Ensaios em Jogos Evolucionários com Aplicação ao Estudo da Interação entre Agências de Rating e Investidores

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1 1 Raffael Caano de Arruda Ensaios em Jogos Evolucionários com Alicação ao Estudo da Interação entre Agências de Rating e Investidores Dissertação de Mestrado Dissertação aresentada como requisito arcial ara obtenção do grau de Mestre elo Programa de Pós- Graduação em Engenharia de Produção do Deartamento de Engenharia Industrial da PUC-Rio. Orientador: Prof. André Barreira da Silva Rocha Rio de Janeiro Setembro de 2015

2 2 Raffael Caano de Arruda Ensaios em Jogos Evolucionários com Alicação ao Estudo da Interação entre Agências de Rating e Investidores Dissertação aresentada como requisito arcial ara obtenção do grau de Mestre elo Programa de Pós- Graduação em Engenharia de Produção do Deartamento de Engenharia Industrial da PUC-Rio. Arovada ela Comissão Examinadora abaixo assinada. Prof. André Barreira da Silva Rocha Orientador Deartamento de Engenharia Industrial - PUC-Rio Prof. Carlos Patricio Samanez Deartamento de Engenharia Industrial - PUC-Rio Prof. Davi Michel Valladão Deartamento de Engenharia Industrial - PUC-Rio Prof. José Eugênio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio Rio de Janeiro, 02 de setembro de 2015

3 3 Todos os direitos reservados. É roibida a rerodução total ou arcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador. Raffael Caano de Arruda Possui graduação em Engenharia de Comutação ela PUC-Rio (2011. Arruda, Raffael Caano de Ficha Catalográfica Ensaios em jogos evolucionários com alicação ao estudo da interação entre agências de rating e investidores / Raffael Caano de Arruda ; orientador: André Barreira da Silva Rocha f. : il. (color. ; 30 cm Dissertação (mestrado Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Deartamento de Engenharia Industrial, Inclui bibliografia 1. Engenharia Industrial Teses. 2. Teoria dos jogos evolucionários. 3. Agências de rating de crédito. 4. Estrutura de jogos. I. Rocha, André Barreira da Silva. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Deartamento de Engenharia Industrial. III. Título. CDD: 658.5

4 4 Ao meu ai, Tom, meu herói e amigo; elo amor verdadeiro, ela formação do meu caráter e or todo esforço colocado em rol da minha educação.

5 5 Agradecimentos A Deus, elo oder da vida; or me fornecer sabedoria, saúde e força ara que eu siga semre no caminho do bem. Ao meu orientador, Professor André Barreira da Silva Rocha, ela oortunidade e elo conhecimento transmitido. À CAPES e a PUC-Rio, elos auxílios concedidos, sem os quais este trabalho não oderia ter sido realizado. Aos rofessores e funcionários da PUC-Rio, ela instrução e confiança; bases ara este trabalho. Ao Monsenhor Luiz Antônio Pereira Loes, ela confiança e oortunidade. Aos amigos do mestrado, Ali, Erick, Anna, Maurício e Douglas, ela troca de exeriências e ela ajuda recebida na execução deste trabalho. À Fernanda Sanromã e Carmen Maria, or todo amor, carinho e aoio. Seria muito mais difícil sem vocês! À minha família (em esecial ao meu ai, Tom, minha madrasta, Penha, meu avô Gennaro, meu tio Giovanni e meu rimo Gio elo amor incondicional e aoio nesta caminhada; or entenderem meus momentos de ausência na busca de um futuro rósero ara todos nós. Vocês são a base de tudo! Àqueles que, aesar da ausência física, estarão semre resentes na minha memória e no meu coração.

6 6 Resumo Arruda, Raffael Caano de; Rocha, André Barreira da Silva (Orientador. Ensaios em Jogos Evolucionários com Alicação ao Estudo da Interação entre Agências de Rating e Investidores. Rio de Janeiro, MSc. Dissertação - Deartamento de Engenharia Industrial. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. O ael das agências de rating de crédito no mercado de caitais tem evoluído ao longo dos últimos anos, assando de um rovedor de informação aos agentes financeiros a um "quase-regulador" do mercado. Em rincíio, suõe-se que as avaliações concedidas elas agências de rating são imarciais e, consequentemente, indicadoras de qualidade de crédito dos mais diversos instrumentos financeiros. Porém, deve ser observado que à medida que esses instrumentos disoníveis no mercado foram se tornando mais comlexos, o valor agregado das avaliações das agências diminuiu consideravelmente. A fim de analisar o roblema da imarcialidade das agências de rating, conforme roosto or Hirth (2014, fez-se uso da estrutura esacial em comaração à solução analítica aresentada como condição de equilíbrio ara o jogo evolucionário, com oulação well-mixed. Sendo assim, ara a modelagem do roblema aresentado, foi criado um rograma comutacional baseado a fim de aresentar uma solução comatível com a literatura sobre Teoria dos Jogos, exandindo seus conceitos e alicações ara uma Estrutura de Jogos Esaciais. Por fim, foi desenvolvida uma extensão ao rograma, a qual, dentro do meu melhor conhecimento, reresenta uma inovação à literatura ao estender as abordagens de Chan et al. (2013, Hauert (2004 e Zhong et al. (2006, considerando a Estrutura de Jogos Esaciais, ara o conceito de duas oulações. A artir dos casos estudados, ode-se concluir que a oulação ser well-mixed ou estar disosta ao longo de um grid esacial não imlica em diferenças significativas nos resultados ara os mesmos valores dos arâmetros. Palavras-Chave Teoria dos Jogos Evolucionários; Agências de rating de crédito; Estrutura de Jogos Esaciais.

7 7 Abstract Arruda, Raffael Caano de; Rocha, André Barreira da Silva (Advisor. Essays on Evolutionary Games with Alications to the Study of Interactions between Rating Agencies and Investors. Rio de Janeiro, MSc. Dissertation - Deartamento de Engenharia Industrial. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. The role of the credit rating agencies in the caital market has evolved in the last years, turning from a data rovider to financial agents into a market quasiregulator. Primarily, it is suosed that the evaluations rovided by the rating agencies are imartial and, consequently, indicative of credit quality of a wide range of financial instruments. Nevertheless, it is imortant to note that as these instruments available in the market became more comlex, the aggregate value of evaluations of agencies decrease considerably. In order to analyze the rating agencies imartiality issues, as roosed by Hirth (2014, this study uses the satial structure in comarison to the analytical solution resented as equilibrium condition to the evolutionary game, with well-mixed oulation. Therefore, in order to model the resented roblem, this study resents a comutational rogram that aims to resent a solution that matches the Game Theory literature, exanding its concets and alications to a Satial Games Structure. Finally, we created an extension of the rogram, which, in my best knowledge, is an innovation to the literature since it extends the aroaches of Chan et al. (2013, Hauert (2004 e Zhong et al. (2006, regarding the Satial Games Structure, to the concet of two oulations. From the studied cases, we concluded that the fact of the oulation being well-mixed or disosed in a satial grid does not imly differences of significance in the results to the same arameters values. Keywords Evolutionary games; Structured Satial Games; Credit rating agencies.

8 8 Sumário 1. Introdução Conceitos iniciais Objetivos e metodologia Jogos Evolucionários O Relicador Dinâmico Jogos Unidimensionais Jogos Bidimensionais Métodos comutacionais (agent-based simulation Poulações well-mixed Jogos Esaciais Dilema dos Prisioneiros e Snowdrift Game A Dinâmica do Jogo Esacial A Vizinhança Local Atualização da oulação Desenvolvimento Jogos de uma oulação Comarativo com o artigo Evolutionary snowdrift game incororating costly unishment in structured oulations Conceitos Iniciais Resultados comarativos (i Primeiro caso (ii Segundo caso Comarativo com o artigo Satial structure often inhibits the evolution of cooeration in the snowdrift game Conceitos Iniciais... 50

9 Resultados comarativos Jogos de duas oulações Extensão do modelo comutacional desenvolvido ara jogos de uma oulação Análise sobre o artigo Credit rating dynamics and cometition e alicações Agências de Rating (a Influência das agências de rating (b Regras e objetivos das agências de rating (c O ael desemenhado elas agências de rating nas crises financeiras (d Concorrência no segmento de agências de rating (e Regulação das agências de rating (f Métrica e qualidade do rating Conceitos Iniciais Hirth ( Modelagem ara a estrutura esacial (a Caso base: onto fixo interior e dinâmica cíclica i. Resultados alcançados (b Dinâmica sem onto fixo interior i. Resultados alcançados (c Caso de sela: onto fixo interior e duas bacias de atração i. Considerações iniciais ii. Resultados alcançados iii. Policy-maker Conclusão Referências bibliográficas... 93

10 10 Lista de figuras Figura 1 - Matriz de agamentos ara duas oulações. 26 Figura 2 - Vizinhança de von-neumann. 34 Figura 3 - Vizinhança de Moore. 35 Figura 4 - Alocação da oulação. 38 Figura 5 - Vizinhança de Von-Neumann ara raio unitário. 39 Figura 6 - Matriz de agamentos. 40 Figura 7 - Cálculo da matriz de ayoffs. 40 Figura 8 - Matriz oulacional e de ayoffs. 42 Figura 9 - Vizinhança de von-neumann ara indivíduos ertencentes às fronteiras da oulação. 43 Figura 10 - Matriz de agamentos ara o Snowdrift Game, incluindo agentes unidores. 44 Figura 11 - Evolução de frequências das estratégias da oulação. r = 0, Figura 12 - Evolução de frequências das estratégias da oulação. r = Figura 13 - Comosição da oulação. PMC = 1 (à esquerda. PMC = 10 (à direita. 47 Figura 14 - Comosição da oulação. PMC = 50 (à esquerda. PMC = 100 (à direita. 47 Figura 15 - Comosição da oulação. PMC = 1000 (à esquerda. PMC = 5000 (à direita. 47 Figura 16 - Evolução de frequências das estratégias da oulação. r = Figura 17 - Evolução de frequências das estratégias da oulação. r = Figura 18 - Comosição da oulação. PMC = 1 (à esquerda. PMC = 10 (à direita. 49

11 11 Figura 19 - Comosição da oulação. PMC = 50 (à esquerda. PMC = 250 (à direita. 49 Figura 20 - Comosição da oulação. PMC = 1000 (à esquerda. PMC = 5000 (à direita. 50 Figura 21 - Frequência de cooeradores em função do custo-benefício. 51 Figura 22 - Frequência de cooeradores em função do custo-benefício. 52 Figura 23 - Comosição da oulação no Snowdrift Game. r = Figura 24 - Formação de filamentos na visão microscóica no 'Snowdrift Game'. 53 Figura 25 - Comosição da oulação no 'Snowdrift Game'. r = Figura 26 - Formação de filamentos na visão microscóica no 'Snowdrift Game'. 54 Figura 27 - Alocação inicial das oulações. 56 Figura 28 - Cálculo do ayoff. Duas oulações. 57 Figura 29 - Comaração entre indivíduos ara cada oulação. 57 Figura 30 - Matriz de Pagamentos. 67 Figura 31 - Probabilidade do investidor comrar o investimento dado que este foi avaliado como 'bom'. 69 Figura 32 - Taxa eserada ela agência de rating. 70 Figura 33 - Parâmetros ara o Caso Base - Ponto fixo interior e dinâmica cíclica. 71 Figura 34 Caso Base: onto fixo interior e dinâmica cíclica. A figura reresenta a evolução dinâmica da fração da oulação, onde α reresenta a fração dos investidores confiantes (em vez dos sofisticados e β reresenta a fração das agências de rating honestas (em vez das inflacionárias. 72 Figura 35 - Caso Base: onto fixo interior e dinâmica cíclica. 72 Figura 36 - Frequência da oulação de investidores. 74 Figura 37 - Frequência da oulação de agências de rating. 74 Figura 38 - Evolução esacial da oulação de investidores (investidores confiantes em vermelho e sofisticados em azul.

12 12 PMC = 1 (à esquerda. PMC = 50 (à direita. 75 Figura 39 - Evolução esacial da oulação de investidores (investidores confiantes em vermelho e sofisticados em azul. PMC = 500 (à esquerda. PMC = 1000 (à direita. 75 Figura 40 - Evolução esacial da oulação de agências de rating (agências honestas em verde e inflacionárias em amarelo. PMC = 1 (à esquerda. PMC = 10 (à direita. 76 Figura 41 - Evolução esacial da oulação de investidores (agências honestas em verde e inflacionárias em amarelo. PMC = 50 (à esquerda. PMC = 500 (à direita. 76 Figura 42 - Equilíbrio: Investidor confiante/ Agência inflacionária. λ = Figura 43 - Frequência da oulação de investidores. 78 Figura 44 - Frequência da oulação de agências de rating. 79 Figura 45 - Evolução esacial da oulação de investidores (investidores confiantes em vermelho e sofisticados em azul. PMC = 1 (à esquerda; PMC = 10 (à direita. 79 Figura 46 - Evolução esacial da oulação de investidores (investidores confiantes em vermelho e sofisticados em azul. PMC = 30 (à esquerda; PMC = 300 (à direita. 80 Figura 47 - Evolução esacial da oulação de agências de rating (agências honestas em verde e inflacionárias em amarelo. PMC = 1 (à esquerda; PMC = 10 (à direita. 80 Figura 48 - Evolução esacial da oulação de agências de rating (agências honestas em verde e inflacionárias em amarelo. PMC = 30 (à esquerda; PMC = 300 (à direita. 80 Figura 49 - Equilíbrios de Nash ara o caso: ρ S - ρ T + (1 - λ.φ < Figura 50 - Parâmetros: caso de sela. 83 Figura 51 - Diagrama de fases. Caso de sela. 83 Figura 52 - Diagrama de fases ara os ontos testados. ( Figura 53 - Evolução das frequências ara a oulação de investidores. Condição inicial: (α = 0.13; β = Figura 54 - Evolução das frequências ara a oulação de agências

13 13 de rating. Condição inicial: (α = 0.13; β = Figura 55 - Evolução das frequências ara a oulação de investidores. Condição inicial: (α = 0.15; β = Figura 56 - Evolução das frequências ara a oulação de agências de rating. Condição inicial: (α = 0.15; β = Figura 57 - Evolução das frequências ara a oulação de investidores. Condição inicial: (α = 0.14; β = 0.8. Primeira simulação. 86 Figura 58 - Evolução das frequências ara a oulação de agências de rating. Condição inicial: (α = 0.14; β = 0.8. Primeira simulação. 86 Figura 59 - Evolução das frequências ara a oulação de investidores. Condição inicial: (α = 0.14; β = 0.8. Segunda simulação. 87 Figura 60 - Evolução das frequências ara a oulação de agências de rating. Condição inicial: (α = 0.14; β = 0.8. Primeira simulação. 87 Figura 61 - Poulação de investidores (investidores confiantes em vermelho e sofisticados em azul. PMC = 1 (à esquerda. PMC = 80 (à direita. 88 Figura 62 - Poulação de investidores (investidores confiantes em vermelho e sofisticados em azul. PMC = 180 (à esquerda. PMC = 250 (à direita. 88 Figura 63 - Poulação de agências de rating (agências de rating honestas em verde e inflacionárias em amarelo. PMC = 1 (à esquerda. PMC = 80 (à direita. 88 Figura 64 - Poulação de agências de rating (agências de rating honestas em verde e inflacionárias em amarelo. PMC = 180 (à esquerda. PMC = 250 (à direita. 89 Figura 65 - Efeitos da consideração de uma nova agência de rating no mercado. 90

14 14 Lista de siglas e abreviaturas EEE EN HFA IAIS NRSRO PMC SEC VBA Equilíbrio Evolucionariamente Estável Equilíbrio de Nash Hedge Funds Association International Association of Insurance Suervisors Nationally Recognized Statistical Rating Organization Passo de Monte Carlo Securities and Exchange Commission Visual Basic for Alication

15 15 A grandeza não consiste em receber honras, mas em merecê-las. Aristóteles

16 16 1. Introdução 1.1. Conceitos iniciais O ael das agências de rating 1 de crédito no mercado de caitais tem evoluído ao longo dos últimos anos, assando de um rovedor de informação aos agentes financeiros a um "quase-regulador" do mercado. De acordo com Pattberg (2005, as agências de rating são emresas rivadas, que recebem uma comissão semre que avaliam um ativo como grau de investimento, e surgiram ara eliminar a assimetria de informação entre os diferentes atores do mercado financeiro. Deste modo, os emissores de títulos, investidores e tomadores de emréstimo, utilizam as informações rovidas or estas agências ara sua tomada de decisão financeira. Em rincíio, suõe-se que as avaliações concedidas elas agências de rating são imarciais e, consequentemente, indicadoras de qualidade de crédito dos mais diversos instrumentos financeiros. Porém, deve ser observado que à medida que esses instrumentos disoníveis no mercado foram se tornando mais comlexos, o valor agregado das avaliações das agências diminuiu consideravelmente. As avaliações fornecidas elas agências, em boa arte, tornaram-se reativas às tendências econômicas observadas e não mais reditivas de tais comortamentos. Considera-se que a crise do subrime culminada em foi imulsionada ela avaliação roositalmente inflada de ativos ruins, sendo estes classificados como grau de investimento elas agências de rating. Neste contexto, tem-se estudado formas eficientes de melhorar a qualidade das informações restadas or tais agências. De acordo com o exosto em Bolton et al. (2012, o aumento da cometição entre as agências não é eficiente. Hirth (2014, através da Teoria dos Jogos Evolucionários - inicialmente aresentada or Friedman (1991 ara contextos econômicos similares ao discutido aqui - analisa sob quais circunstâncias as agências com baixo market share 2 odem melhorar suas osições. Para tal, considera uma nova agência de rating entrante neste mercado, cujos adrões éticos e ráticas comerciais são notoriamente distintos das emresas incumbentes. 1 Classificação do crédito. 2 Grau de articiação da agência de rating no mercado.

17 17 Em seu artigo, Hirth (2014 desenvolveu um modelo onde as agências odem adotar um comortamento do tio honest, avaliando corretamente os investimentos, ou inflating, suerestimando a qualidade do investimento. Os investidores odem ser do tio trusting, que acreditam iamente nas notas emitidas elas agências, ou sohisticated, disondo de conhecimento e informação suficiente ara avaliar se o investimento é, de fato, grau de investimento ou não. As Agências tendem a suerestimar suas avaliações ara os investidores trusting, ois o benefício de conseguirem mais comissões suera qualquer custo de reutação ara o caso em que são egas inflando suas notas. Por outro lado, os investidores trusting mudam seu comortamento à medida que ercebem que estão num mercado dominado or agências que inflam suas recomendações. Isso ocorre, ois os investidores sohisticated são mais bem sucedidos nesse ambiente. Os investidores sohisticated têm um custo de monitoramento das avaliações feitas elas agências, ao asso que os investidores trusting economizam esse custo, mas incorrem em erdas significativas quando adquirem rodutos ruins avaliados como bons. Sendo assim, a maior contribuição desta dissertação foi modelar jogos de duas oulações, assim como o aresentado or Hirth (2014, utilizando a estrutura de Jogo Esacial Objetivos e metodologia A fim de analisar o roblema da imarcialidade das agências de rating, conforme roosto or Hirth (2014, fez-se uso da estrutura esacial em comaração à solução analítica ara oulações well-mixed aresentada como condição de equilíbrio ara o jogo evolucionário. Sendo assim, ara a modelagem do roblema aresentado, foi criado um rograma comutacional baseado em linguagem de rogramação Visual Basic for Alications a fim de aresentar uma solução comatível com a literatura sobre Teoria dos Jogos, exandindo seus conceitos e alicações ara uma Estrutura de Jogos Esaciais. As simulações são realizadas de modo a relicar os resultados alcançados or Hauert (2004 e Chan et al. (2013 ara os tradicionais jogos de uma oulação, como o Dilema dos Prisioneiros e Snowdrift Game, bem como as

18 18 suas adatações. É imortante destacar que Hauert (2004 quebrou aradigmas ao mostrar que nem semre a introdução da Estrutura de Jogos Esaciais favorece a cooeração, como no caso do jogo O Dilema dos Prisioneiros. Por fim, foi desenvolvida uma extensão ao rograma, a qual, dentro do meu melhor conhecimento, reresenta uma inovação à literatura ao estender as abordagens de Chan et al. (2013, Hauert (2004 e Zhong et al. (2006, considerando a Estrutura de Jogos Esaciais, ara o conceito de duas oulações.

19 19 2. Jogos Evolucionários O fenômeno das interações cooerativas entre os animais tem intrigado os biólogos desde Darwin. No entanto, os conceitos teóricos que fundamentam o estudo da cooeração aareceram aenas um século deois, e teve sua origem em Economia e Ciências Políticas em vez da Biologia. John von-neumann e Oskar Morgenstern desenvolveram um modelo matemático chamado Teoria dos Jogos, o qual descreve as interações entre os indivíduos. Esta teoria surgiu na segunda guerra mundial e seu uso foi destinado rincialmente ara usos militares. John Nash, osteriormente, contribuiu com o desenvolvimento da teoria através da introdução e desenvolvimento do conceito de Equilíbrio de Nash (EN. O EN é alcançado no jogo quando a estratégia escolhida or cada jogador é uma melhor resosta ao erfil de estratégias escolhido or seus oonentes. Sendo assim, em um EN, nenhum jogador tem incentivo ara desviar unilateralmente da sua estratégia escolhida ara jogar. Algumas décadas deois, John Maynard-Smith e George R. Price engenhosamente relacionaram o conceito econômico da função de ayoff 3 com a atidão evolucionária, como o único fator relevante na evolução. Além disso, Maynard-Smith aerfeiçoou o conceito de EN em um contexto evolutivo e introduziu a noção de Equilíbrio Evolucionariamente Estável (EEE, que reresenta um subconjunto do conceito de equilíbrio roosto or Nash (1950. Em outras alavras, um EEE, na verdade, ode ser visto como um refinamento da teoria clássica, ao asso que acrescenta requisitos de estabilidade, ou seja, aresenta uma Estratégia Evolucionariamente Estável. Segundo Rocha et al. (2011, tem-se esta configuração quando a estratégia não ode ser invadida or um indivíduo mutante. Tal estratégia deve ser uma melhor resosta a si mesma, e fornece um ayoff estritamente maior do que qualquer estratégia que é uma melhor resosta à Estratégia Evolucionariamente Estável. Mais tarde, com o intuito de arimorar as limitações da Teoria dos Jogos clássica, Taylor e Jonker (1978 interretou tal teoria em um contexto oulacional. Dessa 3 Pagamento ou resultado ara uma determinada combinação de estratégias.

20 20 forma, o modelo de Teoria dos Jogos deixou de ser analisado de forma estática e assou a ser analisado de forma dinâmica. Na forma estática havia o ressuosto de que os jogadores se encontrariam em um único momento, e com a introdução do ensamento dinâmico ôde-se estender este conceito ara o longo razo, com um número suficientemente grande de iterações e, ainda, com a ossibilidade de terem suas estratégias imitadas or seus oonentes, indicando que estes ossuíam caacidade de arendizado. Um dos fatores rinciais que deram base à Teoria dos Jogos Evolucionários é que os jogadores não necessariamente sejam racionais. Nowak et al. (2000 afirma que o rocesso de adatação das estratégias dos jogadores acontece, na maioria das vezes, de forma direta, ou seja, não necessariamente os jogadores estão racionalmente maximizando seus ayoffs. O autor ainda afirma que os jogadores odem ser animais, bactérias, lantas, células, etc; Dessa forma, suas estratégias aenas reresentam adrões oeracionais codificados em seus genes, instinto ou imitação. O rocesso de adatação dos jogadores é um tóico fundamental ara a comreensão da Teoria dos Jogos Evolucionários. Na literatura clássica, um jogador interagia com seu oonente de uma forma estática. Já na abordagem evolucionária, tem-se um jogo onde dois indivíduos de uma ou mais oulações suficientemente grandes, são escolhidos aleatoriamente e rogramados ara adotar uma determinada estratégia ura, não necessariamente ótima, contra seu oonente, introduzindo assim o conceito de racionalidade limitada. Este rocedimento ocorre em uma grande quantidade de iterações e, a cada iteração, o ercentual da oulação com robabilidade de jogar uma das estratégias disoníveis é modificado de acordo com os agamentos alcançados elos indivíduos que comõem o jogo. Estes resultados não deendem somente da função de agamento, mas também do estado da oulação, isto é, da frequência de agentes que adotam determinada estratégia. É imortante salientar que os indivíduos de uma determinada oulação são simétricos em suas referências, ou seja, ossuem conjunto (não vazio de estratégias idêntico. A dinâmica da Teoria dos Jogos Evolucionários ode, em muitas vezes, eliminar alguns dos Equilíbrios de Nash alcançados na Teoria dos Jogos Clássica de forma a alcançar um único equilíbrio, o Equilíbrio Evolucionário.

21 O Relicador Dinâmico O relicador dinâmico - aresentado or Taylor e Jonker (1978 consiste em modelar como a oulação evolui dinamicamente ao longo do temo através de um sistema não linear de equações diferenciais a fim de determinar o estado da oulação que constitui um equilíbrio de longo razo. Analisando o relicador dinâmico em um contexto biológico, quando considera-se oulações de organismos rogramados ara se comortarem da mesma forma, ode-se dizer que os gruos de genes que determinam tal comortamento são os relicadores. No conceito de Jogos Evolucionários, o comortamento determinístico de cada jogador é determinado elo relicador dinâmico, sendo este designado a cada jogador, de forma a caracterizar seus comortamentos. Sendo assim, a evolução das frequências de cada oulação ossui relação direta com a dinâmica do relicador, de forma que tal dinâmica trata da lei de evolução das frequências. Segundo Binmore (1992, o relicador dinâmico ossui as seguintes características: Caacidade de auto-relicação; Determina um comortamento que corresonde a uma estratégia de um jogo; Para deduzir a equação do relicador dinâmico é reciso entender o significado dos arâmetros fundamentais, conforme mostrado abaixo: N(t: O tamanho da oulação no instante de temo t; Ni(t: O número de indivíduos adotando a estratégia sᵢ no instante de temo t; i(t = (Ni(t / N(t: A roorção de indivíduos que adotam a estratégia sᵢ no instante de temo t;

22 22 d: A taxa de mortalidade (constante; U(Sᵢ; σ: O número eserado de filhos de um indivíduo que adota Sᵢ quando comete em uma oulação em estado σ(t. Dessa forma, o número de indivíduos adotando Sᵢ em t + 1 é: n j j i j i i d s s U t N t N 1, ( 1 ( 1 ( Generalizando ara temo contínuo: n j j i j i i d s s U t t N t t N 1, ( 1 ( ( Portanto: d s U t N t N d s s U t N t N i i i n j j i j i i, ( ( (, ( ( (. 1. Para a oulação toda: n i n j j i j i d s s U t t N t t N 1 1, ( 1 ( ( Dessa forma, tem-se que: (. t N n j j i j n i i d s s U t N 1 1, ( ( d U t N t N, ( ( (. Por fim, tem-se que:

23 23. i( t d dt Ni( t N( t i( t U( Si, U(, A equação acima reresenta a dinâmica do relicador, conforme mostrado or Friedman (1988. Tal equação comara o desemenho de um indivíduo da oulação que joga uma determinada estratégia i com a de um indivíduo médio desta mesma oulação que joga qualquer uma das estratégias do vetor. O roblema da equação do relicador dinâmico é que esta não considera o efeito das mutações e funciona de forma eficiente aenas ara oulações muito grandes Jogos Unidimensionais Como já mostrado na seção anterior, sabe-se que ara demonstrar a tendência de comortamento de uma oulação ao longo do temo é utilizado o relicador dinâmico. Para exemlificar o seu uso, seguem abaixo alguns arâmetros de um jogo unidimensional: a Matriz A a oulação; a a 12 22, que reresenta o agamento eserado da Jogo de uma oulação e duas estratégias; Conjunto de estratégias: S = { e 1, e 2 }; = roorção de indivíduos da oulação que joga a rimeira estratégia do conjunto de estratégias, onde [0, 1]; (1 = roorção de indivíduos da oulação que joga a segunda estratégia do conjunto de estratégias;

24 24 Antes de começar a desenvolver o jogo, ode-se normalizar a matriz A, a fim de facilitar o desenvolvimento dos cálculos. A normalização da matriz não influencia o resultado final do jogo, visto que a estrutura de melhor resosta não se altera. Sendo assim, temos que:, ( (., 1 S S f S e f O desemenho de um indivíduo da oulação que joga a rimeira estratégia do conjunto de estratégias ode ser reresentado or: S A e S e f 1, 1 ( a a S e f ( 2 1, 1 a S e f 1 ( 1, 1 O desemenho de um indivíduo da oulação que joga qualquer uma das estratégias do vetor S ode ser reresentado or: S A S S S f (, a a S S f ( 2 1, a a S S f 1 1 ( 1 2, a a a a S S f ( , Dessa forma, voltando à equação do relicador dinâmico, temos que:, ( (., 1 S S f S e f a a a

25 25 Aós algumas simlificações, temos que: a a Com isso, ara se obter o(s equilíbrio(s evolucionário(s é fundamental, rimeiramente, rocurar elos ontos estacionários. Dessa forma, temos que: a a Os rimeiros ontos triviais obtidos são: 0 e. 1 A fim de descobrir o terceiro onto estacionário, tem-se que: a a Logo: a a a Os ontos estacionários obtidos são: , 0, a a a Uma vez conhecidos, deve-se verificar a estabilidade dos ontos estacionários, alicando. em cada um dos ontos estacionários. Dessa forma, temos que: ( (1 (1 2 ( a a a a 1 0. a ; 2 1. a ; a a a a a a a

26 Poulação A 1-26 A artir dos resultados obtidos acima, é ossível analisar cada uma das derivadas arciais obtidas acima e verificar quais ontos são, de fato, assintoticamente estáveis, ou seja, quais ontos ossuem:. 0, i e com isso reresentam o equilíbrio evolucionariamente estável Jogos Bidimensionais Seguem abaixo os arâmetros considerados que exemlificam um jogo bidimensional: Matriz A = (a ij 2x2, que reresenta o agamento eserado ara a oulação A e B = (b ij 2x2, que reresenta o agamento eserado ara a oulação B. As matrizes estão intercaladas, conforme mostrado abaixo: Poulação B q 1 - q 0, 0 a 1, b 1 a 2, b 2 0, 0 Figura 1 - Matriz de agamentos ara duas oulações. Jogo de duas oulações, cada uma ossuindo duas estratégias; Conjunto de estratégias: A e A e A e B e B e B S, 1 2 S, 1 2 ; = roorção de indivíduos da oulação A que joga a rimeira estratégia do conjunto de estratégias; (1 = roorção de indivíduos da oulação A que joga a segunda estratégia do conjunto de estratégias;

27 27 q = roorção de indivíduos da oulação B que joga a rimeira estratégia do conjunto de estratégias; (1 q = roorção de indivíduos da oulação B que joga a segunda estratégia do conjunto de estratégias; Sendo assim, ara a ótica do jogador linha (jogador da oulação A, temos que:. A f ( e, f (,, 1 onde e são, resectivamente, os estados atuais das oulações A e B. O desemenho de um indivíduo da oulação que joga a rimeira estratégia do conjunto de estratégias da oulação A, contra um indivíduo que joga qualquer uma das estratégias da oulação B, de acordo com suas robabilidades de ocorrência: f ( e f ( e A, e A A 1 A 1, 1 0 a a q 0 1 q f A ( e1, a1 1 q Abaixo é mostrado o desemenho de um indivíduo da oulação A que joga qualquer uma das suas estratégias, contra um indivíduo da oulação B, que também joga qualquer uma de suas estratégias, de acordo com as resectivas robabilidades de ocorrência: f (, f (, A 0 a a q 0 1 q 1 1 f (, a2 1 q a1 (1 q 2

28 28 Fazendo os cálculos de forma similar, sob a ótica do jogador coluna (oulação B, constata-se que:, (, (. 1 f e f q q B (1, ( 2 1 b e f B (1 1 ( 1 2, q b q b f Sendo assim, temos que: q a q a 2 1 (1 (1. b b q q q 1 2 (1 (1. O róximo asso agora é determinar os ontos estacionários e verificar suas estabilidades. Entretanto, diferentemente do que foi feito ara o caso unidimensional, aqui temos um sistema de equações não-lineares. Dessa forma, alica-se a matriz Jacobiana, de modo a analisar a estabilidade na vizinhança do onto estacionário do sistema linearizado. Com isso, a matriz Jacobiana ossui a seguinte estrutura: q q q q q J...., ( Com a matriz Jacobiana obtida, ode-se calcular o traço e o determinante: q q q J tr.., ( ( q q q q q J......, ( ( det Calculando as derivadas arciais da matriz Jacobiana, temos que:

29 29 (1 ( 2 ( q a q a ( (1. a1 a2 q ( (1. b1 b2 q q q (1 ( 2 ( b b q q q A artir de agora, ode-se encontrar os autovalores ( da matriz Jacobiana. Com isso, temos que: 0, ( ( det I q J 0...., ( ( det q q q q I q J 0 det...., ( ( det 2 J trj q q q q I q J Portanto, os autovalores são dados or: 2 4det 2 J trj trj.

30 30 3. Métodos comutacionais (agent-based simulation 3.1. Poulações well-mixed Uma alicação comutacional usando agent-based simulation alicado a uma oulação well-mixed 4 foi exlorado or Xu et al. (2011 com a inclusão de uma estratégia de unição na dinâmica do jogo. Considera-se um jogo em que os agentes odem escolher três estratégias: cooerar, desviar ou unir. Os agentes que escolhem a estratégia de unição odem ser vistos como altruístas, ois estão disostos a abrir mão de arte de seu agamento, com a finalidade que agentes que otem or desviar sejam enalizados, e que, dessa forma, tenham incentivo maior a adotar a estratégia de cooeração. Sendo assim, o autor realizou um estudo analítico e numérico com relação à evolução e dinâmica do jogo envolvendo uma oulação do tio bem misturada. Neste tio de jogo, é considerada uma oulação que, em seu estágio inicial, é comosta elos indivíduos que estão disostos a jogar cada uma das estratégias do jogo. Esta oulação ossui um número muito grande de indivíduos, sendo que cada um dos indivíduos interage com todos os outros indivíduos da oulação com a mesma robabilidade. A cada asso evolucionário é dada a oortunidade ara que todos os indivíduos tenham, em média, uma chance de trocar de estratégia. Com isso, um agente focal comete com um oonente, ambos escolhidos aleatoriamente dentro da oulação e o agente focal obtém um ayoff V(i. Da mesma forma, um agente referência comete com outro oonente, ambos escolhido aleatoriamente dentro da oulação, e obtém um ayoff V(j. O agente focal comara o seu ayoff com o do agente referência. Caso o ayoff do agente focal seja maior ou igual ao ayoff do agente referência, o agente focal mantém a sua estratégia, caso contrário, o agente focal imitará a estratégia do seu oonente com uma determinada robabilidade. 4 Conceito de oulações bem misturadas. Todos os indivíduos da oulação interagem entre si.

31 31 Sendo assim, quando todos os indivíduos, em média, tiverem a oortunidade de modificar suas estratégias, termina-se um asso evolucionário e um novo asso evolucionário se inicia de forma a reetir a dinâmica do jogo Jogos Esaciais O surgimento de comortamento cooerativo em sociedades humanas e de animais é um dos roblemas fundamentais da Biologia e Ciências Sociais. A cooeração leva a grandes transições da história da vida: moléculas agregadas em rotocélulas, genes organizados em cromossomos, células em forma de organismos comlexos, ou indivíduos formados em sociedades, or exemlo. Todos os exemlos citados ossuem algo em comum. Todos estes aarentam ser uma contradição com a seleção Darwiniana, orque são roensos à exloração. Em ciências do comortamento, a essência de várias interações entre seres humanos e animais ode ser modelada elos chamados jogos 2 x 2. Tais jogos descrevem as interações de ares de indivíduos com duas estratégias comortamentais a serem escolhidas. O indivíduo obtém um determinado ayoff deendendo do seu comortamento estratégia assumida. Na Biologia, tal ayoff é geralmente relacionado com o sucesso de sua rerodução. Em certas alicações, é conveniente modelar a oulação distribuída esacialmente, com os indivíduos ocuando ontos esecíficos no esaço. Em tal situação, os indivíduos interagem aenas com seus vizinhos imediatos, diferentemente de uma oulação wellmixed, onde cada vizinho é vizinho de todos os demais indivíduos Dilema dos Prisioneiros e Snowdrift Game Segundo Hauert (2001, o estilo de jogo mais reresentativo que exlica as interações entre os indivíduos no âmbito dos jogos esaciais é o Dilema dos Prisioneiros. Este jogo exlica o surgimento do comortamento cooerativo altruísta entre indivíduos desconexos e egoístas. De forma sucinta, o Dilema dos Prisioneiros reresenta uma situação em que dois indivíduos são resos ela olícia. Como a olícia não tem rovas ara condenálos, os indivíduos são colocados em salas searadas e lhes são oferecidos o

32 32 mesmo acordo: se um dos risioneiros, confessando, testemunhar contra o outro e esse outro ermanecer em silêncio, o que confessou sai livre enquanto o cúmlice silencioso cumre sua sentença. Se ambos ficarem em silêncio, a olícia só ode condená-los a um razo inferior ao razo da condenação caso um indivíduo confesse e o outro fique em silêncio. Se ambos traírem o comarsa, cada um é condenado or um razo intermediário com relação os dois citados anteriormente. Cada risioneiro faz a sua decisão sem saber que decisão o outro vai tomar. O objetivo do roblema é entender o comortamento dos risioneiros. Um dos rinciais resultados teóricos que foi obtido a artir de variações de configuração do Dilema dos Prisioneiros afirma que qualquer forma de interação associativa favorece a cooeração. A cooeração, esecialmente, ode roserar no jogo esacial do Dilema dos Prisioneiros, onde os indivíduos estão confinados em um determinado esaço onde seja ossível, somente, interagir com a sua vizinhança local. Aesar das conquistas teóricas, alguns estudos exerimentais foram realizados e mostraram que, em muitas vezes, é difícil avaliar os ayoffs ara diferentes adrões de comortamento. As condições rigorosas do Dilema dos Prisioneiros não uderam ser satisfeitas em muitas situações naturais reais. Sendo assim, em uma alternativa biologicamente viável surgiu o Snowdrift Game, jogo este que se refere, da mesma forma que o anterior, a interações cooerativas, mas sob condições diferentes, como em oulações bem distribuídas e com encontros aleatórios entre cooeradores e desertores configurando um equilíbrio estável, contrastando com o jogo do Dilema dos Prisioneiros, onde os indivíduos que otam or escolher a estratégia que busca a cooeração são extintos. O Snowdrift Game, na forma esacial, em contraste com o Dilema dos Prisioneiros, na mesma forma, não beneficia a cooeração. De fato, a estrutura esacial tende a reduzir o comortamento cooerativo relativamente a oulações bem distribuídas. No Dilema dos Prisioneiros esacial, os cooeradores odem roserar através da formação de aglomerados comactos de indivíduos que jogam a mesma estratégia, e as erdas de cooeradores contra desertores ao longo da fronteira são comensadas or ganhos de interações dentro do rório cluster 5. 5 Agruamento de indivíduos que jogam a mesma estratégia.

33 33 Em contraartida, este comortamento não acontece no Snowdrift Game esacial. De forma um ouco contraditória, a razão definitiva ara que isto aconteça é o comortamento cooerativo em oulações bem distribuídas. O Snowdrift Game também é conhecido como o jogo do Falcão e Pombo. Neste jogo existem duas estratégias de equilíbrio, em que o jogador escolhe ser ombo ou ser falcão. Essa escolha irá definir o seu comortamento erante uma situação de conflito; caso o indivíduo escolhe ser falcão, tem uma atitude mais agressiva e ataca. Caso escolhe ser ombo adota uma estratégia mais segura e desiste do confronto. Se ambos os jogadores escolhem ser ombo resencia-se uma situação benéfica, ois não há qualquer confronto, mas também os indivíduos não obtém ayoff ositivo. Caso ambos os jogadores escolhem ser falcão há um confronto do qual ninguém sai beneficiado. Sendo assim, se o benefício de vencer for maior que o custo de erder, a melhor estratégia é otar or ser falcão, ois o falcão semre tem ayoff melhor que o ombo. No entanto, se o custo de confronto for elevado será melhor ser ombo A Dinâmica do Jogo Esacial A oulação do jogo esacial é reresentada or um grid 6 de tamanho N x N. Em contraste com o jogo well-mixed em que cada um dos indivíduos da oulação interage com todos os demais jogadores no jogo esacial, os indivíduos somente interagem com os que estão contidos na sua vizinhança local. Cada indivíduo acumula um ayoff médio que é obtido elo resultado das interações com todos seus vizinhos locais. Em cada geração ou a cada asso de Monte Carlo cada indivíduo da oulação ode ter a oortunidade de se comarar com um de seus vizinhos e imitar a sua estratégia, o que é conhecido na literatura como Relication by Imitation. 6 Grelha ou matriz oulacional.

34 A Vizinhança Local Assim como já introduzido anteriormente, a vizinhança local contém os indivíduos que estão situados ao redor do jogador focal, que é aquele sob o qual está sendo realizada a análise. Os tios de vizinhança mais utilizados na literatura aresentado or Hauert (2004 e Chan et al. (2013 em suas simulações são a Vizinhança de von- Neumann e a Vizinhança de Moore. O conceito de Vizinhança de von-neumann surgiu juntamente com o de Autômato Celular, que é um modelo discreto estudado na Biologia Teórica, Matemática e Teoria da Recursão. Tal conceito consiste de uma grade infinita e regular de células, cada uma odendo estar em um número finito de estados, que variam de acordo com regras determinísticas. Dessa forma, a Vizinhança de von-neumann consiste de quatro células ortogonais ao redor de uma célula central em uma grade bidimensional, conforme mostrado na figura abaixo: Figura 2 - Vizinhança de von-neumann. Fonte: Gray (2003. Da figura acima ode-se observar que a vizinhança de von-neumann existe ara diferentes raios, conforme exlicado abaixo:

35 35 r = 0: o indivíduo não interage com os seus vizinhos. r = 1: o indivíduo interage somente com os seus vizinhos imediatos. r > 1: o agente focal interage com uma vizinhança mais distante, além dos seus vizinhos imediatos. Quanto maior o valor de R, maior é a quantidade de vizinhos com os quais o agente focal interage. O outro tio de vizinhança bastante utilizado na modelagem de jogos esaciais é a Vizinhança de Moore. A Vizinhança de Moore consiste de oito células ao redor de uma célula central, conforme mostrado na figura abaixo. A vizinhança foi nomeada desta forma em homenagem à Edward F. Moore, um ioneiro da teoria dos autômatos celulares. Figura 3 - Vizinhança de Moore. Fonte: Gray (2003.

36 Atualização da oulação A oulação ode ser atualizada na forma síncrona ou assíncrona. Segundo Hauert (2001, na forma de atualização síncrona, a oulação somente é atualizada ara uma nova comosição de indivíduos, aós todos os indivíduos terem a oortunidade de jogar com seus vizinhos locais. Dessa forma, todos os agentes tem a oortunidade de se adatarem em um determinado asso de Monte Carlo, no entanto, somente ao final do asso de Monte Carlo onde todas as interações ocorreram é que, simultaneamente, os jogadores adotam a estratégia do seu vizinho local. Na forma de atualização assíncrona, existe a ossibilidade de se imitar a estratégia do vizinho local aós cada iteração. Ou seja, um determinado indivíduo não esera todos os demais terem a oortunidade de se comarar com os vizinhos ara imitar ou não a estratégia deste último. Cada indivíduo ossui um ayoff médio, que é encontrado ela média aritmética dos ayoffs obtidos em cada interação com os seus vizinhos locais, sendo assim, sabe-se que: n vi i Vi 1. n Dessa forma, o jogador focal comara o seu ayoff médio com o ayoff médio do jogador referência, que é escolhido aleatoriamente dentre os indivíduos ertencentes à vizinhança do jogador focal. O ayoff médio do jogador referência, que é utilizado na comaração com o jogador focal, é obtido como resultado das interações que o jogador referência realiza com os seus vizinhos locais, em que até mesmo o jogador focal está incluído. Dessa forma, o ayoff médio obtido elo jogador referência ode ser entendido como: n vj i Vj 1. n Aós o cálculo dos ayoffs, deve-se realizar o seguinte rocedimento: caso Vi Vj, o jogador focal mantém sua estratégia, visto que o ayoff do jogador referência não é maior do que seu rório ayoff. Com isso, não há ossibilidade de relicação or imitação, visto que não há exectativa de melhora em seu

37 37 desemenho. Entretanto, caso Vi < Vj, o jogador focal tem a ossibilidade de melhorar sua estratégia. O jogador focal imitará a estratégia do seu oonente com a seguinte robabilidade: Vj Vi w, máx em que o arâmetro máx reresenta o máximo valor na matriz de agamentos do jogo. Com isso, sabe-se que: w 0, 1. Note que quanto ior for o desemenho do jogador focal relativamente ao jogador referência, maior é a robabilidade do rimeiro imitar a estratégia do último.

38 38 4. Desenvolvimento 4.1. Jogos de uma oulação A fim de verificar a dinâmica esacial ara jogos de uma oulação, foi criado um rograma na linguagem de rogramação Visual Basic for Alications (VBA realizando interface com o Microsoft Excel (qualquer versão disonível. Os resultados encontrados na simulação comutacional foram comarados aos obtidos or Chan et al. (2013 e Hauert (2004. Na inicialização do rograma, o usuário define dentre outros arâmetros esecíficos de cada jogo estudado o tamanho da oulação e sua comosição inicial. A comosição inicial da oulação é definida elo usuário de forma que este atribui um ercentual corresondente à roorção de indivíduos, que, inicialmente, ota or jogar uma determinada estratégia. Aós a escolha das roorções iniciais das estratégias, é criado um vetor com o mesmo tamanho da oulação de números aleatórios. O reenchimento da oulação e escolha das estratégias que a comõe ocorre serialmente de forma a reencher toda a matriz oulacional comarando-se os números aleatórios com o ercentual definido elo usuário, assim como mostrado na figura (4 abaixo: Figura 4 - Alocação da oulação.

39 39 No exemlo acima foi considerado uma frequência inicial definida elo usuário de 0.5. Como existe um fator aleatório na escolha das estratégias que comõem a oulação no estado inicial, nem semre o rograma cria a oulação exatamente conforme revisto elo usuário, existindo então uma margem de erro. Quanto maior é o tamanho da oulação, menor é essa diferença. A fim de contornar esse roblema, foi criado um teste que verifica se a oulação foi comosta de acordo com os arâmetros de entrada. Caso a roorção de indivíduos ara qualquer uma das estratégias se distancie de 1% ara o arâmetro de entrada, uma nova oulação é gerada. Com a oulação inicializada, o róximo asso é calcular o ayoff de cada indivíduo da oulação. É imortante salientar que o rograma ode ser executado nas formas síncrona e assíncrona. No entanto, de acordo com Chan et al. (2013 e Hauert (2004 os resultados são similares ara ambas as formas, na maioria dos casos estudados. O que ode ser verificado em um exemlo, mostrado osteriormente, no resente estudo. Sendo assim, a exlicação adiante sobre a metodologia comutacional está embasada ara a imlementação do rograma na forma de atualização síncrona. O rograma ercorre a matriz oulacional de forma sequencial calculando o ayoff de cada indivíduo e colocando o resultado do ayoff em uma matriz de ayoffs. Assim, a matriz de ayoffs se comleta quando o cálculo do ayoff é realizado ara todos os indivíduos. Para este cálculo foi considerada a vizinhança de von-neumann, de raio unitário, de acordo com a figura abaixo. Figura 5 - Vizinhança de Von-Neumann ara raio unitário. Fonte: Gray (2003.

40 40 Dessa forma, o ayoff alocado ara cada indivíduo corresonde à soma dos ayoffs obtidos na interação com cada um dos seus vizinhos. Na figura acima, o elemento central reresenta o agente focal, e os outros quatro indivíduos (à esquerda; acima; à direita e abaixo reresentam os quatro vizinhos. Assim, o agente focal interage com cada vizinho ertencente a sua vizinhança local. Segue abaixo um exemlo que ilustra o rocedimento citado anteriormente: Considere a seguinte matriz de agamentos: Figura 6 - Matriz de agamentos. No exemlo elaborado, os jogadores odem adotar as estratégias uras 1 ou 2. Dessa forma, o rocedimento de cálculo dos ayoffs acontece da seguinte forma: Figura 7 - Cálculo da matriz de ayoffs. Da figura acima observa-se que o agente focal observado na cor verde interage com os demais indivíduos ertencentes a sua vizinhança local, que são os 4 indivíduos em amarelo ao seu redor. Dessa forma, o ayoff médio é obtido como resultado da interação do agente focal com seus vizinhos locais.

41 41 Aós o cálculo do ayoff ara todos os agentes, é realizada a comaração entre os indivíduos. Um agente é escolhido aleatoriamente na oulação. Para esse agente, é escolhido também de forma aleatória um dos seus vizinhos ara que ocorra a interação. A interação ocorre de forma que o agente focal i comara o seu ayoff (Vi com o ayoff do agente referência (Vj. Caso o ayoff do agente focal seja maior ou igual ao ayoff do agente referência ( Vi Vj, não há motivos ara a troca de estratégia, visto que o agente focal ossui melhor desemenho com relação ao seu oonente. Não há razão ara imitá-lo, visto que isso gera iora no seu desemenho. Caso o ayoff do agente focal seja menor do que o ayoff do agente referência (Vi<Vj, há uma oortunidade robabilística de relicação or imitação. O jogador focal imita a estratégia do jogador referência com a seguinte robabilidade: Vj Vi w, máx onde o arâmetro máx reresenta o máximo valor obtido na matriz de agamentos do jogo estático, ou seja, reresenta o maior ayoff obtido ara qualquer interação entre as estratégias. Infere-se que: w ϵ (0,1]. Assim, sorteia-se um número aleatório entre zero e um e comara-se o mesmo com w. Se o número aleatório sorteado for menor que w, há troca de estratégia. Dessa forma, existe uma robabilidade (1 w de não haver troca de estratégia. Segue abaixo um exemlo que ilustra esse rocedimento: Considere, como exemlo, as seguintes matrizes:

42 42 Figura 8 - Matriz oulacional e de ayoffs. Da figura acima observa-se que foi escolhido aleatoriamente, dentro da oulação, um agente focal, e um agente referência que ertença a vizinhança de von-neumann corresondente ao agente focal. Sendo assim, observa-se que o ayoff médio do agente referência é maior do que o ayoff médio do agente focal. Com isso, deve-se calcular o w, que irá definir se haverá, ou não, troca de estratégias entre os indivíduos. De acordo com os dados do exemlo (ainda considerando a matriz de ayoffs da figura (6, temos que: Vj Vi w máx 5 O róximo asso é sortear um número aleatório e comará-lo com w. Caso w, seja maior que tal número, deve-se efetuar a troca entre as estratégias, caso contrário, não há qualquer alteração nas matrizes. O rograma reete esse rocedimento de comaração tantas vezes quanto for o tamanho da oulação, de forma que cada jogador tenha tido a oortunidade, em média, de trocar sua estratégia uma vez. Aós o asso anterior, ode-se dizer que o rograma concluiu um asso evolucionário, ou, um asso de Monte Carlo. Sendo assim, o rograma reete o rocedimento comleto citado até o momento - que corresonde a um asso de Monte Carlo - tantas vezes quantas forem necessárias ara que as frequências das estratégias se tornem estáveis e o jogo

43 43 convirja ara um determinado equilíbrio, deendendo da característica do jogo estudado. Deve-se tomar o cuidado devido ao considerar os indivíduos que ertencem à fronteira da oulação. O roblema ocorre quando um determinado indivíduo está na fronteira da oulação e tenta interagir com seus vizinhos, conforme mostrado na figura abaixo: Figura 9 - Vizinhança de von-neumann ara indivíduos ertencentes às fronteiras da oulação. A figura acima é intuitiva. O indivíduo focal está reresentado na cor azul, enquanto que os indivíduos do tio referência estão reresentados em vermelho. Sendo assim, o rograma deve estar imlementado de modo a considerar adequadamente a vizinhança ara esses casos, conforme mostrado acima, ou seja, admitimos que a grelha ossui eriodic boundary conditions Comarativo com o artigo Evolutionary snowdrift game incororating costly unishment in structured oulations Conceitos Iniciais Sabe-se que o Snowdrift Game tem sido utilizado como um modelo ara estudar o surgimento da cooeração em oulações concorrentes, visto que este tio de jogo reflete um dilema social conforme exlicado anteriormente nesta dissertação. Por outro lado, existem outras estratégias em situações na vida real. Existem unidores que atuam cooerativamente quando cometem com agentes

44 44 cooeradores, em contraartida agam um custo ara unir agentes não cooerativos, ou desertores. Sendo assim, tal agente romove um comortamento altruísta. A matriz de agamentos utilizada or Chan et al. (2013, considerando a inclusão dos agentes unidores, ode ser visualizada na figura abaixo: Figura 10 - Matriz de agamentos ara o Snowdrift Game, incluindo agentes unidores. Fonte: Chan et al. (2013. onde r é a razão entre o custo e o benefício líquido de cooerar, conforme bem definido na literatura or Doebeli e Hauert (2005. Dessa forma, quando um indivíduo unidor comete com um indivíduo cooerador, esse comorta como se fosse um indivíduo cooerador, recebendo o mesmo agamento. De outra forma, quando um indivíduo unidor comete com um indivíduo desertor, incorre em um custo de modo a levar um dano ara o indivíduo desertor, onde >, de forma a tornar a ação de unir racional. Portanto, nesse contexto de jogos evolucionários, os jogadores mantém racionalidade limitada Resultados comarativos Para estudar os efeitos do jogo esacial, o autor considerou a vizinhança de von- Neumann e utilizou uma oulação de tamanho 90 x 90. Os valores de α e β foram definidos elo autor em 0.01 e 0.05 resectivamente. Além disso, o autor realizou as simulações nas formas de atualização síncrona e assíncrona. Conforme mencionado no artigo, o autor obteve resultados similares ara ambas as configurações. Sendo assim, ara efeitos de comaração, dois casos foram estudados nesta dissertação - na forma síncrona - e com as mesmas configurações citadas elo autor.

45 45 (i Primeiro caso Para o rimeiro caso, em que r = 0.02, ercebe-se que, em um rimeiro momento, a frequência de desertores diminui enquanto que as frequências de unidores e cooeradores ossuem, aroximadamente, os mesmos valores e aumentam na mesma roorção até o onto que corresonde, aroximadamente, ao centésimo asso de Monte Carlo. Isso acontece ois, neste estágio inicial ainda existe uma roorção suficiente de desertores ao redor dos cooeradores e unidores, como vizinhos locais, resultando em um ayoff menor. Aós o centésimo asso de Monte Carlo, a frequência de desertores continua a cair e se torna muito equena, e somente a frequência de cooeradores continua a aumentar. Essa dinâmica ocorre orque, além da troca direta de desertores ara cooeradores, acontece a troca indireta de desertores ara cooeradores, com os unidores como intermediários. Assim, os desertores se tornam unidores, e estes, que outrora eram desertores, se tornam cooeradores. Isto acontece quando a frequência de desertores é muito equena, e existe muita interação entre cooeradores e unidores. Quando o ar cooerador-unidor ertence a um ambiente de cometição em que existe o mesmo número de desertores nas suas vizinhanças, os unidores tem um ayoff menor que os desertores devido ao custo de unição. Assim, quando um indivíduo unidor comete com um indivíduo cooerador, existe uma robabilidade elevada ara que o indivíduo unidor se torne cooerador. A resença de indivíduos desertores é imortante ara a dinâmica de evolução da oulação, visto que, quando a oulação de desertores se extingue, não há incentivo ara haver troca de estratégias entre unidores e cooeradores, visto que ambos ossuem o mesmo ayoff em caso de cometição. Abaixo segue o gráfico que reresenta a evolução de frequência ara cada estratégia da oulação:

46 frequency 46 Figura 11 - Evolução de frequências das estratégias da oulação. r = 0,02. Fonte: Chan et al. (2013. Segue abaixo o gráfico comarativo, obtido como resultado do estudo de caso. 1,0 0,8 0,6 fc 0,4 fd f 0,2 0, t Figura 12 - Evolução de frequências das estratégias da oulação. r = Segue abaixo a reresentação da evolução da oulação de acordo com a estrutura esacial:

47 47 Figura 13 - Comosição da oulação. PMC = 1 (à esquerda. PMC = 10 (à direita. Figura 14 - Comosição da oulação. PMC = 50 (à esquerda. PMC = 100 (à direita. Figura 15 - Comosição da oulação. PMC = 1000 (à esquerda. PMC = 5000 (à direita. Os ontos em vermelho reresentam os indivíduos desertores, enquanto que os ontos em azul e verde reresentam, resectivamente, os indivíduos cooeradores e unidores. Cada figura reresenta o estado da oulação ara um determinado asso de Monte Carlo (PMC. Não foi ossível realizar a comaração da comosição da oulação sobre o enfoque esacial visto que o autor não aresentou tal resultado em seu artigo, mas

48 48 observa-se a formação de clusters bem definidos de cooeradores e unidores ao mesmo temo em que os desertores vão sendo eliminados. (ii Segundo caso Este segundo caso foi estudado alterando-se o arâmetro r de forma a ossuir o seguinte valor: r = 0.6. Todos os outros arâmetros e configurações ermanecem iguais aos do rimeiro caso. No rimeiro momento, o alto valor de r (custo de cooerar elevado em relação ao benefício leva à dinâmica de troca de indivíduos dos tios cooeradores e unidores ara indivíduos desertores. Esta dinâmica acontece até o centésimo asso de Monte Carlo, aroximadamente. Percebe-se que aós este estágio existem muitos indivíduos desertores; é imortante lembrar que, quando desertores cometem com desertores, ossuem o menor ayoff dentre todos. Neste eríodo acontecem trocas de desertores ara unidores e de cooeradores ara desertores. O efeito líquido é um aumento na frequência de unidores, róximo ao centésimo asso de Monte Carlo, à custa de cooeradores. Aós esse eríodo, a oulação de cooeradores desaarece e a oulação fica comosta or desertores e unidores, com uma frequência muito baixa do último, conforme mostra o gráfico abaixo. Figura 16 - Evolução de frequências das estratégias da oulação. r = 0.6. Fonte: Chan et al. (2013.

49 49 Segue abaixo o gráfico comarativo, obtido como resultado do estudo de caso. Figura 17 - Evolução de frequências das estratégias da oulação. r = 0.6. Segue abaixo a reresentação da evolução da oulação de forma esacial: Figura 18 - Comosição da oulação. PMC = 1 (à esquerda. PMC = 10 (à direita. Figura 19 - Comosição da oulação. PMC = 50 (à esquerda. PMC = 250 (à direita.

50 50 Figura 20 - Comosição da oulação. PMC = 1000 (à esquerda. PMC = 5000 (à direita. Conforme exlicado no rimeiro caso, os ontos em vermelho reresentam os indivíduos desertores, enquanto que os ontos em azul e verde reresentam, resectivamente, os indivíduos cooeradores e unidores. Cada figura reresenta o estado da oulação ara um determinado asso de Monte Carlo (PMC. Não foi ossível realizar a comaração da comosição da oulação sobre o enfoque esacial visto que o autor não aresentou tal resultado em seu artigo. Diferentemente do rimeiro caso simulado, ode ser observado que os clusters formados elos unidores não são comactos, tendo uma estrutura filamentar que favorece a exloração elos desertores, efeito similar àquele exlicado or Hauert (2004, o qual será abordado melhor na róxima subseção. Por fim, conforme observado, ode-se constatar que os resultados alcançados são similares aos aresentados or Chan et al. ( Comarativo com o artigo Satial structure often inhibits the evolution of cooeration in the snowdrift game Conceitos Iniciais Hauert (2004 abordou os jogos Dilema dos Prisioneiros e Snowdrift Game sob a modelagem de estrutura esacial. Sabe-se que, no rimeiro, o equilíbrio estável é reresentado elo estado de não-cooeração, o que insirou diversas investigações e extensões sobre como o estado cooerativo oderia ersistir sem ser extinto. A estrutura esacial romove a evolução da cooeração ara este tio de jogo. Com relação ao Snowdrift Game, sabe-se que níveis intermediários de cooeração ersistem. No entanto, conforme mostrado elo autor, a estrutura esacial reduz a

51 51 frequência de cooeradores ara uma amla gama de arâmetros. Em geral, a estrutura esacial elimina a cooeração se o custo-benefício de cooerar for alto. Os resultados obtidos elo autor alertam contra o que normalmente se acreditava naquela altura, que a estrutura esacial é necessariamente benéfica ara o comortamento cooerativo Resultados comarativos No desenvolvimento do seu modelo, Hauert (2004 utilizou uma oulação de indivíduos, formando assim, uma matriz esacial de 100 x 100. O autor também realizou as simulações na forma síncrona e assíncrona, obtendo resultados similares ara ambos os casos. Sendo assim, ara efeitos de comaração, foi estudado o caso síncrono ara a vizinhança de von-neumann. No gráfico abaixo, ode-se observar as frequências finais de cooeradores quando se simula o Snowdrift Game e varia-se o arâmetro r, que reresenta o custobenefício, ara o caso de uma estrutura esacial com vizinhança de von-neumann. Figura 21 - Frequência de cooeradores em função do custo-benefício. Fonte: Hauert (2004. Assim, ode-se erceber que ara r 0. 2, a oulação deixa de ser comosta somente de cooeradores e começa a ossuir uma comosição mista com desertores, o que acontece até r 0. 65, quando a oulação é comosta somente de desertores, visto que o custo-benefício de cooerar é muito alto. Segue abaixo o gráfico comarativo obtido na simulação dessa esquisa:

52 52 Figura 22 - Frequência de cooeradores em função do custo-benefício. A figura acima mostra a frequência de cooeradores obtida como resultado do jogo esacial quando se simula o Snowdrift Game e varia-se o arâmetro r, conforme exlicado anteriormente. A linha tracejada corresonde às frequências de cooeradores, no equilíbrio, quando é considerada uma oulação well-mixed. Ou seja, menor é a frequência de cooeradores o quão maior é o valor do arâmetro r, Sendo assim, observa-se que, ara r > 0.2 (aroximadamente a não-cooeração é favorecida de acordo com a estrutura esacial. Segue abaixo o snashot 7 obtido elo autor, ara r = 0.62, considerando o Snowdrift Game: 7 Registros da oulação em um dado instante de temo.

53 53 Figura 23 - Comosição da oulação no Snowdrift Game. r = Fonte: Hauert (2004. A artir da figura acima ercebe-se que os cooeradores sobrevivem formando equenos filamentos. Em consonância com o resultado aresentado na figura 22, ercebe-se que, ara valores elevados de custo-benefício, a frequência de cooeração é menor do que a obtida como resultado do jogo considerando oulação well-mixed, devido à formação de clusters filamentares que favorecem a ação dos desertores. Esses equenos filamentos são mostrados elo autor na forma microscóica, conforme a figura abaixo: Figura 24 - Formação de filamentos na visão microscóica no 'Snowdrift Game'. Fonte: Hauert (2004. Segundo o autor, no caso do Snowdrift Game, um indivíduo cooerador ode crescer no sentido de uma linha de cooeradores e então formar outro filamento erendicular, cruzando esta linha; no entanto, cooeradores não odem se exandir no sentido de formarem clusters comactos, como no caso do Dilema dos Prisioneiros ara a estrutura esacial, orque a estrutura de ayoff rotege os desertores nos cantos. Eventualmente, cooeradores formam o que o autor chama

54 54 de esqueleto dendrítico. Ocasionalmente, tais dendritos se romem ara formar novas sementes. Por fim, esses adrões esaciais geram uma vantagem ara os desertores, devido ao aumento da zona de cometição entre os dois tios de indivíduos, o que leva a uma redução global de cooeradores. Segue abaixo o gráfico resultante obtido em comaração ao o estudo realizado or Hauert (2004: Figura 25 - Comosição da oulação no 'Snowdrift Game'. r = A figura acima refere-se ao Snowdrift Game. Conforme exlicado anteriormente, ode-se observar que a oulação de cooeradores (em vermelho formou equenos filamentos. Abaixo, ode-se observar microscoicamente como um equeno filamento é formado: Figura 26 - Formação de filamentos na visão microscóica no 'Snowdrift Game'.

55 55 Por fim, conforme observado, ode-se constatar que os resultados alcançados são similares os aresentados or Hauert ( Jogos de duas oulações A fim de verificar a dinâmica esacial ara jogos de duas oulações, foi realizada uma extensão ao rograma outrora criado ara suortar jogos de uma oulação. É imortante salientar que o rograma foi extensamente analisado e testado, conforme mostrado nas seções anteriores. A extensão suracitada reresenta, dentro do meu melhor conhecimento, uma inovação à literatura ao estender as abordagens de Chan et al. (2013, Hauert (2004 e Zhong et al. (2006, considerando a Estrutura de Jogos Esaciais, ara o conceito de duas oulações Extensão do modelo comutacional desenvolvido ara jogos de uma oulação A seguir, são exlicados os assos referentes ao novo modelo comutacional, atentando-se de forma a não ser redundante com o que já foi exlicado ara o modelo de uma oulação e que não tenha sofrido alteração, ara suortar o jogo de duas oulações. Diferentemente do modelo anterior, no modelo atual, o usuário define dentre outros arâmetros esecíficos de cada jogo estudado o tamanho da oulação e a comosição inicial de ambas as oulações, obedecendo o mesmo rocedimento descrito anteriormente. Aós a escolha das roorções iniciais das estratégias, é criado um vetor - ara cada oulação - de números aleatórios, assim como ilustra a figura (27 abaixo:

56 56 Figura 27 - Alocação inicial das oulações. No exemlo acima foi considerado uma frequência inicial definida elo usuário de 0.5, ara cada oulação. Caso a roorção de indivíduos ara qualquer uma das estratégias e ara cada oulação seja maior do que 1% (um or cento do que a definida elo usuário, uma nova oulação é gerada. Com as oulações inicializadas, o róximo asso é calcular o ayoff de cada indivíduo ara cada oulação. Duas matrizes são criadas contendo as estratégias jogadas elos jogadores de cada oulação. O rograma ercorre as matrizes oulacionais de forma sequencial, calculando o ayoff de cada indivíduo e colocando o resultado do ayoff em uma matriz de ayoffs. Dessa forma, haverá duas matrizes de ayoffs, uma ara cada oulação. Para o cálculo do ayoff é considerado a vizinhança de von-neumann de raio unitário, conforme exlicado anteriormente nesta dissertação. Porém, diferentemente do que foi exlicado ara o jogo de uma oulação, aqui o indivíduo de uma oulação comete com os indivíduos da outra oulação, sendo assim, cada indivíduo, ao invés de cometir com os seus quatro vizinhos locais, comete com os quatro vizinhos locais, que estão na mesma osição geográfica na outra oulação, e ainda comete com o indivíduo central, que é o indivíduo que está na mesma osição geográfica que o indivíduo focal, orém tal

57 57 indivíduo está resente na outra oulação. Sendo assim, cada indivíduo, comete com cinco indivíduos, conforme mostrado na figura abaixo. Figura 28 - Cálculo do ayoff. Duas oulações. Aós o cálculo do ayoff ara todos os agentes, é realizada a comaração entre os indivíduos. O rocedimento de comaração é idêntico ao exlicado ara o jogo de uma oulação, visto que o indivíduo se comara com seus vizinhos locais, e deendendo da comaração, ode imitar a estratégia do seu oonente com uma dada robabilidade, assim como mostra a figura abaixo: Figura 29 - Comaração entre indivíduos ara cada oulação. O rograma reete esse rocedimento de comaração tantas vezes quanto for o tamanho da oulação, de forma que cada jogador tenha tido a oortunidade, em média, de trocar sua estratégia uma vez. Aós o asso anterior, ode-se dizer que o rograma concluiu um asso evolucionário, ou, um asso de Monte Carlo. Sendo assim, o rograma reete o rocedimento comleto citado até o momento - que corresonde a um asso de Monte Carlo - tantas vezes quantas forem

58 58 necessárias ara que as frequências das estratégias, ara ambas as oulações, se tornem estáveis e o jogo convirja ara um determinado equilíbrio evolucionário, deendendo da característica do jogo estudado Análise sobre o artigo Credit rating dynamics and cometition e alicações Agências de Rating As agências avaliadoras de risco, ou agências de rating, são emresas esecializadas e indeendentes que avaliam o grau de risco das instituições e seus resectivos instrumentos de dívida, no que tange à caacidade de geração de fluxos de caixa suficientes ara a erenidade do negócio da instituição e ara a remuneração dos instrumentos de dívida que elas emitem. Essa avaliação se dá na forma de uma oinião seguida de uma nota. Os investidores utilizam os serviços das agências de rating como forma de avaliar os riscos imlícitos em determinados investimentos, e como forma de classificar os diferentes tios de emissores. Já as emresas buscam as agências de rating como forma de indicar aos investidores, e ao mercado em geral, a qualidade de suas emissões através de uma avaliação indeendente. O objetivo rincial das agências de rating é romover uma avaliação de determinado tomador de recurso quanto ao risco de crédito, ou, simlesmente, a caacidade que o tomador tem de agar dívidas. (a Influência das agências de rating Ainda que os investidores ossam usar os ratings de crédito em suas decisões de investimento, os ratings fornecidos elas agências não indicam o mérito do investimento. Em suma, tais avaliações não são recomendações ara comrar, manter ou vender, ou mesmo uma medida do valor do ativo, nem têm a intenção de sinalizar a adequação de um investimento. O rating trata de um asecto da decisão de investimento a qualidade de crédito e, em alguns casos, ode

59 59 mostrar o grau de recueração eserado de investimento em uma situação de default 8. Em suas análises, os investidores deveriam levar em consideração, além da qualidade do crédito, a comosição atual de suas carteiras, suas estratégias de investimento e horizonte de temo, sua tolerância ao risco, e uma estimativa do valor relativo de um título em comaração com outros de sua eventual escolha. Segundo Ivanovic et al. (2012, a finalidade das agências de rating de crédito é oferecer aos investidores informações valiosas sobre emresas, entidades, e títulos ara financiamento. As agências de rating surgiram de acordo com a necessidade dos investidores, devido à falta de qualidade e objetividade na informação. Dessa forma, havia uma necessidade que surgiu ara começar a medir objetivamente a qualidade de crédito de aíses, negócios de entidades e seus títulos, a fim de tomar a decisão certa sobre o investimento. Outra imortante função era fornecer adrão de comaração e escala de classificação, a artir dos quais oderia se construir uma carteira de títulos. A artir destas duas últimas funções esecificadas (adrão de comaração e escala de classificação surgiu a necessidade de assegurar um adrão comum como método de aoio à decisão. Com a classificação adronizada, as agências odem reduzir a assimetria de informação no mercado de crédito. (b Regras e objetivos das agências de rating A rincial atividade das agências de rating é vender sua oinião como uma ontuação que mede a qualidade de crédito dos títulos, entidades emresariais ou governos. Como já mencionado anteriormente nesta dissertação, a agência de rating não resta serviços de consultoria em termos de recomendações ara comra ou venda de valores mobiliários, que roorcione um arecer sobre a solvabilidade do emissor ou dos valores mobiliários. Os investidores devem estar cientes de que a avaliação do risco não é uma garantia, mas aenas uma oinião sobre a caacidade de o devedor cumrir com 8 Inadimlência ou atraso no agamento, deendendo da metodologia utilizada or cada instituição.

60 60 as obrigações da dívida. A avaliação e oinião com relação aos créditos são baseadas em análise de rofissionais exerientes com a função de analisar e interretar as informações recebidas elas agências de rating e de outras fontes confiáveis. Em regra, existe uma relação inversamente roorcional entre a taxa de juros e a notação de risco de crédito, de forma que, quanto melhor for uma classificação de uma determinada entidade, menor será a taxa de juros cobrada ara os emréstimos contraídos or tal entidade. O contrário também é verdadeiro, ou seja, caso uma entidade ossua uma classificação de risco de crédito ruim, esta deverá agar uma remuneração maior ao credor (caso o crédito seja concedido a fim de comensá-lo elo risco de emréstimo cuja robabilidade de inadimlência é mais alta que as demais emresas do ramo. (c O ael desemenhado elas agências de rating nas crises financeiras O crescimento dos mercados financeiros internacionais ao longo dos últimos anos teria sido imensável sem a resença das agências de rating. Segundo Utzig (2010, as agências de rating se esforçaram de modo a construir um sistema simles e facilmente comreensível, que ermite a qualquer investidor entender as classificações de risco dos títulos internacionais ara os quais não estavam familiarizados, romovendo dessa forma a diversificação das carteiras. No mercado de rodutos estruturados, o ael das agências de rating vai além de reduzir a assimetria da informação. O mercado de rodutos estruturados não oderia ter se desenvolvido sem a garantia de qualidade fornecida elas agências de rating, ara investidores institucionais, sobre rodutos financeiros inerentemente comlexos. No entanto, nos últimos anos, as agências de rating vêm tentando recuerar a credibilidade reduzida desde a crise de 2008, em que as agências de rating foram consideradas or diversas entidades financeiras ao redor do mundo como as rinciais culadas. A crise financeira mundial, que foi deflagrada em 2008 com a quebra do banco norte-americano Lehman Brothers, ainda imacta negativamente a oulação mundial or conta dos roblemas nas contas úblicas euroeias.

61 61 A quebra do banco, rovocada exatamente elo excesso de exosição a crédito de alto risco, conhecido nos Estados Unidos como subrime 9, começou um questionamento sobre a verdadeira eficiência das agências de classificação de risco, visto que as agências deveriam alertar seus clientes sobre os erigos em investir em títulos com este nível de risco. Segundo Utzig (2010, alguns elementos foram aontados como os rinciais fatores que influenciaram negativamente no trabalho das agências de rating: Excesso de confiança em metodologias matemáticas e estatísticas com base em dados inadequados; Consideração insuficiente de mercado e desenvolvimentos macroeconômicos como fatores, influenciando as notações de risco; Não consideração de interdeendências; Não consideração de conflitos de interesses; Práticas de divulgação inadequada no tocante a modelos e ressuostos do modelo. Em adição, Utzig (2010 afirma que os investidores também tiveram uma arcela de cula ao aceitarem frequentemente ratings de forma acrítica e suerestimando seu significado. Não foi dada a atenção devida ao fato de que as classificações de risco são aenas estimativas da robabilidade relativa de inadimlência ou erda eserada em um instrumento de dívida. As notações de risco não significam uma avaliação detalhada dos riscos e ouco dizem a reseito da qualidade do reço de um determinado instrumento ou sobre sua liquidez. Por fim, o autor conclui que as classificações de risco não substituem as avaliações realizadas na gestão de risco dos investimentos, de forma que, as informações fornecidas elas agências de rating são limitadas. 9 Crédito hiotecário ara o setor imobiliário destinado a tomadores de emréstimos que reresentam maior risco.

62 62 (d Concorrência no segmento de agências de rating A falta de concorrência é um dos rinciais roblemas ara a regulação e desenvolvimento deste segmento do mercado. Segundo Schettini (2010, nessas condições, o reço ode se encontrar acima do que revaleceria em um mercado cometitivo, a qualidade do serviço ode ser comrometida e a estrutura de incentivos arece ainda não favorecer a inovação. Esta falta de concorrência é consequência de outra crise nos Estados Unidos. Em decorrência da crise de crédito do início dos anos 1970, a artir de 1975 as regulamentações assaram a exigir que tais classificações fossem emitidas or Agências "nacionalmente reconhecidas" (Nationally Recognized Statistical Rating Organization - NRSRO, na sigla em inglês, sendo designadas como tais ela SEC (Securities and Exchange Commission, que é a Comissão de Títulos e Câmbio dos Estados Unidos. Aenas uma equena arte das agências de rating foi classificada como NRSRO, sendo que or muitos anos não existiu uma definição clara e um critério conhecido ara adquirir esse credenciamento. Segundo Schettini (2010, existe um interessante fator relativo ao eso que a reutação tem neste segmento, visto que existe uma tendência natural à concentração nesse mercado devido à imortância da reutação, orém, é reciso atuar ara se adquirir reutação. Existe também o erigo de que ocorra conflito de interesses entre uma determinada emresa que asse ela avaliação da agência de rating e a rória agência. Schettini (2010 afirma: Um roblema central na atuação dessas agências é a existência de uma série de conflitos de interesse. O fato de os serviços das agências de classificação de risco serem agos diretamente elos emitentes avaliados, claramente gera um cenário intrigante e ode resultar em situações do tio rating shoing, em que a emresa emitente esquisa entre as agências de rating e escolhe aquela que deve fornecer a melhor avaliação ou a que tem o critério menos exigente. Pode-se afirmar também que existe uma relevante ressão sobre as emresas ara que estas resolvam adquirir outros serviços oferecidos elas agências de rating, além do tradicional. As rinciais agências de rating têm fornecido diversos outros serviços, como consultoria de gestão e administração de risco, avaliações

63 63 ré-rating, esquisas de mercado, etc. Com isso, os emissores odem ser influenciados a adquirir outros serviços além da notação do risco de crédito. Sendo assim, ao mesmo temo, as agências de rating querem amliar ainda mais os seus mercados e tentam melhorar a imagem do seu segmento, que foi arranhada aós tantas crises financeiras. (e Regulação das agências de rating A rimeira iniciativa de formulação de normas e rincíios ara regular o funcionamento das agências de classificação de risco foi roosta ela IOSCO International Organization for Securities Commissions (Organização Internacional das Comissões de Valores Mobiliários com a divulgação do Code of Conduct Fundamentals for Credit Rating Agencies (Código de Condutas Fundamentais ara Agências de Classificação de Risco ou Código IOSCO, o qual estabeleceu adrões de comortamento recomendáveis ara as agências de rating. Assim como mencionado no rório código, este trata da qualidade e integridade das avaliações, das situações de conflitos de interesses, da transarência na divulgação das informações e da indeendência dos analistas. Uma das características rinciais do Código é seu caráter não obrigatório. Em consonância com o que havia sido mencionado anteriormente - em um relatório roduzido em a IOSCO verificou que as três rinciais agências de rating, dominantes no mercado e anteriormente citadas, adotaram os Códigos de Conduta de acordo com os modelos divulgados ela IOSCO. Pelo o que se ode erceber, as iniciativas da regulação das agências de classificação de risco de crédito, bem como do mercado financeiro como um todo, não artem do governo ou de instituições internacionais tradicionais do mercado financeiro, mas sim de organizações formadas or instituições rivadas ou entidades reguladoras dos governos, e a artir daí começam a se relacionar diretamente com instituições reresentantes em outros aíses. São exemlos de instituições reguladoras a IOSCO, IAIS - International Association of Insurance Suervisors (Associação Internacional de Suervisores de Seguro e a HFA Hedge Funds Association (Associação dos Fundos de Hedge.

64 64 O objetivo rincial destas instituições se refere à formulação de regras que modelam o funcionamento do mercado financeiro dos aíses que desejam ser orientados or tal regulação, mostrando mais uma vez a imortância das agências reguladoras nacionais, que em um momento osterior, imlementam as normas definidas or meio de instrumentos normativos, de forma a facilitar a convergência e integração dos mercados financeiros nacionais e internacionais. Pode-se falar também em autorregulação, que é o ato ou efeito de regular a si rório, bem como os integrantes resentes no mesmo mercado. A grande vantagem da autorregulação no contexto inserido é que, segundo Marauhn (2006: é melhor ara uma entidade com atuação internacional ser regulada or seus ares do que or governos. Existem outras vantagens, como o fato de que a autorregulação incorora exertise 10 técnica no rocesso de regulação além da suerior aceitabilidade de regras que são estabelecidas mediante um rocesso de articiação direta das entidades reguladas. (f Métrica e qualidade do rating Os ratings são elaborados elas organizações denominadas agências de rating, que se esecializam em avaliar o risco de crédito. Cada agência alica sua rória metodologia ara medir a qualidade de crédito e usa uma escala de ratings esecífica ara ublicar oiniões acerca das notações de risco. Normalmente, os ratings são exressos or meio de letras que variam, or exemlo, de 'AAA' a 'D' ara comunicar a oinião da agência sobre o nível relativo de risco de crédito. Os ratings de crédito exressam oiniões rosectivas sobre a qualidade de crédito de emissores e obrigações. Mais esecificamente, os ratings de crédito exressam uma classificação relativa da qualidade de crédito. Consideramos que os emissores e obrigações com ratings mais elevados aresentam melhor qualidade de crédito do que aqueles com ratings de crédito mais baixos. A qualidade de crédito é um fenômeno multifacetado. Embora não exista uma fórmula ara combinar as várias facetas, os ratings de crédito buscam condensar seus efeitos combinados sem símbolos de rating distribuídos em uma escala simles e unidimensional. 10 Conhecimento que se adquire elo estudo, exeriência e rática.

65 65 O termo qualidade de crédito refere-se à questão do agamento de um título de dívida ou de outro instrumento financeiro de acordo com seus termos contratuais. Em rimeira análise, a ideia de qualidade de crédito arece ser totalmente objetiva. No entanto, uma análise mais rofunda revela sua verdadeira natureza multidimensional Conceitos Iniciais Hirth (2014 Hirth (2014 analisou o comortamento das agências de rating de crédito cometindo em um mercado com mais de duas agências e mostrou como investidores e agências reagem com relação ao comortamento de ambos. A ergunta central do artigo examinado refere-se à maneira como a interação entre as agências de rating de risco de crédito, os investidores e os emitentes afeta a qualidade e a formação dos ratings de crédito. O autor afirma que as agências de rating são consideradas as rinciais causadoras da crise econômica de 2008, mais conhecida como a crise do subrime, e se baseia no fato de as agências terem tido um comortamento inflacionário não honesto com relação aos ratings concedidos. Com isso muitas agências de rating fornecem ratings bons ara investimentos ruins, levando o investidor a acreditar que estaria realizando um investimento com retorno ositivo. Hirth (2014 considerou um mercado onde os emitentes fornecem dois tios de investimentos, bons e ruins. Além dos emitentes, existem duas oulações que interagem uma com a outra, a oulação dos investidores e a oulação das agências de rating, onde cada uma dessas oulações ossuem duas estratégias. Com relação à oulação dos investidores, uma fração da oulação é comosta or investidores confiantes, enquanto o restante é comosto or investidores sofisticados. A reseito da oulação das agências de rating, o autor considerou que uma fração da oulação refere-se às agências de rating não honestas, que inflam suas notações de risco, e a outra arte da oulação refere-se às agências de rating honestas, que classificam os investimentos de forma corresondente à qualidade destes.

66 66 A arte restante do mercado foi tratada como variável exógena ao modelo, focando somente na interação entre os investidores e as agências de rating. Sendo assim, ara cada interação existe um investimento aleatório de um dado emissor ara ser classificado, em que atribui-se uma robabilidade de o investimento ser classificado como bom ou ruim. Assim, a interação corresonde a um ar de indivíduos comosto or um indivíduo da oulação dos investidores, que odem ser de dois tios, confiantes e sofisticados, e um indivíduo da oulação das agências de rating, que divide-se em inflacionárias e honestas. Os jogadores não odem reconhecer o tio do seu ar. As características dos indivíduos são conhecidas em um momento osterior. A agência de rating cobra uma taxa do emitente ara classificar o investimento. Essa taxa somente é recebida ela agência quando esta classificar investimentos como bons. Este ressuosto é comum na literatura e ode ser interretado como um modelo de forma reduzida de comra de ratings em que o emitente em questão irá rocurar agências que tenham a romessa de dar-lhe um rating classificado como bom (rating shoing. Entretanto odemos ter um entendimento diverso com relação ao comortamento do emitente, onde este estaria disosto a agar somente ara agências que estejam disostas a fornecer somente o rating bom. Resumidamente, o autor considera em seu modelo que um investimento sem rating é equivalente a um investimento classificado com rating ruim. Hirth (2014 assume que as agências de rating odem erfeitamente observar se os investimentos são bons ou ruins. Uma agência de rating honesta confiavelmente informa o tio do investimento, de forma que, se o investimento é ruim, a agência fica incaacitada de vender o rating ara o emitente e não recebe a taxa. Uma agência inflacionária, em contraste, semre informa o rating como sendo bom e recebe a taxa. Pelo lado do investidor, investidores confiantes não estão atos a julgar a qualidade dos investimentos. Eles são rogramados ara comrar todo e qualquer investimento que seja classificado como bom. Em contraartida, investidores sofisticados têm a caacidade de avaliar a qualidade dos investimentos. Devido a caacidade de julgar a qualidade dos investimentos, os investidores confiantes têm um custo esecífico ara verificar o trabalho da agência de rating e fazer a avaliação do investimento. Caso encontrem uma agência de rating inflacionária

67 67 com um investimento classificado como bom, eles não comram esse investimento, e ao mesmo temo isso causa um custo de reutação ara esta agência. O autor também arte de um ressuosto forte que, agências de rating que mentem como no caso anteriormente citado odem ser imediatamente reconhecidas e unidas. Um ressuosto mais realista seria o de que cada comortamento ossa ser detectado com atraso. Entretanto, o ressuosto é consistente com o ressuosto anterior que diz que investimentos se tornam bons ou ruins imediatamente aós a tomada da decisão de investimento. Um fundamental ressuosto relacionado é o de que investidores sofisticados ainda ossuem custos de monitoramento ara observarem o comortamento das agências de rating, embora ossam erfeitamente observar a qualidade dos rórios investimentos. Isto ode ser motivado assumindo que somente com a combinação da informação que os investidores sofisticados recebem da agência de rating e com seus rórios esforços, eles estejam atos a realizarem um erfeito julgamento com relação aos investimentos. Existem várias exlicações econômicas ara as ações da oulação se modificarem ao longo do temo, deendendo dos ayoffs realizados. Como um resultado dos ayoffs realizados, indivíduos mudam seus comortamentos em direção à outra estratégia ura, os articiantes sem sucesso deixam o mercado, ou novos articiantes observam e imitam os comortamentos de maiores sucessos. Segue abaixo a matriz de ayoffs considerada com base no comortamento dos agentes discutido na seção anterior: Figura 30 - Matriz de Pagamentos. Fonte: Hirth (2014. Adatado.

68 68 Sob a ótica da oulação de investidores, da matriz de ayoffs, ode-se observar os seguintes agamentos: V TH = λr Entende-se λ como a robabilidade do investimento ser bom, e R como o retorno líquido eserado or bons investimentos. Assim, ercebe-se que quando os investidores confiantes cometem com agências de rating honestas, estes recebem os retorrnos líquidos devido aos bons investimentos existentes. Dessa forma, somente haverá bons ratings, visto que a agência honesta não aceita conceder rating ara investimentos ruins. Com isso, a robabilidade de o investidor realizar um mau investimento é nula. V TI = λr (1 λ Nesse caso, haverá notas boas tanto ara bons quanto maus investimentos, visto que a agência semre infla seus ratings. Como o investidor confiante não tem caacidade de julgamento e semre confia no rating da agência, aquele realizará todos os investimentos classificados como bom. Assim, o investidor considera como agamento a onderação dos lucros e rejuízos. Com isso, o investidor obtém um retorno ositivo na fração dos investimentos bons e erde o dinheiro alicado na fração dos investimentos ruins. V SH = λ.(r - C Neste caso, o investidor or ser sofisticado incorre em um custo de monitoramento do investimento. Acontece que, como a agência de rating é honesta, só há custo ara monitorar os investimentos bons, visto que os investimentos ruins já foram descartados ela agência.

69 69 V SI = λr C Aqui, diferentemente do caso anterior, o investidor sofisticado monitora os investimentos bons e ruins, visto que a agência fornece notas boas ara todos investimentos. Sob a ótica da oulação de agências de rating, a artir da matriz de ayoffs, temos que: X HT = X HS = λφ(α,β E Neste caso, as agências de rating honestas recebem agamento φ(α,β somente or avaliar bons investimentos como bons. Porém, existe um custo E or avaliar todos os investimentos antes de classificá-los. O autor define φ(α,β como a taxa cobrada ela agência de rating ao emissor ara conceder a avaliação do investimento como bom assumindo-se que o emissor não conhece seu rório investimento. Esta taxa deende de α e β, que reresentam os estados das oulações, ou seja, α corresonde à fração de investidores confiantes, enquanto que β corresonde à fração de agências de rating honestas. Sendo assim, o emissor está disosto a agar o fee comleto caso todos os investidores comrem seus investimentos. A robabilidade do investidor comrar um investimento dado que este foi avaliado ela agência de rating como bom é mostrada na figura abaixo: Figura 31 - Probabilidade do investidor comrar o investimento dado que este foi avaliado como 'bom'. Fonte: Hirth (2014., onde a robabilidade do investimento ser avaliado como bom dado que o investidor o comrou é igual a 1, visto que nenhum investidor comra um investimento sem avaliação ou que esteja avaliado como ruim. A robabilidade do investidor comrar é reresentada or: λ + (1 λ.α.(1 β. Entende-se que, qualquer investidor comra se o investimento for avaliado como bom, no entanto, ara o caso do investimento ser avaliado como ruim, este é

70 70 comrado elo investidor confiante quando a agência de rating inflacionária concede boa avaliação ao investimento. A robabilidade do investimento ser bom é reresentada ela arcela de bons investimentos somada à arcela dos investimentos ruins que são avaliados como bons elas agências de rating inflacionárias. Dessa forma, a taxa cobrada ela agência de rating ao emissor ara conceder a avaliação do investimento como bom ode ser observada na figura abaixo: Figura 32 - Taxa eserada ela agência de rating. Fonte: Hirth (2014., onde Φ reresenta a taxa que o emissor está disosto a agar caso a avaliação concedida ela agência de rating faça com que todos os seus investimentos sejam comrados elos investidores. X IT = φ(α,β (1- λ.ρ t Nesta análise, ode-se observar que a agência inflacionária recebe or todos os investimentos, visto que ela classifica todos os investimentos como bons. No entanto, a agência incorre em um custo de reutação (ρ t imosto elo investidor confiante na fração dos investimentos ruins que foram inflados. X IS = φ(α,β (1- λ.ρ s Este caso é similar ao anterior. No entanto, nesta análise, o custo de reutação (ρ s é o custo imosto elo investidor sofisticado Modelagem ara a estrutura esacial (a Caso base: onto fixo interior e dinâmica cíclica Neste caso, o autor analisou o equilíbrio neutramente estável onde o onto interior fixo é o centro da dinâmica evolucionária. Isto significa que os movimentos cíclicos da oulação no sentido horário, como mostrado na figura adiante,

71 71 reresentam uma esiral que se movimenta eriodicamente em torno do onto fixo. O ressuosto teórico or trás disso revê que os ratings são mais facilmente inflados em temos econômicos muito bons, quando investidores ossuem menores incentivos ara realizarem due dilligence (auditoria e investigação das informações, e a qualidade ex-ante dos investimentos são, então, maiores. Com analogia ao resente artigo objeto de estudo, entende-se que isto corresonde a uma maior fração das agências de rating inflacionárias ara uma fração menor de investidores sofisticados no mercado. A conclusão ara o caso base deende da estrutura de mercado. Vale a ena temorariamente que as agências de rating sejam honestas, mas somente se houverem investidores sofisticados suficientes no mercado, o que reresenta uma ameaça real à erda de reutação. Caso contrário, a melhor estratégia ara as agências seria inflar seus ratings. A seguir são aresentados os arâmetros de entrada e o diagrama de fases resultante do jogo evolucionário: Figura 33 - Parâmetros ara o Caso Base - Ponto fixo interior e dinâmica cíclica. Fonte: Hirth (2014.

72 72 Figura 34 Caso Base: onto fixo interior e dinâmica cíclica. A figura reresenta a evolução dinâmica da fração da oulação, onde α reresenta a fração dos investidores confiantes (em vez dos sofisticados e β reresenta a fração das agências de rating honestas (em vez das inflacionárias. Fonte: Hirth (2014. Adatado. O diagrama de fases, reresentado acima, ode ser mais facilmente analisado ao ser dividido em áreas, conforme mostra a figura abaixo: Figura 35 - Caso Base: onto fixo interior e dinâmica cíclica. Fonte: Hirth (2014. Adatado. Assim, da área I entende-se que, a fração das agências de rating honestas é muito alta, de tal forma que não comensa ara o investidor realizar o custo de monitoramento. Assim, a fração de investidores confiantes cresce nesse mercado. Porém, ainda existe uma quantidade suficiente de investidores sofisticados, o que faz com que o número de agências honestas aumente.

73 73 Com relação à área II, entende-se que, os investidores se tornam cada vez mais confiantes, e com a alta fração de agências de rating honestas, ainda é atrativo realizar investimentos com boa classificação. Mas, a artir de um momento, as agências de rating ercebem o incentivo de inflar seus ratings, visto que a fração de investidores confiantes é muito alta. Assim, a fração de agências de rating inflacionárias tende a aumentar. Da área III, observa-se que, as agências de rating inflacionárias ossuem desemenho melhor que as honestas, o que aumenta ainda mais sua fração no mercado. Porém, devido à grande quantidade de investimentos inflados no mercado, os investidores confiantes realizam muitos rejuízos, o que ode ser comreendido como incentivo ara tornar-se sofisticado. A artir da área IV, ercebe-se que, a fração de investidores sofisticados continua a crescer devido ao alto número de agências inflacionárias. Em um determinado momento, as agências começam a ser enalizadas com os custos de reutação imostos elos investidores sofisticados. Isto ode ser comreendido como um incentivo ao aumento de agências honestas no mercado, voltando assim à área I. Por fim, entende-se que existe uma recomensa temorária ara a agência de rating ser honesta, mas somente se a fração de investidores sofisticados for alta, devido à ameaça à reutação. i. Resultados alcançados A fim de modelar este caso, analisado or Hirth (2014, ara a dinâmica de estrutura esacial, foram considerados os mesmos arâmetros utilizados elo autor. Sendo assim, ara tal análise, uma quantidade muito grande de ontos foram considerados como condições iniciais do jogo, de forma que todos os ontos convergiram ara o mesmo resultado. Então, foi escolhido um determinado onto ara servir de exemlo nesta dissertação, visto que seria redundante aresentar os resultados ara qualquer outro onto, de forma que a exlicação é análoga à vista adiante. Com isso, seguem abaixo, como exemlo, os gráficos de frequência corresondentes à evolução do jogo esacial ara ambas as oulações, a artir da condição inicial (α = 0.3; β = 0.7.

74 74 Figura 36 - Frequência da oulação de investidores. Figura 37 - Frequência da oulação de agências de rating. Percebe-se que as frequências de ambas as oulações têm comortamentos similares ao que foi observado no diagrama de fases, obtido como resultado do jogo evolucionário. Dessa forma, observa-se que as distâncias entre os ontos de máxima e mínima frequência ara cada ciclo estão em consonância com as distâncias aresentadas no diagrama. Ou seja, tomando como exemlo a oulação de investidores, ercebe-se que, no instante inicial, a fração de investidores confiantes é de α = 0.3. Esta fração aumenta de valor até, aroximadamente, α = 0.95, e deois reduz ara, aroximadamente, α = 0.5. Comarativamente, comortamento similar ode ser observado ao realizar a mesma análise tomando como base o diagrama de fases obtido como resultado da solução analítica ara oulações well-mixed.

75 75 Por fim, a fração de agências de rating honestas tende a variar minimamente em torno do onto β = 0.57, enquanto que a frequência de investidores confiantes tende a variar em torno do onto α = 0.7, de forma similar ao observado na solução aresentada or Hirth (2014. Segue abaixo a evolução do jogo, na reresentação esacial, ara a oulação de investidores: Figura 38 - Evolução esacial da oulação de investidores (investidores confiantes em vermelho e sofisticados em azul. PMC = 1 (à esquerda. PMC = 50 (à direita. Figura 39 - Evolução esacial da oulação de investidores (investidores confiantes em vermelho e sofisticados em azul. PMC = 500 (à esquerda. PMC = 1000 (à direita. Segue abaixo a evolução do jogo, na reresentação esacial, ara a oulação de agências de rating:

76 76 Figura 40 - Evolução esacial da oulação de agências de rating (agências honestas em verde e inflacionárias em amarelo. PMC = 1 (à esquerda. PMC = 10 (à direita. Figura 41 - Evolução esacial da oulação de investidores (agências honestas em verde e inflacionárias em amarelo. PMC = 50 (à esquerda. PMC = 500 (à direita. Por fim, ode-se concluir que as frequências obtidas no equilíbrio neutramente estável, tanto no jogo com oulação well-mixed, quanto no jogo considerando a estrutura esacial, são as mesmas. Portanto, a inclusão da estrutura esacial não afeta o resultado. (b Dinâmica sem onto fixo interior O autor abordou quatro casos em que o resultado do jogo evolucionário, resolvido analiticamente, tende ara um único equilíbrio assintoticamente estável. Diferentemente do caso base com onto fixo interior e dinâmica cíclica, cada caso reresenta o efeito de alterar um dos arâmetros do caso base, o que conduz a quatro equilíbrios diferentes. Todos os casos incorrem no mesmo tio de modelagem, de modo que nesta dissertação com a finalidade de não ser redundante é aresentado um dos quatro casos, como exemlo de evolução do jogo esacial.

77 77 Porém, é imortante salientar que todos os casos foram extensamente analisados e convergiram ara os resultados eserados de acordo com os resultados teóricos alcançados no artigo de referência que é base do resente estudo. i. Resultados alcançados Para o caso analisado, o autor variou o arâmetro que refere-se à roorção de bons investimentos existentes no mercado (λ, mantendo todos os outros arâmetros inalterados com relação ao caso base. Dessa forma, com a recente arametrização, vamos focar no caso articular em que: E (1 - λ(ρ T - Φ C 1 - λ. Nesse caso, o Equilíbrio de Nash do jogo na figura 28 é (T,I, o qual corresonde ao estado evolucionário da oulação α = 1, β = 0. Sob a ótica do investidor, infere-se que não há incentivo ara monitorar a qualidade do investimento, já que o custo de monitoração relativamente excede a roorção de maus investimentos. Assim, considerando que as agências de rating estão com comortamento desonesto, os investidores confiantes ossuem o seguinte ayoff: V TI = λr (1 - λ 0. Por outro lado, os investidores sofisticados ossuem o seguinte ayoff: V SI = λr C 0. Porém, como: C (1 - λ; observa-se que V TI V SI. Assim, o autor aresentou o seguinte diagrama de fases:

78 78 Figura 42 - Equilíbrio: Investidor confiante/ Agência inflacionária. λ = Fonte: Hirth (2014. Adatado. Como resultado do jogo esacial, artindo-se da condição inicial reresentada elo onto (α = 0.1; β = 0.4, foram obtidos como resultados, os seguintes gráficos de frequência: Figura 43 - Frequência da oulação de investidores.

79 79 Figura 44 - Frequência da oulação de agências de rating. A artir dos gráficos acima é ossível observar que, o comortamento das frequências, ara ambas as oulações, é similar ao obtido analisando-se o diagrama de fases ara a mesma condição inicial, no qual, no longo razo, aenas investidores confiantes e agências de rating desonestas sobrevivem nas duas oulações. A seguir são aresentados os gráficos que corresondem à evolução das oulações sob a ótica da estrutura esacial ara a oulação de investidores: Figura 45 - Evolução esacial da oulação de investidores (investidores confiantes em vermelho e sofisticados em azul. PMC = 1 (à esquerda; PMC = 10 (à direita.

80 80 Figura 46 - Evolução esacial da oulação de investidores (investidores confiantes em vermelho e sofisticados em azul. PMC = 30 (à esquerda; PMC = 300 (à direita. Os gráficos a seguir reresentam a oulação de agências de rating: Figura 47 - Evolução esacial da oulação de agências de rating (agências honestas em verde e inflacionárias em amarelo. PMC = 1 (à esquerda; PMC = 10 (à direita. Figura 48 - Evolução esacial da oulação de agências de rating (agências honestas em verde e inflacionárias em amarelo. PMC = 30 (à esquerda; PMC = 300 (à direita. Assim, da figura 43 observa-se que os ontos em vermelho referem-se aos indivíduos confiantes da oulação de investidores, enquanto que os ontos em azul referem-se aos investidores sofisticados. Dessa forma, ode-se observar, ara os citados assos de Monte Carlo, a evolução das frequências da oulação

81 81 na forma esacial, em comaração ao gráfico de frequência aresentado anteriormente. A artir da figura 45 observa-se, ara a oulação de agências de rating, que os ontos em verde referem-se às agências de rating honestas, enquanto que os ontos em amarelo referem-se às agências inflacionárias. Observa-se também que, a artir do PMC = 1, a oulação de agências de honestas aresenta um tênue crescimento em sua frequência, chegando ao valor máximo, aroximadamente, em PMC = 10, quando a frequência de agências honestas começa a reduzir tendendo ao desaarecimento. (c Caso de sela: onto fixo interior e duas bacias de atração i. Considerações iniciais No caso considerado, os custos de reutação imostos elos investidores confiantes - considerando as taxas que as agências de rating deixam de receber na roorção das classificações não concedidas - excedem os custos de reutação imostos elos investidores sofisticados, conforme definido abaixo: ρ S - ρ T + (1 - λ.φ < 0 Dessa forma, os investidores confiantes são mais deendentes da análise da agência de rating, visto que, quando se dearam com um investimento ruim classificado como bom, enfrentam rejuízos maiores do que enfrentados elos investidores sofisticados. Assim, os investidores confiantes, rejudicados, ossuem incentivo maior em enalizar as agências de rating com o custo de reutação. Para o caso estudado, o autor aresentou uma ilustração que mostra todos os Equilíbrios de Nash alcançados, considerando a remissa acima de que os custos de reutação imostos elos investidores confiantes excedem os custos de reutação imostos elos investidores sofisticados:

82 82 Figura 49 - Equilíbrios de Nash ara o caso: ρ S - ρ T + (1 - λ.φ < 0. Fonte: Hirth (2014. A artir da figura acima, observa-se que existe uma região de sobreosição, em que existem dois Equilíbrios de Nash ocorrendo de forma simultânea, conforme as condições abaixo: Equilíbrio (T,H: o C 0 o E (1 - λ(ρ T - Φ Equilíbrio (S,I: o C (1 - λ o E (1 - λ(ρ S - λφ Sendo assim, a dinâmica do jogo deve ser observada a fim de definir qual dos dois Equilíbrios de Nash será alcançado no longo razo. ii. Resultados alcançados Para a modelagem do caso citado, o autor considerou os seguintes arâmetros:

83 83 Figura 50 - Parâmetros: caso de sela. Fonte: Hirth (2014. A solução analítica resultou no seguinte diagrama de fases: Figura 51 - Diagrama de fases. Caso de sela. Fonte: Hirth (2014. Adatado. A artir do diagrama de fases acima ode-se observar que existem duas bacias de atração, que levam a solução do jogo ara um dos equilíbrios estáveis. Ou seja, caso a condição inicial do jogo seja tal que, um determinado onto esteja situado na bacia à nordeste, o jogo irá evoluir até o onto (α = 1; β = 1. Dessa forma, o equilíbrio estável ara o mercado reresentará uma oulação comosta somente or agências de rating honestas e investidores confiantes. Por outro lado, caso a condição inicial seja tal que, o onto corresonde às frequências das oulações esteja situado na bacia de atração localizada à sudoeste, o equilíbrio estável ara o jogo reresentará um mercado comosto somente or agências de rating inflacionárias e investidores sofisticados.

84 84 De forma a analisar a estrutura esacial, os seguintes ontos foram considerados: Figura 52 - Diagrama de fases ara os ontos testados. Fonte: Hirth (2014. Adatado. A figura acima ilustra os ontos que serviram como base ara este estudo. Conforme exlicado anteriormente, sabe-se que qualquer onto situado na bacia de atração de baixo convergirá ara o onto (α = 0; β = 0, e qualquer onto situado na bacia de atração de cima convergirá ara o onto (α = 1; β = 1. Sendo assim, os três ontos foram estrategicamente escolhidos de modo a verificar a evolução do jogo na estrutura esacial. Da figura acima, observa-se que o onto A, situado na bacia de atração de baixo, converge (de acordo com a solução analítica ara o onto (α = 0; β = 0, enquanto que o onto C converge ara o onto (α = 1; β = 1. O onto B está localizado na searatriz existente entre as duas bacias de atração. Assim, de acordo com a estrutura esacial, qualquer distúrbio aleatório o faz convergir ara qualquer um dos equilíbrios estáveis. É imortante salientar que existe uma equena robabilidade de que onto B esteja situado exatamente sobre o autovetor que o levará até o onto de sela. Com isso, seguem abaixo os resultados obtidos, ara cada onto analisado, ela estrutura do jogo esacial:

85 85 Condição inicial: (α = 0.13; β = 0.8. Ponto A. Figura 53 - Evolução das frequências ara a oulação de investidores. Condição inicial: (α = 0.13; β = 0.8. Figura 54 - Evolução das frequências ara a oulação de agências de rating. Condição inicial: (α = 0.13; β = 0.8. Condição inicial: (α = 0.15; β = 0.8. Ponto C. Figura 55 - Evolução das frequências ara a oulação de investidores. Condição inicial: (α = 0.15; β = 0.8.

86 86 Figura 56 - Evolução das frequências ara a oulação de agências de rating. Condição inicial: (α = 0.15; β = 0.8. Condição inicial: (α = 0.14; β = 0.8. Ponto B. o Primeira simulação: Figura 57 - Evolução das frequências ara a oulação de investidores. Condição inicial: (α = 0.14; β = 0.8. Primeira simulação. Figura 58 - Evolução das frequências ara a oulação de agências de rating. Condição inicial: (α = 0.14; β = 0.8. Primeira simulação.

87 87 o Segunda simulação: Figura 59 - Evolução das frequências ara a oulação de investidores. Condição inicial: (α = 0.14; β = 0.8. Segunda simulação. Figura 60 - Evolução das frequências ara a oulação de agências de rating. Condição inicial: (α = 0.14; β = 0.8. Primeira simulação. A artir dos casos analisados acima, foi ossível concluir que a estrutura esacial relicou o comortamento evolutivo aresentado ela solução analítica. O caso analisado ara o onto B (condição inicial: (α = 0.14; β = 0.8 é um dos mais imortantes neste estudo. Esse caso mostra a aleatoriedade do jogo esacial, visto que o onto B está situado, aroximadamente, na fronteira entre as duas bacias de atração, conforme mostrado no diagrama de fases. Sendo assim, qualquer distúrbio aleatório faz com que o onto B se movimente ara uma das bacias e assim convirja ara o resectivo equilíbrio estável, conforme ode ser analisado nas duas simulações anteriormente aresentadas. Segue abaixo a evolução da oulação na forma esacial ara um dos ontos analisados:

88 88 Condição inicial: (α = 0.15; β = 0.8. Ponto C. o Poulação de investidores: Figura 61 - Poulação de investidores (investidores confiantes em vermelho e sofisticados em azul. PMC = 1 (à esquerda. PMC = 80 (à direita. Figura 62 - Poulação de investidores (investidores confiantes em vermelho e sofisticados em azul. PMC = 180 (à esquerda. PMC = 250 (à direita. o Poulação de agências de rating: Figura 63 - Poulação de agências de rating (agências de rating honestas em verde e inflacionárias em amarelo. PMC = 1 (à esquerda. PMC = 80 (à direita.

89 89 Figura 64 - Poulação de agências de rating (agências de rating honestas em verde e inflacionárias em amarelo. PMC = 180 (à esquerda. PMC = 250 (à direita. Das figuras acima, observa-se que os ontos em vermelho, ara a oulação de investidores, reresentam os investidores confiantes, enquanto que, ara a oulação de agências de rating, os ontos em verde, reresentam as agências de rating honestas. Então, em comaração aos gráficos de frequência, ode-se observar o comortamento da oulação de acordo com a estrutura esacial. Dessa forma, ode-se concluir que os resultados alcançados reresentaram o que foi mostrado or Hirth (2014 de acordo com a solução analítica do jogo evolucionário. Ou seja, a solução do jogo evolucionário, obtida analiticamente, ode ser alcançada quando o roblema é modelado na forma esacial. iii. Policy-maker Quando se tem um caso de sela, com duas bacias de atração, em geral ode-se considerar algum fator externo, como a figura do olicy-maker, a fim de modificar o equilíbrio do jogo no longo razo. Ou seja, a inserção de uma nova agência de rating no mercado ode alterar os arâmetros do modelo, e, ortanto, todo o mercado ode ser levado a um novo equilíbrio. Essa inserção ode ocorrer em virtude da atuação do olicy-maker, que fiscaliza e alica severas unições às agências que estejam inflando suas avaliações, de modo a corrigir esta falha de mercado. A figura abaixo ilustra tal situação ao reresentar a dinâmica do jogo considerando a entrada de uma nova agência de rating honesta no mercado:

90 90 Figura 65 Efeitos da consideração de uma nova agência de rating no mercado. A artir da ilustração acima, assume-se que a entrada de uma nova agência de rating no mercado elevou a fração de agências honestas. Essa mudança ode ser crítica caso as frações de agências de rating honestas e investidores confiantes estejam róximas às frações que corresondem à searatriz. Sendo assim, a entrada da nova agência de rating ode levar a dinâmica do jogo a saltar de uma bacia de atração ara a outra, e, como no caso acima, atingir o equilíbrio de longo razo com investidores confiantes e agências honestas, ao invés do equilíbrio com investidores sofisticados e agências inflacionárias, que seria o equilíbrio alcançado caso não fosse considerada a atuação do olicymaker.