Probabilidade e Estatística 2011/2
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- Evelyn Lopes Machado
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1 Probabilidade e Estatística 2011/2 Prof. Fernando Deeke Sasse Exercícios resolvidos sobre distribuições discretas Distribuição Binomial 1. Lotes de 50 peças são examinados. O número médio de peças não-conformes em um lote é 5. Seja a variável aleatória binomial que denota o número de peças não conformes. Quem são e? Determine e.,. Ou seja, é praticamente zero. 2 Como nem todos passageiros de uma companhia aérea chegam para ocupar suas vagas reservados, uma companhia vende 125 tickets para um vôo de somente 120 passageiros. A probabilidade de que um passageiro não apareça é 0.1 e os passageiros se comportam de modo independente. Qual é a probabilidade de que cada passageiro que aparecer consiga um lugar? Qual é a probabilidade de que um vôo parta com assentos vazios? Seja X a variável aleatória que denota o número de passageiros que não comparecem. Cada passageiro terá seu lugar se. Então X é uma variável binomial com p = 0.1 e n = 125 e devemos determinar aqui =. A probabilidade de que o vôo parta vazio é Ou seja, 3. Um processo de manufatura tem 100 ordens para cumprir. Cada ordem requer um componente que deve ser comprado de um fornecedor. No entanto, tipicamente 1.5% dos componentes são identificados como defeituosos. Se o fabricante estoca N componentes, determine a probabilidade de
2 que as 100 ordens possam ser cumpridas sem necessidade de comprar mais componentes nos seguintes casos: N = 100, N = 102, N = 110. Seja a variável aleatória binomial com p = 0.015, que denota a quantidade de componentes defeituosos. Queremos determinar Queremos determinar. Ou seja, a chance é relativamente pequena. Aqui queremos determinar. Portanto, um pequeno aumento no estoque implica em um grande aumento na probababilidade de se cumprir uma ordem sem a necessidade de comprar mais componentes. Notemos também que um aumento muito grande no estoque não é necessário. 4. Um teste de múltipla escolha contém 25 questões, cada uma com 4 respostas. Suponha que um estudante somente adivinha as questões. Qual é a probabilidade de que o estudante responda mais do que 20 questões corretamente? Qual é a probabilidade de que o estudante responda menos do que 3 questões corretamente? Podemos plotar todas as probabilidades:
3 5. Um produto eletrônico contém 40 circuitos integrados. A probabilidade de que qualquer circuito (CI) integrado falhe é 0.01, e os todos eles são independentes. O produto opera somente se todos os CIs funcionam. Qual a probablidade de que o produto funcione?. Seja a variável aleatória binomial que denota o número de componentes que falham. Então Portanto, a probabilidade de que o produto funcione é de 66,9%. Distribuição Geométrica 1. Um site da web é operado por 4 servidores idênticos. Somente um é usado para operar o sites. Os outros são reservas que podem ser ativados no caso em que o servidor ativo falha. A probabilidade de que uma requisição ao site falhe no servidor que está ativo é Suponha que cada requisição é uma amostragem independente. Qual é o tempo médio até que ocorra uma falha em todos os 4 computadores?. Seja a variavel aleatória que denota o número de requisições até que os 4 computadores falhem. Temos aqui uma distribuição geométrica negativa, com p = , r = Uma sistema de produção pára após serem detectadas três falhas de produção. Suponha que a probabilidade de falha é e que cada processo é independente. Qual é o número médio de processos até que o sistema pare? Qual é o desvio-padrão do número de processos até que o sistema pare?. 3. A probabilidade de sucesso em um alinhamento óptico na montagem de um aparelho é 0.8. Suponha que as tentativas são independentes. Qual é a probabilidade de que o primeiro alinhamento de sucesso exija exatamente 4 tentativas? Qual é a probabilidade de que o primeiro alinhamento de sucesso exija no máximo 4 tentativas? Qual é a probabilidade de que o primeiro alinhamento de sucesso exija no mínimo 4 tentativas? Temos aqui uma distribuição geométrica
4 (1) (2) (3) (4) (5) 1. Uma companhia possui 8 computadores. A probabilidade de falha de um computador em um dia é de 0.01 e os computadores falham independentemente. Computadores são consertados de noite e cada dia é uma amostragem independente. Qual é a probabilidade de que os 8 computadores falhem no mesmo dia? Qual é o número médio de dias até que um específico computador falhe? Qual é o número médio de dias até que 2 computadores falhem no mesmo dia? (d) Qual é a probabilidade de que 2 computores falhem simultaneamente em até 30 dias? (e) Qual é a probabilidade de haja ao menos 2 falhas simultâneas de computadores em até 30 dias? (f) Qual é a probabilidade de que não haja nenhuma falha simultânea em 30 dias?. Seja a variável aleatória binomial negativa que denota o número de dias até que computadores falhem. Distribuição Binomial Negativa (6) (7) (8) (9)
5 (d) (e) (f) Distribuição Hipergeométrica (10) (11) (12) 1 Placas de circuito impresso são testadas. Um lote contém 130 peças e 15 são selecionadas, sem substituição, para teste. Se 10 placas são defeituosas, qual é a probabilidade de que ao menos 1 placa defeituosa ocorra na amostra? Se 15 placas são defeituosas, qual é a probabilidade de que ao menos 1 placa defeituosa apareça na amostra?. Temos aqui uma distribuição hipergeométrica. 2. Placas de circuito impresso são testadas. Um lote contém 140 placas e 20 são selecionadas sem substituição para teste. Se 20 placas são defeituosas, qual é a probabilidade de que haja ao menos duas placas defeituosas na amostra? Se 5 placas são defeituosas, qual é a probabilidade de que haja ao menos duas placas defeituosas na amostra? Construa a distribuição de massa de probabilidade para os casos de 20 e 5 placas defeituosas. (13)
6 (14) (15) (16)
7 x 3. Use a aproximação binomial para a distribuição hipergeométrica para a aproximar as probabilidades do problema anterior. Determine o termo de correção de população finita.
8 A correção de população finita (termo de correção binomial) é dada por, ou seja, 4. Um lote de 200 peças contém 35 que são defeituosas. Três peças são selecionadas aleatóriamente e sem substituição. Utilize somente conceitos de probabilidade rudimentares para resolver as questões abaixo. Em seguida verifique os resultados usando a distribuição hipergeométrica. Qual a probabilidade de que a terceira seja defeituosa? Qual a probabilidade de que todas sejam defeituosas? Qual a probabilidade de que ao menos uma seja defeituosa? (d) Qual a probabilidade de que no máximo duas sejam defeituosas? Denotemos por D evento de que uma peça seja defeituosa e N que seja sem defeito. Devemos calcular P(NND)+P(NDD)+P(DND)+P(DDD) Devemos somar P(DDD)+P(DDN)+P(NDD)+P(DND)+P(DNN)+P(NDN)+P(NND). Alguns termos já foram calculados no item anterior. Os que faltam são: (d) Devemos calcular P(NNN)+P(DNN)+P(NDN)+P(NND)+P(DDN)+P(NDD)+P(DND) Podemos checar os resultados, e (d) utilizando a distribuição hipergeométrica
9 (d)
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