Controle Estatístico de Qualidade. Capítulo 7 (montgomery)

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1 Controle Estatístico de Qualidade Capítulo 7 (montgomery)

2 Capacidade do Processo Introdução Cartas de Controle Instrumento de monitoramento e detecção de desvios na estabilidade do processo Considerando que através das cartas de controle tenhamos um processo estável durante longos períodos de tempo, a seguinte questão precisa ser respondida: O processo atende de forma eficiente os requisitos impostos ao produto?

3 Capacidade do Processo Introdução No contexto do CEP, os estudos de capacidade do processo destinam-se a responder esta questão. É importante ressaltar que eficiência deve ser entendido como baixo nível de não-conformidades. Os índices de capacidade do processo são parâmetros adimensionais que indiretamente medem o quanto o processo consegue atender às especificações.

4 Capacidade do Processo Considerações Importantes O uso dos índices de capacidade não tem sentido se os dados analisados forem provenientes de um processo fora de controle Motivo: os índices são parâmetros da distribuição estacionária da característica da qualidade em estudo. Se o processo estiver fora de controle essa distribuição não será sempre a mesma, logo não saberemos o que estaremos estimando a partir dos dados. Assim, devemos primeiro examinar o comportamento das cartas de controle. Uma vez evidenciada a condição de controle, o estudo de capacidade pode ser conduzido

5 Capacidade do Processo Considerações Importantes É costume tomar como medida de capacidade de um processo a dispersão 6-sigma na distribuição da característica da qualidade LNT = µ ± 3σ Se os dados são provenientes de uma distribuição normal, os LNT incluem 99,73% da variável. Os LNT expressam a tolerância natural do processo

6 Capacidade do Processo Histograma ou QQ Plot Através do histograma é possível: Verificar a forma da característica da qualidade em estudo Estimar a capacidade independentemente de termos a informação sobre as especificações do produto. Exemplo

7 Capacidade do Processo Histograma Exemplo x S = 9.94 = Histogram Normal LSNT LINT = = % dentro das conformidades Frequency Mean 9.94 StDev N 30

8 Capacidade do Processo Histograma ou QQ Plot Através do QQ Plot é possível: Verificar a normalidade da característica da qualidade em estudo Exemplo

9 Capacidade do Processo QQ Plot Probability Plot Normal Mean 9.94 StDev N 30 KS P-Value > Percent

10 Capacidade do Processo Razões da Capacidade do Processo No entanto, convém termos uma forma simples e quantitativa de expressar a capacidade de um processo. Tal forma foi introduzida por Juran (1974), chamando-a de razão da capacidade de um processo (RCP) C p C p = LSE LIE 6σ onde LIE/LSE são os limites de especificação

11 Capacidade do Processo Razões da Capacidade do Processo Em aplicações práticas, σ precisa ser estimado. Isso resulta em uma estimativa para C p dada por ˆ C p = LSE LIE 6σˆ Note que o índice C p relaciona a tolerância especificada com a tolerância natural do processo. Assim, C p < 1, TN é maior que TE (preocupante) C p = 1, TN é igual TE (precisa melhorar) C p > 1, TN é menor que TE (desejável) Tolerância especificada (TE) Tolerância natural (TN)

12 Razões da Capacidade do Processo - C p Exemplo Anel de Pistão Limites de Especificação 74.00mm ± 0.05mm Do gráfico R, estimamos R ˆ σ = = 0,0099 d Logo, C p > 1 (desejável) ˆ LSE LIE 74,05 73,95 = = 1,68 6 ˆ σ 6(0,0099) = C p 2

13 Razões da Capacidade do Processo - C p Outra interpretação útil obtida a partir de C p é a percentagem da faixa de especificação utilizada pelo processo (P) P p 1 = 100 C p Do exemplo de anéis de pistão, temos que P p = 1 1, = 59,5%

14 Razões da Capacidade do Processo - C p Vimos que a razão da capacidade do processo mede a habilidade do processo de produzir produtos que atendam as especificações. A seguir, apresentaremos diversos valores de C p juntamente com o número de peças defeituosas ou unidades não-conformes do produto por milhão (ppm). Tais quantidades foram obtidas com base nas seguintes suposições importantíssimas: A característica da qualidade tem distribuição normal O processo está sob controle estatístico A média do processo está centrada entre os limites de especificação superior e inferior.

15 Razões da Capacidade do ppm ppm > Processo - C p < LIE = Φ LIE µ 10 σ LSE µ LSE = 1 Φ 10 σ 6 6 Valores da Razão da Capacidade do Processo (Cp) e Falhas Associadas (ppm) para um Processo Normalmente Distribuído que está sob Controle Estatístico Falhas no processo (ppm) Cp Esp. Unilaterais Esp. Bilaterais 0, , , , , , , , , , , , , ,70 0,17 0,34 1,80 0,03 0,06 2,00 0,0009 0,0018 Fonte: Montgomery

16 Razões da Capacidade do Processo - C p Para ilustrar a tabela anterior, temos que C p = 1, implica em ppm C p = 1,50 implica em uma taxa de apenas 4 ppm No exemplo do anel de pistão, C p = 1,68 1,70. Isso implica em 0,34 ppm, ou seja, o processo encontra-se bem calibrado.

17 Razões da Capacidade do Processo - C p Considerações Importantes As suposições citadas anteriormente são críticas para precisão e validade dos valores reportados. Somerville e Montgomery (1996) investigaram o impacto da não-normalidade nos valores apresentados na tabela. A estabilidade ou controle estatístico do processo é essencial para uma interpretação correta de qualquer RCP. Montgomery comenta que é bastante comum se calcular uma RCP sem levar em conta se o processo está sob controle.

18 Razões da Capacidade do Processo - C p Considerações Importantes Além disso, é importante ter em mente que calculamos uma estimativa da RCP, estando sujeito a erros na estimação Logo, um intervalo de confiança pode dar uma boa ideia do erro que podemos estar cometendo. Posteriormente, iremos discutir sobre intervalos de confiança para RCP.

19 O Índice C pk Razão de Capacidade para um Processo Descentrado Note que o índice C p não leva em conta a localização da média do processo com relação aos limites de especificação. Kane (1986) propõe uma medida (C pk ) que penaliza desvios da média do processo em relação a posição central ( ótima ), sendo definido por:

20 O Índice C pk Razão de Capacidade para um Processo Descentrado onde: C ps C = pk = LSE µ 3σ min( C ps, C pi ) µ LIE C pi = 3σ

21 O Índice C pk Razão de Capacidade para um Processo Descentrado Se C p = C pk o processo está centrado no ponto médio das especificações. Quando C pk < C p o processo está descentrado A diferença entre C p e C pk é uma medida direta de quão fora do centro o processo está operando. Além disso, através da tabela apresentada anteriormente, pode-se obter uma estimativa rápida da melhoria potencial caso o processo estivesse centralizado. Por isso, costuma-se dizer que Cp mede a capacidade potencial no processo, enquanto Cpk mede a capacidade efetiva.

22 Cp versus Cpk

23 O Índice C pm Razão de Capacidade para um Processo Descentrado Vimos que o índice C p não leva em conta a localização da média do processo com relação aos limites de especificação. Analisar apenas o C pk também não é uma boa estratégia. Por si só, C pk ainda não é uma medida adequada de centralização do processo. O melhor é interpretar conjuntamente C pk e C p.

24 O Índice C pm C pk depende inversamente de σ e aumenta quando σ tende a zero Tal situação pode tornar C pk inadequado como medida de centralização. Um grande valor de C pk nada nos diz sobre a localização da média. Processo A C pk =C p =1,0 Processo B C p =2,0>C pk =1,0

25 O Índice C pm Razão de Capacidade para um Processo Descentrado Chan et al. (1988) propõe um novo índice, chamado de C pm, que visa contornar esses problemas C pm = LSE LIE 6 E( X T 2 ) onde T = (LSE + LIE)/2. Note que, no denominador, temos o desvio quadrático esperado em relação ao valor alvo.

26 O Índice C pm Razão de Capacidade para um Processo Descentrado O índice C pm pode ser estimado por onde Cˆ pm = Cˆ p 1+ V 2, V = x T S.

27 O Índice C pm Razão de Capacidade para um Processo Descentrado Boyles (1991) elaborou uma análise detalhada sobre esse índice. Dentre alguns resultados importantes, podemos citar: C pm = C pk = C p, quando µ = T C pm tende a zero, quando µ - T

28 Intervalos de Confiança e Teste de Hipóteses para RCP s É importante lembrar que na prática trabalhamos com estimativas pontuais de C p e C pk e, como tal, estão sujeitas à flutuações estatísticas. Em outras palavras, um índice de capacidade do processo está sujeito a erro estatístico. Logo, para visualizarmos a precisão dessa estimativa devemos utilizar intervalos de confiança (IC). Se a característica da qualidade segue distribuição normal, então podemos obter um IC de nível (1-α)% para C p a partir de

29 Intervalos de Confiança e Teste de Hipóteses para RCP s Intervalo de Confiança para C p Cˆ p. χ α / 2, n 1 ˆ χ / 2, n 1 C p C p. α n 1 n 1 Exemplo: LSE = 62, LIE = 38, n = 20 e S = 1,75 ˆ C 2,29 6(1,75) = p = Seja α = 5%, temos que 2 2 χ0.975,19 χ0.025,19 IC(95%) = 2,29. C p 2,29. = 1,57 C p ,01

30 Intervalos de Confiança e Teste de Hipóteses para RCP s Intervalo de Confiança para C p Note que o IC é relativamente amplo, indicando que a estimativa de C p pode estar sujeita a um erro de estimativa elevado (baixa precisão) Normalmente, Intervalos de Confiança baseados em pequenas amostras tendem a ser amplos.

31 Intervalos de Confiança e Teste de Hipóteses para RCP s Intervalo de Confiança para C pk Para RCP s mais complicadas como C pk e C pm diversos autores propõem intervalos de confiança aproximados (Zhang et al. (1990), Bissel (1990), Kushler e Hurley (1992), Pearn et al. (1992), entre outros). Se a característica da qualidade segue distribuição normal, apresentamos um IC de nível (1-α)% para C pk Cˆ pk 1 Z α / 2 1 9nCˆ 2 pk + 1 2( n 1) C pk Cˆ pk 1 + Z α / 2 1 9nCˆ 2 pk + 1 2( n 1)

32 Intervalos de Confiança e Teste de Hipóteses para RCP s Intervalo de Confiança para C pk Cˆ pk 1 Z α / 2 1 9nCˆ 2 pk + 1 2( n 1) C pk Cˆ pk 1 + Z α / 2 1 9nCˆ 2 pk + 1 2( n 1) Exemplo: C pk = 1,33, n = 20 Seja α = 5%, temos que IC( 95%) 0,99 C 1,67 = pk Trata-se de um IC extremamente amplo e não-informativo, visto que o valor de C pk tanto pode ser inferior a 1 (situação ruim) como pode ser igual a 1,67 (situação excelente). Isso se deve ao pequeno tamanho de amostra utilizado.

33 RCP Uso de Gráficos de Controle O cálculo e a análise dos índices RCP s só faz sentido quando o processo está sob controle. Logo, a análise dos gráficos de controle são de vital importância para correta interpretação de C p, C pk ou C pm.

34 Considerações Finais Índices de capacidade são muito sensíveis à mudanças na distribuição estacionária. Se ela não for normal, a interpretação dos índices com base nos valores de referência perde a consistência. Um índice de capacidade é um parâmetro do processo cujo valor é estimado através de estatísticas O uso de intervalos de confiança pode ajudar a ter uma ideia do erro de estimação que podemos estar cometendo

35 Exercício Um processo normalmente distribuído tem especificações LIE=75 e LSE=85. Uma amostra de 25 partes indica que o processo está centrado no meio da faixa de especificação e o desvio padrão é S=1,5. a) Determine uma estimativa pontual para o C p. O processo é eficiente? b) Determine um intervalo de confiança de 95% para C p. Comente sobre a amplitude do intervalo.

36 Exercício Um processo está sob controle com X = 100, S = 1,05 e n = 5. As especificações do processo são 95 ± 8. A característica da qualidade tem distribuição normal. a) Estime a capacidade potencial. b) Estime a capacidade efetiva. c) De quanto se reduziria a falha do processo se ele fosse corrigido de modo a operar na especificação nominal?

37 Exercício Suponha uma característica da qualidade tenha distribuição normal com limites de especificação em LSE=100 e LIE=90. Uma amostra aleatória de 30 partes resulta em X = 100 e S = 1,6. a) Calcule uma estimativa pontual para C pk. b) Calcule uma estimativa pontual para C pm. c) Encontre um intervalo de confiança de 95% para C pk.