CE219 - Controle Estatístico de Qualidade

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1 CE219 - Controle Estatístico de Qualidade Cesar Augusto Taconeli 20 de abril, 2018 Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

2 Aula 5 - Análise da capacidade de processos Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

3 Introdução Gráficos de controle são estabelecidos com base na variabilidade natural do processo, na ausência de causas atribuíveis de variação. No entanto, ainda que um particular processo esteja operando sob controle, isso não implica, necessariamente, que a produção atenda satisfatoriamente às especificações do projeto, às normas reguladoras, às expectativas dos clientes... A Figura 1 ilustra um processo operando sob contole, mas com uma quantidade considerável de itens produzidos fora das especificações. A análise da capacidade de processos tem como objetivo principal avaliar o potencial da produção em atender às especificações que são impostas. Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

4 Introdução Group Group summary statistics LCL UCL CL Number of groups = 100 Center = StdDev = LCL = UCL = Number beyond limits = 0 Number violating runs = 0 Figura 1: Gráfico de controle para medidas individuais - linhas pretas: limites de controle; linhas vermelhas: limites de especificação. Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

5 Introdução Uma forma de caracterizar a distribuição de um processo é por meio dos limites naturais de tolerância. Vamos admitir que a característica da qualidade sob estudo tenha distribuição Normal com média µ e desvio padrão σ. Os limites inferior e superior naturais de tolerância ficam definidos por: LSNT = µ + 3σ LINT = µ 3σ (1) Com base na distribuição Normal, os limites naturais de tolerância compreendem 99.73% da produção. Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

6 Índices de capacidade de processos - PPFE Vamos considerar e os limites (inferior e superior) de especificação, fixados pela engenharia, visando atender às expectativas dos consumidores, da gerência, às normas técnicas... Um primeiro indicador associado à capacidade do processo é a probabilidade de produção fora das especificações (PPFE), definida por: PPFE = P(X < ) + P(X > ), (2) em que X é a variável (ou uma das variáveis) que caracteriza a qualidade. Claramente, quanto menor PPFE, maior a capacidade do processo em atender às especificações. Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

7 Índices de capacidade de processos - PPFE Exercício 1 Seja X alguma característica da qualidade de um processo industrial. Quando o processo opera sob controle estatístico, X tem distribuição Normal com média µ = 100 e desvio padrão σ =. a) Determine os limites naturais de tolerância do processo; b) Se os limites de especificação forem = e = 105, qual, a probabilidade de produção fora das especificações? c) O que acontece com PPFE se o processo sair de controle, de tal forma que a média se desloque para µ = 10? d) O que acontece com PPFE se o processo sair de controle, de tal forma que o desvio padrão se desloque para σ =? e) Considere novamente o processo operando sob controle. Vamos admitir que os limites de especificação sejam revistos pela engenharia, estabelecidos como = 99.9 e = 1. Calcule PPFE. Avalie esse novo cenário quanto ao controle e à capacidade do processo. Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

8 Índices de capacidade de processos - PPFE PPFE para diferentes alterações na média do processo PPFE para diferentes alterações no desvio padrão do processo PPFE 0.5 PPFE µ σ Figura 2: PPFE vs alterações nos parâmetros dos processos (Exercício 1) Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

9 Índices de capacidade de processos - O índice C p Diversos índices de capacidades de processos são baseados na razão das faixas de especificação e de tolerância. O índice mais simples, baseado nesse tipo de construção, é definido por: C p =, (3) 6σ sendo chamado razão da capacidade do processo. Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

10 Índices de capacidade de processos - O índice C p Exercício 2 Retome o Exercício 1. Calcule o valor de C p para cada um dos itens b-e. Avalie os resultados. Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

11 Índices de capacidade de processos - O índice C p A aplicação adequada de C p requer: Que a característica da qualidade tenha distribuição Normal; Que o processo opere sob controle; Além disso, a média do processo deve estar no centro da faixa de especificação: µ = +. (4) 2 As duas primeiras condições estendem-se a outros índices que estudaremos adiante. A condição de que a média esteja no centro das especificações é particularmente crítica para C p. Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

12 Índices de capacidade de processos - O índice C p Tabela 1: Relação entre C p e produção fora das especificações - Processo com distribuição Normal, sob controle, centrado no ponto médio da faixa de especificação. C p Itens não conformes (partes por milhão) ,0018 Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

13 Índices de capacidade de processos - O índice C p Cp = 1 Cp = 2 Cp = Processo 1 Processo 2 Processo 3 Cp = 1 Cp = 1 Cp = 1 Processo 4 Processo 5 Processo 6 Figura 3: Ilustração de C p para diferentes processos Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

14 Índices de capacidade de processos - O índice C pk Para processos não centrados no ponto médio da faixa de especificação, índices (razões) de capacidade apropriados devem ser aplicados. Uma alternativa é o índice C pk, baseado nas razões de capacidade unilaterais: C ps = µ 3σ C pi = µ. (5) 3σ C pk é definido por: C pk = min(c ps, C pi ). (6) Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

15 Índices de capacidade de processos - O índice C pk Se o processo tiver centrado no ponto médio das especificações, então C pk = C p ; É comum dizer que C p mede a capacidade potencial do processo, enquanto C pk mede sua capacidade efetiva; O índice C pk, ao contrário de C p, pode produzir valores negativos; Vale destacar que, caso o processo tenha apenas um limite de especificação (inferior ou superior), então C pi (ou C ps ) pode ser usado, isoladamente, como índice de capacidade. Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

16 Índices de capacidade de processos - O índice C pk Exercício 3 Retome o Exercício 1. Calcule o valor de C pk para cada um dos itens b-e. Avalie os resultados. Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

17 Índices de capacidade de processos Cpk = 1 Cpk = 2 Cpk = Processo 1 Processo 2 Processo 3 Cpk = 1 Cpk = 0 Cpk = 1 Processo 4 Processo 5 Processo 6 Figura 4: Ilustração de C pk para diferentes processos Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

18 Índices de capacidade de processos - O índice C pm Um índice de capacidade alternativo, que incorpora o desvio da média do processo ao centro da faixa de especificação, é definido por: C pm =, (7) 6τ em que τ é a raiz quadrada dos desvio quadrático esperado em relação a T, ao valor alvo da produção: de tal forma que: τ 2 = E [ (X T ) 2] = σ 2 + (µ T ) 2, (8) C pm = 6 σ. (9) 2 + (µ T ) 2 Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

19 Índices de capacidade de processos - O índice C pm Exercício 4 Considere dois processos A e B, tais que X A N(µ A = 50, σ A = 5) e X B N(µ B = 57.5, σ B = 2.5). Os limites de especificação são = 35 e = 65 para ambos. Calcule C p, C pk e C pm para os processos A e B. Compare e discuta os resultados. Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

20 Índices de capacidade de processos - O índice C pm Cpm = 1 Cpm = 2 Cpm = Processo 1 Processo 2 Processo 3 Cpm = 1 Cpm = 16 Cpm = 64 Processo 4 Processo 5 Processo 6 Figura 5: Ilustração de C pm para diferentes processos Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

21 Índices de capacidade de processos Há diferentes critérios apresentados na literatura, e aplicados na prática, para classificação dos processos segundo suas capacidades. Uma classificação frequentemente utilizada, aplicada a processos centrados no ponto médio da faixa de especificação, estabelece que: Tabela 2: Especificação bilateral, processo centrado e com distribuição Normal Itens fora das especificações Classificação Valor de C p (em ppm) Capaz C p > 1, Razoavelmente capaz 1 C p 1, 33 Entre 70 e Incapaz C p < 1 Acima de Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

22 Índices de capacidade de processos - Estimação Em geral, o desvio padrão do processo é desconhecido, podendo ser estimado por uma amostra selecionada do processo sob controle, com base na média e no desvio padrão amostrais. É comum também utilizar dados da fase 1 de um gráfico de controle para estimar σ. Nesse caso: Assim, C p fica estimado por: ˆσ = R d 2 ou ˆσ = s c 4. (10) Ĉ p =. (11) 6ˆσ Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

23 Índices de capacidade de processos - Estimação A fim de incorporar à estimativa o erro inerente ao processo de amostragem, podemos apresentar intervalos de confiança para a capaciadade do processo; Um intervalo de confiança 100(1 α)% para C p é definido por: em que Ĉ p χ 2 1 α/2;n 1 n 1 C p Ĉ p χ 2 α/2;n 1 n 1, (12) Ĉ p =, s = 1 n (x i x) 6s n 1 2 (13) i=1 e χ 2 α;n 1 é o quantil α da distribuição qui-quadrado com n 1 graus de liberdade. Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

24 Índices de capacidade de processos - Estimação Para C pk, um intervalo de confiança (aproximada) 100(1 α)% tem limites: Ĉ pk [ 1 1 z 1 α/2 + 9nĈ pk [ Ĉ pk 1 + z 1 α/2 1 9nĈ pk + ] 1 C pk 2(n 1) 1 ] (14) 2(n 1) Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25

25 Índices de capacidade de processos - Não normalidade Nenhum dos índices apresentados até o momento se aplica a dados sem distribuição Normal. Nesses casos, podemos recorrer, novamente, à transformação dos dados visando alcançar normalidade, ou usar algumas construções mais gerais de índices. Uma alternativa seria definir a capacidade do processo com base nos quantis amostrais (ou de algum outro modelo probabilístico de referência): C pq = x 0,99865 x 0,00135, (15) sendo x q o quantil amostral de ordem q (ou obtido a partir de algum modelo paramétrico mais adequado). Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 20 de abril, / 25