Lógica e Raciocínio. Introdução. Universidade da Madeira.

Transcrição

1 Lógica e Raciocínio Universidade da Madeira Introdução 1

2 Lógica... é a ciência que estuda os princípios e aproximações para estabelecer a validez da inferência e demonstração: é a ciência dos princípios formais do raciocínio. Como surge a Lógica Os retóricos e sofistas Gorgias, Hippias, Prodicus, e Protagoras (Sec 5 B.C.). cultivaram a arte de defender ou atacar uma tese pelo significado dos argumentos. Os sofistas foram os primeiros a demandar que a moral fosse justificada pela razão. As aprendizagens particulares de alguns sofistas e retóricos são significativos para os princípios da lógica. Por exemplo, Pitágoras foi o primeiro a distinguir diferentes tipos de sentenças: Perguntas, Respostas, Orações e Requisitos. 2

3 Como surge a Lógica Sócrates, no Eutifrón diz que não é somente falar das coisas que são piedosas e das que são ímpias mas sobre a natureza única delas, isto é compreender: As características distintivas da piedade faz com que toda a coisa seja ou não piedosa. A existência dum ideal de Piedade e Impiedade que sirva de modelo para todas as coisas que sejam piedosas ou ímpias. Um pouco de História Platão introduz a teoria das ideias ou abstracções; Aristóteles apresenta o raciocínio dedutivo e sistematizado; Euclides estabelece o método axiomático. 3

4 Um pouco de História Os tratados de lógica de Aristóteles ( a.c.), conhecidos como Organón, contêm o primeiro tratamento sistemático das leis do pensamento relacionado com a aquisição de conhecimento. Um pouco de História Originalmente, a lógica lidou com argumentos nos idiomas naturais usados pelos humanos. Por exemplo, foi utilizado para demonstrar a validade de argumentos como o seguinte: Todos os homens são mortais. Sócrates é um homem. Então, Sócrates é mortal. 4

5 Um pouco de História Alguns problemas... Ambiguidade da linguagem natural; Paradoxos: O paradoxo do mentiroso Esta frase é falsa ; Etc. Posteriormente... Só no século XIX, a lógica formal é constituída como ciência independente da filosofia, George Boole e Augustus De Morgan: as fórmulas algébricas podem ser usadas para expressar perfeitamente relações lógicas George Boole The Mathematical Analysis of Logic 5

6 Posteriormente... Exemplo a * (b +c) = (a*b) + (a*c) é similar a a (b c) = (a b) ( a c) Posteriormente... Leibniz, Ars combinatoria 1664 no qual sustenta a possibilidade de construir um idioma simbólico artificial cuja estrutura representasse o pensamento e permitisse liberar o estudo lógico das incertezas da linguagem natural. 6

7 Posteriormente... B. Bolzano, Wissenschaftslehre (Teoria da ciência) 1837 e Paradoxien des Unendlichen (Paradoxos do infinito) Uma proposição é um objecto real cuja verdade ou falsidade é independente do sujeito que os pensa; o conceito de verdade é realmente objectivo, i.e., não é epistémico nem psicológico. Uma proposição é universalmente válida quando todas as suas variantes são verdadeiras. Posteriormente... Frege 1879, Begriffschriff (Notação Conceitual) A lógica como linguagem das matemáticas Este trabalho é a base fundacional da lógica moderna, já que pela primeira vez é apresentado um sistema de lógica totalmente formalizado. 7

8 Posteriormente... Russell e Whitehead (Principia Mathematica) Levar a cabo o programa fregeano de derivar a matemática da lógica, mas evitando a aparição dos paradoxos que o mesmo Russell tinha achado em Grundgesetze der Arithmetik (leis fundamentais da aritmética) de Frege. Hilbert, Grundlagen der Geometrie (Fundações da geometria) Apresenta o termo metamatemática para referir a disciplina que estuda a linguagem objecto da matemática. Posteriormente... O Primeiro Teorema de Incompletude de Gödel: Kurt Gödel provou que um sistema formal que seja bastante poderoso para formar proposições sobre o que pode ser provado, sempre haverá proposições verdadeiras que o sistema pode expressar mas não pode provar. O Segundo Teorema de Incompletude de Gödel: Um sistema formal que seja bastante poderoso para formar declarações sobre aritméticas não pode provar a sua própria consistência. 8

9 Chega de Historia, vamos formalizar Introdução Sistema Formal 9

10 Quê significa Formal? Antes de falar do significado de formal analisaremos a frase usada no título. O que é que tento obter ou responder? O que será aceite como resposta? A pergunta, é claro, tem como objectivo obter o significado da palavra Formal Mas qual é o significado de Significa? Quê significa Significa? Intuitivamente, obtiver o significado de algo (signo) e procurar o conceito ou conteúdo nocional desse algo Objeto Conceito 10

11 Quê significa Formal? De acordo com o dicionário (da língua espanhola, traduzido ao meu portunhol): relativo a forma; de acordo com as regras ou formalidades genuíno, textual terminante categórico Exemplos de coisas formais Matemática Xadrez, Damas Um programa de computador Um contrato etc. 11

12 Formalismo Deve estar definido pôr regras que controlam a situação e no devem existir ambiguidades nem vazios de decisão. Sempre deve quedar perfeitamente definida a validez de um movimento As regras não devem permitir conflitos Um formalismo e caracterizado pôr a definição e o uso de regras não ambíguas Sistema Formal conjunto de elementos carentes de significado e dotado de regras explícitas que estabelecem as suas relações Isso não quer dizer que não possamos atribuir-lhe algum significado a seus termos e as suas fórmulas, nesse caso falamos que o interpretamos. 12

13 Sistema Formal: Componentes Sintaxe Teoria de prova Semântica Cálculo Sintaxe Regras bem definidas de formação da linguagem. Alfabeto: conjunto finito de símbolos abstractos. Regras de formação: Regras que mostram como combinar os elementos do alfabeto Fórmulas (bem formadas): Combinações do alfabeto a partir das regras de formação. 13

14 Sintaxe Exemplo: Alfabeto {a,*} Regras de formação: 1. a e uma fórmula bem formada (fbf) 2. Se X é uma fbf, então *X éuma fbf Pergunta: Quais não são fbf? a, *a, **a, *a*, *a*a Teoria de Prova Axiomas (ou postulados): Fórmulas bem formadas que são admitidas sem demonstração. Regras de Inferência: Regras de manipulação de fórmulas da linguagem para obtenção de novas fórmulas. 14

15 Teoria de Prova Teorema: Uma fórmula que se deriva dos axiomas mediante a aplicação de regras de manipulação. Demonstração: Processo pelo qual se mostra que um teorema se deriva de um conjunto de axiomas mediante a aplicação de regras de manipulação Semântica Significação ou sentido das fórmulas da linguagem Isto é, há um compromisso explícito na relação dos símbolos da linguagem com o domínio. Este compromisso semântico permite discutir a adequação e a veracidade do conhecimento. Um cálculo pode ter mais de uma semântica. E possível que a semântica e a teoria de prova não se adaptem. 15

16 Interpretação Uma interpretação proporciona um significado para cada um dos símbolos de um cálculo, de modo que toda fbf é verdadeira ou falsa sob essa interpretação. Uma interpretação é um modelo para um conjunto S de fbf se toda fbf de S e verdadeira baixo essa interpretação. Propriedades de um Sistema Formal Um sistema formal é: consistente se o conjunto de seus axiomas não conduz, aplicando as regras de transformação, a teoremas contraditórios entre eles. correcto se toda fbf demonstrável no sistema e verdadeira em todas as interpretações completo se toda fbf que é verdadeira em todas as interpretações e demonstrável na teoria 16

17 Propriedades de um Sistema Formal Um sistema formal é: Decidível: se existe um procedimento efectivo mediante o qual, em um número finito de passos, se determina se uma fórmula é ou não um teorema da teoria. Satisfatível se tem pelo menos uma interpretação adequada, i.e., quando tem pelo menos um modelo. Exemplo: Sintaxe: Alfabeto: {a,b,c,d} Regra de escrita: Toda fórmula deve incluir pelo menos dois dos elementos Axiomas ab, ac Regra de inferência Se X é teorema, ax é teorema 17