2 := Portanto, o intervalo de confiança de 95% é [ 1.31, 1.39]. (3.1) (3.2) (3.3) (3.4)

5 4 Um fabricante produz anéis de pistão com diâmetro normalmente distribuído com σ = 0.01 mm. Uma amostra aleatória de 40 anéis tem diâmetro médio xm = mm. (a) Construa um intervalo de 99% de confiança na média do diâmetro do pistão. (b) Construa um intervalo de 99% de confiança inferiormente limitado na média do diâmetro do pistão Como o número de amostras é suficientemente grande, podemos utilizar a distribuição normal para construir o intervalo de confiança. restart with Statistics : Portanto, o intervalo de confiança é [ , ]. ; (b) CD d 0 : T0 dk3 : X := RandomVariable Normal 0, 1 : while CD! 0.01 do CD d evalf CDF X, T0 ; T0 d T0C 0.001; T0 K2.325 s d 0.01 : µ d : CD d 0 : dk3 : X := RandomVariable Normal 0, 1 : while CD! do CD d evalf CDF X, ; d C ; K CDF X, X1 dk $s sqrt 40. L1 d µk X1; L2 d µc X1 CDF X, T0 Y1 dk T0$s sqrt X1 := L1 := L2 := (4.1) (4.2) (4.3) (4.4) (4.5) (4.6) (4.7)

6 Y1 := LI1 d µk Y1 LI1 := Portanto, o intervalo de confiança é [ , ]. (4.7) (4.8) 5 Uma máquina produz barras de metal utilizadas em um sistema automobilístico. Uma amostra aleatória de 15 elementos é selecionada e o diâmetro é medido. s dados resultantes (em mm) são os seguintes: 8.24, 8.25, 8.20, 8.23, 8.24, 8.21, 8.26, 8.26, 8.20, 8.25, 8.23, 8,23, 8.19, 8.28, (a) Verifique a suposição de normalidade para os diâmetros da barras. (b) Determine um intervalo de confiança de 95% sobre o diâmetro médio das barras. (a) restart with Statistics : L d 8.24, 8.25, 8.20, 8.23, 8.24, 8.21, 8.26, 8.26, 8.20, 8.25, 8.23, 8.23, 8.19, 8.28, 8.24 L := 8.24, 8.25, 8.20, 8.23, 8.24, 8.21, 8.26, 8.26, 8.20, 8.25, 8.23, 8.23, 8.19, 8.28, 8.24 n d nops L Um plot normal mostra que a distribuição é aproximadamente normal : NormalPlot L, thickness = (b) A média é dada por XM d Mean L n := XM := desvio padrão da população é desconhecido, de modo que devemos estimá-lo: (5.1) (5.2) (5.3)

7 s d sum L i K XM 2, i = 1..n n K 1 s := (5.4) ; Como, além ter o desvio padrão desconhecido, a amostra é pequena, devemos usar a distribuição t para estimar o intervalo de confiança de média. CD d 0 : dk3 : k d n K 1 : X := RandomVariable StudentT k : while CD! do CD d evalf CDF X, ; d C ; K (5.5) CDF X, X1 dkevalf $s sqrt n X1 := L1 d XM C X1; L2 d XM K X1 L1 := L2 := Portanto, o intervalo de confiança de 95% sobre a média é [ , ] (5.6) (5.7) (5.8) 7 Um rebite deve ser inserido em um orifício. Uma amostra aleatória de n = 15 partes é selecionada e o diâmetro do orifício é medido. desvio padrão amostral do diâmetro do buraco é s = mm. Construa um intervalo de confiança de 99% limitado inferiormente para σ. Lembramos a definição: restart with Statistics : A distribuição chi-quadrado é dada por:

8 c 2 k = x, k 2 k 2 G 2 onde k = n K 1 é o número de graus de liberdade. n d 15 n := 15 k 2 K1 e K x 2 X := RandomVariable ChiSquare 14 X := _R CD d 0 : d 29 : k d n K 1 : s d : X := RandomVariable ChiSquare k : while CD! 0.99 do CD d evalf CDF X, ; d C ; (6.1) (6.2) (6.3) IC d n K 1 $s2 IC := (6.4) Portanto, s