Demonstrações Legíveis Geradas por Computador em Geometria Euclidiana Plana: O Método da Área
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1 Demonstrações Legíveis Geradas por omputador em Geometria Euclidiana lana: O Método da Área Humberto José ortolossi Departamento de Matemática plicada Universidade Federal do Fluminense Escola de Verão Universidade Federal do Espírito Santo 30 de janeiro a 1 de fevereiro de 2006 Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 1
2 Equipe Este é um trabalho conjunto de: Humberto José ortolossi (UFF), arlos Tomei (U-Rio), Silvana Marini Rodrigues Lopes (U-Rio). Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 2
3 Dia 1 Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 3
4 Matemático Máquina Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 4
5 Matemático Máquina Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 5
6 Matemático Máquina??? ode o computador demonstrar teoremas? Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 6
7 Um pouco de história: Leibniz ( ) haracteristica Universalis Uma linguagem simbólica precisa na qual todas as afirmações científicas poderiam ser feitas. alculus Ratiocinator Um método para manipular afirmações a fim de esclarecer seu significado e veracidade. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 7
8 Um pouco de história: Hilbert ( ) Segundo ongresso Internacional de Matemática (1900) em aris: teoria dos números é completa? Em uma teoria completa é sempre possível determinar através de uma demonstração se uma sentença lógica da teoria é verdadeira ou falsa. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 8
9 Um pouco de história: Gödel ( ) resposta é não pelo rimeiro Teorema de Incompletude de Gödel: Um sistema de axiomas para a aritmética não consegue nem demonstrar nem negar determinadas afirmações sobre os números! Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 9
10 Um pouco de história: Tarski ( ) or outro lado, Tarski demonstrou que: teoria da Geometria Elementar é completa! Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 10
11 Um pouco de história: Tarski ( ) Mais ainda, Tarski demonstrou que: teoria da Geometria Elementar é decidível! Uma teoria é decidível se existe um algoritmo que em um número finito de passos consegue determinar se cada uma das sentenças da teoria é verdadeira ou falsa. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 11
12 Um exemplo de teoria decidível: sistemas lineares É possível decidir se um sistema linear possui solução? x + 2 y + z = 3 2 x + y + z = 1 2 x + y + 2 z = 3 Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 12
13 Um exemplo de teoria decidível: sistemas lineares É possível decidir se um sistema linear possui solução? x + 2 y + z = 3 2 x + y + z = 1 2 x + y + 2 z = 3 Sim! Use eliminação gaussiana (escalonamento)! x + 2 y + z = 3 3 y z = 5 z = 2 Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 13
14 Álgebra Elementar de Tarski É a parte da teoria geral dos números reais com as seguintes restrições de linguagem: Variáveis: representam exclusivamente números reais. onstantes: 1, 0 e +1. Operações algébricas: adição (+), subtração ( ) e multiplicação ( ). Operações relacionais: desigualdade (< e >) e igualdade (=). Operações lógicas: conjunção ( ), disjunção ( ) e negação ( ). Quantificadores: universal ( ) e existencial ( ). Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 14
15 O que é uma Teoria Elementar? São exemplos de sentenças em álgebra elementar: 0 > 1 + 1; a, b, c, d R, [(a < 0 a > 0) ( x R a x x x + b x x + c x + d = 0)]; x R, [(0 < x x < 1) (x x x x < x x)]; Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 15
16 O que é uma Teoria Elementar? São exemplos de sentenças em álgebra elementar: 0 > 1 + 1; a, b, c, d R, [(a < 0 a > 0) ( x R a x x x + b x x + c x + d = 0)]; x R, [(0 < x x < 1) (x x x x < x x)]; que normalmente são escritas como 0 > 2; a, b, c, d R, [a 0 ( x R ax 3 + bx 2 + cx + d = 0)]; x (0, 1), x 4 < x 2. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 16
17 O que é uma Teoria Elementar? Não são exemplos de sentenças em álgebra elementar: n N, ( a, b, c N) a n + b n = c n e Toda função polinomial real de grau ímpar possui pelo menos uma raiz real. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 17
18 O que é uma Teoria Elementar? Não são exemplos de sentenças em álgebra elementar: n N, ( a, b, c N) a n + b n = c n e Toda função polinomial real de grau ímpar possui pelo menos uma raiz real. Geometria elementar é a parte da geometria euclidiana que pode ser traduzida para a linguagem de álgebra elementar fixando-se um sistema de coordenadas. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 18
19 Eliminação de Quantificadores x R x 2 + b x + c = 0 Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 19
20 Eliminação de Quantificadores x R x 2 + b x + c = 0 eliminando o quantificador b 2 4 c 0. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 20
21 Eliminação de Quantificadores Determine os valores de c, d e r a fim de que o círculo de centro (c, d) e raio r esteja contido no círculo de centro (0, 0) e raio 1. y 1 d r 0 c 1 x r > 0 [ x, y R, (x c) 2 + (y d) 2 = r 2 x 2 + y 2 1 ] Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 21
22 Eliminação de Quantificadores Determine os valores de c, d e r a fim de que o círculo de centro (c, d) e raio r esteja contido no círculo de centro (0, 0) e raio 1. y 1 d 0 c r 1 x Resposta: r > 0 c 2 + d 2 + r 1. r > 0 [ x, y R, (x c) 2 + (y d) 2 = r 2 x 2 + y 2 1 ] Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 22
23 Eliminação de Quantificadores Determine os valores de c, d e r a fim de que o círculo de centro (c, d) e raio r esteja contido no círculo de centro (0, 0) e raio 1. y 1 d 0 c r 1 x Resposta: 0 < r 1 c 2 + d 2 (1 r) 2. r > 0 [ x, y R, (x c) 2 + (y d) 2 = r 2 x 2 + y 2 1 ] Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 23
24 O problema da elipse de Kahan (1975) y 1 d b a 0 c 1 x a>0 b>0 x,y R, (x c)2 a 2 + (y d)2 b 2 =1 x 2 +y 2 1 Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 24
25 O problema da elipse de Kahan (1975) y 1 d b a 0 c 1 x a>0 b>0 [ x,y R,b 2 (x c) 2 +a 2 (y d) 2 =a 2 b 2 x 2 +y 2 1] Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 25
26 O problema da elipse de Kahan (1975) Resposta: [(a>0) (T 0) (c 2 +(b+ d ) 2 1 0) (a 2 b a 2 d 2 (1 a 2 )(a 2 b 2 ))] [(0<a=b) (c 2 +d 2 (1 a) 2 ) (a 1)] [(0<a<b) (T 0) (d 2 +(a+ c ) 2 1 0) (b 2 a b 2 c 2 (1 b 2 )(b 2 a 2 ))], Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 26
27 O problema da elipse de Kahan (1975) T = a 4 d 8 +((2 a 2 b 2 +2 a 4 ) c 2 +( 4 a 4 +2 a 2 ) b 2 +2 a 6 4 a 4 ) d 6 + ((b 4 +4 a 2 b 2 +a 4 ) c 4 +(( 6 a 2 2) b 4 +(2 a 4 +2 a 2 ) b 2 2 a 6 6 a 4 ) c 2 + (6 a 4 6 a 2 +1) b 4 +( 6 a a 4 6 a 2 ) b 2 +a 8 6 a 6 +6 a 4 ) d 4 + ((2 b 4 +2 a 2 b 2 ) c 6 +( 2 b 6 +(2 a 2 6) b 4 +( 6 a 4 +2 a 2 ) b 2 2 a 4 ) c 4 + ((6 a 2 +4) b 6 +( 10 a 4 6 a 2 +6) b 4 +(6 a 6 6 a 4 10 a 2 ) b 2 +4 a a 4 ) c 2 +( 4 a 4 +6 a 2 2) b 6 +(6 a 6 8 a 4 +4 a 2 2) b 4 + ( 2 a 8 +4 a 6 8 a 4 +6 a 2 ) b 2 2 a 8 +6 a 6 4 a 4 ) d 2 +b 4 c 8 + (2 b 6 +( 4 a 2 4) b 4 +2 a 2 b 2 ) c 6 +(b 8 +( 6 a 2 6) b 6 + (6 a a 2 +6) b 4 +( 6 a 4 6 a 2 ) b 2 +a 4 ) c 4 +(( 2 a 2 2) b 8 + (6 a 4 +4 a 2 +6) b 6 +( 4 a 6 8 a 4 8 a 2 4) b 4 +(6 a 6 +4 a 4 +6 a 2 ) b 2 2 a 6 2 a 4 ) c 2 +(a 4 2 a 2 +1) b 8 +( 2 a 6 +2 a 4 +2 a 2 2) b 6 + (a 8 +2 a 6 6 a 4 +2 a 2 +1) b 4 +( 2 a 8 +2 a 6 +2 a 4 2 a 2 ) b 2 +a 8 2 a 6 +a 4. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 27
28 Um rograma para Eliminação de Quantificadores QED (para Linux) saclib/ Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 28
29 Um rograma para Eliminação de Quantificadores QED (para Linux) saclib/ Desvantagem: extremamente lento (complexidade computacional e (en) que não pode ser melhorada) Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 29
30 Outras tentativas... Gelerntern, Hanson e Loveland (1960): ferramentas sintéticas. Não consegue demonstrar teoremas relativamente difíceis. Wu (1984): essencialmente bases de Gröbner. pesar de demonstrar teoremas difíceis, a prova não é legível. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 30
31 O método da área hou, Gao e Zhang (1992): o método da área. O método produz demonstrações legíveis para teoremas difíceis. o invés de semelhança de triângulos, o método considera as áreas de triângulos com um lado em comum. O método tem sido usado no treinamento de alunos chineses em olimpíadas de matemática. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 31
32 medida de um segmento orientado medida de um segmento orientado: = { +, de para coincide com o sentido da reta l,, caso contrário. l = e = 0 =. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 32
33 propriedade da decomposição l Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 33
34 propriedade da decomposição = + + l Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 34
35 propriedade da decomposição = + + l l l Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 35
36 propriedade da decomposição = + + l l = + l = + Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 36
37 propriedade da decomposição = + + = + l l = + = + l = + = + Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 37
38 área com sinal de um triângulo h S = + = + b h 2 b h b S = = b h 2 Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 38
39 propriedade da permutação S = S = S = S = S = S. h b Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 39
40 propriedade da decomposição = + +, S = S + S + S. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 40
41 propriedade da decomposição =+ + =+ = + + =+ + = + = + Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 41
42 Um caso demonstra todos... Se = (x, y ), = (x, y ) e = (x, y ), então S = 1 2 det x y 1 x y 1 x y 1 [ = 1 2 (x x ) (y y ) (y y ) (x x ) ]. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 42
43 Um caso demonstra todos... Se = (x, y ), = (x, y ) e = (x, y ), então S = 1 2 det x y 1 x y 1 x y 1 [ = 1 2 (x x ) (y y ) (y y ) (x x ) ]. Se, e estão fixos e = (x, y), então a expressão p(x, y) = S S S S é um polinômio nas variáveis x e y. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 43
44 roposição básica S = S. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 44
45 O teorema do co-lado Se M = Q, então M S = M S Q QM. Q Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 45
46 O teorema do co-lado Se M = Q, então M S = M S Q QM. Q S = S S Q S } M {{} fora SM S QM }{{} fora SQM = S } Q M M {{} QM M = M QM. Q fora Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 46
47 Um primeiro exemplo Hipótese: E D,, e são pontos livres. D =. E =. F =. Tese: F D D + E E + F F = 1. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 47
48 O teorema de eva Hipótese: E D,, e são pontos livres. D =. E =. F =. Tese: F F F D D E E = 1. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 48
49 O teorema de Menelau Hipótese:, e são pontos livres. F. D. E. E Tese: D F D, E e F são colineares F F D D E E = 1. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 49
50 Dia 2 Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 50
51 medida de um segmento orientado l = { +, de para coincide com o sentido da reta l,, caso contrário. ropriedades: = (permutação) = + (decomposição) Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 51
52 área com sinal de um triângulo ropriedades: S = S = S = S = S = S (permutação) S = S + S + S (decomposição) Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 52
53 roposição básica S = S. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 53
54 O teorema do co-lado Se M = Q, então M S = M S Q QM. Q Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 54
55 Exercício Sejam,, D e H quatro pontos colineares, com. Mostre que se H/H = D/D, então D = H. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 55
56 Exercício Sejam,, D e H quatro pontos colineares, com. Mostre que se H/H = D/D, então D = H. DH Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 56
57 Exercício Sejam,, D e H quatro pontos colineares, com. Mostre que se H/H = D/D, então D = H. DH = + D + H Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 57
58 Exercício Sejam,, D e H quatro pontos colineares, com. Mostre que se H/H = D/D, então D = H. DH = + D + H = D + H Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 58
59 Exercício Sejam,, D e H quatro pontos colineares, com. Mostre que se H/H = D/D, então D = H. DH = + D + H = D + H = H D H + H Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 59
60 Exercício Sejam,, D e H quatro pontos colineares, com. Mostre que se H/H = D/D, então D = H. DH = + D + H = D + H = H D H + H = + H ( ) H D + H Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 60
61 Exercício Sejam,, D e H quatro pontos colineares, com. Mostre que se H/H = D/D, então D = H. DH = + D + H = D + H = H D H + H = + H ( ) H D + H = H ( ) H +D + H Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 61
62 Exercício Sejam,, D e H quatro pontos colineares, com. Mostre que se H/H = D/D, então D = H. DH = + D + H = D + H = H D H + H = + H ( ) H D + H = H ( ) H +D + H = H H DH Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 62
63 Exercício Sejam,, D e H quatro pontos colineares, com. Mostre que se H/H = D/D, então D = H. DH = + D + H = D + H = H D H + H = + H ( ) H D + H = H ( ) H +D + H ( ) DH 1 + H/H = 0 = H H DH Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 63
64 Exercício Sejam,, D e H quatro pontos colineares, com. Mostre que se H/H = D/D, então D = H. DH = + D + H = D + H = H D H + H = + H ( ) H D + H = H ( ) H +D + H ( ) DH 1 + H/H = 0 H + H DH = 0 H = H H DH Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 64
65 Exercício Sejam,, D e H quatro pontos colineares, com. Mostre que se H/H = D/D, então D = H. DH = + D + H = D + H = H D H + H = + H ( ) H D + H = H ( ) H +D + H ( ) DH 1 + H/H = 0 H + H DH = 0 H DH /H = 0 = H H DH Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 65
66 Exercício Sejam,, D e H quatro pontos colineares, com. Mostre que se H/H = D/D, então D = H. DH = + D + H = D + H = H D H + H = + H ( ) H D + H = H ( ) H +D + H ( ) DH 1 + H/H = 0 H + H DH = 0 H DH /H = 0 DH = 0 = H H DH Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 66
67 Exercício Sejam,, D e H quatro pontos colineares, com. Mostre que se H/H = D/D, então D = H. DH = + D + H = D + H = H D H + H = + H ( ) H D + H = H ( ) H +D + H ( ) DH 1 + H/H = 0 H + H DH = 0 H DH /H = 0 DH = 0 D = H. = H H DH Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 67
68 Exercício: a área com sinal de um quadrilátero Definição: S D = S + S D. D Exercício: S D = S D. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 68
69 Exercício: o teorema de Menelau Hipótese:, e são pontos livres. F. D. E. E Tese: D F D, E e F são colineares F F D D E E = 1. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 69
70 Vamos praticar! Hipótese: E D,, e são pontos livres. D =. E =. F =. Tese: F D + E + F =?. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 70
71 Vamos praticar! D Hipótese: D é um quadrilátero. O é um ponto livre. E = O D. F = O. G = O D. H = DO. F H O G E Tese: H H F F E ED DG G =?. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 71
72 Dia 3 Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 72
73 Fácil ou difícil? 5 2 D 4 E 160/31 x 6 Qual é o valor de x? Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 73
74 roposição básica S = S. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 74
75 O teorema do co-lado Se M = Q, então M S = M S Q QM. Q Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 75
76 Teorema Hipótese: E D, e são pontos livres. D. E. D = u D. E = v E. = D E. Tese: D = u v u 1. u = 3 e v = 5/4 D/ = u v/(u 1) = 15/16 D = ( 15/16) = 150/31. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 76
77 Teorema Hipótese: 4 5 E 160/31 x 2 D 6, e são pontos livres. D. E. D = u D. E = v E. = D E. Tese: D = u v u 1. u = 3 e v = 5/4 D/ = u v/(u 1) = 15/16 D = ( 15/16) = 150/31. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 77
78 Teorema Hipótese: 4 5 E 160/31 x 2 D 6, e são pontos livres. D. E. D = u D. E = v E. = D E. Tese: D = u v u 1. u = 3 e v = 5/4 D/ = u v/(u 1) = 15/16 D = ( 15/16) = 150/31. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 78
79 Demonstração do teorema E D D = u D, E = v E, = D E. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 79
80 Demonstração do teorema E D D = u D, E = v E, = D E. D = S DE S E Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 80
81 Demonstração do teorema E D D = u D, E = v E, = D E. D = S DE S E, S DE = D S DE D Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 81
82 Demonstração do teorema E D D = u D, E = v E, = D E. D = S DE S E, S DE = D S DE D = D D Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 82
83 Demonstração do teorema E D D = u D, E = v E, = D E. D = S DE S E, S DE = D S DE D = D D = u Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 83
84 Demonstração do teorema E D D = u D, E = v E, = D E. D = S DE S E, S DE = D S DE D = D D = u, S E = E S E E = 1 v Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 84
85 Demonstração do teorema E D D = u D, E = v E, = D E. D = S DE S E, D = S DE S E S DE = D S DE D = D D = u, S E = E S E E = 1 v, Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 85
86 Demonstração do teorema E D D = u D, E = v E, = D E. D = S DE S E, S DE = D S DE D = D D = u, S E = E S E E = 1 v, D = S DE = u S DE S E 1 v S E Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 86
87 Demonstração do teorema E D D = u D, E = v E, = D E. D = S DE S E, S DE = D S DE D = D D = u, S E = E S E E = 1 v, D = S DE = u S DE S E 1 v S E = u v SDE S E Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 87
88 Demonstração do teorema E D D = u D, E = v E, = D E. D = S DE S E, S DE = D S DE D = D D = u, S E = E S E E = 1 v, D = S DE = u S DE S E 1 v S E = u v SDE S E = u v D Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 88
89 Demonstração do teorema E D D = u D, E = v E, = D E. D = S DE S E, S DE = D S DE D = D D = u, S E = E S E E = 1 v, D = S DE = u S DE S E 1 v S E D = u v D + D = u v SDE S E = u v D Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 89
90 Demonstração do teorema E D D = u D, E = v E, = D E. D = S DE S E, S DE = D S DE D = D D = u, S E = E S E E = 1 v, D = S DE = u S DE S E 1 v S E = u v = u v SDE S E = u v D D D + D = u v D D + u D Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 90
91 Demonstração do teorema E D D = u D, E = v E, = D E. D = S DE S E, S DE = D S DE D = D D = u, S E = E S E E = 1 v, D = S DE = u S DE S E 1 v S E = u v = u v SDE S E = u v D D D + D = u v D D + u D = u v u 1. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 91
92 orolário E D F s medianas de um triângulo são sempre concorrentes e o ponto de interseção divide cada mediana na proporção 2 : 1. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 92
93 Vamos praticar! Se E D, e são pontos livres, D, E, D = u D, E = v E e = D E, então sabemos que D = u v u 1. ergunta: qual é o valor de E em termos de u e v? Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 93
94 Fácil ou difícil? Á (1 3)jj E Q Á (2 3)jj Á (2 3)jj D R Á (1 3)jj Á (1 3)jj F Á (2 3)jj Qual é o valor de área do QR área do? Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 94
95 Teorema Hipótese: E R F Q D, e são pontos livres. D. E. F. D = u D. E = v E. F = w F. u = v = w = 1/2. Tese: S QR S = (1 + u v w) 2 (1 u + u v) (1 v + w v) (1 w + w u). Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 95
96 Teorema Á (2 3)jj Á (1 3)jj E Á (1 3)jj F Q Á (2 3)jj R Á (1 3)jj Á (2 3)jj D Hipótese:, e são pontos livres. D. E. F. D = u D. E = v E. F = w F. u = v = w = 1/2. Tese: S QR S = (1 + u v w) 2 (1 u + u v) (1 v + w v) (1 w + w u) = 1 7. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 96
97 Lema Hipótese: E D, e são pontos livres. D. E. D = u D. E = v E. = D E. Tese: S S = u u 1 u v. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 97
98 Demonstração do lema E D D = u D, E = v E, = D E. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 98
99 Demonstração do lema E D D = u D, E = v E, = D E. S S = S + S + S S Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 99
100 Demonstração do lema E D D = u D, E = v E, = D E. S S = S + S + S S = S S + S S + S S Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 100
101 Demonstração do lema E D D = u D, E = v E, = D E. S S = S + S + S S = S S + S S + S S = 1 S S S S Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 101
102 Demonstração do lema E D D = u D, E = v E, = D E. S S = S + S + S S = S S + S S + S S = 1 S S S S = 1 E E D D Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 102
103 Demonstração do lema E D D = u D, E = v E, = D E. S S = S + S + S S = S S + S S + S S = 1 S S S S = 1 E E D D = 1 v 1 u Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 103
104 Demonstração do lema E D D = u D, E = v E, = D E. S S = S + S + S S = S S + S S + S S = 1 S S S S = 1 E E D D = 1 v 1 u = u u v 1. u Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 104
105 Demonstração do teorema E R Q D D = u D, E = v E, F = w F. F Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 105
106 Demonstração do teorema E R Q D D = u D, E = v E, F = w F. F S QR S = S S S Q S R S Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 106
107 Demonstração do teorema E R Q D D = u D, E = v E, F = w F. F S QR = S S S Q S R = 1 S S Q S R S S S S S Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 107
108 Demonstração do teorema E R Q D D = u D, E = v E, F = w F. F S QR = S S S Q S R = 1 S S Q S R S S S S S S QR S = 1 u u 1 u v v v 1 v w w w 1 w u Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 108
109 Demonstração do teorema E R Q D D = u D, E = v E, F = w F. F S QR = S S S Q S R = 1 S S Q S R S S S S S S QR S = 1 u u 1 u v v v 1 v w w w 1 w u S QR (1 + u v w) 2 = S (1 u + u v) (1 v + w v) (1 w + w u). Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 109
110 orolário: versão forte do teorema de eva E R Q D D = u D, E = v E, F = w F. F F, D e E são concorrentes u v w = D D E E F F = 1. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 110
111 orolário: versão forte do teorema de eva E R Q D D = u D, E = v E, F = w F. F F, D e E são concorrentes u v w = D D E E F F = 1. S QR (1 + u v w) 2 = S (1 u + u v) (1 v + w v) (1 w + w u). Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 111
112 Vamos praticar! Sabemos que se M = Q, então M S = M S Q QM. Q Mostre que: S Q = M S Q = S MQ. S Q Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 112
113 Lema 3.1 (de eliminação) D L Hipótese:,, e D são pontos livres. L = D. Tese: S D = L S D = S LD, isto é, S LD = S D S D. S D S D Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 113
114 Teorema 3.7: construção de seqüências harmônicas Hipótese:,, e D são pontos livres. L = D. K = D. F = D LK. G = KL. L D F K G Tese: LF KF = LG GK. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 114
115 Teorema 3.8: o teorema de appus D Tese: E Q R F s r Hipótese:, Q e R são sempre colineares. r e s são retas., e são pontos em r. E, F e G são pontos em s. = E D. Q = F D. R = F E. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 115
116 Teorema 3.9 Q R Hipótese:,, e Q são pontos livres. R Q. Tese: S R = R Q S Q + RQ Q S. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 116
117 Teorema 4.1 D O Hipótese: D é um paralelogramo. O = D. Tese: O = O, isto é, O O = 1. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 117
118 Teorema 4.2: o teorema de Tales m n X Y Z r s t Hipótese: r, s e t são retas paralelas. m e n são retas transversais. = m r. = m s. = m t. X = n r. Y = n s. Z = n t. Tese: = XY ZY. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 118
119 Teorema 4.3 Q D Hipótese: e D são retas paralelas. = D. Q = D. M = Q. M Tese: M é o ponto médio de, isto é, M = M. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 119
120 Teorema 4.4: o axioma de ascal Q R Hipótese: r e s são duas retas.,, r., Q, R s. Q R. Q. Tese: R. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 120
121 Teorema 4.5: o axioma de Desargues S X Z t Y s r Hipótese: r, s e t são retas distintas. S = r s t., X r., Y s., Z t. XY. XZ. Tese: YZ. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 121
122 Teorema 4.6 D X Y Q S R W Z X D = DY D = Z = W = 1 3 S QRS = S D 13. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 122
123 roposição 4.2 D O Q Hipótese: D é um paralelogramo. e Q são pontos livres. Tese: S Q + S Q = S Q + S DQ, isto é, S Q = S DQ Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 123
124 roposição 4.3 D Hipótese: D é um paralelogramo. é um ponto livre. Tese: S = S D S D = S D. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 124
125 aracterísticas de um teorema de interseção pura Os únicos objetos geométricos que aparecem no enunciado do teorema são pontos e retas. s únicas operações geométricas permitidas são traçar uma reta por pontos, marcar a interseção entre duas retas e traçar uma reta paralela à outra por um dado ponto. O teorema é do tipo construtivo: todos os pontos e retas envolvidos na formulação da hipótese do teorema podem ser definidos ou construídos um a um. tese é uma propriedade sobre concorrência ou paralelismo entre retas. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 125
126 Exemplo: o teorema de eva 1: é uma construção do tipo (T1) que introduz o ponto livre. 2: é uma construção do tipo (T1) que introduz o ponto livre. E D 3: é uma construção do tipo (T1) que introduz o ponto livre. 4: é uma construção do tipo (T1) que introduz o ponto livre. S = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; G) F G = (E 1, E 2 ) E 1 (x, y, z) = x + y + z, E 2 (x, y, z) = 1 x = F F, y = D D e z = E E 5: é uma construção do tipo (T4) que introduz o ponto fixo D, definido como a interseção das retas e. ondição de não-degenerescência:. 6: é uma construção do tipo (T4) que introduz o ponto fixo E, definido como a interseção das retas e. ondição de não-degenerescência:. 7: é uma construção do tipo (T4) que introduz o ponto fixo F, definido como a interseção das retas e. ondição de não-degenerescência:. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 126
127 ondições de não-degenerescência 1: é uma construção do tipo (T1) que introduz o ponto livre. 2: é uma construção do tipo (T1) que introduz o ponto livre. E D 3: é uma construção do tipo (T1) que introduz o ponto livre. 4: é uma construção do tipo (T1) que introduz o ponto livre. S = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; G),, }{{} provenientes de 5, 6 e 7 F, D, E }{{} provenientes das razões em E 1 F 5: é uma construção do tipo (T4) que introduz o ponto fixo D, definido como a interseção das retas e. ondição de não-degenerescência:. 6: é uma construção do tipo (T4) que introduz o ponto fixo E, definido como a interseção das retas e. ondição de não-degenerescência:. 7: é uma construção do tipo (T4) que introduz o ponto fixo F, definido como a interseção das retas e. ondição de não-degenerescência:. Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 127
128 O teorema da reta de Gauss Sejam 0, 1, 2 e 3 quatro pontos no plano. Se X = , Y = e M 1, M 2 e M 3 são os pontos médios de 1 3, 0 2 e XY, respectivamente, então M 1, M 2 e M 3 são colineares. X M M 2 M 1 Y 0 1 Humberto José ortolossi O Método da Área em Geometria Euclidiana lana 128
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