Uma História Geométrica

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1 Uma História Geométrica Humberto José Bortolossi 1 Carlos Tomei 2 1 Departamento de Matemática Aplicada, UFF 2 Departamento de Matemática, PUC-Rio 25 o Colóquio Brasileiro de Matemática IMPA, Rio de Janeiro, 24 a 29 de julho de 2005 H. J. Bortolossi e C. Tomei Geometria é cultura.

2 No princípio Axiomatização foi uma grande idéia: os pontos de partida ficam claros, as regras de encadeamento são explícitas, tem alta capacidade de persuasão. Nos Elementos, Euclides (300 a.c., Alexandria, Egito) apresentou de forma axiomática a tradição geométrica da época. A demonstração do primeiro resultado está errada. H. J. Bortolossi e C. Tomei 1/10

3 No princípio Axiomatização foi uma grande idéia: os pontos de partida ficam claros, as regras de encadeamento são explícitas, tem alta capacidade de persuasão. Nos Elementos, Euclides (300 a.c., Alexandria, Egito) apresentou de forma axiomática a tradição geométrica da época. H. J. Bortolossi e C. Tomei Maravilhoso presente de grego. 1/10

4 No princípio Axiomatização foi uma grande idéia: os pontos de partida ficam claros, as regras de encadeamento são explícitas, tem alta capacidade de persuasão. Nos Elementos, Euclides (300 a.c., Alexandria, Egito) apresentou de forma axiomática a tradição geométrica da época. A demonstração do primeiro resultado está errada. H. J. Bortolossi e C. Tomei Maravilhoso presente de grego. 1/10

5 A primeira demonstração errada H. J. Bortolossi e C. Tomei Mais claro que um livro didático moderno. 2/10

6 Dois mil anos depois Descartes ( ) criou a geometria analítica, que faz da álgebra uma linguagem para a geometria. Leibniz ( ) pensou sobre a possibilidade de duas coisas quase matemáticas: uma linguagem simbólica universal, a Characteristica Universalis, e de um método automático de dedução, o Calculus Ratiocinator. Enquanto isso, na escola, geometria sobrevivia para treinar argumentação. H. J. Bortolossi e C. Tomei 3/10

7 Dois mil anos depois Descartes ( ) criou a geometria analítica, que faz da álgebra uma linguagem para a geometria. Leibniz ( ) pensou sobre a possibilidade de duas coisas quase matemáticas: uma linguagem simbólica universal, a Characteristica Universalis, e de um método automático de dedução, o Calculus Ratiocinator. Enquanto isso, na escola, geometria sobrevivia para treinar argumentação. H. J. Bortolossi e C. Tomei 3/10

8 Dois mil anos depois Descartes ( ) criou a geometria analítica, que faz da álgebra uma linguagem para a geometria. Leibniz ( ) pensou sobre a possibilidade de duas coisas quase matemáticas: uma linguagem simbólica universal, a Characteristica Universalis, e de um método automático de dedução, o Calculus Ratiocinator. Enquanto isso, na escola, geometria sobrevivia para treinar argumentação. H. J. Bortolossi e C. Tomei Motivação não era problema. 3/10

9 O teorema de Pascal A C(x A, y A ) = 0,..., C(x F, y F ) = 0 F B E C D P Q R x P = P(x A, y A, x F, y F, x C, y C, x D, y D ) y P = Q(x A, y A, x F, y F, x C, y C, x D, y D ) x Q = P(x E, y E, x F, y F, x B, y B, x C, y C ) y Q = Q(x E, y E, x F, y F, x B, y B, x C, y C ) x R = P(x D, y D, x E, y E, x A, y A, x B, y B ) y R = Q(x D, y D, x E, y E, x A, y A, x B, y B ) x P y P 1 det x Q y Q 1 = 0 x R y R 1 H. J. Bortolossi e C. Tomei Você pode trocar a elipse por outra cônica C. 4/10

12 O que se faz com polinômios? Como ver se p(x) e q(x) têm uma raiz comum? (Bézout, XVIII) Como ver se p(x) tem k raízes em [a, b]? (Sturm, XIX) Como ver que um sistema polinomial a várias variáveis tem k soluções em um conjunto semi-algébrico? (Seidenberg-Tarski, XX) H. J. Bortolossi e C. Tomei Abandone as raízes. 5/10

13 Resultantes p(x) = a x 2 + b x + c e q(x) = A x 3 + B x 2 + C x + D R x (p, q) = det têm raízes comuns a b c a b c a b c A B C D A B C D = 0. H. J. Bortolossi e C. Tomei Muito além da eliminação gaussiana. 5/10

14 Resultantes p(x) = a x 2 + b x + c e q(x) = A x 3 + B x 2 + C x + D R x (p, q) = det têm raízes comuns a b c a b c a b c A B C D A B C D = 0. p(x, y) = 0 e q(x, y) = 0 R x (p, q)(y) = 0. H. J. Bortolossi e C. Tomei Muito além da eliminação gaussiana. 5/10

16 Contando raízes em um intervalo Defina a partir de um polinômio p de grau 3: p 3 = p, p 2 = p, p 1 = resto(p 3, p 2 ), p 0 = resto(p 2, p 1 ). H. J. Bortolossi e C. Tomei Contar é quase calcular (divida o intervalo ao meio). 5/10

17 Contando raízes em um intervalo Defina a partir de um polinômio p de grau 3: p 3 = p, p 2 = p, p 1 = resto(p 3, p 2 ), p 0 = resto(p 2, p 1 ). O número de raízes de p em [a, b] é (variação de sinais da seqüência p 3, p 2, p 1, p 0 em a) menos (variação de sinais da seqüência p 3, p 2, p 1, p 0 em b) (quase sempre). H. J. Bortolossi e C. Tomei Contar é quase calcular (divida o intervalo ao meio). 5/10

19 O que se pensava em 1900 Hilbert ( ) achava que, para decidir algo em matemática, bastava trabalhar. Hilbert trabalhou muito: encontrou axiomas satisfatórios para a geometria euclidiana, descreveu propriedades geométricas usando geometria algébrica e mecanizou uma parte da geometria. H. J. Bortolossi e C. Tomei 6/10

22 O que se pensava em 1900 Hilbert ( ) achava que, para decidir algo em matemática, bastava trabalhar. Hilbert trabalhou muito: encontrou axiomas satisfatórios para a geometria euclidiana, descreveu propriedades geométricas usando geometria algébrica e mecanizou uma parte da geometria. H. J. Bortolossi e C. Tomei A automação desempregaria os matemáticos? 6/10

24 O teorema de Pascal revisto por Hilbert A F B Se h i (x) = 0 (os polinômios na hipótese), então t(x) = 0 (o polinômio na tese) é o mesmo que (Nullstellensatz) E D C t k (x) = a i (x)h i (x), com a i polinômios. P Q R H. J. Bortolossi e C. Tomei E como se decide isto? 6/10

25 O que aprendemos em 1936 Gödel ( ) desmentiu Hilbert: certas afirmações verdadeiras (i.e., sem contra-exemplos) não seguem dos axiomas. H. J. Bortolossi e C. Tomei Todo mundo tinha que saber isso. 7/10

26 O que aprendemos em 1936 Gödel ( ) desmentiu Hilbert: certas afirmações verdadeiras (i.e., sem contra-exemplos) não seguem dos axiomas. Ser verdadeiro não é ser demonstrável. H. J. Bortolossi e C. Tomei Todo mundo tinha que saber isso. 7/10

27 Por que Gödel nos pegou de surpresa? Tarski ( ) mostrou que a teoria de primeira ordem dos reais, todas as frases com,, x, 0, 1, +,,, =, >,,,,, admite eliminação de quantificadores (1948). H. J. Bortolossi e C. Tomei Traídos por geometria. 8/10

28 Por que Gödel nos pegou de surpresa? Tarski ( ) mostrou que a teoria de primeira ordem dos reais, todas as frases com,, x, 0, 1, +,,, =, >,,,,, admite eliminação de quantificadores (1948). Geometria elementar é decidível. H. J. Bortolossi e C. Tomei Traídos por geometria. 8/10

29 Por que Gödel nos pegou de surpresa? Tarski ( ) mostrou que a teoria de primeira ordem dos reais, todas as frases com,, x, 0, 1, +,,, =, >,,,,, admite eliminação de quantificadores (1948). Geometria elementar é decidível. Decidir pode ser caro e as respostas, desumanas. H. J. Bortolossi e C. Tomei Traídos por geometria. 8/10

30 O problema da elipse de Kahan y 1 d b a 0 c 1 x a>0 b>0 x,y R, (x c)2 a 2 + (y d)2 b 2 =1 x 2 +y 2 1 [(a>0) (T 0) (c 2 +(b+ d ) 2 1 0) (a 2 b a 2 d 2 (1 a 2 )(a 2 b 2 ))] [(0<a=b) (c 2 +d 2 (1 a) 2 ) (a 1)] [(0<a<b) (T 0) (d 2 +(a+ c ) 2 1 0) (b 2 a b 2 c 2 (1 b 2 )(b 2 a 2 ))], onde T é H. J. Bortolossi e C. Tomei Problema mixuruca. 9/10

31 O problema da elipse de Kahan T = a 4 d 8 +((2 a 2 b 2 +2 a 4 ) c 2 +( 4 a 4 +2 a 2 ) b 2 +2 a 6 4 a 4 ) d 6 + ((b 4 +4 a 2 b 2 +a 4 ) c 4 +(( 6 a 2 2) b 4 +(2 a 4 +2 a 2 ) b 2 2 a 6 6 a 4 ) c 2 + (6 a 4 6 a 2 +1) b 4 +( 6 a a 4 6 a 2 ) b 2 +a 8 6 a 6 +6 a 4 ) d 4 + ((2 b 4 +2 a 2 b 2 ) c 6 +( 2 b 6 +(2 a 2 6) b 4 +( 6 a 4 +2 a 2 ) b 2 2 a 4 ) c 4 + ((6 a 2 +4) b 6 +( 10 a 4 6 a 2 +6) b 4 +(6 a 6 6 a 4 10 a 2 ) b 2 +4 a a 4 ) c 2 +( 4 a 4 +6 a 2 2) b 6 +(6 a 6 8 a 4 +4 a 2 2) b 4 + ( 2 a 8 +4 a 6 8 a 4 +6 a 2 ) b 2 2 a 8 +6 a 6 4 a 4 ) d 2 +b 4 c 8 + (2 b 6 +( 4 a 2 4) b 4 +2 a 2 b 2 ) c 6 +(b 8 +( 6 a 2 6) b 6 + (6 a a 2 +6) b 4 +( 6 a 4 6 a 2 ) b 2 +a 4 ) c 4 +(( 2 a 2 2) b 8 + (6 a 4 +4 a 2 +6) b 6 +( 4 a 6 8 a 4 8 a 2 4) b 4 +(6 a 6 +4 a 4 +6 a 2 ) b 2 2 a 6 2 a 4 ) c 2 +(a 4 2 a 2 +1) b 8 +( 2 a 6 +2 a 4 +2 a 2 2) b 6 + (a 8 +2 a 6 6 a 4 +2 a 2 +1) b 4 +( 2 a 8 +2 a 6 +2 a 4 2 a 2 ) b 2 +a 8 2 a 6 +a 4. H. J. Bortolossi e C. Tomei Você não detesta problemas literais? 9/10

32 Se o seu problema é demonstrar... Moral: Geometria elementar é mais simples que matemática. Mas o que é muito difícil em matemática? (Davis, Matiyasevich, Putnam e Robinson) Se você soubesse mostrar que um polinômio de grau 4 com coeficientes inteiros não tem soluções inteiras positivas, você saberia demonstrar Fermat, 4 cores, Goldbach, Riemann... H. J. Bortolossi e C. Tomei 10/10

33 Se o seu problema é demonstrar... Moral: Geometria elementar é mais simples que matemática. Mas o que é muito difícil em matemática? (Davis, Matiyasevich, Putnam e Robinson) Se você soubesse mostrar que um polinômio de grau 4 com coeficientes inteiros não tem soluções inteiras positivas, você saberia demonstrar Fermat, 4 cores, Goldbach, Riemann... H. J. Bortolossi e C. Tomei 10/10

34 Se o seu problema é demonstrar... Moral: Geometria elementar é mais simples que matemática. Mas o que é muito difícil em matemática? (Davis, Matiyasevich, Putnam e Robinson) Se você soubesse mostrar que um polinômio de grau 4 com coeficientes inteiros não tem soluções inteiras positivas, você saberia demonstrar Fermat, 4 cores, Goldbach, Riemann... H. J. Bortolossi e C. Tomei E física, é difícil? 10/10

35 Os personagens desta história H. J. Bortolossi e C. Tomei Nossos heróis!

36 Bibliografia H. J. Bortolossi. Demonstrações Automáticas em Geometria Euclidiana Plana. II Bienal da SBM, Salvador, M. Davis. The Universal Computer: The Road from Leibniz to Turing. W. W. Norton & Company, S. M. Rodrigues Lopes. Complexidade em Geometria Euclidiana Plana. Dissertação de Mestrado, Departamento de Matemática, PUC-Rio, C. Tomei. Euclides: A Conquista do Espaço. Coleção Imortais da Ciência, Editora Odysseus, H. J. Bortolossi e C. Tomei