Um Estudo Teórico para Generalização do Método de Coates a 3D e sua Aplicação em Otimização da Recuperação na Lavra por Câmaras e Pilares

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1 Mecânica das Rochas ara Recursos Naturais e Infraestrutura SBMR 04 Conferência Esecializada ISRM 09-3 Setembro 04 CBMR/ABMS e ISRM, 04 Um Estudo Teórico ara Generalização do Método de Coates a 3D e sua Alicação em Otimização da Recueração na Lavra or Câmaras e Pilares Henrique Hermano de Oliveira Lara Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, Brasil, henriquelara8@yahoo.com.br Rodrigo Peluci de Figueiredo Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, Brasil, rfigueiredo@yahoo.com.br RESUMO: Ainda hoje, a maneira mais comumente utilizada ara se calcular a tensão média atuante em ilares é or meio da Teoria da Área Tributária (TAT), sabidamente conservadora. Aresentarse-á neste artigo uma solução analítica alternativa, ara determinação dessa tensão de maneira mais realista. Trata-se de uma generalização do método de Coates (965) ara três dimensões. Tal método leva em consideração vários fatores não contemlados ela TAT: as dimensões finitas do ainel de lavra; a deformabilidade elástica dos ilares e encaixantes e, finalmente, as tensões in situ. Tais fatores tornam a análise da tensão atuante nos ilares mais acurada, ermitindo, assim, dimensioná-los mais corretamente e, consequentemente, raticar recuerações maiores. Aliada a essa generalização, é utilizada uma nova metodologia de dimensionamento, na qual um roblema de Programação Matemática Não-linear é formulado com o objetivo de maximizar a recueração, levando em consideração, ao mesmo temo, restrições geomecânicas, de segurança e requisitos tecnológicos/oeracionais. Pôde-se concluir que a generalização do Método de Coates ara três dimensões, associada a essa nova metodologia, ermite dimensionar arranjos de lavra com recuerações que sueram bastante as obtidas ela metodologia convencional, utilizando a TAT. PALARAS-CHAE: Câmaras e Pilares, Teoria da Área Tributária, Método de Coates, Otimização de Recueração na Lavra, Programação Matemática Não-linear. INTRODUÇÃO Ainda hoje, dimensionam-se vãos e ilares em minas subterrâneas, or tentativa e erro, definindo-se um arranjo no qual a estabilidade dos ilares seja garantida or um fator de segurança (FS) reviamente arbitrado. Para um dado arranjo, calculam-se as tensões médias atuantes nos ilares, ela Teoria da Área Tributária (TAT), e a resistência dos mesmos or alguma fórmula emírica existente (Brady e Brown, 004). Caso o FS seja satisfeito, a recueração obtida é uma mera decorrência do arranjo geométrico resultante, não sendo geralmente a máxima ossível (Figueiredo e Curi, 004). Uma metodologia de dimensionamento alternativa, na qual a recueração é a funçãoobjetivo de um roblema de rogramação matemática não-linear, que foi originalmente roosta or Figueiredo e Curi (004), é adotada neste trabalho. As restrições à maximização da recueração são geomecânicas (manutenção da estabilidade de ilares e vãos) e condicionantes tecnológicos/oeracionais. No cálculo dos ilares, a TAT não leva em conta características como a dimensão do ainel de lavra, osição dos ilares, deformabilidade elástica de ilares e encaixantes e as tensões in situ, resultando, or isso mesmo, semre conservadora (Jaeger e Cook, 979). Neste trabalho é roosta uma nova solução analítica aroximada ara determinação da tensão nos ilares (Figueiredo, 03), que contemla tais fatores. Baseia-se numa generalização do método de Coates (965) ara três dimensões, que, ao considerá-los, ermite uma análise bem mais acurada da tensão atuante nos ilares. Isso, SBMR 04

2 invariavelmente, resulta em dimensionar arranjos de lavra com maiores recuerações. DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES MÉDIAS NO PILAR: ÁREA TRIBUTÁRIA X MÉTODO DE COATES. Teoria da Área Tributária (TAT) Dentre as hióteses ara se determinar a tensão média em ilares, esta é a mais conservadora e simlista. Baseia-se em simles considerações de equilíbrio estático na direção vertical (Brady e Brown, 004). Para se analisar, or meio da TAT, ilares em carregamento uniaxial, odem-se considerar as geometrias mostradas na Figura. Imaginando-se que há um elevado número n de subunidades constituídas or ilares e vãos adjacentes (Figura ), ter-se-á que as áreas dos ilares A e totais A T são dadas, ara ilares quadrados, resectivamente, or n W A nw W. T o A e Analogamente, ara ilares retangulares: A nw L e AT nw o W L o L. Da mesma forma, tem-se ara rib illars, que: A nw e AT nw o W. De maneira geral, a recueração em qualquer caso ode ser exressa or: R ( AT A ) / AT A / AT. De acordo com a TAT, a tensão média em um ilar ( ) é dada or: A T A () R A exressão acima, onde é a tensão vertical in situ, reresenta simlesmente o equilíbrio de forças na direção vertical, no qual a reação do ilar iguala o eso da coluna de rocha tributária sobrejacente, e mostra que a tensão no ilar tende ao infinito quando R se aroxima de (um). Portanto, as tensões médias nos ilares quadrados, retangulares e rib-illars, indicados na Figura, são dadas, resectivamente, or (Figueiredo e Curi, 004): Wo W () W W W L L o o (3) WL W W o (4) W Figura. Arranjo uniforme de ilares: (a) - seção quadrangular em lanta; (b) - seção retangular (c) - ribillars (Figueiredo e Curi, 004). Jaeger e Cook (979) demonstraram que essas tensões médias fornecidas ela TAT reresentam um limite suerior ara as cargas atuantes nos ilares. Rigorosamente, alica-se a um caso hiotético em que as dimensões do ainel de lavra seriam infinitas. SBMR 04

3 . Método de Coates (965) A TAT não leva em consideração roriedades geométricas como: extensão ou comrimento (finito) do ainel de lavra, a altura dos ilares e localização dos mesmos dentro do ainel. Características geomecânicas como a magnitude da tensão horizontal ( H, aralela ao coro de minério) e os módulos de deformabilidade das rochas encaixantes e dos ilares também são ignoradas (Coates, 965). Para incluir o efeito dessas características no roblema, Coates (965) roôs uma solução baseada nas deflexões elásticas das escavações de lavra. Segundo Coates (965), a deflexão total nos ilares resultante da lavra,, e o aumento da tensão nos mesmos são diretamente roorcionais. As comonentes dessa deflexão odem ser consideradas como: (i) a deflexão ara dentro (convergência) devido à escavação comleta do ainel, isto é, corresondente a uma recueração de 00%, somada à deflexão devida à comressão do maciço elas tensões in situ e (Figura ); Ressalta-se que a deflexão suracitada acontece na vertical, embora seja a "resosta" a uma extensão horizontal (efeito de Poisson), or eliminação do confinamento lateral; (iii) a deflexão reversa (divergência no sentido contrário à deflexão (i)) das encaixantes, δ, que resulta duma tensão média, devida à reação de todos os ilares, distribuída uniformemente (Figura 4); Figura 4. Deflexão reversa (divergência - ') das rochas encaixantes devida à média da reação nos ilares (adatada de Coates, 965). (iv) a deflexão reversa (divergência), n, devida ao uncionamento dos ilares nas encaixantes, que se associa a uma concentração local da tensão média considerada em (iii) (Figura 5). Figura 5. Deflexão reversa ( n ) devida ao uncionamento dos ilares nas rochas encaixantes (adatada de Coates, 965). Figura. Deflexão ara dentro (convergência - e ) devida à escavação comleta do ainel (adatada de Coates, 965). (ii) a deflexão, associada a um efeito de Poisson, r, que é causada ela eliminação do confinamento lateral dos ilares (Figura 3). Considerando-se exressões da Teoria da Elasticidade em deformação lana (Jaeger e Cook, 979), ara todas essas comonentes da deflexão total e que cada qual roduz acréscimos corresondentes de tensão nos ilares, os quais odem ser simlesmente suerostos, Coates (965) deduziu uma exressão ara o acréscimo total de tensão,, em rib-illars (Fig. (c)), que ode ser colocada genericamente como: ( CC) (5) Figura 3. Deflexão devida à eliminação do confinamento lateral dos ilares ( r ) - adatada de Coates (965). onde é novamente a tensão vertical in situ e CC é uma exressão que deende de características geométricas e mecânicas do SBMR 04

4 roblema, odendo ser vista no Anexo. A tensão média total no ilar ( ) é dada, ois, simlesmente ela soma de com : (6)a com z, sendo o eso esecífico médio das rochas sobrejacentes e z a rofundidade. Portanto, tendo em vista a Eq. (5), a tensão média total no ilar vale, finalmente: CC (6)b 3 GENERALIZAÇÃO DO MÉTODO DE COATES PARA 3D Como já foi mencionado, as exressões (5) e (6), deduzidas or Coates (965), são relativas a ilares D (rib-illars - Fig. (c)), sendo essa a sua rincial limitação ara uso rático. Hoek e Brown (980) aresentaram um simles argumento de suerosição de efeitos, totalmente válido ara que se obtenha uma generalização do método de Coates (965) ara 3D. Tal argumento de suerosição está ilustrado na Figura 6. No caso, as tensões atuantes em dois ilares D, erendiculares entre si, oderiam ser simlesmente somadas, considerando-se as resectivas direções, ara que se obtenha a tensão resultante num ilar 3D, quadrangular ou retangular, formado ela interseção de ambos (Fig. 6). Coates (965) é derivada da elasticidade linear e, ortanto, vale o Princíio da Suerosição dos Efeitos (Chou e Pagano, 99) - Figueiredo (03) roôs, com base no mesmo, uma elegante generalização do método de Coates (965) ara 3D. Tal generalização ermite determinar as tensões atuantes em ilares quadrangulares e/ou retangulares como aqueles mostrados nas Figs. (a) e (b). Tais tensões são bem mais acuradas que as fornecidas ela TAT (item.), ermitindo, assim, dimensionar melhor os ilares e, consequentemente, raticar recuerações maiores na lavra. Na sequência será aresentada essa solução generalizada a 3D ara ilares quadrados ou retangulares. 3. Pilares e Painéis Quadrados/Retangulares Considere-se uma lavra, no sentido leste-oeste (Fig. 7). Pela Eq. 6(a) a tensão atuante nos ribillars D ara tal lavra seria: (7) sendo ( CC), na qual CC é o termo CC (da Eq. (5)) ara as resectivas condições, dimensões e número de ilares/vãos esecíficos da lavra, que se está considerando. Figura 6. (a) Distribuição de tensão em um rib illar norte-sul, devido à interação dos camos de tensões das aberturas que o ladeiam; (b) idem a (a) ara a direção leste-oeste; (c) distribuição da tensão em um ilar 3D quadrangular, ladeado or aberturas norte-sul e lesteoeste, obtida or simles suerosição (Hoek e Brown, 980). Considerando válido o argumento de suerosição aresentado or Hoek e Brown (980) - erceba-se que a solução analítica de Figura 7. Rib-illars de comrimento infinito na direção leste-oeste (lavra ): L é a largura do ainel; W é a largura do ilar e W o o vão das aberturas. Considere-se, agora, uma lavra no sentido norte-sul (erendicular à lavra - Figura 8). A tensão nos rib-illars será dada or: (8) SBMR 04

5 com ( CC), na qual CC é o valor de CC ara as condições/dimensões e número de ilares/vãos esecíficos da lavra. Imaginemos, no entanto, que a lavra fosse realizada aós a lavra, gerando ilares 3D (quadrangulares ou retangulares) conforme se observa na Figura 9. Note-se que, quando a lavra vier a ser realizada, já estará atuando sobre os ilares uma tensão, decorrente da lavra que a recedeu. Daí, o incremento de tensões "acumulado", em razão da suerosição dos efeitos (Chou e Pagano, 99), será: que é a exressão final roosta or Figueiredo (03) ara as tensões nos ilares retangulares (dimensões W W em lanta) ilustrados na Figura 9. De osse da solução analítica exressa ela Eq. (0), foram comarados os seus resultados com aqueles fornecidos ela TAT, variando-se alguns arâmetros que figuram nos termos CC. Observam-se os resultados nas Figuras 0, e. ( CC) ( CC) ( CC) ( CC)( CC) ( CC)( CC) ( CC) ( )( CC) (9) Figura 9. Arranjo obtido com a realização da lavra aós já ter sido realizada a lavra. Figura 8. Rib illars de comrimento infinito na direção norte-sul (lavra ): L é a largura do ainel; W é a largura do ilar e W o o vão das aberturas. A tensão final atuante nos ilares 3D da lavra mostrada na Figura 9 ( ) será então dada or: ( CC) ( CC) ( CC)( CC) ( CC CC CCCC) (0) Figura 0. ariação da tensão no ilar ara diferentes recuerações. Observa-se nas referidas figuras que, ara uma amla faixa dos arâmetros envolvidos no roblema, a tensão nos ilares calculada a artir da generalização do método de Coates ara 3D é semre menor que aquela calculada a artir da TAT. Tal resultado é totalmente consistente com o que seria eserado, em face da natureza extremamente conservadora dessa última (Jaeger e Cook, 979). Adicionalmente, cabe também mencionar um imortante asecto: o de que a generalização do método de Coates, aqui SBMR 04

6 aresentada, constitui, na realidade, um limite suerior ara o valor das tensões médias e, ortanto, é a favor da segurança (Figueiredo, 03). valores máximos de tensão obtidos numericamente ficam numa isofaixa de 6 a 8 MPa, enquanto a solução analítica fornece uma tensão média de 8.30 MPa, só ligeiramente a favor da segurança. ale ressaltar que a TAT fornece um valor de MPa ara tal tensão (excecionalmente conservador). É oortuno ainda mencionar que situações como a aresentada, com ainéis finitos (equeno número de ilares/vãos), são justamente aquelas onde a TAT leva a maiores erros. Figura. ariação da tensão no ilar ara diferentes valores da razão entre as tensões rinciais in situ (K = tensão horizontal/tensão vertical). Figura. ariação da tensão no ilar ara diferentes valores da razão entre os arâmetros de elasticidade da rocha encaixante (M) e do ilar (M ) - ver Anexo ara definição desses arâmetros. Sendo assim, justifica-se lenamente o seu uso com o objetivo de dimensionar ilares de maneira mais acurada, roiciando a obtenção de recuerações mais elevadas nos rojetos de lavra. Aenas a título ilustrativo aresenta-se aqui, uma única validação da Eq (0), dentre as várias que foram realizadas or Lara (03) e Figueiredo (03). Trata-se de uma comaração entre os resultados da solução analítica e de análises numéricas obtidos elo Método das Descontinuidades de Deslocamentos (Crouch e Starfield, 983) - utilizando o software EXAMINE-Tab da RocScience. A Fig. 3 aresenta os resultados numéricos ara uma dada situação, cujos dados de entrada estão mostrados na tela do software. Salienta-se, aenas, que o módulo de elasticidade do ilar é a metade do módulo da rocha encaixante e H = 3 (isto é, K = 3 - Fig. ). Percebe-se que os 4 EXEMPLO DE APLICAÇÃO DO MÉTODO DE COATES GENERALIZADO PARA 3D Tratou-se o dimensionamento de uma lavra or câmaras e ilares como sendo um roblema de otimização, via rogramação matemática nãolinear, imlementando-se o método de Coates 3D ara o cálculo da tensão nos ilares. Em tal abordagem, o dimensionamento é formulado como um roblema adrão de Programação Matemática, no qual o objetivo é maximizar a recueração, buscando, todavia, satisfazer às restrições imostas à mesma or questões oeracionais, tecnológicas e geomecânicas. Tal formulação garante que a recueração alcançada seja semre a máxima ossível diante das restrições existentes (Figueiredo e Curi, 004). Figura 3. Análise numérica ara ilares quadrangulares num ainel finito: tensão máxima entre 6 e 8 MPa, reresentada ela isofaixa de cor vermelha. A tensão fornecida ela generalização do método de Coates ara 3D é de 8.30 MPa (contra MPa ela TAT). Lara (03) estudou alguns casos de minas reais. Dentre esses, analisou uma mina de SBMR 04

7 manganês onde atualmente se está reavaliando o arranjo de lavra. Os dados de entrada foram: roriedades mecânicas do coro de minério e de suas rochas encaixantes e a geometria de lavra. Foram realizadas comarações entre a recueração raticada (real) e a que seria atingida com o redimensionamento elo método de Coates generalizado ara 3D, considerando diferentes números de ilares. Dessa forma, ôde-se observar qual seria o ganho de recueração ao longo do desenvolvimento da lavra. Percebe-se na Tabela e na Figura 4 o ganho de recueração que seria ossível com a utilização da metodologia de dimensionamento aqui adotada. Tabela. Ganho de recueração com a utilização do método de Coates generalizado ara 3D, associado à metodologia de dimensionamento otimizado via rogramação não-linear ara uma mina de manganês. Mina de Manganês ariável n n n n n Número de Pilares Resultados Obtidos Recueração Praticada 46,5% 44,9% 44,3% 44,4% 43,9% Recueração Otimizada 74,0% 7,0% 7,0% 7,0% 7,0% Ganho de Recueração 7,5% 7,% 6,7% 6,6% 7,% Figura 4. Ganho de recueração com a utilização do método de Coates generalizado ara 3D, associado à metodologia de dimensionamento otimizado via rogramação não-linear ara uma mina de manganês. 4 CONCLUSÕES Observou-se que as tensões médias em ilares calculadas a artir do método de Coates (965) generalizado ara 3D são menores e bem mais realistas que as fornecidas ela Teoria da Área Tributária (TAT) - vide validação aresentada na Fig. 3. A generalização do método de Coates ara 3D, roosta or Figueiredo (03), é uma solução analítica bastante simles, que ode ser facilmente alicada nas análises reliminares em rojetos de lavra subterrânea or câmaras e ilares (or exemlo, imlementada em lanilhas eletrônicas). A sua incororação a uma metodologia de dimensionamento ótimo, via rogramação matemática não-linear, ermite maximizar a recueração, de forma bastante eficaz, e ainda garantir que não sejam sueradas as resistências dos ilares, o que, or sua vez, contribui ara a segurança das oerações de rodução (Lara, 03). Sendo assim, foi ossível estabelecer um método racional ara se determinarem tensões mais realistas em ilares e associá-lo a uma metodologia de dimensionamento eficaz e rigorosa, o que ermite elaborar rojetos com recueração maximizada e ainda manter fatores de segurança aceitáveis. REFERÊNCIAS Brady B. e Brown, E. (004) Rock Mechanics for Underground Mining. 3rd ed., Dordrecht, Kluwer, 68. Chou, P. C. e N. J. Pagano (99) Elasticity - Tensor, Dyadic and Engineering Aroaches. New York, Dover, 90. Coates, D. F. (965) A new hyothesis for the determination of illar loads. PhD Thesis in Mining Engng., McGill University, 87. Crouch, S. L. e A. M. Starfield (983). Boundary Element Methods in Solid Mechanics. London, George Allen & Unwin, 3. Figueiredo, R. P. de (03). Comunicação Pessoal. Ouro Preto (MG), 6. Figueiredo, R. P. e Curi, A. (004). Dimensionamento ótimo de ainéis, câmaras e ilares com rogramação não-linear. Anais do I SIAEM (I Simósio Ibero Americano de Engenharia de Minas), São Paulo, Hoek, E. e Brown, E. T. (980) Underground Excavations in Rock.. London, IMM, 57. Jaeger, J. C. e N. G. W. Cook (979) Fundamentals of Rock Mechanics. 3 rd ed., London: Chaman-Hall, 593. Lara, H. H. O. (03) Otimização de recueração na lavra or câmaras e ilares, via rogramação nãolinear, alicando o método de Coates generalizado ara 3D. Monografia de Graduação em Engenharia de Minas, Universidade Federal de Ouro Preto, 4. SBMR 04

8 ANEXO : A exressão de CC que comarece nas eqs. (5), (6), (9) e (0) é dada or (Coates, 965): CC R Kh( ) KNh, Nh ( R)( / n) Rb( ) / onde, M N ; M H h ; L W b ; L K H ; E M ; ( ), ) com, ( M E ; ( ) ; ( ) E = Módulo de Elasticidade dos ilares; = Coeficiente de Poisson dos ilares; E = Módulo de Elasticidade das encaixantes; = Coeficiente de Poisson das encaixantes; H = esessura do minério (= altura dos ilares, Fig. A); L = largura total do ainel de lavra (Fig. A); W = largura dos ilares (Fig. A); n = número total de ilares no ainel (Fig. A); R A / AT nw / ( n ) Wo nw é a recueração na lavra, que é uma função das dimensões dos vãos e ilares (Fig. A); W o = largura dos vãos (Fig. A). Figura A. Seção transversal esquemática de um ainel de lavra com largura finita L e n (= ) ilares (W o e W são as larguras dos vãos e ilares, resectivamente). SBMR 04