Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Mudança de Base. Doherty Andrade. DMA - F67 - Sala 205

Transcrição

1 DMA - F67 - Sala 205 doherty@uem.br

2 Em muitas situações trabalhar com uma base particular de V 3 pode simplificar o trabalho.

3 Dado uma base β = { u 1, u 2, u 3 } e outra base β = { w 1, w 2, w 3 } queremos determinar como as coordenadas de um etor na base β se relaciona com as coordenadas deste mesmo etor na base β. Esta relação é apresentada por uma matriz. Veremos como obter esta matriz.

4 Como β e β são bases, existem escalares reais tais que = x1 u1 +x 2 u2 +x 3 u3 = y1 w1 +y 2 w2 +y 3 w3. Isto é, as coordenadas de nas bases β e β, respectiamente, são: [ x 1 ] β = x 2, [ y 1 ] β = y 2 β. x 3 y 3 β

5 Já que β = { u 1, u 2, u 3 } é uma base, podemos escreer cada um dos etores w i,i = 1,2,3 como combinação linear dos etores da base β: w 1 = a 11 u1 +a 21 u2 +a 31 u3 w 2 = a 12 u1 +a 22 u 2 +a 32 u3 w 3 = a 13 u1 +a 23 u2 +a 33 u3.

6 Substituindo os alores de w 1, w 2, w 3 na expressão de : = y1 w1 +y 2 w2 +y 3 w3 = y 1 ( a11 u1 +a 21 u2 +a 31 u3 ) + y 2 ( a12 u1 +a 22 u2 +a 32 u3 ) + y 3 ( a13 u1 +a 23 u2 +a 33 u3 ) = [a 11 y 1 +a 12 y 2 +a 13 y 3 ] u 1 + [a 21 y 1 +a 22 y 2 +a 23 y 3 ] u 2 + [a 31 y 1 +a 32 y 2 +a 33 y 3 ] u 3

7 Assim, temos escrito na base β de duas formas e estas têm de serem iguais: x 1 = a 11 y 1 +a 12 y 2 +a 13 y 3 x 2 = a 21 y 1 +a 22 y 2 +a 23 y 3 x 3 = a 31 y 1 +a 32 y 2 +a 33 y 3.

8 Em forma matricial: x 1 x 2 x 3 β = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 y 1 y 2 y 3 β. (1)

9 A matriz a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 denotada por [M] β β é chamada matriz mudança da base β para a base β.

10 Resumindo: a relação entre as coordenadas de nas duas bases é dada por: [ ] β = M[ ] β

11 Exemplo: Consideremos β = { i, j, k } e β = { w 1, w 2, w 3 } bases de V 3, onde w 1 = 3 i +1 j +1 k, w 2 = i 2 j +1 k, w 3 = i +2 j.

12 Note que w 1 = 3 i +1 j +1 k w 2 = 1 i 2 j +1 k w 3 = 1 i +2 k +0 k.

13 Assim matriz mudança da base β para a base β é [M] β β =

14 Se conhecemos que [ ] β = β para determinar as coordenadas de na base β, basta efetuar o produto dado em (1): x 1 x 2 x 3 β = β

15 e obter x 1 x 2 x 3 β =

16 Se conhecemos que [ ] β = para determinar as coordenadas de na base β, basta resoler o sistema de equações lineares: β

17 2 5 4 β = y 1 y 2 y 3 β.

18 Conhecendo a inersa da matriz, a solução é imedidata, pois [ ] β = M 1 [ ] β.

19 Como obtemos que y 1 y 2 y 3 M 1 = β = 2/11 1/11 4/11 2/11 1/ /11 4/ /11 1/11 4/11 2/11 1/ /11 4/ , β.

20 Donde segue que y 1 y 2 y 3 β =

21 Já obseramos as facilidades que uma base ortogonal nos traz. O processo de ortogonalização de Gram-Schmidt permite transformar uma base de etores em outra base de etores ortogonais.

22 Vamos começar com uma base de 2 etores: Seja β = { 1, 2 } uma base para V 2. Faça 1 = 1 2 = Os etores 1, 2 são ortogonais não nulos. Note que 2 é obtido de 2, subtraindo-se deste a projeção do etor 2 na direção de 1.

23 Vamos apresentar o processo com uma base de 3 etores: Seja β = { 1, 2, 3 } uma base para V 3. Faça 1 = 1 2 = =

24 Vamos ilustrar como estes etores ortogonais foram determinados: Tomemos 1 = 1 e amos determinar escalar c tal que 2 = 2 c 1 seja ortogonal a 1. Portanto, dee ocorrer 2 1 = 0. Disto segue que c =

25 Agora amos procurar um etor 3 = 3 c 1 1 c 2 2 que seja ortogonal a 1 e a 2 simultaneamente. Por analogia ao caso anterior, deemos determinar escalares c 1,c 2 tais que 3 1 = 0 e 3 2 = 0. Note que 3 1 = c c = 0 c 1 = 3 1 e = c c = 0 c =. 2 2

26 Este procedimento pode ser generalizado para uma quantidade maior de etores LI. 1 = 1 2 = =. n = n n 1 n n 1 n 1 n

27 Exemplo: Considere a base β = { 1 = i + j + k, 2 = 2 j + k, 3 = k }. Vamos, à partir desta base, determinar outra ortogonal. Pelo processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, temos: 1 = 1 = i + j + k 2 = = i + j +0 k = = 1 3 i j + k. 3