Funções exponenciais e logarítmicas

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1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções exponenciais e logarítmicas Parte 07 Parte 7 Matemática Básica 1 Parte 7 Matemática Básica 2 Observações Nosso enfoque aqui será mais do pontos de vista operacional do que conceitual. Uma construção conceitual das funções exponencial e logarítmica requer ferramentas de cálculo diferencial e integral. Para o leitor interessado em uma abordagem mais conceitual, indicamos as referências a seguir. y = f x) =a x, com a > 0ex R. 1) Vale que f 0) =a 0 = 1, para todo a > 0. Temos também que f x) =a x > 0 para todo a > 0ex R. 2) Vale que f p + q) =a p+q = a p a q = f p) f q). 3) Vale que f x + h)/f x) =a x+h /a x = a h não depende de x, apenas de h. 4) Vale que f é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1. Parte 7 Matemática Básica 3 Parte 7 Matemática Básica 4

2 y = f x) =a x, com a > 0ex R. y = f x) =a x, com a > 0ex R. y = f x) =a x é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1. É importante saber os gráficos das funções exponenciais! Parte 7 Matemática Básica 5 Parte 7 Matemática Básica 6 Motivação: dívida de R$ 1.00 a 100% ao ano Valor do dinheiro considerando 1 período de 12 meses: y = f x) =a x, com a > 0ex R = 2. Uma função exponencial especial: y = e x, com e = Valor do dinheiro considerando 2 períodos de 6 meses: + 1 = = ) Valor do dinheiro considerando 3 períodos de 4 meses: ) = = ) Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses: n. n Parte 7 Matemática Básica 7 Parte 7 Matemática Básica 8

3 Motivação: empréstimo de R$ 1.00 a 100% ao ano Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses: n. n Moral: como lim n /n) n = e = , o valor justo do pagamento um empréstimo de R$ 1.00 a 100% ao ano após 1 ano deveria ser de e = reais. Em Cálculo I -A- você aprenderá que e que e x = lim 1 + x ) n n + n e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + + x n n! + = i=0 x i i!. Cuidado: função exponencial função potência Cuidado: função exponencial função potência! Função exponencial: y = constante x. Função potência: y = x constante. y = x x não é uma função exponencial e nem uma função potência! Parte 7 Matemática Básica 9 Parte 7 Matemática Básica 10 f : R ]0, + [ x y = f x) =ax, com a ]0, + [ {1} Observações Note que A função f : R ]0, + [ é injetiva pois é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1). A função f : R ]0, + [ é sobrejetiva a prova deste fato requer ferramentas de análise). Logo f : ]0, + [ R é bijetiva e, portanto, inversível. A função inversa f 1 de f é denominada função logarítmica de base a. Usaremos a notação log a x) para representar f 1 x). Note então que, se x > 0, então log a x) éoúnico número real tal que a elevado a esse número dá o número real x. Parte 7 Matemática Básica 11 log a a x ) = x, para todo x R e a log a x) = x, para todo x ]0, + [. Se a = e = , então é usual escrever lnx) para representar log e x). Assim, lne x )=x para todo x R e e lnx) = x para todo x > 0. Parte 7 Matemática Básica 12

4 : propriedades y = f x) =log a x) com a > 0, a 1ex ]0, + [. É importante saber os gráficos das funções logarítmicas! Se x > 0, então log a x) éoúnico número real tal que a elevado a esse número dá o número real x. log a 1) =0 e log a a) =1, para todo a > 0ea 1. De fato: log a 1) é o único número real tal que a elevado a este número dá 1: a log a 1) = 1. Como a 0 também é igual a 1, segue-se que log a 1) =0. De fato: log a a) é o único número real tal que a elevado a este número dá a: a log a a) = a. Como a 1 também é igual a a, segue-se que log a a) =1. Parte 7 Matemática Básica 13 Parte 7 Matemática Básica 14 Se x > 0, então log a x) éoúnico número real tal que a elevado a esse número dá o número real x. Se p > 0eq > 0, então log a p q) =log a p)+log a q). De fato: log a p q) é o único número real tal que a elevado a este número dá p q: a log a p q) = p q. Agora: a log a p)+log a q) = a log a p) a log a q) = p q. Logo, log a p q) =log a p)+log a q). Fica como exercício demonstrar as propriedades a seguir. Se p > 0er R, então log a p r )=r log a p). Se p > 0eq > 0, então log a p/q) =log a p) log a q). Se x > 0, a > 0, b > 0, a 1eb 1, então log a x) =log b x)/ log b a). Parte 7 Matemática Básica 15 Parte 7 Matemática Básica 16

5 Habilidade fundamental: mudar para base e x x = e lnx x ) = e x lnx) 1 + sen4 x)) cotgx) = e ln[1+sen4 x))cotgx) ] = cotgx) ln1+sen4 x)) e Funções potência, logarítmica e afim y = C x a, com C > 0, x > 0ea R função potência) lny) =lnc x a ) lny) =lnc)+lnx a ) lny) =lnc)+a lnx) 2 x = e ln2x ) = e x ln2) x 2 = e lnx 2) = e 2 lnx) para x > 0) Fazendo ỹ = lny) e x = lnx), vemos que: y = C x a, com C > 0, x > 0ea R função potência) ỹ = lnc)+a x função afim) Em escala logarítmica, funções potência são funções afins! Parte 7 Matemática Básica 17 Parte 7 Matemática Básica 18