APLICAÇÕES DO CONTROLE ESTATÍSTICO MULTIVARIADO DA QUALIDADE: MONITORAMENTO DE GARRAFEIRAS PLÁSTICAS NUMA EMPRESA DO ESTADO DA PARAÍBA

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1 APLICAÇÕES DO CONTROLE ESTATÍSTICO MULTIVARIADO DA QUALIDADE: MONITORAMENTO DE GARRAFEIRAS PLÁSTICAS NUMA EMPRESA DO ESTADO DA PARAÍBA Marcio Botelho da Fonseca Lima (UFPB) ROBERTA DE LOURDES SILVA DOS SANTOS (UFPB) Erivaldo Loes de souza (UFPB) Luiz Bueno da Silva (UFPB) Este artigo tem como objetivo utilizar técnicas estatísticas multivariadas ara aerfeiçoar o rocesso de monitorar e controlar a qualidade numa emresa que roduz garrafeiras lásticas. Assim, a utilização das técnicas de análise de comonnentes rinciais (ACP) e da carta T² de Hotelling ode sumarizar arte das informações relevantes desse rocesso. Esta esquisa foi realizada com interação de emresas, ois se baseou numa auditoria de uma grande comanhia multinacional de bebidas. O modelo de ACP ode ser obtido via software R. Através de funções usadas neste rograma, tem-se o valor da roorção da variância elicada e dos coeficientes usados no modelo. Assim ode-se obter o novo conjunto de dados com variáveis ouco correlacionadas. A carta de controle T de Hotelling também ode ser construída via software R. Produziram-se, enfim, dois resultados de considerável imortância: os escores dos comonentes rinciais e um gráfico T² de Hotelling adatado, evidenciando a relação entre as dez variáveis analisadas. Palavras-chaves: Controle estatístico da qualidade. Carta T² de Hotelling. Análise de comonentes rinciais.

2 1. INTRODUÇÃO A maior abertura da economia brasileira, ocorrida rincialmente nos anos 1990, roorcionou a entrada de diversas emresas multinacionais no aís, o que resultou no aumento da concorrência. Uma consequência da formação desse cenário foi um maior nível de eigência dos clientes em termos de qualidade dos rodutos. Os clientes assaram a serem menos tolerantes em relação a falhas nos rodutos. Essa menor tolerância do mercado consumidor aumentou ainda mais com o surgimento de órgãos de defesa do consumidor. No meio emresarial, o advento das arcerias entre emresas, firmadas com o objetivo de melhor gerenciar a cadeia de valor dos rodutos, foi um fator adicional que contribuiu ara o aumento da eigência de melhores níveis de qualidade. Paladini(004) cita cinco abordagens de qualidade (transcendental, baseada no roduto, baseada no usuário, baseada na rodução e baseada no valor). Para esse autor, a qualidade baseada na rodução é uma variável recisa e mensurável, oriunda do grau de conformidade do lanejado com o eecutado. Ainda acrescenta que nessa abordagem dá-se maior ênfase a ferramentas estatísticas. De fato, as eigências dos clientes com relação à qualidade no mercado de rodutos e serviços se traduzem em termos dessas abordagens. A abordagem baseada na rodução é crítica em muitas relações entre um cliente e um fornecedor, esecialmente quando os clientes são emresas. A falta de conformidade ode roduzir falhas nos rodutos de emresas ou ode imossibilitar o uso de comonentes e eças semiacabados na sua rodução. Problemas desse tio geram erdas no meio emresarial e têm sido cada vez menos tolerados. Mesmo quando as falhas em rodutos não se roagam ara outras emresas da cadeia emresarial ou ara o cliente final, os defeitos or falta de conformidade são uma reocuação, uma vez que geram erdas no rocesso rodutivo. Quando o foco da qualidade está na conformidade das características obtidas com aquelas lanejadas antes da sua fabricação, surge a necessidade de utilização de um controle eficiente dessas características. É fundamental que sejam monitoradas com ferramentas adequadas ara aquela situação. Se o monitoramento da conformidade envolve mais de uma característica da qualidade, e se essas características estão correlacionadas, não será adequada a utilização de cartas de controle univariadas. A eficiência desse monitoramento recisa levar em conta a correlação entre as variáveis. Nesses casos, é aconselhável o uso de cartas de controle multivariadas.. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Paladini (004) afirma que a ideia rincial do Controle Estatístico do Processo (CEP) é que melhores rocessos de rodução com menos variabilidade roiciam níveis melhores de qualidade nos resultados de rodução. Esse autor acrescenta que melhores níveis de qualidade resultam em custos menores..1 Controle estatístico do rocesso (CEP)

3 Loes (007) considera que o CEP trata do uso de técnicas estatísticas em todos os estágios considerados críticos no desenvolvimento de um rojeto ou da rodução. Montgomery (009), or sua vez, afirma que o rincial objetivo do CEP é monitorar o desemenho de rocessos ao longo do temo e detectar eventos incomuns que eerçam influência nas roriedades determinantes da qualidade do roduto final. Paladini (004) lista três tios básicos de causas de irregularidades no rocesso: Causa esecial: é assinalável, imrevisível e, em geral, é também única. É suficientemente grande ara roduzir erturbações significativas no rocesso; Causas estruturais: têm características semelhantes às causas eseciais, se distinguindo destas or ser eriódica. Assim como as causas eseciais, elas são elimináveis. Causas comuns: são relativamente equenas, mas ocorrem quase semre e em grande quantidade. É o acúmulo dessas causas ao longo do temo que dá origem a aleatoriedade das variáveis. Em geral, essas causas não odem ser eliminadas or meio das ferramentas de CEP. A redução dessas causas requer um sacrifício considerável em termos de temo e recursos, tornando necessária uma análise off-line, eigindo talvez a arada da linha de rodução, investimentos em novas tecnologias, em máquinas e matérias rimas melhores, um ambiente de tralho aroriado e treinamento intensivo, fazendo com que a qualidade e custos caminhem juntos (SAMOHYL, 009). Assim, o objetivo do CEP é identificar as causas eseciais e estruturais resentes no rocesso rodutivo ara que osteriormente ossam ser eliminadas. Dessa forma, a sua utilização ao longo do temo é caaz de melhorar o rocesso em termos de qualidade.. Controle Estatístico do Processo e Dados Multivariados Para Suchs e Kennet (1998), a maioria dos dados referentes à qualidade em emresas industriais é naturalmente multivariada. Para tais autores, é comum utilizar uma abordagem onde os dados em diferentes dimensões são agregados e transformados. Entretanto, eles afirmam que o uso dessa abordagem resulta em erda de informações, dificultando a identificação de causas assinaláveis e rejudicando o entendimento da caacidade do rocesso. Assim, os dados multivariados são muito mais informativos do que dados univariados referentes a diversas variáveis analisadas searadamente. Simultaneamente, a reresentação da variação de diversas variáveis requer tanto uma medida global de desvio da observação das metas quanto uma avaliação da estrutura de correlação de dados. Uma rimeira avaliação do conjunto multivariado de dados é feita or meio da análise das associações entre ares de variáveis (SUCHS e KENNET, 1998). De acordo com Treasure, Kruger e Cooer (011), o controle estatístico multivariado é usado com o objetivo de eliminar a redundância em dados observados. Os autores ainda afirmam que no Multivariate Statistical Process Control (MSPC) é comum utilizar-se de abordagens ara obter um conjunto resumido de dados que osteriormente são usados ara calcular estatísticas como a T² de Hotteling. Para Montgomery (009), os roblemas de monitoramento de rocessos com diversas variáveis relacionadas são de interesse do chamado controle de qualidade multivariado. Ainda, segundo Montgomery (005), há muitas situações nas quais o monitoramento simultâneo de duas ou mais características da qualidade é necessário. Esse autor também 3

4 considera que o monitoramento dessas características de qualidade, quando feito de forma indeendente ara cada variável, ode levar a conclusões errôneas e conclui afirmando que a distorção dos resultados aumenta com o número de variáveis monitoradas no rocesso. Lyu e Chen (008) afirmam que as indústrias modernas envolvem inúmeras situações que requerem o monitoramento ou controle simultâneo de duas ou mais características da qualidade relacionadas. Os autores comartilham a mesma ideia de Montgomery (005) ao afirmarem que monitorar searadamente as características da qualidade ode levar a conclusões equivocadas..3 Análise de comonentes rinciais no controle estatístico de rocesso Suchs e Kennet (1998) salientam que uma abordagem comum no controle de qualidade consiste em reduzir o número de dimensões de um conjunto de dados através de uma transformação que identifique as combinações lineares significativas entre as variáveis disoníveis. Para esses autores, a construção de combinações lineares esecíficas é chamada de comonentes rinciais. Eles afirmam que, ara observações multivariadas, as comonentes rinciais são as combinações lineares dos desvios das variáveis em relação aos seus resectivos alvos. Montgomery (005) corrobora tal abordagem ao citar que os comonentes rinciais de um conjunto de variáveis de um rocesso são justamente as combinações lineares obtidas a artir dessas variáveis. Esse autor também afirma que a intenção básica de obter comonentes rinciais é roiciar um novo conjunto de direções ortogonais que defina o máimo de variabilidade dos dados originais, o que conduz a uma descrição do rocesso através de um número consideravelmente menor de variáveis em comaração com o conjunto original. Suchs e Kennet (1998) acrescentam que as comonentes rinciais aresentam duas características muito úteis ara o controle estatístico multivariado: As novas variáveis são não correlacionadas. Em muitos casos, a maior arte das variabilidades ode ser caturada or oucos comonentes, de modo que não é necessário utilizar todos os comonentes ara o controle. A rincial utilidade da análise de comonentes rinciais ara o controle estatístico do rocesso encontra-se, então, em obter um conjunto de dados onde as variáveis não aresentem correlações. A matriz de coeficientes A, usados no sistema de equações do modelo, é a matriz comosta elos autovetores da matriz de covariância Σ ou, alternativamente, ela matriz de autovetores da matriz de correlação P das variáveis. Um modelo de análise de comonentes rinciais (ACP) aresenta a forma a seguir: z1 a z a z a 11 1 a 1 a 1 a a... a 1... a Por meio desse modelo, é ossível transformar um conjunto de dados referentes às variáveis originais 1,,..., n, em um novo conjunto de dados referentes aos comonentes rinciais z1, z,..., zn. Essas novas variáveis obtidas aresentam baia correlação entre si. 4

5 a1 ( a11, a1,..., a 1) Sendo o autovetor corresondente ao autovalor λ1 da matriz de covariância do conjunto de dados, tem-se z1 a1 X, z a X z a X,...,, X ( 1,,..., ) onde. Sendo I uma matriz identidade, os autovalores da matriz de covariância S odem ser obtidos utilizando a equação característica: S I 0. A seleção dos comonentes rinciais que serão consideradas no monitoramento ode ser feita verificando a roorção de variância elicada (PVE) de cada comonente. O valor do PVEi corresondente ao i-ésimo comonente rincial é dado or: PVE i var( z ) i1 i var( z ) Se var( z1) 1 PVE i i1 i i i var( z) var( z ),..., então se tem:, Em resumo, Manly (008) estabelece os seguintes assos ara a realização de uma análise de comonentes rinciais:,,, 1. Comece codificando as variáveis 1 ara terem médias zero e variâncias unitárias.. Calcule a matriz de covariâncias S. Essa é uma matriz de correlação se o rimeiro asso já foi eecutado. 3. Encontre os autovalores ˆ ˆ,..., ˆ 1, e os corresondentes autovetores eˆ, eˆ... eˆ 1. Os coeficientes da j-ésima comonente rincial são então os elementos de ê j, enquanto que ˆ é a sua variância. j 4. Descarte quaisquer comonentes que elicam aenas uma equena roorção da variação dos dados. O modelo de ACP ode ser obtido usando o software R. As rinciais funções usadas no rograma ara obter esse modelo e as informações referentes ao mesmo são mostradas a seguir: rincom(dados,cor=f) summary(rincom(dados,cor=f),loadings=t) Através dessas funções tem-se o valor do PVE e dos coeficientes usados no modelo. A artir desse modelo, ode-se obter o novo conjunto de dados com variáveis ouco correlacionadas. Antes da utilização das funções citadas acima, é necessário instalar o acote stats. 5

6 .4 Cartas de controle T² de Hotteling O adrão de associação entre variáveis, que ode ser medido or sua matriz de covariância, tem que ser contabilizado quando uma medida geral de artida das metas deve ser calculada. Assim, uma medida da estatística que leve em conta a estrutura de covariância foi roosta or Harold Hotelling em Ela é chamada de T² de Hotelling (SUCHS e KENNET, 1998). Segundo Lyu e Chen (008), técnicas de controle estatístico multivariado foram rojetadas em estudos ioneiros em Esses autores afirmam que, em roblemas ráticos, o diagrama de controle T² é recomendado ara análise reliminar de observações multivariadas, necessárias ara monitoramento de alicações em rocesso. Para Montgomery (009), um gráfico de controle multivariado oular é o gráfico T² de Hotelling. Segundo esse autor, nesse gráfico monitora-se o valor da estatística T² ara cada uma das amostras. Caso algum dos valores de T² esteja fora dos limites de controle, e identificada uma causa esecial, então se conclui que o rocesso está fora de controle. Sendo n o tamanho de cada uma das amostras, a média da j-ésima variável na k-ésima j amostra, a média das médias das amostras da j-ésima variável, tem-se a estatística T² igual a: T n( jk )' s j 1 ( jk j ) Os limites de controle do gráfico T² de Hotteling são os mostrados a seguir: ( m 1)( n 1) LSC F, mn m 1 LIC 0, gl jk Onde m é igual ao número de amostras de tamanho n. O limite suerior de controle do gráfico deende do valor da estatística F ara variáveis, com nível de significância α e cujo número de graus de liberdade é igual a gl = mn m + 1. O monitoramento do valor da estatística T² ode se tornar errôneo se as variáveis consideradas na análise forem correlacionadas. Nesses casos, é imortante usar técnicas como a ACP, ara obter novas variáveis que, conservando as roriedades imortantes das variáveis originais, aresentem correlações tão baias quanto ossíveis. O diagrama de controle ara o monitoramento da estatística T² de Hotelling é obtido facilmente no software R, através da função mostrada a seguir: mqcc(subgruos,tye=c("t²"),med,cov,limits=f,labels=1:k) A função mqcc do software somente ode ser usada aós a instalação do acote qcc. A função acima requer que sejam indicados o conjunto de dados (subgruos), o tio de gráfico (T²), a matriz de média das variáveis (med) e a matriz de covariância (cov), bem como o número de amostras que devem ser analisadas no gráfico (k). 3. METODOLOGIA-UM ESTUDO DE CASO 6

7 O caso analisado consiste na determinação dos limites de controle ara construção de um diagrama de controle multivariado baseado na estatística T² de Hotteling, ara as dimensões de uma garrafeira como a indicada na figura 1. Para o esboço do gráfico de controle, foram retiradas 98 amostras de n = 4. Figura 1 - Garrafeira A determinação do intervalo de temo entre a retirada das amostras deende de vários fatores, dentre eles o temo de rodução de cada item, custos de inseção, a estabilidade do rocesso e o deserdício de recursos ao se trabalhar sob a influência de causas eseciais. Considerando esses fatores, determinou-se um intervalo de 5 minutos entre as retiradas das amostras. As características-alvo que foram medidas ara obtenção das amostras são listadas a seguir: 1. CE comrimento eterno;. CI comrimento interno; 3. LE largura eterna; 4. LI largura interna; 5. AT altura total; 6. AE altura de emilhamento; 7. CF comrimento de fundo (Módulo de Encaie do Fundo Comrimento); 8. LF largura de fundo (Módulo de Encaie do Fundo Largura); 9. AN altura do ninho (Altura das Divisórias Internas); 10. AF altura de encaie do fundo. 7

8 Figura Diagrama de controle T² ara as variáveis monitoradas Os limites de controle ara as 98 amostras do diagrama T² de Hotteling são LIC=0 e LSC=1.16, mostrados na figura. Pode-se erceber que os valores da estatística T² ara todas as amostras estão muito acima dos limites de controle calculados. É ossível que os valores altos da estatística T² tenham sido destorcidos ela resença de correlações significativas entre as variáveis e elo autocorrelacionamento de cada variável considerada isoladamente. Verificou-se que a maior arte dos ares de variáveis aresenta uma correlação acima de 0,1. Isso ode levar a erros na construção do diagrama de controle T² de Hotteling. É necessário substituir esse conjunto de variáveis or outro conjunto que reresente bem a maior arte das variabilidades do conjunto original. Utilizando a análise de comonentes rinciais, ode-se chegar a esse objetivo. O modelo obtido ara substituir os dados originais fornece 10 comonentes rinciais. Percebeu-se que os sete rimeiras comonentes reresentam mais de 86 % das variabilidades do conjunto original de dados. Pode-se utilizar, então, esses sete comonentes agruados em 98 amostras de 4 elementos ara conservar a estrutura original das amostras coletadas. A artir dos coeficientes do modelo, ode-se fazer a transformação dos dados originais em dados referentes aos comonentes rinciais que serão utilizados. Assim, o modelo de comonentes rinciais que será usado na transformação dos dados consiste em: z1 = *AE *AF *AT *AN *CF *CI *LI *LE z =0.159*AF *AN *CE - 0.*CF *CI *LI *LE z3 =-0.396*AN *CI *LI *LE 8

9 z4 =-0.87*AE *AT *AN *CE *CI *LI *LF z5 =-0.139*AT *CE *CF *LI *LF z6 =-0.779*AF *AT *CE *CF *CI *LF - 0.0*LE z7 = *AF *AN *CF *CI *LI *LF +0.41*LE Utilizando o novo conjunto de dados disonível com a estrutura inicial dos dados (98 amostras de 4 elementos), tem-se na Figura 3 um diagrama com valores mais lausíveis da estatística T² ara as amostras coletadas. Figura 3 Diagrama de controle T² ara os comonentes rinciais Os limites estabelecidos utilizando-se os dados referentes aos sete comonentes rinciais são LIC (LCL) = 0 e LSC (UCL) = 17.3, como mostra a Figura 3. Ao se adotar esses limites, têm-se 16 amostras fora dos limites de controle e 8 amostras dentro desses limites. 4 - RESULTADOS Como a rodução de garrafeiras consiste em um rocesso discreto arcialmente automatizado, foram construídos gráficos de controle da média com limites alargados ara cada uma das varáveis em estudo (ara evitar alarmes falsos), ois, segundo Branco Costa et al.(004), nesse caso ocorre o fenômeno de autocorrelacionamento de cada variável, constatado durante a realização da esquisa. Também foram construídos gráficos da amlitude habituais e verificou-se que todas as variáveis se encontravam em controle estatístico. O cálculo da estatística T² é feito a artir da matriz de covariância(s) (e variâncias). Os elementos resentes na diagonal rincial da matriz reresentam as variâncias das observações ara cada variável. Um meio relevante de reduzir o número de alarmes falsos é substituir o cálculo a artir da variabilidade dentro das amostras or aquele das variâncias das 9

10 médias amostrais na diagonal rincial da matriz de covariância. Ao utilizar-se esse rocedimento, o novo gráfico obtido ara as comonentes rinciais é mostrado na Figura 4. Figura 4 - Novo gráfico T² de Hotteling ara o modelo de ACP Na Figura 4, somente a amostra 47 aresentou um alarme de descontrole do rocesso. Verificou-se que era aenas um erro de medição e, devido ao grande número de amostras reliminares utilizadas, a rodução futura ode ser monitorada sem a necessidade de se recalcular os limites de controle acima. O rocesso, então, foi considerado sob controle estatístico. 5 CONCLUSÃO O monitoramento de várias variáveis relacionadas a um rocesso deve ser feito considerando o seu conjunto, ois ao controlar as variáveis searadamente os erros referentes às mesmas são multilicados o que ode levar a uma conclusão errônea acerca do controle do rocesso. Dessa forma, quando o monitoramento não é feito de forma simultânea o risco de disensar a interferência no rocesso estando o mesmo fora de controle ode ser eressivo. Nesta esquisa, contudo, tal fato não ocorreu: as análises tanto multivariada quanto univariada revelaram que o rocesso estava em controle estatístico. Esse trabalho buscou mostrar uma alicação desse controle simultâneo num rocesso de rodução de garrafeiras de lástico. A análise mostrou que os valores elevados das correlações entre as variáveis distorceram os valores calculados da estatística T² ara as amostras, gerando uma inconsistência entre os valores dessa estatística e os valores obtidos ara os limites de controle. Essa distorção ôde ser contornada através do uso da análise de comonentes rinciais, que ossibilitou obter um novo conjunto de variáveis ouco correlacionadas, mantendo a maior arte das variabilidades do conjunto original. 10

11 Aós a utilização da análise de comonentes rinciais, mostrou-se que 16 das 98 amostras analisadas aresentaram sinais de que o rocesso não estava sob controle, indicando ainda a resença de alarmes falsos... A redução do número de alarmes falsos ôde ser efetuada usando, na matriz de covariância, variâncias entre amostras em vez das variâncias entre observações. Realizou-se dessa forma uma nova carta de controle. A carta de controle obtida indicou que aenas uma amostra estava fora dos limites de controle. A investigação dessa causa de descontrole do rocesso mostrou que se tratava aenas de um erro de medição efetuado durante a fase de coleta das amostras, odendo-se chegar à conclusão de que o rocesso em análise estava sob controle. REFERÊNCIAS COSTA, Antônio F. Branco; EPPRECHT, Eugenio K.; CARPINETTI, Luiz Cesar R. Controle estatístico de qualidade. São Paulo: Atlas, 004. FUCHS, Camil; KENETT, Ron S. Multivariate Quality Control: Theory and Alication. MarcelDekker:New York, LOPES, Luis Felie Dias. Controle estatístico de rocesso (Aostila). Disonível em: htt:// Acesso em 10/04/009, 007. LYU, JrJung; CHEN, MingNan. Automated visual insection eert system for multivariate statistical rocess control chart. Eert Systems With Alications, Volume 36, issue 3, Part 1, ages , 009. MONTGOMERY, Douglas C. Statistical Quality Control.ed.5.Wiley:Danvers, 005. MONTGOMERY, Douglas C. Introdução ao controle estatístico da qualidade. Rio de Janeiro: LTC, 009. PALADINI, E.P. Gestão da qualidade: teoria e rática. Atlas, São Paulo, 004. SAMOHYL, Robert W. Controle Estatístico de Qualidade, Rio de Janeiro; Elsevie, 009. TREASURE, Richard J.; KRUGER, Uwe; COOPER Jonathan E. Dynamic multivariate statistical rocess control using subsace identification. Journal of Process Control, Volume 14, issue 3, ages 79-9,