CARTAS DE CONTROLE PARA COMPONENTES PRINCIPAIS MULTIDIRECIONAIS

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1 CARTAS DE CONTROLE PARA COMPONENTES PRINCIPAIS MULTIDIRECIONAIS Danilo Marcondes Filho, M.Eng. Universidade do Vale do Rio dos Sinos Flávio S. Fogliatto, Ph.D. Deartamento de Eng a de Produção e Transortes UFRGS ogliatto@ge.urgs.br ABSTRACT: Univariate control charts have been widely used or industrial rocess monitoring. Those charts however have been unable to describe satisactorily the comlex structure o correlation in data obtained rom automated rocesses, where on-line measurement o several variables are readily available. This aer resents the theoretical basis o an alternative multivariate scheme or joint monitoring o correlated and autocorrelated rocess variables. A monitoring strategy or batch rocesses is emhasized. KEY-WORDS: multiway rincial comonents control charts, multivariate control charts, batch rocess monitoring.. Introdução O Controle Estatístico de Processos (CEP) é uma das estratégias de monitoramento do desemenho de rocessos mais utilizadas na indústria (Mason et al., 995). A rincial erramenta estatística de aoio ao CEP é a carta de controle (CC). Nas CCs, medições de variáveis que inluenciam na qualidade dos itens manuaturados são realizadas em ontos esaçados no temo e registradas em gráicos; o objetivo é avaliar o comortamento dinâmico da variável a artir das medições. Dois eventos são de articular imortância no esquema de monitoramento através das CCs: (i) medições ora dos limites de controle, que delimitam a variabilidade natural da variável de interesse e (ii) seqüências atíicas de ontos, indicando não-aleatoriedade nas medições. Tais eventos sinalizam a resença de causas eseciais de variabilidade, anômalas ao rocesso e otencialmente rejudiciais à qualidade do roduto manuaturado. Atuando sobre a origem das causas eseciais, ode-se melhorar continuamente a qualidade do roduto, robustecendo seu rocesso de manuatura. CCs ermitem a redução sistemática da variabilidade nas características de qualidade (CQs) do roduto, reresentadas elas variáveis monitoradas nas cartas. A automatização de rocessos vem sendo adotada como diretriz emresarial, na busca da modernização e aumento de cometitividade, em dierentes segmentos industriais. Processos automatizados ermitem a medição simultânea e em temo real de inúmeras variáveis de roduto e rocesso, ornecendo dados em quantidade suiciente ara monitoramento reciso do desemenho de oerações industriais. Em muitas situações, o conjunto de dados obtido do rocesso aresenta uma estrutura comlexa de correlação e autocorrelação. Correlações descrevem deendências entre as variáveis monitoradas; autocorrelações, or sua vez, descrevem deendências entre observações de uma mesma variável. Neste contexto, a alicação do CEP tradicional no monitoramento das variáveis é inadequada, e uma estratégia de controle que considere correlações e autocorrelações deve ser avorecida.

2 Neste artigo, aresenta-se uma alternativa ara o monitoramento em temo real de rocessos, as CCs multivariadas alicadas sobre os resultados de uma análise de comonentes rinciais multidirecionais. A estratégia aqui aresenta como rincial contribuição a consolidação de diversas abordagens roostas na literatura, em articular o trabalho ioneiro de Jackson (99) e os trabalhos subseqüentes de Marsh & Tucker (99), Tracy et al. (99), Miller et al. (993), Nomikos & M c Gregor (994), Nomikos & M c Gregor (995), M c Gregor & Kourti (995) e Kourti & M c Gregor (996). Neste artigo, as CCs ara comonentes rinciais multidirecionais (CCCPMs) são aresentadas ara o controle de rocessos industriais automatizados que ocorrem em bateladas. Processos em bateladas aresentam duração inita, sendo conduzidos, genericamente, em três ases: alimentação de matérias-rimas, rocessamento e descarga do roduto rocessado. O desemenho desses rocessos ode ser monitorado através de variáveis de roduto (tanto matérias-rimas como roduto resultante) e rocesso. Normalmente, o eril descrito elas variáveis de rocesso ao longo da batelada caracteriza a qualidade do roduto resultante; as CCCPMs aresentadas neste artigo oerecem um esquema de monitoramento ara esses eris. O desenvolvimento teórico das CCCPMs no contexto de rocessos em bateladas, aresentado neste artigo, demanda conhecimentos básicos sobre as CCs multivariadas de Hotelling e sobre CCs baseadas em comonentes rinciais; estes assuntos são abordados nas duas seções que se seguem. Na seção 4, aresentam-se as CCs ara rocessos em bateladas. Uma conclusão encerra o artigo, na seção 5.. Carta de controle de Hotelling ara monitoramento de médias Suonha variáveis correlacionadas sendo monitoradas em um determinado rocesso através da coleta de sucessivas amostras unitárias. Seja x = [ X, X,..., X ] um vetor contendo as variáveis, tal que Xi, i =,,, seja a i ésima variável de interesse e x i uma observação desta variável. Suondo um rocesso sob controle estatístico e variáveis seguindo uma distribuição Normal -variada, com vetor de médias µ = µ e matriz de covariâncias Σ = Σ conhecidos [isto é, x Ν (µ,σ )]. Desta orma, a cada nova amostra recolhida do rocesso tem-se uma observação -variada dada elo vetor x = x, x,..., ], que [,, relete variações aleatórias ocorridas no rocesso (isto é, causas comuns de variação). A estatística χ = ( x µ ) ( x ) () µ reresenta a distância quadrada adronizada (isto é, considerando a estrutura de covariâncias das variáveis), -dimensional, entre a amostra utura x e o vetor de médias do rocesso µ ; Rencher, 995. χ de liberdade e não deve suerar o valor LSC = x, segue uma distribuição do Qui-Quadrado com graus, visto que o rocesso gerador dos dados está sob controle estatístico. LSC (limite suerior de controle) reresenta o ercentil da distribuição do Qui-Quadrado com graus de liberdade, obtido a artir da robabilidade α de alarme also adotada. Se χ >, há indícios de que a média de elo menos uma,k χ,α χ,α das variáveis no rocesso tenha-se alterado, odendo caracterizar uma situação onde o rocesso está ora de controle estatístico, com resença de causas eseciais de variação ( µ µ, ou seja, µ µ i ara elo menos uma das variáveis). Este rocedimento de veriicação caracteriza as chamadas Cartas de Controle Qui-Quadrado ou de Hotelling (Montgomery, 996).

3 3 Na rática, µ e Σ são estimados, resectivamente, elo vetor de médias x e ela matriz de covariâncias S amostrais, a artir de m amostras reliminares recolhidas do rocesso sob controle estatístico. A eq. () será, então, reescrita ara considerar as estimativas dos arâmetros: T =( x x ) S ( x x) () Neste caso, o rocesso de construção da carta de controle está dividido em duas ases (Alt, 985). A rimeira ase consiste em veriicar se o rocesso estava sob controle estatístico quando amostras reliminares oram obtidas. Essas amostras serão utilizadas como adrão e, a artir delas, estimam-se os arâmetros do rocesso e limites de controle aroriados ara a CC. A segunda ase é análoga à situação anterior, onde os arâmetros do rocesso eram conhecidos a riori. As estimativas ara estes arâmetros, geradas na rimeira ase, serão usadas ara monitorar, através da CC, amostras uturas. Maiores detalhes ara a obtenção de x e S odem ser encontrados em Tracy et al. (99). Ryan (989) mostra que, na segunda ase, os limites de controle ara a estatística T são dados or: LSC = ( m ( + )( m ) mm ( ) ) F α, m, e LIC = (3) Onde F α,,m- reresenta o ercentil da distribuição F com e m- graus de liberdade, obtido a artir da robabilidade α de alarme also adotada. Quando a carta de Hotelling gera um sinal de rocesso ora de controle, deseja-se saber quais variáveis contribuíram mais eetivamente ara o valor signiicativo de T encontrado. Deve-se, assim, encontrar a causa que levou o rocesso a sair do seu estado de controle; existem na literatura inúmeras abordagens ara diagnóstico destas causas. Marcondes Filho (), entre outros, aresenta um resumo destas abordagens. Um rocedimento rático bastante usado sugere o uso da carta multivariada de Hotelling associado a cartas individuais de Shewhart ara diagnosticar sinais ora-de-controle (Alt, 985). Neste caso, as cartas de Shewhart imlementadas em conjunto com a carta de Hotelling devem utilizar limites de controle de Bonerroni (ver Montgomery, 996). 3. Carta de Controle via comonentes rinciais ara monitoramento de médias A estatística de Hotelling, descrita na seção anterior, não é suicientemente robusta ara tratar inúmeras variáveis correlacionadas, ois oi concebida ara monitorar um equeno número de variáveis de qualidade do roduto inal. Esta estrutura de correlação avorece o surgimento de variáveis colineares, isto é, variáveis que raticamente dulicam inormação contidas nas demais e trazem, assim, ouca inormação exclusiva (muito ruído resente). A estrutura colinear gerada a artir dessas redundâncias az com que a estatística orneça sinalizações distorcidas acerca do estado do rocesso, bem como diagnósticos imrecisos de causas eseciais. Em algumas situações, tal estatística não oderá ser calculada devido à diiculdade de inversão da matriz de covariâncias das variáveis de rocesso (Kourti & M c Gregor, 996). Para eliminar estas redundâncias, surge então a necessidade de utilizar cartas de controle baseadas em métodos de rojeção de dados, dentre os quais destaca-se a Análise de Comonentes Princiais (ACP). Considere um rocesso monitorado através de variáveis correlacionadas. Suonha m observações x, -variadas, obtidas do rocesso sob controle estatístico, a artir das quais calcula-se a matriz S, ( ), de covariâncias amostrais que caracteriza a estrutura de correlação mediante resença de aenas causas comuns de variação. Como tal matriz é

4 4 simétrica e não singular, existe uma matriz U ortonormal, ( ), que diagonaliza S. Desta orma, tem-se U SU = Sc, onde S c é uma matriz diagonal que contém os autovalores λ i ositivos de S. O autovetor λ i descreve a variância do i ésimo comonente rincial (CP) que, or sua vez, reresenta a i ésima combinação linear das variáveis originais. As cargas desta combinação são descritas elo autovetor u i, de dimensão ( ). A matriz U aresenta nas suas colunas os autovetores u i. Desta orma, ode-se monitorar o rocesso transormando variáveis correlacionadas em novas variáveis (CPs) indeendentes com matriz de correlação dada or S c. Deve-se entender que a matriz S c descreve a mesma estrutura de correlação original do rocesso a artir de novos eixos coordenados descritos elos autovetores u i. Devido à sua indeendência, cada CP relete um gruo esecíico de causas de variabilidade do rocesso. Pode-se escrever a estatística de Hotelling tradicional na eq. () em unção dos CPs da seguinte orma (Kourti & M c Gregor, 996): T ci = λ (4) i Através da eq. (4), nota-se que a estatística de Hotelling usual (isto é, utilizando variáveis originais) ode ser escrita como uma soma de CPs, onde c i = u i x é o escore reerente ao i ésimo CP obtido a artir da observação x. Dado que o rocesso está sob controle, existe um determinado número de ontes imortantes de variabilidade resentes, sendo este número equeno em relação à quantidade de variáveis envolvidas (suondo correlações signiicativas entre elas). Neste caso, ode-se monitorar o rocesso usando CPs ara reduzir a dimensão original dos dados, visto que, na verdade, a cada nova amostra de medições obtidas das variáveis, tem-se uma dierente visualização das mesmas ontes de variabilidade. Geralmente dois ou três CPs caturam grande arte da estrutura de correlação das variáveis originais reresentando, de maneira satisatória, a variabilidade destas ontes (M c Gregor, 995, M c Gregor & Kourti, 995). Vários critérios ara determinação do número suiciente de CPs estão disoníveis na literatura; ara ins de controle estatístico do rocesso, o critério mas eiciente é a regra da validação cruzada em Jackson (99). Monitora-se o rocesso via CPs rojetando cada amostra utura x no lano deinido elos q (< ) CPs retidos. Assim, obtém-se ara a observação x o vetor cq,, de dimensão (q ), contendo q escores c i,, o valor T de Hotelling [eq. (4) utilizando aenas arcelas q, reerentes aos q CPs] e o resíduo e = x xˆ. O vetor xˆ = U qcq, reresenta a observação x estimada em unção do modelo ACP construído a artir dos q CPs retidos e U é a matriz, ( q), das cargas reerentes aos q autovetores u i. Deve-se entender que se ossem utilizados os CPs no monitoramento, a observação x oderia ser rescrita sem erro em unção do modelo x = U c, com a matriz U, ( ), contendo em suas linhas autovetores e com o vetor c, ( ), contendo escores, um ara cada CP. É imortante destacar que a matriz U q guarda em seus autovetores arte substancial da estrutura de correlação das variáveis originais no rocesso sob controle estatístico. A estatística T q, reresenta a distância quadrada adronizada, no lano deinido elos q CPs retidos no modelo, entre a osição da observação utura (dada elos q escores ci, ) e a origem que reresenta o onto de variação mínima das rinciais ontes de variabilidade do rocesso. Os limites de controle da estatística T são dados na eq. (3) substituindo-se or q. q, q

5 5 Se T > LSC, então algumas das rinciais ontes do rocesso aresentam variabilidade além q, do tolerado, dado que aenas causas comuns de variação estão resentes no rocesso (isto é, algumas variáveis de rocesso aresentam desvios signiicativos em relação às suas médias). O resíduo e é monitorado através da estatística Q = ( x i ˆ, xi, ). (5) Esta estatística reresenta a distância erendicular quadrada entre a observação original x e a observação x ˆ reresentada no lano descrito elos q CPs retidos. Os limites de controle usados na estatística Q são calculados a artir dos autovalores λi obtidos das m observações reliminares retiradas do rocesso, utilizando resultados aroximados da distribuição das ormas quadráticas (Jackson & Mudholkar, 979). Tem-se: Zα θ h θ h ( h ) / h LSC = θ [ + + ] e LIC =, (6) θ θ 3 onde θ = λi, θ = λi, 3 = λi e q+ q+ 3 θ h = q+ 3θ θ θ. Se um evento incomum incidir sobre o rocesso e alterar a estrutura de correlação na matriz U q, um alto valor de Q será obtido, ois a corresondente observação x não será satisatoriamente descrita elo modelo x ˆ = U c. q q, O monitoramento eetivo é eito, assim, utilizando-se uma carta de Hotelling a artir do q CPs retidos ara controlar a variabilidade das rinciais ontes do rocesso e uma carta Q ara monitorar os resíduos do modelo, detectando a resença de ossíveis eventos atíicos. Para diagnóstico dos valores signiicativos de T e/ou Q, sugere-se a utilização de cartas de Shewhart ara os CPs (Jackson, 99) associadas a gráicos de contribuição (Miller et al.,993 e Kourti & M c Gregor, 996); maiores detalhes em Marcondes Filho (). Na rimeira ase de controle, ode-se utilizar a ACP ara selecionar as m amostras que reresentam o rocesso em controle estatístico, ou seja, que constituirão a distribuição de reerência ara monitoramento de amostras uturas (Marcondes Filho,, e M c Gregor & Kourti, 995). 4. Monitoramento de Processos em Bateladas via ACPM q, Processos em bateladas são utilizados com reqüência na obtenção de rodutos químicos e alimentícios, entre outros. A estrutura dos dados obtidos em um rocesso em bateladas aresenta dierenças em relação a rocessos contínuos. Processos em bateladas normalmente não são estacionários (Marsh & Tucker, 99); consequentemente, a média ou valor alvo das variáveis de rocesso não é constante (ou seja, ocua dierentes atamares durante o decorrer de uma batelada), bem como seus limites de tolerância. Desta orma, se uma batelada or bem sucedida, signiica que as variáveis de rocesso seguiram suas trajetórias adrão (ou trajetórias médias). Durante cada batelada, amostras consecutivas são obtidas das variáveis de rocesso; ao inal da batelada, disõem-se de várias mensurações dessas variáveis em ontos esaçados no temo. Para se construir uma distribuição de reerência adequada e realizar um monitoramento eiciente de bateladas uturas, deve-se considerar não aenas a estrutura de correlação das variáveis de rocesso, mas sua estrutura de autocorrelação. Para tal, é necessário analisar o histórico dessas variáveis em bateladas assadas bem sucedidas, tratando cada batelada como

6 6 uma amostra comleta do comortamento de cada variável em todos os instantes observados dentro da batelada. Assim, cada batelada observada traz uma amostra das trajetórias de todas as variáveis. Considere um rocesso em bateladas sendo monitorado através de variáveis correlacionadas mensuradas em h instantes dentro de cada batelada. Suonha dados disoníveis acerca de m bateladas bem sucedidas. Tem-se então m observações x,de dimensão ( h), que trazem as trajetórias adrão das variáveis nos h instantes observados na batelada. A Análise Comonentes Princiais Multidirecionais (ACPM) oi roosta or Nomikos & M c Gregor (994) e consiste em alicar a ACP na matriz de covariâncias S, (h h), obtida dessas m amostras. Em outras alavras, a ACPM considera variáveis relicadas h vezes como h variáveis distintas e, or conseqüência, autocorrelacionadas. Devido a esta caracterização redundante do rocesso, oucos CPs irão descrever suicientemente a estrutura de correlação e autocorrelação das variáveis aresentada na matriz S. Analogamente ao controle através da ACP aresentado na seção anterior, selecionam-se q (< h) CPs e monitora-se o rocesso rojetando cada observação x, ( h), reerente a uma batelada utura no lano deinido elos q CPs retidos. Os q autovetores ui trazem arte substancial da estrutura de correlação e autocorrelação das variáveis originais. Obtém-se, então, o vetor c q, contendo q escores c i, e comara-se o valor T [eq. (4) utilizando q dentre as h arcelas] e o resectivo resíduo Q [eq. (5) com h arcelas] aos resectivos limites de controle aresentados nas exressões (3) e (6). Um valor elevado de T q, signiica que a batelada aresentou uma variabilidade muito além daquela tolerada, considerando a hiótese de aenas causas comuns resentes no rocesso (ou seja, as variáveis aresentaram trajetórias com desvios signiicativos em relação às suas trajetórias médias). Por outro lado, um valor elevado de Q indica que a estrutura de correlação e autocorrelação aresentada elas variáveis na batelada utura x não está de acordo com a estrutura caturada elo modelo x ˆ = U c de reerência, construído a artir q q, das m bateladas reliminares bem sucedidas. Neste caso, a exemlo do que oi dito nos rocessos contínuos, existem indícios de que algum evento atíico, não contemlado na distribuição de reerência, esteja resente no rocesso. Para diagnosticar valores signiicativos de T e Q, novamente sugere-se a utilização de cartas de Shewhart individuais ara os CPs, em conjunto com gráicos de contribuição. Na rimeira ase de controle, também se ode utilizar a ACPM ara selecionar as m amostras que reresentam o rocesso sob controle estatístico; este rocedimento é detalhado em Marcondes Filho () e Nomikos & M c Gregor (995). 4. Monitoramento on-line via ACPM Na seção acima, oi aresentada a sistemática de oeração das CCs via ACMP ara monitoramento o-line de rocessos. Naquele monitoramento, aós o término de uma nova batelada, rojeta-se a observação x (vetor comleto contendo h valores obtidos aós o h ésimo instante transcorrido), no lano deinido elos q CPs retidos, monitorando os valores Tq, e Q. No entanto, ode-se exercer um controle mais acurado do rocesso monitorando novas bateladas em temo real, ou seja, cada nova medição das variáveis obtida dentro das bateladas. Para tal, dado o instante l transcorrido da batelada (ara l =,...,h), necessita-se reencher h l dados do vetor x de observações de uma batelada utura. q, q,

7 7 Três critérios surgem como alternativa ara o reenchimento de observações ainda não realizadas de uma batelada; uma discussão sobre estes critérios ode ser encontrada em Nomikos & M c Gregor (995). Uma abordagem simles e intuitivamente ácil de entender consiste em assumir que as variáveis de rocesso seguirão suas trajetórias médias nos h-l instantes uturos da batelada. Desta orma, deve-se reencher as observações altantes em x com h l zeros (já que os dados em questão encontram-se adronizados). Monitora-se, então, o rocesso obtendo, a cada novo instante l transcorrido, os valores arciais c ql, contendo q escores c i = u i x (com o vetor x comletado segundo algum critério) e comarando o valor arcial T ql, [eq. (4) utilizando q arcelas dentre as h arcelas disoníveis] com o limite de controle aresentado na eq. (3). O resíduo arcial Ql, é obtido através da eq. (5), utilizando somente as arcelas reerentes às medições mais recentes, reerentes ao instante l, isto é l Q l, = ( x i xˆ. (7), i, ) ( l ) + Tal rocedimento evita ossíveis erros de avaliação sobre o comortamento da batelada, associados ao reenchimento do vetor x. Neste caso, os limites de controle serão calculados utilizando os dados das m bateladas reliminares bem sucedidas x, considerando aenas o instante l. Nomikos & M c Gregor (995) e Marcondes Filho () aresentam a base teórica ara o cálculo destes limites. Através dos valores arciais T e Ql, ode-se, então, detectar, resectivamente,, ql desvios signiicativos das variáveis em torno de suas trajetórias médias, bem como a resença de eventos atíicos no rocesso durante a realização da batelada. Isto ermite uma ráida identiicação e correção dos eventuais distúrbios no rocesso. Nomikos & M c Gregor (995), entre outros, aresentam uma alicação desta abordagem utilizando como cenário um rocesso em bateladas ara rodução de olímeros. Marcondes Filho () e Rosa () aresentam duas alicações desta abordagem em indústrias brasileiras. 5. Conclusão A crescente automatização de rocessos industriais vem ermitindo a medição on-line de inúmeras variáveis de roduto e rocesso. Tais inormações costumam resultar em dados com uma estrutura comlexa de correlação e autocorrelação, o que torna seu monitoramento através de cartas univariadas ou multivariadas tradicionais desaconselhável. Uma estratégia de controle que considere correlações e autocorrelações entre variáveis deve ser rivilegiada neste contexto. Neste artigo, uma alternativa ara o monitoramento on-line de rocessos, as CCs multivariadas alicadas sobre os resultados de uma análise de comonentes rinciais multidirecionais, é aresentada. O artigo detalha o desenvolvimento teórico dessas CCs, ornecendo subsídios ara sua imlementação no controle de rocessos industriais, em articular, rocessos em bateladas. O desenvolvimento aresentado neste artigo consolida dierentes abordagens na literatura, em articular os trabalhos Nomikos & M c Gregor (995) e Kourti & M c Gregor (996). 6. Reerências Bibliográicas ALT, F. B. Multivariate Quality Control, in Encycloedia o Statistical Sciences. Wiley: New York, 985. JACKSON, J. E. A User s Guide to Princial Comonents. Wiley: New York, 99.

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