Seleção de variáveis categóricas utilizando análise de correspondência e análise procrustes

Transcrição

1 Acta Scientiarum (4):86-868, 999. ISSN Seleção de variáveis categóricas utilizando análise de corresondência e análise rocrustes Terezinha Aarecida Guedes*, Ivan Ludgero Ivanqui, Ana Beatriz Tozzo Martins e Etelvina Barreto Rodrigues Cochia Deartamento de Estatística, Universidade Estadual de Maringá, Av. Colombo, 5790, , Maringá-Paraná, Brazil. *Author for corresondence. taguedes@maringa.com.br e ilivanqui@uem.br RESUMO. A análise de corresondência é uma técnica da análise multivariada (em articular, um método de análise fatorial ara variáveis categóricas) que ermite obter uma reresentação gráfica através da distribuição dos scores das categorias de linhas e/ou colunas em um sistema de coordenadas. Krzanowski (987) aresentou uma metodologia que combina a análise de comonentes rinciais e a análise rocrustes ara determinar o quanto o novo subconjunto de variáveis reresenta a estrutura dos dados originais Esse trabalho tem como objetivo roor um rocedimento que alica a análise rocrustes combinada com a análise de corresondência ara encontrar um ranking de imortância ara as colunas (atributos) de uma tabela de contingência. Esse rocedimento foi alicado num exemlo de Krzanowski(993) e algumas conclusões quanto ao comortamento do rocedimento são aresentadas. Palavras-chave: análise rocrustes, análise de corresondência, seleção de variáveis. ABSTRACT. Selection of categorical variables using corresondence and rocrustes analysis. Corresondence analysis is a technique of multivaried analysis (articularly, a method of factorial analysis to categorical variables) that allows us to obtain a grahic reresentation through the distribution of the scores from the categories of lines and/or columns in a system of coordinates. Krzanowski (987) resented a methodology that combines the analysis of rincial comonents with rocrustes analysis to determine how much the new subset of variables reresents the structure of the original data. The aim of this study is to roose a rocedure that alies to the rocrustes analysis combined with the corresondence analysis to find a rank of imortance to the columns (variables) of a contingency table. That rocedure has been alied according to an examle by Krzanowski (993). Some conclusions are resented about the behavior of the rocedure. Key words: rocrustes analysis, corresondence analysis, selection of variables. A análise de corresondência é uma técnica descritiva/exloratória da análise multivariada, que ermite obter uma reresentação gráfica multidimensional da deendência entre as linhas e/ou colunas de uma tabela de contingência de duas entradas, onde as linhas e as colunas reresentam categorias, modalidades, de variáveis categóricas. Análise de corresondência é um método de análise fatorial ara variáveis categóricas, isto é, não contínuas ou discretizadas. A reresentação gráfica é obtida ela distribuição de scores das categorias de linhas e colunas e marcando estas categorias como ontos, onde os scores são utilizados como as coordenadas destes ontos. Nessa análise, uma decomosição dos dados é obtida ara se estudar a estrutura dos dados sem que um modelo seja hiotetizado ou que uma distribuição de robabilidade tenha sido assumida. O objetivo rincial é a reresentação ótima da estrutura dos dados observados. Assim sendo, as conclusões obtidas não odem ser generalizadas ara a oulação, embora venha sendo feito na rática. Outro asecto, discutido or Von der Heizden et al. (989), é que a análise de corresondência, geralmente, é introduzida sem qualquer tratamento estatístico révio, ara dados categóricos, o que rova sua utilidade e flexibilidade. Entretanto, é aconselhável em uma análise de corresondência realizar um estudo reliminar através das marginais categóricas, diagramas de barra, or exemlo, ois a rória marginal ode revelar ausência de inércia ou riqueza de variabilidade que deveriam ser exloradas,

2 86 Guedes et al. semre que a freqüência de uma das modalidades suere as demais que aresentam freqüências insignificantes. Considere uma tabela de duas entradas, em que as linhas são os agruamentos das unidades amostrais, as colunas são as categorias ou modalidades das variáveis de interesse e as entradas são as freqüências das variáveis observadas ara cada uma das unidades amostrais do agruamento. O interesse nessa análise de dados é determinar se as categorias agruadas (linhas da tabela) odem ser distinguidas de cada outra com base nas variáveis observadas (colunas da tabela). Aós ter sido estabelecida as diferenças entre as linhas da tabela, freqüentemente é de interesse determinar quais das variáveis medidas são resonsáveis or essas diferenças, ou seja, quais das variáveis são imortantes e quais são ignoráveis. Tal informação ode ser de grande valor ara o entendimento do sistema ou ara investigações futuras. Para a seleção de variáveis, existem vários métodos. A seleção de variáveis, ara variáveis contínuas, já foi exlorado or vários autores. Jolliffe (97 e 973) utiliza duas variações do método do coeficiente de correlações múltilas, quatro variações de comonentes rinciais e duas de análise de cluster. Os métodos foram testados ara vários conjuntos de dados artificiais e reais e nenhum se aresentou suerior aos outros. Pack e Jolliffe (99) introduziram os conceitos de influência ara investigar as mudanças na análise de corresondência quando uma única observação é adicionada, quando uma linha inteira é adicionada e quando uma linha inteira é retirada do conjunto de dados. A redução da dimensão do conjunto de variáveis envolve distorções no relacionamento entre amostras, que odem ser medidas entre as semelhanças originais e as semelhanças no esaço reduzido. Essas medidas odem ser obtidas, rincialmente, or meio da análise rocrustes, conforme aresentada nos artigos de Krzanowski (987, 993) e Guedes e Ivanqui (998). Para enfatizar as diferenças numa tabela de contingência, Krzanowski (993) sugeriu a utilização da análise rocrustes na identificação de quais colunas ou variáveis do conjunto que mais contribuem. Nessa análise, rocura-se o subconjunto de variáveis que melhor reresente a estrutura das variáveis originais medindo a imortância de cada variável. As análises, acima roostas, envolvem a utilização de comlicados algoritmos comutacionais, requerendo o conhecimento de uma linguagem comutacional ara a elaboração de uma rotina que solucione o roblema. Nesse trabalho, será dado ênfase ao asecto comutacional da alicação da análise rocrustes ara a criação de um ranking de imortância ara as colunas (variáveis) de uma tabela de contingência na análise de corresondência. Será utilizado um exemlo, retirado de Krzanowski (993), e será aresentado um algoritmo ara a solução através do rograma estatístico SAS. Asecto teórico da análise de corresondência A análise de corresondência é realizada sobre uma matriz de robabilidades ou freqüências relativas determinada a artir de uma matriz de dados, não negativos, ou tabela de contingência. A reresentação multidimensional da deendência entre as linhas e colunas da tabela é obtida distribuindo scores ara as categorias das linhas e colunas e utilizando as categorias como ontos, onde os scores são utilizados como coordenadas desses ontos. Esses scores devem ser normalizados de tal forma que as distâncias entre ontos linhas e/ou ontos colunas no esaço Euclidiano sejam iguais a distância chamada qui-quadrado. Considere uma tabela de contingência de duas entradas, N IxJ = (n ij ), i =,..., I e j =,..., J, descrevendo uma nuvem de ontos de dimensão IxJ. Seja = I J n n ij a freqüência total absoluta. As i= j= freqüências absolutas n ij devem ser transformadas em robabilidades ou freqüências relativas da seguinte forma: ij = n ij, e a nova matriz, chamada matriz n de corresondência, será denotada or: P IxJ = ( ij ), i =,..., I e j =,..., J, cujas robabilidades marginais são calculadas or: i. = ij e j. j = ij. i A artir das robabilidades e das robabilidades marginais é ossível definir, sobre R J, as características de cada onto linha na nuvem de ontos, situação que é dada elos seguintes elementos: erfil da linha i = ij, j=,..., J, e i. massa = i.. Observe que o erfil da linha é a robabilidade condicional (j/i) e o erfil médio da linha é

3 Seleção de variáveis categóricas 863 equivalente à robabilidade marginal da matriz de freqüências P IxJ onde ij erfil médio da linha = =.j. i i. Em R I, cada onto da coluna vem definido elos seguintes elementos: ij erfil da coluna j =, i=,..., I, emassa =.j, erfil médio da coluna = j.j ij = i.. A massa de uma linha ou coluna deve ser entendida como a imortância relativa da linha ou coluna, resectivamente, dentro da tabela de dados e serve ara atenuar a reonderância de alguma linha ou coluna e também ara identificar cada modalidade quanto à sua imortância relativa. As distâncias qui-quadrado odem ser calculadas entre linhas bem como entre colunas. Serão consideradas as distâncias qui-quadrado entre linhas que serão calculadas dos erfis das linhas da matriz. A distância qui-quadrado entre os erfis das linhas i e i é definida or: ij i j χ ' = (i,i ) (.) j.j i. ' i. Na equação (.), o termo /. j tem a função de diminuir a influência das colunas que têm grandes erfis marginais. A configuração dos I ontos linha fica localizada em um esaço Euclidiano de dimensão (I-). Neste esaço, as coordenadas de N são utilizadas de forma que d (x i, x i ) = χ '. Os (i,i ) erfis das colunas sendo o erfil médio da linha é a média onderada dos ontos linha, onde as marginais das linhas são utilizadas como esos. Esta média onderada está situada na origem. Como a análise de corresondência é simétrica no sentido de resultados similares ara linhas e colunas, as distâncias acima odem ser calculadas em termos das colunas da matriz. Para testar a indeendência entre linhas e colunas da tabela, a estatística de teste χ é calculada or: ( n ) χ ij ni..j = (.) i j ni.. j A Equação (.) ode ser reescrita como: '. j (.3) onde D i. é chamada distância χ (qui-quadrado) entre o i-ésimo erfil da linha e o erfil médio da linha. Assim sendo, χ /n é uma soma onderada das distâncias qui-quadrado. Nos casos em que linhas e colunas são indeendentes, o valor de χ /n será equeno e, conseqüentemente, os valores de i. D i. também serão. Entretanto, quando existir associação significativa entre linhas e colunas, alguns dos valores i. D i. serão grandes, incluindo a arte da tabela que é resonsável ela não indeendência. Como já foi discutido, a análise de corresondência é um meio de se criar configurações reresentando as linhas da tabela or ontos no esaço, tal que a distância Euclidiana entre os ontos na configuração seja igual a distância qui-quadrado calculada entre as linhas da tabela. A equação (.3) tem um dual em termos das distâncias D entre as colunas, e isto leva a uma reresentação dual das colunas or ontos. Em uma análise de corresondência comleta é necessário construir ambas as configurações, reresentando linhas e colunas. As coordenadas dos ontos nas reresentações odem ser obtidas como segue. Considere as matrizes N IxJ e P IxJ definidas no início desta seção. Seja D l e D c matrizes diagonais cujas entradas são, resectivamente, as roorções marginais das linhas i. e colunas.j, assumindo que i. >0 e.j >0. Seja K = D l tt t D c, onde t é um vetor unitário cuja dimensão vai deender das circunstâncias. Fazse, então, a decomosição em valores singulares da matriz / / E = D l (P K) D c.(.4) Os elementos dessa matriz são roorcionais aos resíduos adronizados e têm a forma: e = ( ) / i =,..., I e j =,..., J ij ij i. j. i..j e odem ser decomostos como: / / t E = D l (P K)D c = UΛV (.5) onde U t U= I = V t V e Λ é a matriz diagonal cujos elementos são os valores singulares λ. j k, em ordem decrescente, de tal forma que λ k são os autovalores de E t E ou de EE t e as colunas u k de U e v k de V são os autovetores corresondentes de EE t e E t E, resectivamente. Quando for definido que D min (I-, J-) U será de ordem IxD, V é de ordem JxD e Λ de ordem DxD e é não-singular. Os valores

4 864 Guedes et al. das linhas e colunas odem ser normalizados como segue: / L = Dl U (.6) e / C = D V c. (.7) Assim, L t D l L = I = C t D c C e reflete o fato de que as somas das linhas e colunas de (P-K) desaarecem; t t D l L = 0 = t t D c C, isto é, os scores das linhas e os scores das colunas são não correlacionadas, enquanto que ara cada dimensão, ambos os scores têm média zero e variância unitária. A relação entre os ontos linhas e os ontos colunas é esecificada ela fórmula de transição: L ~ = t D P C = LΛ e l (.8) C ~ = t D P L = CΛ c, (.9) resectivamente. Das relações (.8) e (.9) ode-se observar que os ontos das linhas L ~ são médias onderadas dos ontos da colunas C, enquanto os ontos das colunas C ~ são médias onderadas dos ontos das linhas L. Quando a matriz L ~ é utilizada como as coordenadas dos ontos das linhas e a matriz C ~ como as coordenadas dos ontos das colunas, as distâncias entre os ontos das linhas e as distâncias entre os ontos das colunas são as distâncias quiquadrado como na fórmula (.) e seu dual ara as colunas. As equações (.8) e (.9) são utilizadas ara interretar as distâncias entre linhas e colunas. Nos casos em que um erfil linha é igual ao erfil médio da linha, a equação (.8) mostra que o onto linha será a média onderada das colunas, isto é, a origem. Se ara alguma coluna o valor do erfil for maior que a média, esta coluna atrairá o onto linha em sua direção. Multilicando ambos valores or i., nota-se que quando ij >e ij (o resíduo for ositivo), a linha i será atraída ela coluna j e vice-versa, como é mostrado ela equação (.9). Em geral, quanto maior a diferença ij - e ij, mais róximos i e j estarão. Substituído uma das equações (.6) ou (.7) em (.5), obtêm-se P = K+ D l LΛC t D c = D l (II t + LΛC t )D c (.0) que é conhecida como fórmula de reconstituição. A equação (.0) mostra que a análise de corresondência decomõe o afastamento da indeendência na matriz P. Assim sendo, a análise de corresondência só tem sentido quando os resíduos não são meramente resultantes da variação aleatória da indeendência. Na rática, freqüentemente, isso não é verificado. Para tal verificação, a equação (.) ode ser utilizada. A relação entre o qui-quadrado e os valores singulares ao quadrado, em Λ, segue de (.5) e (.), como sendo: traço (Λ ) = χ /n. Essa equação mostra que a análise de corresondência decomõe o valor χ ara testar a indeendência na matriz. Da equação (.8) ode-se observar que a coordenada do onto linha i sobre o k-ésimo eixo coordenado é dada or λ kuik / i., e de (.9) que a coordenada do onto coluna j sobre o k-ésimo eixo é dada or λ k u jk /. j. Uma reresentação comleta requer elo menos min(i-, J-) dimensões. Assim, esta configuração é relativa aos seus eixos rinciais e a melhor aroximação m- dimensional é dada tomando as coordenadas corresondentes aos m maiores λ k. Uma medida do goodness of fit desta aroximação é dada ela soma do m traço de Λ= λ k, chamada inércia total do k= sistema. Portanto, rocura-se um subesaço L de baixa dimensão que assa através do centro de gravidade da nuvem de ontos, isto é, o seu erfil médio, e que maximiza a inércia de N IxJ aralela a L. A determinação do número de eixos envolve um comlexo critério matemático, mas Benzecri (99) (aud Micheloud (997)) sugere que este número deve ser fixado ela sua caacidade de dar uma interretação significativa ara cada um dos eixos tomados. Desta forma, a análise de corresondência ode ser entendida como um simles modelo de indeendência como sugere Van der Heijden et al. (989) e como uma forma de maear a disersão dos resultados entre as categorias de linhas e categorias de coluna. Reresentação gráfica e interretação Para uma linha i qualquer, assando através do centro de gravidade da nuvem de ontos, é ossível decomor a inércia total da nuvem na soma da inércia aralela, rojetada sobre a linha i, e da inércia erendicular a esta linha. O rimeiro eixo é a linha i ara a qual a inércia aralela é máxima. O segundo eixo é, entre todas as linhas ortogonais a i, a linha ara a qual a disersão (inércia) rojetada da nuvem ortogonalmente comlementar a i é a maior. Assim, indo asso a asso, é ossível extrair todos os eixos

5 Seleção de variáveis categóricas 865 que formam o novo conjunto de eixos ortogonais que descrevem totalmente a nuvem de ontos. Estes eixos são chamados eixos rinciais da inércia e são obtidos ela equação (.8), considerando a ordem decrescente dos autovalores. º eixo º eixo Observe na figura acima a nuvem de ontos que foi rojetada sobre um subesaço L bidimensional assando elo seu centro de gravidade. A rojeção da nuvem fornece uma reresentação aroximada da mesma. O conceito de distância qui-quadrado é utilizado na interretação da configuração dos ontos. Quando duas linhas estão róximas, seus erfis devem ser similares e estas linhas estão relacionadas aroximadamente e da mesma forma ara as colunas. Quando duas linhas estão distantes, elas estão relacionadas de modo diferente e o mesmo ocorre com as colunas. Quando um onto linha está róximo do centro, seu erfil é similar ao erfil da coluna. Quando dois ontos linhas estão em direções oostas do centro, eles desviam em oosição aos erfis das colunas. Asecto teórico da análise rocrustes Como já foi discutido, aós a análise, surge uma questão de grande interesse: qual (ou quais) das categorias, ou colunas da matriz, do conjunto contribuem mais ara as diferenças entre amostras (linhas da tabela)? Uma questão similar a esta está no contexto de comonentes rinciais e foi resondida or Jolliffe (97 e 973), utilizando análise de cluster e or Krzanowski (987), seguindo a utilização de análise rocrustes. No contexto da análise de corresondência, devido à grande afinidade matemática entre análise de corresondência e comonentes rinciais, Krzanowski (993) sugeriu a utilização de análise rocrustes, e roôs uma medida rocrusteana da imortância de cada variável. Para detalhes sobre análise rocrustes, ver Krzanowski (987 e 993) e Guedes e Ivanqui (998). Da análise de corresondência inicial, a configuração (gráfico) das linhas, obtida de todos os dados, é considerada como a configuração de referência na análise rocrustes. As coordenadas dessa configuração são as obtidas como aresentado na Seção. Para roceder à análise rocrustes, cada coluna da matriz de dados N é omitida, uma de cada vez, e uma nova configuração de linhas é obtida ara o novo conjunto de dados. A retirada de colunas de N imlica que as roorções ij e, ortanto, os valores e ij devem ser redefinidos, mas o rocedimento é exatamente igual ao anterior. Cada uma das novas configurações linhas é comarada com a configuração de referência or translação, rotação e reflexão e a soma de quadrado residual rocrustes M é calculada. O conjunto resultante de valores M aresenta um ranking da imortância de cada coluna. Krzanowski (993) aonta dois ontos que devem ser considerados na alicação dessa análise no contexto de análise de corresondência. Primeiro, em geral, uma mudança substancial no adrão de entrada da matriz original é eserada quando as colunas são retiradas. Desta forma, n decrescerá uma quantidade considerável no decorrer da análise e os i. estarão sujeitos a grandes mudanças. Segundo, na análise de corresondência massas ou esos são atribuídos ara cada onto da configuração. O i-ésimo onto, isto é, a linha, tem massa i., e isto leva ao argumento de que no cálculo de M é mais aroriado minimizar uma soma de quadrado onderada, ou seja, é mais fácil tolerar um erro na osição de um onto com ouca massa que de um onto com muita massa. Porém, não é muito claro decidir que eso será aroriado, ois as massas das linhas mudarão toda vez que uma coluna da tabela for retirada. Krzanowski (993) sugere que sejam utilizadas como esos as massas i. calculadas da tabela comleta. Assim, cada linha de N e da matriz cuja linha foi retirada Y, será onderada ela massa i., calculada de N e M e será calculado como o mínimo de: M = min { traço [D(N-Y)(N-Y) T ]}, onde D=diag (.,.,..., I. ). Estes dois ontos colocados or Krzanowski (993) não estão totalmente claros, assim sendo, várias ermutações de esos e escalonamento deverão ser testados em qualquer situação. Na utilização de M como um critério ara determinar a imortância das colunas, a seleção das q colunas que fazem a distinção das linhas da tabela, não é simlesmente escolher as q colunas que aresentam as maiores M. Isto ocorre orque cada um desses valores mede a imortância de uma coluna articular na resença de todas as outras, e se

6 866 Guedes et al. uma ou mais destas são omitidas, então M ode sofrer grandes mudanças. A solução ideal ara a seleção das melhores q colunas é calcular M entre a configuração nova e a configuração de referência ara cada escolha ossível de q colunas e, então, selecionar as q colunas que corresondem aos menores valores de M. Isto, orém, requer um trabalho comutacional muito grande. Para facilitar, o algoritmo de eliminação backward ode ser adotado da seguinte forma: retire a coluna que roduz o menor valor M e recalcule o valor de M ara as colunas restantes, reetindo este rocedimento até que somente q colunas ermaneçam. Não é necessário fixar reviamente o valor de q. Pode-se continuar retirando colunas até que um valor razoável ara M seja encontrado. Asectos comutacionais da análise de corresondência utilizando a análise rocrustes A análise deve ser realizada utilizando o rocedimento PROC CORRESP do rograma estatístico SAS ara a análise de corresondência e o módulo IML, também do SAS, ara o cálculo de M. Na imlementação do rocedimento de eliminação de colunas ou atributos de variáveis categóricas com base em M, Krzanowski (993) sugere que se utilize tantas colunas ara reresentar a configuração inicial ou de referência quantos forem os eixos rinciais na análise de corresondência necessários ara acumular elo menos 80% da variabilidade total. Nesse trabalho, notou-se que, utilizando o ranking formado elos valores de quiquadrado, calculados na análise de corresondência ara o conjunto com todas as colunas, e a sugestão de Krzanowski (993), chega-se ao melhor subconjunto reresentativo raidamente, seguindo os assos descritos a seguir: º Passo - Realizar uma análise de comonentes rinciais e observar quantos eixos rinciais são necessários ara acumular elo menos 80% da variabilidade total. º Passo - Realizar a análise de corresondência ara o conjunto comleto. - Construir o gráfico da dimxdim, obtendo assim a configuração de referência. - Classificar as colunas or ordem crescente, segundo a contribuição do qui-quadrado. 3º Passo - Realizar as análises de corresondência retirando as colunas com menor contribuição de qui-quadrado na resença das outras e calcular o valor de M (comarando a configuração de referência com as novas configurações). Dessa análise, formar o ranking de imortância de cada coluna na resença das outras. 4º Passo - Realizar a análise de corresondência retirando as colunas uma a uma conforme o ranking de imortância e ir calculando os valores de M. Parar quando houver uma mudança drástica nesse valor ou até atingir o número de colunas sugeridos no asso, obtendo desta forma o menor conjunto de colunas reresentativo. As colunas que estavam na análise anterior ermanecem no rocesso. Fazer uma análise sensitiva nos valores de M ara as colunas já excluídas neste asso mas com valores de qui-quadrado róximos aos das colunas selecionadas. Decidir elo conjunto de colunas de menor M. 5º Passo - Construir o gráfico dimxdim e comarar com o gráfico da configuração de referência. Alicação - rinciais vantagens ercebidas elos trabalhadores em suas diferentes ocuações Este roblema encontra-se em Lebart et al. (984) (aud Krzanowski (993)) e citado e analisado or Krzanowski (993), no qual foram analisadas as freqüências de 7 características ercebidas como sendo vantagens de seus trabalhos or resondentes agruados em 6 categorias de trabalho. Nesse trabalho, as colunas (vantagens ercebidas) serão denotadas elas letras maiúsculas de A a Q e os tios de trabalhos reresentarão os casos, isto é, as resostas de cada resondente, conforme Tabela e. Tabela. Denotação das colunas A B C D E F G H I J K L M N O P Q Variety Freedom Human contact Schedules Salaries Security Family Life Interesting Near home Good atmoshere Social advantages Own boss I like it Other None Out-doors No answer Alicando o rocedimento roosto ara o roblema, obtém-se os seguintes resultados. No asso, aós a análise de comonentes rinciais, conclui-se que são necessários cinco eixos ara acumular 8,5% da variabilidade total, ou seja, conforme Krzanowski (993), serão necessários elo menos cinco variáveis ara reresentar a

7 Seleção de variáveis categóricas 867 configuração original ou de referência. No asso, realizou-se a análise de corresondência ara o conjunto comleto. Com os valores obtidos ara dim e dim obteve-se a Figura a que reresenta a configuração de referência. A seguir, as variáveis foram ordenadas em ordem crescente, segundo a contribuição ara o qui-quadrado, da seguinte forma: B, F, C, K, O, E, H, D, J, I, P, M, A, L, Q e N. Tabela. Denotação das linhas Farming-fishing Farm-food industry 3 Energy-mines 4 Steel 5 Chemical-glass-oil 6 Wood-aer 7 Auto-Aviation-shiing 8 Textile-leather-shoes 9 Phamaceutical-industries 0 Manufaturing Construtions Food-grossery 3 Small busines 4 Miscellaneous busines 5 Administrative services 6 Telecomunications 7 Social services 8 Health services 9 Teaching-research 0 Transortations Insurance-banking Domestic workers 3 Other services 4 Printing-ublishing 5 Private services 6 No answer Tabela 3. Contribuições ara a estatística qui-quadrado total Variável Qui-quadrado Variável Qui-quadrado B,65 J 3,36 F 6,06 I 3,4 C 8,8 P,60 K 8,8 M,7 O 6,76 A,0 E 6, L,8 H 4,83 Q,69 G 4,6 N,64 D 3,43 No asso 3, foram realizadas as análises de corresondência retirando as colunas (com menor contribuição de qui-quadrado ver Tabela 3), cada uma na resença das outras e calculou-se o valor de M (comarando a configuração de referência com as novas configurações). Dessa análise, foi formado o ranking de imortância, em ordem crescente, de cada coluna na resença das outras, conforme tabela abaixo. No asso 4, foi realizada a análise de corresondência retirando as colunas conforme o ranking de imortância, dado na Tabela 4, e calculouse os valores de M, conforme Tabela 5. Tabela 4. Ranking das colunas que saem na resença das demais, segundo os M em ordem crescente (decrescente em imortância) Variáveis M Ranking N 0,003 7 o Q 0, o L 0,0005 o A 0, o M 0, o P 0,00007 o I 0, o J 0, o D 0,00434 o G 0,00485 o H 0,003 8 o E 0, o O 0, o Tabela 5. Valores de M ara os subconjuntos de colunas Colunas M A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, Q 0,00007 A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, M, N, O, Q 0,00038 A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, M, N, O 0,0040 A, B, C, D, E, F, G, H, I, K, M, N, O 0,007 B, C, D, E, F, G, H, I, K, M, N, O 0,0074 B, C, D, F, G, H, I, K, M, N, O 0,0076 B, C, D, F, G, H, I, K, M, O 0,064 B, C, D, F, G, I, K, M, O 0,034 B, C, D, F, G, K, M, O 0,0586 B, C, D, F, G, K, O 0,0946 B, C, F, G, K, O a 0,3 B, C, F, K, O b 0,334 B, C, F, K, E c 0,684 B, C, F, K 0,5468 a Conjunto de colunas onde se dá a mudança drástica no valor de M ; b Conjunto das 5 colunas com maiores contribuições no qui-quadrado; c Conjunto das 4 colunas com maiores contribuições no qui-quadrado mais a coluna E, cuja contribuição ara o quiquadrado é equivalente à contribuição da coluna O. Dimensão Dimensão Figura a. Configuração de referência, (conjunto comleto) Dimensão Dimensão Figura b. Configuração com 7 colunas, selecionadas (B, C, D, F, G, K, O) 3 7

8 868 Guedes et al. Dimensão Dimensão Figura c. Configuração com 5 colunas selecionadas (B, C, F, K, O) Dimensão Dimensão Figura d. Configuração com 5 colunas selecionadas (B, C, E, F, K) Através das figuras acima, ode-se observar que as configurações são semelhantes, embora o subconjunto selecionado ara a Figura b não seja arcimonioso. O conjunto escolhido deve ser o que aresenta a Figura d or aresentar um valor de M inferior aos demais. As duas dimensões utilizadas, em cada uma das figuras acima, acumulam 57,67%, 68,63%, 7,59% e 7,79%, resectivamente, da inércia total. Portanto, nota-se uma melhora na contribuição da inércia total. Nessa análise, o conjunto com o menor valor de M (B, C, E, F, K) coincide com o conjunto selecionado or Krzanowski (993). Discussão Nesse trabalho, está sendo aresentado aenas uma alicação dos resultados teóricos, embora outras análises tenham sido conduzidas ara dados simulados. Para os dados aqui analisados, ode-se observar que o subconjunto escolhido, através do critério M em conjunto com a distância qui-quadrado, fornece uma configuração semelhante à configuração inicial conforme aresentado nas Figuras a e d. A coluna E aresenta menos contribuição no valor do qui-quadrado que a coluna O, e também no ranking de imortância foi ior classificada, orém quando substitui-se O or E no subconjunto, o valor de M torna-se menor e este foi o motivo da oção or este conjunto. Vale ressaltar que, embora no ranking a coluna E esteja ior classificada, sua contribuição em conjunto com as colunas B, C, F e K é maior que a contribuição da coluna O. Desta forma, observa-se que o rocedimento roosto é efetivo ara a redução do número de colunas ara um conjunto relativamente equeno, ara o qual o esquisador oderá avaliar equenas mudanças nos valores de qui-quadrado que afetam grandemente o valor do resíduo M e, conseqüentemente, a configuração. Referências bibliográficas Guedes, T.A.; Ivanqui, I.L. Análise rocrustes alicada à seleção de variáveis. Acta Scient., 0(4): , 998. Jolliffe, I.T. Discarding variables in a rincial comonents analysis, I: Artificial data. Al. Statist., :60-73, 97. Jolliffe, I.T. Discarding variables in a rincial comonents analysis, I: Real data. Al. Statist., :- 3, 973. Jolliffe, I.T. Rotation of III-defined rincial comonents. Al. Statist., 38:39-47, 989. Krzanowski, W.J. Selection of variables to reserve multivariate data structure, using rincial comonents. Al. Statist., 36:-33, 987. Krzanowski, W.J. Attribute selection in corresondence analysis of incidence matrices. Al. Statist., 4:59-54, 993. Micheloud, F. Corresondence analysis, (997). Pack, P.; Jolliffe, I.T. Influence in corresondence analysis. Al. Statist., 4: , 99. Van der Heizden, P.G.M.; Falguerolles, A.; Lewm, J. A combined aroach to contingency table analysis using corresondence analysis and log-linear analysis. Al. Statist., 38:49-9, 989. Received on Setember 6, 999. Acceted on November 9, 999.